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浙江省台州市温岭市2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C．0 D．6
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-7<-6<-5<0<6，
∴ 比小的数是-7，
故答案为：A.
【分析】根据正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小绝对值大的反而小解题即可.
2．三个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的俯视图共有层，第一层有个正方形，第二层有个正方形，如图：
，
故答案为：C．
【分析】根据从上面看到的几何图形判断解题即可．
3．航空母舰是现代海军不可或缺的利器，也是一个国家综合国力的象征，我国第四艘航空母舰即将下水，满载排水量约为110000吨．将数据110000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故选：B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，先确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意.
故选：B．
【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等运算法则逐项进行判断即可．
5．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体．
B．篮球运动员投篮一次，投中篮框．
C．过一点能作出一条直线与已知直线平行．
D．将实心铁球放入水中，铁球下沉．
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体，是随机事件，不符合题意；
B、篮球运动员投篮一次，投中篮框，是随机事件，不符合题意；
C、过一点能作出一条直线与已知直线平行，是随机事件，不符合题意；
D、将实心铁球放入水中，铁球下沉，是必然事件，符合题意；
故答案为：D.
【分析】必然事件是在一定条件下必然会发生的事件.
6．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由旋转可得：，
于点，
，
，
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质得∠BAD=55°，由垂直定义得∠AFB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余可求出∠B的度数.
7．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一批面粉采购量为x千克，由题意得，
故答案为：A
【分析】设第一批面粉采购量为x千克，根据“，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元”即可列出分式方程，进而即可求解。
8．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形的面积为（　　）
A．5 B． C．10 D．13
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设直角三角形较短直角边为，较长直角边为，
则，
∴（a+b）2=52，
∴①，
∴，
∵EF2+EH2=FH2，，
∴，
∴，
∴②，
得，
∴，
∴正方形的面积为.
故选：D．
【分析】设直角三角形较短直角边为，较长直角边为，由题意得，求得①，由，求得②，两式相加即可得出答案．
9．点，，在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
A.若，当、，则，故本选项不符合题意；
B.若，当、，则，故本选项不符合题意；
C.若，当、，则，得到，故本选项不符合题意；
D.若，，，，故本选项符合题意.
故选：D．
【分析】由-8<0可得反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，再根据、、之间的大小关系判断、、的大小关系．
10．如图，四边形，，，连结对角线，若要求出四边形的面积，只需要知道（　　）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：延长到点E，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴要求出四边形的面积，只需要知道的长.
故选：A．
【分析】延长到点E，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，与的面积相等，则可得出答案．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： 　 　．
【答案】3x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 提取公因式 得：
故答案为：3x（x-2）．
【分析】提取公因式即可得．
12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由已知可得，
∴.
故答案为：4．
【分析】根据有两个相等的实数根，得到，代入解方程即可．
13．一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，
∴球的总数是2+5=7(个)，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率，
故答案为：.
【分析】根据概率公式即可求解.
14．如图，，，点O在上，以点O为圆心为半径的与相切于点D，连结，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： 连接，
∵与相切，
∴，
在和中，
∵，
∴（HL），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，根据切线的性质可得，根据HL可证明，从而得到，进而得到得出答案．
15．如图，在中，为边上的中线，，E为上任意一点，，若最小值为2时，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知，当时，的值最小，已知最小值为2，
，
，
，
．
为边上的中点，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°，
．
，
，
又，
．
故答案为：4．
【分析】利用垂线段最短的性质确定取最小值时的位置，根据已知条件推出三角形的角度关系，进而得出是等边三角形及∠ACB=90°，进而得出答案．
16．在矩形中，E为的中点，将沿着翻折，得到，连接并延长与相交于点F，与相交于点H．若点F恰好为的中点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长和相交于点N，连接和，
则，，
∵点F恰好为的中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
在中，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：．
【分析】延长和相交于点N，连接和，则，，结合矩形的性质得，进而可得，再根据AAS证明，有，进一步得，根据等腰三角形的性质证明，则判定，即可得到，有，结合平行线的性质得到即可．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再进行加减计算．
18．解方程组
【答案】解：，
得，③，
得，，解得，，
把代入②得，
∴ 方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，即可求得.
19．综合与实践
聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习，查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率，表示入射角，表示折射角．
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度，一束光线从A点按固定方向投射到底部的B点形成光斑，测得．
第二步：向水槽注入H液体，液体高度时，此时光斑因光线折射向左移动至点D，测得．（其中O为入射点，直线为法线，为入射光线，为折射光线）
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求H液体的折射率n．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵∠AEO=90°，
∴AO2=AE2+EO2，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由可得，由相似三角形的性质得出，再代入，进而得出答案；
（2）根据平行线的性质可得，再由勾股定理可得，得出，再根据矩形的性质可得，，求出，由勾股定理可得，最后根据正弦值即可得出答案．
（1）解：由题意得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
（2）解：由题意得：，
∴
在中，，
∴，
∵矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
20．随着科技发展，的诞生为我们的生活带来很多的便利，相关人员对“”软件开展了使用满意度测评，并从中抽取20份数据并进行整理、描述和分析，评分用表示，分为以下四个等级：不满意（），比较满意（），满意（），非常满意（），下面给出20份数据的扇形统计图和“满意”等级的具体数据：86，88，87，89，86，88，89，90．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：①“满意”评分的数据中，中位数为______，②______；
（2）本次调查中，有240名用户对软件进行了评分，估计其中对“”非常满意的用户总人数．
【答案】（1）①88，②
（2）解：（人），
答：对“”非常满意的用户人数约为48人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：该“满意”组数据的中位数为，
“满意”组的所占百分比为，
∴“非常满意”组所占的百分比为，
∴.
故答案为：①88，②.
【分析】（1）利用中位数的概念可得出中位数，利用占比公式即可得出所占百分比；
（2）利用样本频数估计总体频数公式求解即可．
（1）解：该“满意”组数据中共有8个数据，按照从小到大的顺序排列后，中位数取第4位和第5位的平均数，
∴中位数为，
根据题意得，“满意”组的所占百分比为，
∴“非常满意”组所占的百分比为，
∴，
故答案为：①88，②；
（2）解：“非常满意”的用户总人数为：
（人），
所以，用样本估计总体，对“”非常满意的用户人数约为48人．
21．如图，点P是平分线上的一点，点M是射线上的一点（异于点B），连结MP，
在射线B上用尺规作图的方法找一点N，使．下面有两种作图方法．
方法1：以B为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则．
方法2：以P为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则．
（1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；
（2）直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确．
【答案】（1）解：方法一正确，画图如图所示
证明：∵平分，
∴，
在和中
∵，
∴.
（2）或
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）解：当或时，两种方法都正确，理由如下：
当时，
则，
∴的长即为点P到的距离；
按照方法2作图，的长即为点P到的距离，，
射线上有且只有一个点N符合，则；
当时，，
此时按照方法2作图，，
射线上有且只有一个点N符合，
则．
【分析】（1）方法一正确，根据即可证明全等；
（2）当以P为圆心，为半径作弧，与射线的交点N只有一个，即当或时，两种方法都正确.
（1）解：方法一正确，
画图如图所示
证明：由作图可得，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：当或时，两种方法都正确．
理由：当时，
，的长即为点P到的距离，
按照方法2作图，的长即为点P到的距离，，
射线上有且只有一个点N符合，则；
当时，，
此时按照方法2作图，，
射线上有且只有一个点N符合，
则．
22．为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量y（单位：）与充电时间x（单位；h）的函数图象如图所示，其中折线表示用快速充电桩充电时与x的函数关系；线段表示用普通充电桩充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需______小时．
（2）求关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
（3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时，求a的值．
【答案】（1）
（2）解：设函数解析式为，
∵，在函数解析式为上，
∴，
∴，
∴函数解析式为.
（3）解：∵普通充电桩充电1小时达不到，
∴普通充电桩充电a小时后只能电量小于，
段充电速度，
由题意得，
解得．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：电池电量从充到需要小时.
故答案为：.
【分析】（1）根据函数图象即可求出答案；
（2）设函数解析式为，将，代入即可；
（3）由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于，求得段充电速度，根据先后充电总共用时，可得关于a的方程，解方程即可．
（1）解：由图象可知，用快速充电桩充电时，电池电量从充到需要小时，
故答案为：；
（2）解：设函数解析式为，将，代入解析式，
得，
解得，
因此函数解析式为；
（3）解：方法1：由题意得分段函数向右平移，使C点至，即B点至，平移后的段与变于F点，
的解析式为，
的函数解析式为，
的函数解析式为，
令，
解得；
方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于，
段充电速度，
由题意得，
解得．
23．已知抛物线（b，c为常数），经过点，．
（1）①求b，c的关系式；
②求的最大值；
（2）已知点，是抛物线上的两点，且对于任意的实数t，不等式恒成立．若时，求t的取值范围．
【答案】（1）解：①∵ 抛物线（b，c为常数），经过点，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵ 抛物线（b，c为常数），经过，
∴，
∴，
∴的最大值为9.
（2）解：∵，
∴开口向上，
∵对于任何的t，恒成立，
∴点必为抛物线的最低点，
∴点为抛物线的顶点，
∴对称轴为直线，
∴当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大
∵，点，是抛物线上的两点，
∴
∴，
∴．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①将代入中即可；
②把代入，故，则，即可作答．
（2）先得出抛物线上的开口向上，因为对于任何的t，恒成立，所以得点为抛物线的顶点，对称轴为直线，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
（1）解：①依题意，把代入，
得，
∴，
②由（1）得：，
∴，
把代入，
得
∴，
∴的最大值为9
（2）解：∵抛物线上的，
∴开口向上，
∵对于任何的t，恒成立，
故点必为抛物线的最低点，即点为抛物线的顶点，
∴对称轴为直线，
∴当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大
∵，点，是抛物线上的两点，
∴
∴，
∴．
24．如图，，，．过点的直线与以为直径的相交于点，（点在直径上方），与直径交于点．连接．
（1）如图，若，点与圆心重合，求的长；
（2）如图，已知平分．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】（1）解：∵，，
∵，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）① 证明：在上取点，使，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在△ABD和△BCG中，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
②解：连接，
∵平分，
∴点到和的距离相等，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（）根据已知条件先求出BO的长度，在利用勾股定理求出即可求解；
（）①在上取点，使，根据SAS证明，则，进而得，即可得，即可求证；
②连接，由角平分线的性质可得，即得，设，则，可得，，由可得，即得，，在中，利用勾股定理可得，得到，即可得，，再由求出即可求解．
（1）解：∵，为直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）① 证明：在上取点，使，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
②解：连接，
∵平分，
∴点到和的距离相等，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
1 / 1浙江省台州市温岭市2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C．0 D．6
2．三个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．航空母舰是现代海军不可或缺的利器，也是一个国家综合国力的象征，我国第四艘航空母舰即将下水，满载排水量约为110000吨．将数据110000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体．
B．篮球运动员投篮一次，投中篮框．
C．过一点能作出一条直线与已知直线平行．
D．将实心铁球放入水中，铁球下沉．
6．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形的面积为（　　）
A．5 B． C．10 D．13
9．点，，在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，四边形，，，连结对角线，若要求出四边形的面积，只需要知道（　　）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： 　 　．
12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
13．一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　．
14．如图，，，点O在上，以点O为圆心为半径的与相切于点D，连结，若，则的度数为　 　．
15．如图，在中，为边上的中线，，E为上任意一点，，若最小值为2时，则的长为　 　．
16．在矩形中，E为的中点，将沿着翻折，得到，连接并延长与相交于点F，与相交于点H．若点F恰好为的中点，则的值为　 　．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．计算：．
18．解方程组
19．综合与实践
聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习，查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率，表示入射角，表示折射角．
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度，一束光线从A点按固定方向投射到底部的B点形成光斑，测得．
第二步：向水槽注入H液体，液体高度时，此时光斑因光线折射向左移动至点D，测得．（其中O为入射点，直线为法线，为入射光线，为折射光线）
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求H液体的折射率n．
20．随着科技发展，的诞生为我们的生活带来很多的便利，相关人员对“”软件开展了使用满意度测评，并从中抽取20份数据并进行整理、描述和分析，评分用表示，分为以下四个等级：不满意（），比较满意（），满意（），非常满意（），下面给出20份数据的扇形统计图和“满意”等级的具体数据：86，88，87，89，86，88，89，90．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：①“满意”评分的数据中，中位数为______，②______；
（2）本次调查中，有240名用户对软件进行了评分，估计其中对“”非常满意的用户总人数．
21．如图，点P是平分线上的一点，点M是射线上的一点（异于点B），连结MP，
在射线B上用尺规作图的方法找一点N，使．下面有两种作图方法．
方法1：以B为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则．
方法2：以P为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则．
（1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；
（2）直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确．
22．为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量y（单位：）与充电时间x（单位；h）的函数图象如图所示，其中折线表示用快速充电桩充电时与x的函数关系；线段表示用普通充电桩充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需______小时．
（2）求关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
（3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时，求a的值．
23．已知抛物线（b，c为常数），经过点，．
（1）①求b，c的关系式；
②求的最大值；
（2）已知点，是抛物线上的两点，且对于任意的实数t，不等式恒成立．若时，求t的取值范围．
24．如图，，，．过点的直线与以为直径的相交于点，（点在直径上方），与直径交于点．连接．
（1）如图，若，点与圆心重合，求的长；
（2）如图，已知平分．
①求证：；
②若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-7<-6<-5<0<6，
∴ 比小的数是-7，
故答案为：A.
【分析】根据正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小绝对值大的反而小解题即可.
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的俯视图共有层，第一层有个正方形，第二层有个正方形，如图：
，
故答案为：C．
【分析】根据从上面看到的几何图形判断解题即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故选：B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，先确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意.
故选：B．
【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等运算法则逐项进行判断即可．
5．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体，是随机事件，不符合题意；
B、篮球运动员投篮一次，投中篮框，是随机事件，不符合题意；
C、过一点能作出一条直线与已知直线平行，是随机事件，不符合题意；
D、将实心铁球放入水中，铁球下沉，是必然事件，符合题意；
故答案为：D.
【分析】必然事件是在一定条件下必然会发生的事件.
6．【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由旋转可得：，
于点，
，
，
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质得∠BAD=55°，由垂直定义得∠AFB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余可求出∠B的度数.
7．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一批面粉采购量为x千克，由题意得，
故答案为：A
【分析】设第一批面粉采购量为x千克，根据“，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元”即可列出分式方程，进而即可求解。
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设直角三角形较短直角边为，较长直角边为，
则，
∴（a+b）2=52，
∴①，
∴，
∵EF2+EH2=FH2，，
∴，
∴，
∴②，
得，
∴，
∴正方形的面积为.
故选：D．
【分析】设直角三角形较短直角边为，较长直角边为，由题意得，求得①，由，求得②，两式相加即可得出答案．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
A.若，当、，则，故本选项不符合题意；
B.若，当、，则，故本选项不符合题意；
C.若，当、，则，得到，故本选项不符合题意；
D.若，，，，故本选项符合题意.
故选：D．
【分析】由-8<0可得反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，再根据、、之间的大小关系判断、、的大小关系．
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：延长到点E，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴要求出四边形的面积，只需要知道的长.
故选：A．
【分析】延长到点E，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，与的面积相等，则可得出答案．
11．【答案】3x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 提取公因式 得：
故答案为：3x（x-2）．
【分析】提取公因式即可得．
12．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由已知可得，
∴.
故答案为：4．
【分析】根据有两个相等的实数根，得到，代入解方程即可．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，
∴球的总数是2+5=7(个)，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率，
故答案为：.
【分析】根据概率公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： 连接，
∵与相切，
∴，
在和中，
∵，
∴（HL），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，根据切线的性质可得，根据HL可证明，从而得到，进而得到得出答案．
15．【答案】4
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知，当时，的值最小，已知最小值为2，
，
，
，
．
为边上的中点，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°，
．
，
，
又，
．
故答案为：4．
【分析】利用垂线段最短的性质确定取最小值时的位置，根据已知条件推出三角形的角度关系，进而得出是等边三角形及∠ACB=90°，进而得出答案．
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长和相交于点N，连接和，
则，，
∵点F恰好为的中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
在中，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：．
【分析】延长和相交于点N，连接和，则，，结合矩形的性质得，进而可得，再根据AAS证明，有，进一步得，根据等腰三角形的性质证明，则判定，即可得到，有，结合平行线的性质得到即可．
17．【答案】解：原式
．

【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再进行加减计算．
18．【答案】解：，
得，③，
得，，解得，，
把代入②得，
∴ 方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，即可求得.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵∠AEO=90°，
∴AO2=AE2+EO2，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由可得，由相似三角形的性质得出，再代入，进而得出答案；
（2）根据平行线的性质可得，再由勾股定理可得，得出，再根据矩形的性质可得，，求出，由勾股定理可得，最后根据正弦值即可得出答案．
（1）解：由题意得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
（2）解：由题意得：，
∴
在中，，
∴，
∵矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
20．【答案】（1）①88，②
（2）解：（人），
答：对“”非常满意的用户人数约为48人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：该“满意”组数据的中位数为，
“满意”组的所占百分比为，
∴“非常满意”组所占的百分比为，
∴.
故答案为：①88，②.
【分析】（1）利用中位数的概念可得出中位数，利用占比公式即可得出所占百分比；
（2）利用样本频数估计总体频数公式求解即可．
（1）解：该“满意”组数据中共有8个数据，按照从小到大的顺序排列后，中位数取第4位和第5位的平均数，
∴中位数为，
根据题意得，“满意”组的所占百分比为，
∴“非常满意”组所占的百分比为，
∴，
故答案为：①88，②；
（2）解：“非常满意”的用户总人数为：
（人），
所以，用样本估计总体，对“”非常满意的用户人数约为48人．
21．【答案】（1）解：方法一正确，画图如图所示
证明：∵平分，
∴，
在和中
∵，
∴.
（2）或
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）解：当或时，两种方法都正确，理由如下：
当时，
则，
∴的长即为点P到的距离；
按照方法2作图，的长即为点P到的距离，，
射线上有且只有一个点N符合，则；
当时，，
此时按照方法2作图，，
射线上有且只有一个点N符合，
则．
【分析】（1）方法一正确，根据即可证明全等；
（2）当以P为圆心，为半径作弧，与射线的交点N只有一个，即当或时，两种方法都正确.
（1）解：方法一正确，
画图如图所示
证明：由作图可得，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：当或时，两种方法都正确．
理由：当时，
，的长即为点P到的距离，
按照方法2作图，的长即为点P到的距离，，
射线上有且只有一个点N符合，则；
当时，，
此时按照方法2作图，，
射线上有且只有一个点N符合，
则．
22．【答案】（1）
（2）解：设函数解析式为，
∵，在函数解析式为上，
∴，
∴，
∴函数解析式为.
（3）解：∵普通充电桩充电1小时达不到，
∴普通充电桩充电a小时后只能电量小于，
段充电速度，
由题意得，
解得．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：电池电量从充到需要小时.
故答案为：.
【分析】（1）根据函数图象即可求出答案；
（2）设函数解析式为，将，代入即可；
（3）由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于，求得段充电速度，根据先后充电总共用时，可得关于a的方程，解方程即可．
（1）解：由图象可知，用快速充电桩充电时，电池电量从充到需要小时，
故答案为：；
（2）解：设函数解析式为，将，代入解析式，
得，
解得，
因此函数解析式为；
（3）解：方法1：由题意得分段函数向右平移，使C点至，即B点至，平移后的段与变于F点，
的解析式为，
的函数解析式为，
的函数解析式为，
令，
解得；
方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于，
段充电速度，
由题意得，
解得．
23．【答案】（1）解：①∵ 抛物线（b，c为常数），经过点，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵ 抛物线（b，c为常数），经过，
∴，
∴，
∴的最大值为9.
（2）解：∵，
∴开口向上，
∵对于任何的t，恒成立，
∴点必为抛物线的最低点，
∴点为抛物线的顶点，
∴对称轴为直线，
∴当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大
∵，点，是抛物线上的两点，
∴
∴，
∴．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①将代入中即可；
②把代入，故，则，即可作答．
（2）先得出抛物线上的开口向上，因为对于任何的t，恒成立，所以得点为抛物线的顶点，对称轴为直线，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
（1）解：①依题意，把代入，
得，
∴，
②由（1）得：，
∴，
把代入，
得
∴，
∴的最大值为9
（2）解：∵抛物线上的，
∴开口向上，
∵对于任何的t，恒成立，
故点必为抛物线的最低点，即点为抛物线的顶点，
∴对称轴为直线，
∴当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大
∵，点，是抛物线上的两点，
∴
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：∵，，
∵，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）① 证明：在上取点，使，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在△ABD和△BCG中，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
②解：连接，
∵平分，
∴点到和的距离相等，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（）根据已知条件先求出BO的长度，在利用勾股定理求出即可求解；
（）①在上取点，使，根据SAS证明，则，进而得，即可得，即可求证；
②连接，由角平分线的性质可得，即得，设，则，可得，，由可得，即得，，在中，利用勾股定理可得，得到，即可得，，再由求出即可求解．
（1）解：∵，为直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）① 证明：在上取点，使，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
②解：连接，
∵平分，
∴点到和的距离相等，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
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