资源简介

浙江省绍兴市上虞区2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分）
1．海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（　　）
A． B．
C． D．
2．由4个相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．据报道，2025年新一代量子计算机在极端环境下能够实现每秒140000000亿次运算.其中数140000000用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两.问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在平行四边形中，点在对角线上，若，，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，则（　　）
A． B． C． D．
9．若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，于点，过点作于点，连结．记的长为，的长为，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：　 　．
12．若分式的值为1，则字母x的取值为　 　.
13．如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点，，，其中，两点分别与钟面两个时刻的刻度点重合，连结，，则　 　．
14．王老师从小丽、小慧、小聪和小颖四人中任选两人利用午休时间去学校各班进行礼仪巡查，则选中的两人中恰好有小丽参加的概率是　 　．
15．如图，在平行四边形中，点，是边的三等分点，连结，，交于点，交延长线于点．若，则　 　
16．如图，在矩形中，已知，点是对角线上一动点，边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结，．当点落在边上时，的值为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解方程组：．
19．如图，在中，，点在边上，且，连结．
（1）求的长．
（2）求的值．
20．为了解九年级学生每周利用进行搜索、答疑、写作等科技赋能学习的情况，学校“智能探究小组”成员随机调查了该校名九年级学生一周内的使用次数，根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：______；______．
（2）补全条形统计图，并求所调查的这批学生每周利用进行赋能学习次数的中位数．
（3）若该校共有九年级学生900名，请你根据样本数据，估计该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数．
21．已知平行四边形，在边上画点，使于点．
甲、乙两位同学的作图方法如下．
甲：如图1，以点为圆心，长为半径画弧交边于，两点，再分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则点为符合要求的点．
乙：如图2，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交边于点，再以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连结，则点为符合要求的点．
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由．
22．小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程（米）与各自的步行时间（分）之间的函数图象如图所示．
（1）求和的值；
（2）求和的值；
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式．
23．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）若，当时，求二次函数的最小值（用含有的代数式表示）．
（3）当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求的值．
24．如图1，已知点在的边上，连结，是的外接圆，切于点．
【探究发现】小敏通过探究发现：如图2中，过点作的直径，连结，根据已知条件，可以证明．请你根据小敏的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】当，时．
①求的值；
②求面积的最大值，并求出此时的半径．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴最低的是吐鲁番盆地，
故答案为：A．
【分析】根据正数大于负数比较出四个地点的海拔高度大小即可得到答案．
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：的主视图是，
故答案为：D．
【分析】主视图是从几何体正面看到的平面图形，该小正方体搭成的几何体的主视图有两行三列，从上到下各行小正方形的个数依次为1，3；从左至右各列小正方形的个数依次为1，1，2，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：140000000=1.4×108，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
、，原计算正确，故该选项符合题意；
、，原计算错误，故该选项不符合题意；
、，原计算错误，故该选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设1头牛x两银子，1只羊y两银子，
由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】设1头牛x两银子，1只羊y两银子，根据5头牛、2只羊共19两银子可得5x+2y=19；根据2头牛、3只羊共12两银子可得2x+3y=12，联立可得方程组.
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①式得：，
解②式得：，
则不等式的解集为：，
在数轴上表示如下：
故答案为：C.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
又∵，
∴AE=BE=BC
∴，，
设的度数为，则，
∵∠EAB+∠ABC+∠BCA=180°，
∴x+2x+105=180，
∴x=25
∴∠ACB=2x=50°.
故答案为：B．
【分析】据平行四边形的对边相等，对角相等得到，则可推出AE=BE=BC，由等边对等角可得，，设∠EAB的度数为x，由三角形外角性质得然后根据三角形内角和定理建立方程求出x的值，从而即可求出∠ACB的度数.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：根据题意得，，，
，
，
，
设，则
，
，
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到，，推出，由着呢姑且函数的定义结合∠GBC的正切函数值，可得BG=2CG，设，则，用勾股定理表示出BC，进而根据正方形面积公式分别表示出两个正方形的面积即可求出两正方形面积的比值.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象在第一，第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵
∴，
∴点在第三象限，点，在第一象限，
∴，，
∴，
故答案为：B.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，函数图象两支分布在在第一，第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，函数图象两支分布在在第二，第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此结合题意，首先结合n的取值范围，判断出A、B、C三点横坐标的正负及大小，进而判断出A、B、C三点所在的象限，然后根据反比例函数的增减性即可判断出y1、y2、y3的大小.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作于点F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
∵，
∴，，
即，化解得，
故答案为：D．
【分析】过点A作于点F，由等腰三角形的三线合一得出CF=BF=BC；由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠CDE=∠B，从而由有两组角相等的两个三角形相似可证明，由相似三角形对应边成比例可得；设，则，；在Rt△ACF与Rt△AFE中，分别利用勾股定理表示出AF2，从而即可建立方程，化简整理即可得出结论.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】所给二项式的每一项都能写成一个整式的完全平方，且符号相反，故利用平方差公式直接分解即可.
12．【答案】2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
去分母得：x+2=4，
解得：x=2，
经检验，x=2是分式方程的解，
故答案为：2.
【分析】由题意易得 ，解方程后并检验即可.
13．【答案】45
【知识点】圆周角定理；钟面角
【解析】【解答】解：∵所对的圆心角为，
∴，
故答案为：45.
【分析】首先根据圆形钟面被等分成了12等份，则每一等份为30°，根据圆心角、弧、弦的关系即可得出所对的圆心角为 ，进而根据同弧弧所对的圆周角为圆心角的一半即可得出∠ACB的度数.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：小丽、小慧、小聪和小颖分别用表示，用列表法把所有等可能结果表示如下，
共有12种等可能结果，其中选中的两人中恰好有小丽的结果共有6种，
∴选中的两人中恰好有小丽参加的概率是，
故答案为： ．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能结果，由表可知共有12种等可能结果，其中选中的两人中恰好有小丽（A）的结果共有6种，从而运用概率公式计算即可．
15．【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点，是边的三等分点，
∴，
∴，
过点G和点A作交于点N和点M，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
故答案为：10．
【分析】根据平行四边形对边平行且相等得，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABG∽△FEG，由相似三角形对应边成比例，结合等分点可得和；过点G和点A作交于点N和点M，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出AM∥GN， 由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例，结合得；然后根据三角形面积解析公式结合已知求得； 由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似证明，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：当点落在边上时，如图，连结，，，，过点作于点，作于点，
∵边绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，， ∠AENM=∠BEN=90°，，
∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
设，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴△AHE∽△ABC
∴，
∴，解得：，
∴，
又，
∴，解得：，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】 当点M落在边BC上时，如图，连结AM，BE，ME，NE，过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AB于点H， 由旋转的性质得AE=ME，BE=NE，AB=MN，∠AENM=∠BEN=90°，则△BEN与△AEM都是等腰直角三角形；由等腰直角三角形的性质得EG=BG=BN；由三个角为直角的四边形是矩形及一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形BGEH是正方形；设BE=x，利用等腰直角三角形的性质用x表示出BN；由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得 △AHE∽△ABC ，由相似三角形对应边成比例用x表示出AH、BC，接着利用勾股定理用x表示出EM、AM、BM，再利用线段差求得MC，即可求出两条线段的比值.
17．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据负整数指数幂法则“”、立方根定义及绝对值性质分别化简，再计算有理数加减法运算得出答案.
18．【答案】解：，
由①+②得：，
，
将代入②得：，
原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由于组成方程组的两个方程中未知数x的系数互为相反数，故直接将两个方程相加消去未知数x求出y的值，然后将y的值代入②方程求出x的值，即可得到原方程组的解.
19．【答案】（1）解：过点作于点，如图．
，
，
又，
，．
在中，，
在中，
（2）解：过点作于点，如图．
由已知可得：，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；求正弦值；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据已知易得BC=12，再利用等腰三角形的三线合一可得BH=6，由线段和差得出DH=2，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理求出AH的长，再在Rt△ADH中，利用勾股定理求出AD的长即可；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，先根据同高三角形的面积关系就是对应底的关系求出S△ABD=S△ABC=16，再根据三角形面积公式求出DE的长，最后在Rt△ADE中，利用正弦函数定义进行计算即可．
（1）解：过点作于点，如图．
，
，
又，
，．
在中，，
在中，．
（2）解：过点作于点，如图．
由已知可得：，
，
，
，
．
．
20．【答案】（1）60；20
（2）解：由（1）可得使用次数为7次的人数为60×20％=12人，
补全统计图如下：
按照从低到高的顺序把这60名学生使用的次数排列，中位数为第30名和第31名使用次数的平均数，
∵，
∴第30名和第31名使用次数分别为6次，6次，
∴中位数为次
（3）解：解：名，
∴估计该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数为255名
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：名，
∴一共调查了60名学生，即，
∴，即；
故答案为：60；20；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用5次及以下的人数除以其占比即可求出参与调查的总人数m，利用一周内的使用次数 为7次的人数除以本次调查的总人数即可求出n的值；
（2）用本次调查的总人数乘以一周内的使用次数 为7次的人数的占比即可求出一周内使用7次的人数，进而补全统计图；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此 所调查的这批学生每周利用进行赋能学习次数的中位数；
（3）用该校九年级学生的总人数乘以样本中该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数占比即可估计该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数.
（1）解：名，
∴一共调查了60名学生，即，
∴，即；
（2）解：由（1）可得使用次数为7次的人数为人，
补全统计图如下：
按照从低到高的顺序把这60名学生使用的次数排列，中位数为第30名和第31名使用次数的平均数，
∵，
∴第30名和第31名使用次数分别为6次，6次，
∴中位数为次；
（3）解：名，
∴估计该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数为255名．
21．【答案】解：甲、乙两位同学的作法都正确．
甲同学作法正确的理由如下．
连结，，，如图甲．
，，．
．
．
又，
．即点为符合要求的点．
乙同学作法正确的理由如下．
连结，，，如图乙．
，
为的垂直平分线，
为边的中点．
由作法知：为的直径，
．
．即点为符合要求的点
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【分析】 甲同学作法正确的理由如下：连接CE、EF、DF，由作图过程可得CD=CE，EF=FD，用“SSS”判断出△CEF≌△CDF，由全等三角形的对应角相等得∠ECF=∠DCF，再根据等腰三角形的三线合一得出CF⊥DE；乙同学作法正确的理由如下：连接CE、EF、DF，由作图过程可得EF是线段CD的垂直平分线，故CO=DO，由点与圆的位置关系可得点M在以CD为直径，点O为圆心的圆上，从而根据直径所对的圆周角等于90°得出CM⊥DA.
22．【答案】（1）解：由题意知：．
小明的步行速度为米/分．
∴m=80×（40-15）=2000
（2）解：由题意知：小明爸爸回家的步行速度为米/分．
设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟，
则有，
．
，
（3）解：小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，
设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为，
将，代入，
有，
解得：，
（）
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）小明爸爸从家出发15分钟后打电话， 小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计） 可得a=15；夏明从家到报亭的路程为1200米，用时30-15=15分（爸爸在t=30f分钟时，看报10分钟，小明眼镜送到），根据路程、速度、时间三者的关系可算出小明的速度；小明在t=30时到达报亭，之后继续步行10分钟到达文具店，故小明从家到文具店共用时40-15=25分钟，进而再根据路程等于速度乘以时间求出小明家到文具店的路程m的值；
（2）小明爸爸从报亭返回家的路程为1200米，用时40分钟，根据路程、速度、时间三者的关系求出小明爸爸回家的步行速度；设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟，根据追及问题等量关系小明所走的路程-爸爸所走的路程等于文具店到报亭的距离建立方程，求解得出t的值，进而根据b=40+t及n=1200-30t列式计算即可；
（3）设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为，将 将，代入 代入可得关于字母k、c的方程组，求解得出k、c的值，从而就看得到所求函数关系式.
（1）解：由题意知：．
小明的步行速度为米/分．
，．
．
（2）解：由题意知：小明爸爸回家的步行速度为米/分．
设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟，
则有，
．
，．
（3）解：小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为，
将，代入，
有，
解得：，
（）．
23．【答案】（1）解：的图象对称轴是直线，且A(-1，0)
∴点B（3，0）
此二次函数的表达式为
（2）解：∵的图象对称轴是直线，
若，当时，，
∴的最小值在时取到，
∴，
（3）解：当时，
，
，，
二次函数的最大值比最小值大2，
，
；
当时，
，
，，
二次函数的最大值比最小值大2，
，
；
当时，
，
，
，
若，
解得，不符合；
若，
解得，不符合．
或
【知识点】二次函数的最值；利用交点式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性可得点B(3，0)，然后利用抛物线交点式求抛物线解析式即可；
（2）对称二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的对称轴直线为x=，当a＞0时，函数图象开口向上，抛物线上的点离对称轴直线距离越大，其函数值就越大，当a＜0时，函数图象开口向下，抛物线上的点离对称轴直线距离越大，其函数值就越小，据此结合题意求解即可；
（3）根据二次函数的增减性，分类t＜0、t＞1及0≤t≤1三种情况分别求出最大及最小值，由 最大值比最小值大2 建立方程，求解即可.
（1）解：的图象对称轴是直线，
，，
在其图象上，
，，
此二次函数的表达式为．
（2）解：∵的图象对称轴是直线，
若，当时，，
∴的最小值在时取到，
∴，
．
（3）解：当时，
，
，，
二次函数的最大值比最小值大2，
，
；
当时，
，
，，
二次函数的最大值比最小值大2，
，
；
当时，
，
，
，
若，
解得，不符合；
若，
解得，不符合．
或．
24．【答案】解：[探究发现]过点作的直径，连结，如图，
，
，
又切于点，
，即，
，
又，
．
[拓展迁移]
①知，
又，
，
，
设，
，，
，
，
解得，（舍去），
，
．
②由上述计算得到，
∴，
如图，作于，
则，
当且仅当与重合时，面积取得最大值为，
此时，，且，，
，
，
由于，
，
又，，
，即，
，
是直径，
此时的半径为
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】[探究发现]过点A作的直径AE，连结ED，根据直径所对圆周角为直角得，由圆的切线垂直经过切点的半径得，由角的构成、直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等推出∠CAD=∠E，根据同弧所对的圆周角相等得出∠E=∠B，从而即可得出结论；
[拓展迁移]①由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形对应边成比例建立方程可求解；
②如图，作于，则，当且仅当AH与AC重合时，△ABC面积取得最大值为，由勾股定理算出AB，由等角同名是哪家函数值相等，根据，结合正弦函数的定义建立方程可求出AE，从而即可得出答案.
1 / 1浙江省绍兴市上虞区2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分）
1．海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴最低的是吐鲁番盆地，
故答案为：A．
【分析】根据正数大于负数比较出四个地点的海拔高度大小即可得到答案．
2．由4个相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：的主视图是，
故答案为：D．
【分析】主视图是从几何体正面看到的平面图形，该小正方体搭成的几何体的主视图有两行三列，从上到下各行小正方形的个数依次为1，3；从左至右各列小正方形的个数依次为1，1，2，据此逐一判断得出答案.
3．据报道，2025年新一代量子计算机在极端环境下能够实现每秒140000000亿次运算.其中数140000000用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：140000000=1.4×108，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
、，原计算正确，故该选项符合题意；
、，原计算错误，故该选项不符合题意；
、，原计算错误，故该选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
5．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两.问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设1头牛x两银子，1只羊y两银子，
由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】设1头牛x两银子，1只羊y两银子，根据5头牛、2只羊共19两银子可得5x+2y=19；根据2头牛、3只羊共12两银子可得2x+3y=12，联立可得方程组.
6．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①式得：，
解②式得：，
则不等式的解集为：，
在数轴上表示如下：
故答案为：C.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
7．如图，在平行四边形中，点在对角线上，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
又∵，
∴AE=BE=BC
∴，，
设的度数为，则，
∵∠EAB+∠ABC+∠BCA=180°，
∴x+2x+105=180，
∴x=25
∴∠ACB=2x=50°.
故答案为：B．
【分析】据平行四边形的对边相等，对角相等得到，则可推出AE=BE=BC，由等边对等角可得，，设∠EAB的度数为x，由三角形外角性质得然后根据三角形内角和定理建立方程求出x的值，从而即可求出∠ACB的度数.
8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：根据题意得，，，
，
，
，
设，则
，
，
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到，，推出，由着呢姑且函数的定义结合∠GBC的正切函数值，可得BG=2CG，设，则，用勾股定理表示出BC，进而根据正方形面积公式分别表示出两个正方形的面积即可求出两正方形面积的比值.
9．若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象在第一，第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵
∴，
∴点在第三象限，点，在第一象限，
∴，，
∴，
故答案为：B.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，函数图象两支分布在在第一，第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，函数图象两支分布在在第二，第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此结合题意，首先结合n的取值范围，判断出A、B、C三点横坐标的正负及大小，进而判断出A、B、C三点所在的象限，然后根据反比例函数的增减性即可判断出y1、y2、y3的大小.
10．如图，在中，，于点，过点作于点，连结．记的长为，的长为，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作于点F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
∵，
∴，，
即，化解得，
故答案为：D．
【分析】过点A作于点F，由等腰三角形的三线合一得出CF=BF=BC；由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠CDE=∠B，从而由有两组角相等的两个三角形相似可证明，由相似三角形对应边成比例可得；设，则，；在Rt△ACF与Rt△AFE中，分别利用勾股定理表示出AF2，从而即可建立方程，化简整理即可得出结论.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】所给二项式的每一项都能写成一个整式的完全平方，且符号相反，故利用平方差公式直接分解即可.
12．若分式的值为1，则字母x的取值为　 　.
【答案】2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
去分母得：x+2=4，
解得：x=2，
经检验，x=2是分式方程的解，
故答案为：2.
【分析】由题意易得 ，解方程后并检验即可.
13．如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点，，，其中，两点分别与钟面两个时刻的刻度点重合，连结，，则　 　．
【答案】45
【知识点】圆周角定理；钟面角
【解析】【解答】解：∵所对的圆心角为，
∴，
故答案为：45.
【分析】首先根据圆形钟面被等分成了12等份，则每一等份为30°，根据圆心角、弧、弦的关系即可得出所对的圆心角为 ，进而根据同弧弧所对的圆周角为圆心角的一半即可得出∠ACB的度数.
14．王老师从小丽、小慧、小聪和小颖四人中任选两人利用午休时间去学校各班进行礼仪巡查，则选中的两人中恰好有小丽参加的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：小丽、小慧、小聪和小颖分别用表示，用列表法把所有等可能结果表示如下，
共有12种等可能结果，其中选中的两人中恰好有小丽的结果共有6种，
∴选中的两人中恰好有小丽参加的概率是，
故答案为： ．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能结果，由表可知共有12种等可能结果，其中选中的两人中恰好有小丽（A）的结果共有6种，从而运用概率公式计算即可．
15．如图，在平行四边形中，点，是边的三等分点，连结，，交于点，交延长线于点．若，则　 　
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点，是边的三等分点，
∴，
∴，
过点G和点A作交于点N和点M，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
故答案为：10．
【分析】根据平行四边形对边平行且相等得，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABG∽△FEG，由相似三角形对应边成比例，结合等分点可得和；过点G和点A作交于点N和点M，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出AM∥GN， 由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例，结合得；然后根据三角形面积解析公式结合已知求得； 由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似证明，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可.
16．如图，在矩形中，已知，点是对角线上一动点，边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结，．当点落在边上时，的值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：当点落在边上时，如图，连结，，，，过点作于点，作于点，
∵边绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，， ∠AENM=∠BEN=90°，，
∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
设，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴△AHE∽△ABC
∴，
∴，解得：，
∴，
又，
∴，解得：，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】 当点M落在边BC上时，如图，连结AM，BE，ME，NE，过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AB于点H， 由旋转的性质得AE=ME，BE=NE，AB=MN，∠AENM=∠BEN=90°，则△BEN与△AEM都是等腰直角三角形；由等腰直角三角形的性质得EG=BG=BN；由三个角为直角的四边形是矩形及一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形BGEH是正方形；设BE=x，利用等腰直角三角形的性质用x表示出BN；由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得 △AHE∽△ABC ，由相似三角形对应边成比例用x表示出AH、BC，接着利用勾股定理用x表示出EM、AM、BM，再利用线段差求得MC，即可求出两条线段的比值.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据负整数指数幂法则“”、立方根定义及绝对值性质分别化简，再计算有理数加减法运算得出答案.
18．解方程组：．
【答案】解：，
由①+②得：，
，
将代入②得：，
原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由于组成方程组的两个方程中未知数x的系数互为相反数，故直接将两个方程相加消去未知数x求出y的值，然后将y的值代入②方程求出x的值，即可得到原方程组的解.
19．如图，在中，，点在边上，且，连结．
（1）求的长．
（2）求的值．
【答案】（1）解：过点作于点，如图．
，
，
又，
，．
在中，，
在中，
（2）解：过点作于点，如图．
由已知可得：，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；求正弦值；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据已知易得BC=12，再利用等腰三角形的三线合一可得BH=6，由线段和差得出DH=2，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理求出AH的长，再在Rt△ADH中，利用勾股定理求出AD的长即可；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，先根据同高三角形的面积关系就是对应底的关系求出S△ABD=S△ABC=16，再根据三角形面积公式求出DE的长，最后在Rt△ADE中，利用正弦函数定义进行计算即可．
（1）解：过点作于点，如图．
，
，
又，
，．
在中，，
在中，．
（2）解：过点作于点，如图．
由已知可得：，
，
，
，
．
．
20．为了解九年级学生每周利用进行搜索、答疑、写作等科技赋能学习的情况，学校“智能探究小组”成员随机调查了该校名九年级学生一周内的使用次数，根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：______；______．
（2）补全条形统计图，并求所调查的这批学生每周利用进行赋能学习次数的中位数．
（3）若该校共有九年级学生900名，请你根据样本数据，估计该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数．
【答案】（1）60；20
（2）解：由（1）可得使用次数为7次的人数为60×20％=12人，
补全统计图如下：
按照从低到高的顺序把这60名学生使用的次数排列，中位数为第30名和第31名使用次数的平均数，
∵，
∴第30名和第31名使用次数分别为6次，6次，
∴中位数为次
（3）解：解：名，
∴估计该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数为255名
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：名，
∴一共调查了60名学生，即，
∴，即；
故答案为：60；20；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用5次及以下的人数除以其占比即可求出参与调查的总人数m，利用一周内的使用次数 为7次的人数除以本次调查的总人数即可求出n的值；
（2）用本次调查的总人数乘以一周内的使用次数 为7次的人数的占比即可求出一周内使用7次的人数，进而补全统计图；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此 所调查的这批学生每周利用进行赋能学习次数的中位数；
（3）用该校九年级学生的总人数乘以样本中该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数占比即可估计该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数.
（1）解：名，
∴一共调查了60名学生，即，
∴，即；
（2）解：由（1）可得使用次数为7次的人数为人，
补全统计图如下：
按照从低到高的顺序把这60名学生使用的次数排列，中位数为第30名和第31名使用次数的平均数，
∵，
∴第30名和第31名使用次数分别为6次，6次，
∴中位数为次；
（3）解：名，
∴估计该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数为255名．
21．已知平行四边形，在边上画点，使于点．
甲、乙两位同学的作图方法如下．
甲：如图1，以点为圆心，长为半径画弧交边于，两点，再分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则点为符合要求的点．
乙：如图2，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交边于点，再以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连结，则点为符合要求的点．
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由．
【答案】解：甲、乙两位同学的作法都正确．
甲同学作法正确的理由如下．
连结，，，如图甲．
，，．
．
．
又，
．即点为符合要求的点．
乙同学作法正确的理由如下．
连结，，，如图乙．
，
为的垂直平分线，
为边的中点．
由作法知：为的直径，
．
．即点为符合要求的点
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【分析】 甲同学作法正确的理由如下：连接CE、EF、DF，由作图过程可得CD=CE，EF=FD，用“SSS”判断出△CEF≌△CDF，由全等三角形的对应角相等得∠ECF=∠DCF，再根据等腰三角形的三线合一得出CF⊥DE；乙同学作法正确的理由如下：连接CE、EF、DF，由作图过程可得EF是线段CD的垂直平分线，故CO=DO，由点与圆的位置关系可得点M在以CD为直径，点O为圆心的圆上，从而根据直径所对的圆周角等于90°得出CM⊥DA.
22．小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程（米）与各自的步行时间（分）之间的函数图象如图所示．
（1）求和的值；
（2）求和的值；
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式．
【答案】（1）解：由题意知：．
小明的步行速度为米/分．
∴m=80×（40-15）=2000
（2）解：由题意知：小明爸爸回家的步行速度为米/分．
设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟，
则有，
．
，
（3）解：小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，
设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为，
将，代入，
有，
解得：，
（）
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）小明爸爸从家出发15分钟后打电话， 小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计） 可得a=15；夏明从家到报亭的路程为1200米，用时30-15=15分（爸爸在t=30f分钟时，看报10分钟，小明眼镜送到），根据路程、速度、时间三者的关系可算出小明的速度；小明在t=30时到达报亭，之后继续步行10分钟到达文具店，故小明从家到文具店共用时40-15=25分钟，进而再根据路程等于速度乘以时间求出小明家到文具店的路程m的值；
（2）小明爸爸从报亭返回家的路程为1200米，用时40分钟，根据路程、速度、时间三者的关系求出小明爸爸回家的步行速度；设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟，根据追及问题等量关系小明所走的路程-爸爸所走的路程等于文具店到报亭的距离建立方程，求解得出t的值，进而根据b=40+t及n=1200-30t列式计算即可；
（3）设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为，将 将，代入 代入可得关于字母k、c的方程组，求解得出k、c的值，从而就看得到所求函数关系式.
（1）解：由题意知：．
小明的步行速度为米/分．
，．
．
（2）解：由题意知：小明爸爸回家的步行速度为米/分．
设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟，
则有，
．
，．
（3）解：小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为，
将，代入，
有，
解得：，
（）．
23．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）若，当时，求二次函数的最小值（用含有的代数式表示）．
（3）当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求的值．
【答案】（1）解：的图象对称轴是直线，且A(-1，0)
∴点B（3，0）
此二次函数的表达式为
（2）解：∵的图象对称轴是直线，
若，当时，，
∴的最小值在时取到，
∴，
（3）解：当时，
，
，，
二次函数的最大值比最小值大2，
，
；
当时，
，
，，
二次函数的最大值比最小值大2，
，
；
当时，
，
，
，
若，
解得，不符合；
若，
解得，不符合．
或
【知识点】二次函数的最值；利用交点式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性可得点B(3，0)，然后利用抛物线交点式求抛物线解析式即可；
（2）对称二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的对称轴直线为x=，当a＞0时，函数图象开口向上，抛物线上的点离对称轴直线距离越大，其函数值就越大，当a＜0时，函数图象开口向下，抛物线上的点离对称轴直线距离越大，其函数值就越小，据此结合题意求解即可；
（3）根据二次函数的增减性，分类t＜0、t＞1及0≤t≤1三种情况分别求出最大及最小值，由 最大值比最小值大2 建立方程，求解即可.
（1）解：的图象对称轴是直线，
，，
在其图象上，
，，
此二次函数的表达式为．
（2）解：∵的图象对称轴是直线，
若，当时，，
∴的最小值在时取到，
∴，
．
（3）解：当时，
，
，，
二次函数的最大值比最小值大2，
，
；
当时，
，
，，
二次函数的最大值比最小值大2，
，
；
当时，
，
，
，
若，
解得，不符合；
若，
解得，不符合．
或．
24．如图1，已知点在的边上，连结，是的外接圆，切于点．
【探究发现】小敏通过探究发现：如图2中，过点作的直径，连结，根据已知条件，可以证明．请你根据小敏的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】当，时．
①求的值；
②求面积的最大值，并求出此时的半径．
【答案】解：[探究发现]过点作的直径，连结，如图，
，
，
又切于点，
，即，
，
又，
．
[拓展迁移]
①知，
又，
，
，
设，
，，
，
，
解得，（舍去），
，
．
②由上述计算得到，
∴，
如图，作于，
则，
当且仅当与重合时，面积取得最大值为，
此时，，且，，
，
，
由于，
，
又，，
，即，
，
是直径，
此时的半径为
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】[探究发现]过点A作的直径AE，连结ED，根据直径所对圆周角为直角得，由圆的切线垂直经过切点的半径得，由角的构成、直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等推出∠CAD=∠E，根据同弧所对的圆周角相等得出∠E=∠B，从而即可得出结论；
[拓展迁移]①由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形对应边成比例建立方程可求解；
②如图，作于，则，当且仅当AH与AC重合时，△ABC面积取得最大值为，由勾股定理算出AB，由等角同名是哪家函数值相等，根据，结合正弦函数的定义建立方程可求出AE，从而即可得出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑