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浙江省金衢十二校九年级下学期联考2025年三模数学试卷
一、选择题：本题有10小题，每题3分，共30分．
1．2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100km，将数据22100用科学记数法表示时，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．体育中考某班6名同学1分钟跳绳成绩（单位：次）分别是178，150，193，181，166，180，这组数据的中位数是（　　）
A．178 B．179 C．181 D．180
6．如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（　　）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
7．对于实数a、b，规定一种运算“*”：，那么不等式组的解在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．已知点都在反比例函数上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
10．如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（　　）
A．的面积 B．的面积
C．四边形的面积 D．的面积
二、填空题：本题有6小题，每题3分，共18分．
11．因式分解： 　 　.
12．若分式的值为0，则x的值是　 　．
13．古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为　 　.
14．如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为　 　．
15．如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，线段与关于过点O的直线l对称，点的对应点在线段上，与交于点G，将沿折叠，点A与点重合，且平分，则　 　．
三、解答题∶本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
18．解方程组：
19．如图，在中，是边上的高线，的面积为6，．
（1）求的长；
（2）求的值．
20．某芯片制造厂为了提高产品优良率，对一批新生产的芯片进行抽样测试．测试工程师随机抽取了m片芯片，记录每片芯片的最高稳定运行频率（单位：），将数据整理并绘制成如图表．根据行业标准，运行频率的芯片被视为合格品，可用于高端计算设备；而运行频率的芯片需降级使用或返工．
运行频率的频数分布表
运行频率区间 频数（芯片片数）
7
a
b
（1）______，______；
（2）在扇形统计图中，运行频率为的扇形的圆心角度数是______；
（3）若该批次共生产了片芯片，估计整批芯片中合格品的数量．
21．小丽与小明，小颖同学一起研究一个利用尺规作一个角的问题：
如图1，已知在射线上，依次取点B，C，使．
小明：如图2，分别以A，C为圆心，长为半径画弧，交于点D，连结，，
则．
小丽：如图3，分别以A，B为圆心，长为半径画弧，交于点D，连结，
则．
小颖：如图4，分别以A，C为圆心，大于长为半径画弧，交于点D；以B为圆心，长为半径画弧交射线于点E；以E为圆心，长为半径画弧交弧于点F，连结，则．
（1）做法正确的同学有______．
（2）请选择你认为正确的一种做法给出证明．
证明：我选择证明图______(填序号)．
22．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小金、小衢两位员工每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行时间之间的对应关系如图所示，其中A种共享单车支付费用对应的函数为，B种共享单车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题：
（1）小金每天早上骑A种共享单车或B种共享单车去公司上班．已知两种共享单车的平均行驶速度均为，小金家到公司的距离为，那么小金选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）
（2）当时，求A、B两种共享单车的支付费用的函数表达式．
（3）一天，小金骑A种共享单车从家到公司上班，小衢骑B种共享单车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小金和小衢骑行的时间差．
23．已知二次函数（的实数）
（1）二次函数图象的对称轴是______．
（2）当时，
①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值．
②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围．
（3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围．
24．如图，为的直径，在线段上取一点P，过点P作（点A在直径上方），连结并延长交于点F，过点A作于点E，交直径于点G．
（1）求证：．
（2）设，．求β关于α的函数关系式．
（3）当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是：
故选：D．
【分析】根据从正面所看到的图形解答即可．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为( 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，但题目中给出的结果是，A错误。
B：，但题目中给出的结果是，B错误。
C：，与题目给出的结果一致，C正确。
D：，但题目中给出的结果是，D错误。
故选：C．
【分析】本题主要考查幂运算的相关知识，包括同底数幂的乘法与除法、幂的乘方以及合并同类项等运算规则。需要对每个选项逐一分析判断。
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：先将上述数据按照从小到大的顺序排列：150，166， 178， 180， 181， 193，
∴这组数据的中位数是
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义即可求解.
6．【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：如图所示，位似中心是点．
故答案为：D．
【分析】位似图形对应点的连线交点或对应点连线延长线交点就是位似中心，据此解答即可.
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；数形结合
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
故答案为：A．
【分析】由新心定义运算法则列出常规不等式组，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
8．【答案】D
【知识点】实数的大小比较；函数值；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当时，计算得；
当时，计算得；
当时，计算得。
比较三个函数值得出：。
故选：D．
【分析】本题考查反比例函数值的大小比较。根据函数的性质，通过计算各给定x值对应的函数值，并进行比较即可得出结果。
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：正方形，
，
正方形，
，，
M是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
由题意可知，，
，，，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得AB=BC=8，EH=EF，∠HGF=∠EFG=∠EHG=90°；由“AAS”证△DGM≌△EFM，由全等三角形的性质得DG=EF，∠GDM=∠FEM，DH=BF，DG=CF，∠DHA=∠BFC=90°，则EH=CF，由“SAS”证△DHE≌△BFC，由全等三角形的性质得DE=BC=8，∠HDE=∠FBC，由等量代换及对顶角相等推出∠FBC=∠BEN，由等角对等边得BN=NE，设BN=NE=x，则，，最后在Rt△CDN中利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，即可得出EN的长.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，∴，，∴，
∴，，
∵，∴，∴，
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，即可求的面积，
故选：B．
【分析】本题以平行线分线段成比例及相似三角形为背景，综合考查相似三角形的判定与性质、平行线的传递性以及等底等高三角形的面积关系。先由 DE BC、EFAB 证，得到对应角相等及边比例关系；结合 EG = 2DG、CH = 2HF 推出，从而AGD = EHF，进一步导出 AG EH；利用平行线间距离处处相等得，再由及，可得，因此已知△AGH 的面积可唯一确定 △ADG 的面积。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】依题意可得x-2=0，x+1≠0
∴x=2
故答案为：2．
【分析】根据 分式的值为0， 求出x-2=0，x+1≠0，再计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有6个数字，其中4有2个，
∴在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∴，∴
∵ 为 的直径，与 相切于点A，∴，∴
∴，∴。
故答案为： .
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质以及圆周角定理的应用。已知，根据等腰三角形的性质可得。由三角形内角和定理可知，。根据切线的性质，，因此。再依据圆周角定理，，故最终答案为。
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于点M，作于点N，连接．
∴，∴四边形为矩形．
∵D为的中点，，∴平分，∴，∴矩形为正方形．
∵，∴，，，．
∵，∴，即，
∴，∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】本题以等腰直角三角形与扇形组合为背景，综合考查等腰三角形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质以及不规则图形面积的割补法。过点 D 作 DM BC、DN AC，连接 CD，由等腰直角三角形斜边中线性质得 CD = AD = BD = 1，且 CD 平分∠ACB，可证四边形 DMCN 为正方形，边长 DN =。利用∠ EDF =∠NDM = 90° 推出 ∠MDG = ∠ NDH，结合 DM = DN 证 △ MDG△NDH，从而将阴影部分面积转化为正方形 DMCN 的面积。阴影面积等于扇形 DEF 面积减去正方形面积，即。
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，连接、、，过点作于点，设、、、、、，
线段与关于过点O的直线l对称，点的对应点在线段上，
直线l垂直平分，直线l垂直平分，，，
，，，，
四边形是菱形，，，，，
，点、、三点共线，
沿折叠，点A与点重合，，，垂直平分，
，
，，，，，
四边形是菱形，，
，，，，
平分，，
，，
，，
在中，，
，，，
设，在中，，
，，
，，，，
，，同理可得，，
，
，
，
，，
，．
故答案为：．
【分析】本题以菱形中的轴对称与折叠为背景，综合考查菱形的性质、对称变换的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质以及解直角三角形。连接 AB、AA'、DD'，过点 D 作 DH CG，先由对称性推出点 O、B、A 共线，再由折叠得四边形 AED'F 为菱形，进而推出 BC FD'；利用 D'F 平分 ∠ AD'A' 导出一系列相等的角，在 Rt△ OA'D' 中求得∠ 1 = 30°；设 CD = a，通过解直角三角形依次表示 DG、CG、AG、AD'、AC 等线段长度，最终求出 DE：CG = 1：3。
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及算术平方根的化简、绝对值的计算以及负整数指数幂的法则。解题时先分别求出=3、|1-6|=5、=2，再按从左到右的顺序进行加减运算得出结果。
18．【答案】解：
得
解得
将代入②得
原方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法，通过加减消元法进行计算求解。解题步骤：将给定的一元二次方程整理为标准形式，运用加减消元法进行运算，求出方程的解。注意事项： 确保方程各项系数正确， 消元过程中注意符号变化，最后需验证解的合理性。
19．【答案】（1）解：是边上的高线，，，
，，，，
的面积为6，，∴，
在中，，∴。
（2）解：在中，，∴，.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；求余弦值
【解析】【分析】本题综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数中余弦值的求法，解题时需要灵活运用这些知识点。
（1）首先证明AD=BD。已知△ABC的面积为6，且BC=2，根据三角形面积公式可得：，解得AD=BD=6。接着运用勾股定理即可求得所需边长。
（2）直接根据余弦的定义（邻边与斜边的比值）进行计算即可得到结果。
（1）解：是边上的高线，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，，
∴
，
在中，，
∴
（2）在中，，
∴，
20．【答案】（1），；
（2）；
（3）解：，（片），
答：估计整批芯片中合格品的数量约为片．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题可知：，，即，
故答案为：、；
（2）解：运行频率为的扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
【分析】本题考查频数分布表和扇形统计图的应用，解题的核心是理解频率的计算公式：频率=频数÷总数。
（1）计算样本容量时，用区间“”的频数除以其频率即可；而的值则是通过区间“”的频数除以样本容量得到。
（2）扇形统计图中某部分的圆心角度数，可通过将360°乘以该部分所占的百分比来确定。
（3）总体中合格品的数量估计，是用总数乘以样本中合格品频率得出的。
（1）解：，
，即，
故答案为：、；
（2）运行频率为的扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
（3），
（片），
答：估计整批芯片中合格品的数量约为片．
21．【答案】（1）小明、小丽、小颖；
（2）我选择证明图2，连结，
由作图可得，是等边三角形，，
，，，；
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；尺规作图-作一个角等于已知角；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：做法正确的同学有小明、小丽、小颖，
故答案为：小明、小丽、小颖；
【分析】本题以尺规作 30角为背景，综合考查等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及直角三角形的内角关系。
（1）通过分析各作图步骤是否符合几何原理，判断正确做法；
（2）以图2为例，由作图得 AD = CD = AC，证△ACD 为等边三角形得 A = 60，再由 AB = BC 结合等边三角形性质推出 BD AC，从而ABD = 90，在 Rt△ABD 中得 ADB = 30。
（1）解：做法正确的同学有小明、小丽、小颖，
故答案为：小明、小丽、小颖；
（2）①我选择证明图2，连结，
由作图可得，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
②我选择证明图3，连结，
由作图可得
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
③我选择证明图4，连结，
由作图可得，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：2（答案不唯一）．
22．【答案】（1）B
（2）解：当时，种共享单车每分钟的费用为（元，
种共享单车每分钟的费用为（元，
则，，
当时，种共享单车的支付费用的函数表达式为，
种共享单车的支付费用的函数表达式为．
（3）解：当时，得，解得，
当时，得，解得，
．
答：小金和小衢骑行的时间差为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：小金从家到公司所用时间为，
由图象可知，当时，，
小金选择电动车更省钱．
故答案为：．
【分析】本题主要考查一次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于理解时间、速度与路程的关系，并能够正确建立函数关系式。
(1) 计算小金从家到公司所需时间，根据时间=路程÷速度的公式，再结合函数图象比较和的大小关系。
(2) 分别求出A、B两种共享单车每分钟的使用费用，根据计算结果建立相应的费用函数关系式和。
(3) 当费用为7.6元时，分别求解和对应的骑行时间值，最后计算这两个时间值的差值。
（1）解：小金从家到公司所用时间为，
由图象可知，当时，，
小金选择电动车更省钱．
故答案为：．
（2）解：当时，种共享单车每分钟的费用为（元，
种共享单车每分钟的费用为（元，
则，，
当时，种共享单车的支付费用的函数表达式为，
种共享单车的支付费用的函数表达式为．
（3）解：当时，得，解得，
当时，得，解得，
．
答：小金和小衢骑行的时间差为．
23．【答案】（1）直线
（2）解：①当时，二次函数为，
∵点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，
∴，，∴，解得：，∴，∴，
∵点在抛物线上，∴，∴；
②∵点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，
∴抛物线的图象开口向上，，
∴顶点处有最小值：当时，，
顶点处有最大值：当时，，
当时，，
∴的取值范围是；

（3）解：当，时，需满足，则，
∵点，是二次函数图象上的两点，∴，
∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，当时，随值增大而减小，
∵，∴当时，有最小值是，∴，∴，即，
∴或，∴解得，
当时，则，解得：，
当时，则，解得：，
∴综上所述，的取值范围为．
【知识点】一元一次不等式组的应用；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（1）解：∵二次函数（的实数），
∴二次函数图象的对称轴是直线，
故答案为：直线；
【分析】本题以二次函数为背景，综合考查对称轴公式、点的平移与对称性、点到坐标轴距离的意义以及函数值的大小比较与分类讨论。
（1）直接利用对称轴公式 x = 求解；
（2）①由平移后 B、C 纵坐标相同且关于对称轴对称建立方程，求出 a 后代入求 n；
②根据“到 y 轴距离 ≤ 2”得 -2 ≤ x ≤ 2，结合抛物线开口方向与顶点坐标确定 y 的取值范围；
（3）将不等式 + 6 <转化为关于、 的二次不等式，利用抛物线的增减性分析、的区间端点对函数值的影响，分情况讨论后取交集得 t 的范围。
（1）解：∵二次函数（的实数），
∴二次函数图象的对称轴是直线，
故答案为：直线；
（2）①当时，二次函数为，
∵点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴；
②∵点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，
∴抛物线的图象开口向上，，
∴顶点处有最小值：当时，，
顶点处有最大值：当时，，
当时，，
∴的取值范围是；
（3）当，时，需满足，则，
∵点，是二次函数图象上的两点，
∴，
∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，当时，随值增大而减小，
又∵，
∴当时，有最小值是，
∴，
∴，即，
∴或，
∴解得，
当时，则，解得：，
当时，则，解得：，
∴综上所述，的取值范围为．
24．【答案】（1）证明：，，，
，，，．
，，，．
（2）解：由（1）知．
，，
，．．关于的函数关系式为；
（3）解：连接，如图所示，
，，，
，．
①当点在线段上，时，
，，，，
；
②当点在线段上，时，
，，，，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆的相关概念；垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题以圆的直径、垂线及角的关系为背景，综合考查圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余以及三角函数的定义与应用。
（1）通过垂直关系导角，证明AGP = ACG，从而 AC = AG，结合 APCG 得 CP = GP；
（2）由等腰三角形三线合一得FAE = 2，在 Rt△ FAE 中利用互余关系得 = 90 - 2；
（3）连接 OB，推导OBP =，利用 OG =OP 及线段关系求出 tantan的值，注意分点 G 在线段 OC 上或 OD 上两种情况讨论。
（1）证明：，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
（2）解：由（1）知．
，
，
，
．
．
关于的函数关系式为；
（3）连接，如图，
，
，
，
，
．
Ⅰ．当点在线段上，时，
，
，
，
，
；
II．当点在线段上，时，
，
，
，
，
1 / 1浙江省金衢十二校九年级下学期联考2025年三模数学试卷
一、选择题：本题有10小题，每题3分，共30分．
1．2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是：
故选：D．
【分析】根据从正面所看到的图形解答即可．
3．第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100km，将数据22100用科学记数法表示时，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为( 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，但题目中给出的结果是，A错误。
B：，但题目中给出的结果是，B错误。
C：，与题目给出的结果一致，C正确。
D：，但题目中给出的结果是，D错误。
故选：C．
【分析】本题主要考查幂运算的相关知识，包括同底数幂的乘法与除法、幂的乘方以及合并同类项等运算规则。需要对每个选项逐一分析判断。
5．体育中考某班6名同学1分钟跳绳成绩（单位：次）分别是178，150，193，181，166，180，这组数据的中位数是（　　）
A．178 B．179 C．181 D．180
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：先将上述数据按照从小到大的顺序排列：150，166， 178， 180， 181， 193，
∴这组数据的中位数是
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义即可求解.
6．如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（　　）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：如图所示，位似中心是点．
故答案为：D．
【分析】位似图形对应点的连线交点或对应点连线延长线交点就是位似中心，据此解答即可.
7．对于实数a、b，规定一种运算“*”：，那么不等式组的解在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；数形结合
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
故答案为：A．
【分析】由新心定义运算法则列出常规不等式组，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
8．已知点都在反比例函数上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较；函数值；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当时，计算得；
当时，计算得；
当时，计算得。
比较三个函数值得出：。
故选：D．
【分析】本题考查反比例函数值的大小比较。根据函数的性质，通过计算各给定x值对应的函数值，并进行比较即可得出结果。
9．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：正方形，
，
正方形，
，，
M是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
由题意可知，，
，，，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得AB=BC=8，EH=EF，∠HGF=∠EFG=∠EHG=90°；由“AAS”证△DGM≌△EFM，由全等三角形的性质得DG=EF，∠GDM=∠FEM，DH=BF，DG=CF，∠DHA=∠BFC=90°，则EH=CF，由“SAS”证△DHE≌△BFC，由全等三角形的性质得DE=BC=8，∠HDE=∠FBC，由等量代换及对顶角相等推出∠FBC=∠BEN，由等角对等边得BN=NE，设BN=NE=x，则，，最后在Rt△CDN中利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，即可得出EN的长.
10．如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（　　）
A．的面积 B．的面积
C．四边形的面积 D．的面积
【答案】B
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，∴，，∴，
∴，，
∵，∴，∴，
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，即可求的面积，
故选：B．
【分析】本题以平行线分线段成比例及相似三角形为背景，综合考查相似三角形的判定与性质、平行线的传递性以及等底等高三角形的面积关系。先由 DE BC、EFAB 证，得到对应角相等及边比例关系；结合 EG = 2DG、CH = 2HF 推出，从而AGD = EHF，进一步导出 AG EH；利用平行线间距离处处相等得，再由及，可得，因此已知△AGH 的面积可唯一确定 △ADG 的面积。
二、填空题：本题有6小题，每题3分，共18分．
11．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．若分式的值为0，则x的值是　 　．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】依题意可得x-2=0，x+1≠0
∴x=2
故答案为：2．
【分析】根据 分式的值为0， 求出x-2=0，x+1≠0，再计算求解即可。
13．古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有6个数字，其中4有2个，
∴在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式求解即可.
14．如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∴，∴
∵ 为 的直径，与 相切于点A，∴，∴
∴，∴。
故答案为： .
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质以及圆周角定理的应用。已知，根据等腰三角形的性质可得。由三角形内角和定理可知，。根据切线的性质，，因此。再依据圆周角定理，，故最终答案为。
15．如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于点M，作于点N，连接．
∴，∴四边形为矩形．
∵D为的中点，，∴平分，∴，∴矩形为正方形．
∵，∴，，，．
∵，∴，即，
∴，∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】本题以等腰直角三角形与扇形组合为背景，综合考查等腰三角形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质以及不规则图形面积的割补法。过点 D 作 DM BC、DN AC，连接 CD，由等腰直角三角形斜边中线性质得 CD = AD = BD = 1，且 CD 平分∠ACB，可证四边形 DMCN 为正方形，边长 DN =。利用∠ EDF =∠NDM = 90° 推出 ∠MDG = ∠ NDH，结合 DM = DN 证 △ MDG△NDH，从而将阴影部分面积转化为正方形 DMCN 的面积。阴影面积等于扇形 DEF 面积减去正方形面积，即。
16．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，线段与关于过点O的直线l对称，点的对应点在线段上，与交于点G，将沿折叠，点A与点重合，且平分，则　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，连接、、，过点作于点，设、、、、、，
线段与关于过点O的直线l对称，点的对应点在线段上，
直线l垂直平分，直线l垂直平分，，，
，，，，
四边形是菱形，，，，，
，点、、三点共线，
沿折叠，点A与点重合，，，垂直平分，
，
，，，，，
四边形是菱形，，
，，，，
平分，，
，，
，，
在中，，
，，，
设，在中，，
，，
，，，，
，，同理可得，，
，
，
，
，，
，．
故答案为：．
【分析】本题以菱形中的轴对称与折叠为背景，综合考查菱形的性质、对称变换的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质以及解直角三角形。连接 AB、AA'、DD'，过点 D 作 DH CG，先由对称性推出点 O、B、A 共线，再由折叠得四边形 AED'F 为菱形，进而推出 BC FD'；利用 D'F 平分 ∠ AD'A' 导出一系列相等的角，在 Rt△ OA'D' 中求得∠ 1 = 30°；设 CD = a，通过解直角三角形依次表示 DG、CG、AG、AD'、AC 等线段长度，最终求出 DE：CG = 1：3。
三、解答题∶本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及算术平方根的化简、绝对值的计算以及负整数指数幂的法则。解题时先分别求出=3、|1-6|=5、=2，再按从左到右的顺序进行加减运算得出结果。
18．解方程组：
【答案】解：
得
解得
将代入②得
原方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法，通过加减消元法进行计算求解。解题步骤：将给定的一元二次方程整理为标准形式，运用加减消元法进行运算，求出方程的解。注意事项： 确保方程各项系数正确， 消元过程中注意符号变化，最后需验证解的合理性。
19．如图，在中，是边上的高线，的面积为6，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：是边上的高线，，，
，，，，
的面积为6，，∴，
在中，，∴。
（2）解：在中，，∴，.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；求余弦值
【解析】【分析】本题综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数中余弦值的求法，解题时需要灵活运用这些知识点。
（1）首先证明AD=BD。已知△ABC的面积为6，且BC=2，根据三角形面积公式可得：，解得AD=BD=6。接着运用勾股定理即可求得所需边长。
（2）直接根据余弦的定义（邻边与斜边的比值）进行计算即可得到结果。
（1）解：是边上的高线，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，，
∴
，
在中，，
∴
（2）在中，，
∴，
20．某芯片制造厂为了提高产品优良率，对一批新生产的芯片进行抽样测试．测试工程师随机抽取了m片芯片，记录每片芯片的最高稳定运行频率（单位：），将数据整理并绘制成如图表．根据行业标准，运行频率的芯片被视为合格品，可用于高端计算设备；而运行频率的芯片需降级使用或返工．
运行频率的频数分布表
运行频率区间 频数（芯片片数）
7
a
b
（1）______，______；
（2）在扇形统计图中，运行频率为的扇形的圆心角度数是______；
（3）若该批次共生产了片芯片，估计整批芯片中合格品的数量．
【答案】（1），；
（2）；
（3）解：，（片），
答：估计整批芯片中合格品的数量约为片．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题可知：，，即，
故答案为：、；
（2）解：运行频率为的扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
【分析】本题考查频数分布表和扇形统计图的应用，解题的核心是理解频率的计算公式：频率=频数÷总数。
（1）计算样本容量时，用区间“”的频数除以其频率即可；而的值则是通过区间“”的频数除以样本容量得到。
（2）扇形统计图中某部分的圆心角度数，可通过将360°乘以该部分所占的百分比来确定。
（3）总体中合格品的数量估计，是用总数乘以样本中合格品频率得出的。
（1）解：，
，即，
故答案为：、；
（2）运行频率为的扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
（3），
（片），
答：估计整批芯片中合格品的数量约为片．
21．小丽与小明，小颖同学一起研究一个利用尺规作一个角的问题：
如图1，已知在射线上，依次取点B，C，使．
小明：如图2，分别以A，C为圆心，长为半径画弧，交于点D，连结，，
则．
小丽：如图3，分别以A，B为圆心，长为半径画弧，交于点D，连结，
则．
小颖：如图4，分别以A，C为圆心，大于长为半径画弧，交于点D；以B为圆心，长为半径画弧交射线于点E；以E为圆心，长为半径画弧交弧于点F，连结，则．
（1）做法正确的同学有______．
（2）请选择你认为正确的一种做法给出证明．
证明：我选择证明图______(填序号)．
【答案】（1）小明、小丽、小颖；
（2）我选择证明图2，连结，
由作图可得，是等边三角形，，
，，，；
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；尺规作图-作一个角等于已知角；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：做法正确的同学有小明、小丽、小颖，
故答案为：小明、小丽、小颖；
【分析】本题以尺规作 30角为背景，综合考查等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及直角三角形的内角关系。
（1）通过分析各作图步骤是否符合几何原理，判断正确做法；
（2）以图2为例，由作图得 AD = CD = AC，证△ACD 为等边三角形得 A = 60，再由 AB = BC 结合等边三角形性质推出 BD AC，从而ABD = 90，在 Rt△ABD 中得 ADB = 30。
（1）解：做法正确的同学有小明、小丽、小颖，
故答案为：小明、小丽、小颖；
（2）①我选择证明图2，连结，
由作图可得，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
②我选择证明图3，连结，
由作图可得
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
③我选择证明图4，连结，
由作图可得，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：2（答案不唯一）．
22．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小金、小衢两位员工每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行时间之间的对应关系如图所示，其中A种共享单车支付费用对应的函数为，B种共享单车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题：
（1）小金每天早上骑A种共享单车或B种共享单车去公司上班．已知两种共享单车的平均行驶速度均为，小金家到公司的距离为，那么小金选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）
（2）当时，求A、B两种共享单车的支付费用的函数表达式．
（3）一天，小金骑A种共享单车从家到公司上班，小衢骑B种共享单车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小金和小衢骑行的时间差．
【答案】（1）B
（2）解：当时，种共享单车每分钟的费用为（元，
种共享单车每分钟的费用为（元，
则，，
当时，种共享单车的支付费用的函数表达式为，
种共享单车的支付费用的函数表达式为．
（3）解：当时，得，解得，
当时，得，解得，
．
答：小金和小衢骑行的时间差为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：小金从家到公司所用时间为，
由图象可知，当时，，
小金选择电动车更省钱．
故答案为：．
【分析】本题主要考查一次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于理解时间、速度与路程的关系，并能够正确建立函数关系式。
(1) 计算小金从家到公司所需时间，根据时间=路程÷速度的公式，再结合函数图象比较和的大小关系。
(2) 分别求出A、B两种共享单车每分钟的使用费用，根据计算结果建立相应的费用函数关系式和。
(3) 当费用为7.6元时，分别求解和对应的骑行时间值，最后计算这两个时间值的差值。
（1）解：小金从家到公司所用时间为，
由图象可知，当时，，
小金选择电动车更省钱．
故答案为：．
（2）解：当时，种共享单车每分钟的费用为（元，
种共享单车每分钟的费用为（元，
则，，
当时，种共享单车的支付费用的函数表达式为，
种共享单车的支付费用的函数表达式为．
（3）解：当时，得，解得，
当时，得，解得，
．
答：小金和小衢骑行的时间差为．
23．已知二次函数（的实数）
（1）二次函数图象的对称轴是______．
（2）当时，
①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值．
②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围．
（3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围．
【答案】（1）直线
（2）解：①当时，二次函数为，
∵点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，
∴，，∴，解得：，∴，∴，
∵点在抛物线上，∴，∴；
②∵点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，
∴抛物线的图象开口向上，，
∴顶点处有最小值：当时，，
顶点处有最大值：当时，，
当时，，
∴的取值范围是；

（3）解：当，时，需满足，则，
∵点，是二次函数图象上的两点，∴，
∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，当时，随值增大而减小，
∵，∴当时，有最小值是，∴，∴，即，
∴或，∴解得，
当时，则，解得：，
当时，则，解得：，
∴综上所述，的取值范围为．
【知识点】一元一次不等式组的应用；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（1）解：∵二次函数（的实数），
∴二次函数图象的对称轴是直线，
故答案为：直线；
【分析】本题以二次函数为背景，综合考查对称轴公式、点的平移与对称性、点到坐标轴距离的意义以及函数值的大小比较与分类讨论。
（1）直接利用对称轴公式 x = 求解；
（2）①由平移后 B、C 纵坐标相同且关于对称轴对称建立方程，求出 a 后代入求 n；
②根据“到 y 轴距离 ≤ 2”得 -2 ≤ x ≤ 2，结合抛物线开口方向与顶点坐标确定 y 的取值范围；
（3）将不等式 + 6 <转化为关于、 的二次不等式，利用抛物线的增减性分析、的区间端点对函数值的影响，分情况讨论后取交集得 t 的范围。
（1）解：∵二次函数（的实数），
∴二次函数图象的对称轴是直线，
故答案为：直线；
（2）①当时，二次函数为，
∵点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴；
②∵点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，
∴抛物线的图象开口向上，，
∴顶点处有最小值：当时，，
顶点处有最大值：当时，，
当时，，
∴的取值范围是；
（3）当，时，需满足，则，
∵点，是二次函数图象上的两点，
∴，
∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，当时，随值增大而减小，
又∵，
∴当时，有最小值是，
∴，
∴，即，
∴或，
∴解得，
当时，则，解得：，
当时，则，解得：，
∴综上所述，的取值范围为．
24．如图，为的直径，在线段上取一点P，过点P作（点A在直径上方），连结并延长交于点F，过点A作于点E，交直径于点G．
（1）求证：．
（2）设，．求β关于α的函数关系式．
（3）当时，求的值．
【答案】（1）证明：，，，
，，，．
，，，．
（2）解：由（1）知．
，，
，．．关于的函数关系式为；
（3）解：连接，如图所示，
，，，
，．
①当点在线段上，时，
，，，，
；
②当点在线段上，时，
，，，，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆的相关概念；垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题以圆的直径、垂线及角的关系为背景，综合考查圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余以及三角函数的定义与应用。
（1）通过垂直关系导角，证明AGP = ACG，从而 AC = AG，结合 APCG 得 CP = GP；
（2）由等腰三角形三线合一得FAE = 2，在 Rt△ FAE 中利用互余关系得 = 90 - 2；
（3）连接 OB，推导OBP =，利用 OG =OP 及线段关系求出 tantan的值，注意分点 G 在线段 OC 上或 OD 上两种情况讨论。
（1）证明：，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
（2）解：由（1）知．
，
，
，
．
．
关于的函数关系式为；
（3）连接，如图，
，
，
，
，
．
Ⅰ．当点在线段上，时，
，
，
，
，
；
II．当点在线段上，时，
，
，
，
，
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