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浙江省宁波七中教育集团2025年中考数学适应性试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知冰箱的冷冻要求为，则下列温度符合要求的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．习近平总书记称之为“事关战略全局、事关长远发展、事关人民福祉”的南水北调工程，跨越长江、淮河、黄河、海河四大流域，是世界上最大的调水工程．统计显示，南水北调东、中线一期工程已累计调水75300000000立方米．将数据75300000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4． 下列计算正确的（　　）
A． B．
C． D．
5．小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是（　　）
A．4，10 B．4，9 C．7，8 D．6，8
6．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，若点B的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．有意义的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．将和按如图所示的方式放置，其中，，连结，已知，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
9．若，两点均在函的图象上，且，则的值为（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．分解因式： －9=　 　．
12．方程的解是　 　.
13．一个不透明的袋子中装有2个红球，3个蓝球，5个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸出黄球的概率是　 　.
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A=30°，则∠D的度数为　 　°．
15．如图，是内一点，，，若、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是　 　．
16．如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为　 　．
三、解答题（第17-21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分）
17．计算：．
18．解方程组：．
19．如图，已知在锐角三角形ABC中，．
（1）求的长．
（2）求的值．
20．某农机公司为更好地服务于麦收工作，按图1给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买了150台同种农机，公司技术人员对购买的这批农机全部进行了检验，绘制了如图2所示优等品台数的统计图．
请你根据图中提供的信息，解答一下问题：
（1）求该农机公司从丙厂购买农机的台数；
（2）求该农机公司购买的150台农机中优等品的台数；
（3）如果购买的这批产品质量能代表各厂的产品质量状况，那么：
①从优等品的角度考虑，哪个工厂的产品质量较好些？为什么？
②甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有多少台？
21．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边上，且，连结，请仅用无刻度的直尺画出线段的中点O，并说明这样画的理由．
22．小度同学步行从A地前往B地，小艺同学骑自行车沿同一条路从B地前往A地（两位同学的速度保持不变），两人同时出发．如图反映了小度、小艺两位同学距离B地的路程与小度同学出发的时间之间的关系，请根据图象回答下列问题．
（1）小度同学步行速度为______；
（2）小艺同学途中休息时间为______；
（3）小艺同学到达A地时，小度同学距B地的路程为______；
（4）求出发多少时间小度、小艺两人途中相遇？
23．如图，已知抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差；
（3）点P为抛物线上任意一点，将点P向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点P的坐标．
24．如图，为的直径，弦于点，直径交弦于点，弦分别交于点M，G，连结．
（1）①写出图中所有与相等的弧______．
②求证：．
（2）若，求的度数．
（3）当时，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】∵冰箱的冷冻要求为，
∴下列温度符合要求的是，
故答案为：C.
【分析】根据冰箱的冷冻要求为，直接分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是指从正面看物体所得到的视图，
此几何体的主视图是，
故选：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】用科学记数法表示绝对值大于10的数时形式为，其中，n为正整数，且n等于原数据的整数位数少1．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： 故选项错误；
故选项错误；
故选项正确；
故选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵4，4，6，7，8，9，10的众数是4，中位数是7，
∴去掉的两个数可能是6，8，9，10中的任意两个数，不能去掉的数是4和7，
故答案为：D．
【分析】根据题意求得原数据的众数与中位数，结合题意，即可求解．
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵△OAB与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点B的坐标为（-1，-2），
∴点C的坐标为[(-1)×(-2)，(-2)×(-2)]，即点C的坐标为（2，4），
故答案为：D．
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），据此即可直接得出答案.
7．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】据题意得：，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得，据此求出的取值范围，进而可确定数轴的画法．
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
，
故答案为：A．
【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠ABC=∠BED=30°，由直角三角形中30°角所对的直角边等腰斜边的一半得出AB=BE=4，由角的构成推出∠CBE=90°，从而利用勾股定理算出BC的长，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理算出CE即可.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，点，在函数上，
故，，
；
，m为负数，分母；
分子，
，
；
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点将P、Q两点的坐标分别代入反比例函数，用含m的式子表示出a、b，然后根据分式加减法法则用含m的式子表示出a-b的值，从而结合m的取值范围及有理数乘除法法则判断出a-b的正负.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，
∵为等腰三角形，∠CBD=45°，90°＞∠BCP＞45°，
∴BP=BC，
又∵∠BGP=90°，
∴，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】 设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，由于腰等腰三角形BPC中，∠CBD=45°，90°＞∠BCP＞45°，故只能BP=BC，由等腰三角形的三线合一得出PG=CG=b，由线段和差表示出HP=a-2b；由有两组角对应相等的两个三角形相似得出△DHP∽△BGP，由相似三角形对应边成比例建立方程用含b的式子表示出a，再由线段和差表示出HP，从而代入计算即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
12．【答案】x=4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘( 得：
解得：
检验：当 时，
∴原方程的解为x=4，
故答案为：x=4.
【分析】根据分式两边乘以(2x-1)化为整式方程，解方程求出整式方程的解，然后检验解答即可.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从袋子中随机摸出一个球，摸出黄球的概率是
故答案为：.
【分析】直接根据概率公式求解即可.
14．【答案】30
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=60°，
∴∠D=90°-60°=30°，
故答案为：30．
【分析】连接OC，由圆的切线垂直经过切点的半径得到∠OCD=90°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COD=60°，最后根据直角三角形两锐角互余求出∠D．
15．【答案】13
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵分别是的中点，
∴，．
∴四边形的周长．
又∵
∴四边形的周长．
故答案为：13．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半求出，，然后根据四边形周长计算方法推出四边形EFGH的周长为AD+BC，从而代值计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，，延长交于点，连接，
由折叠性质可知：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴的周长，
的周长，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，，延长交于点，连接，由折叠性质得AD=FD，由等边对等角得，由同弧所对的圆周角相等得∠CAH=∠CFH，由角的构成及等量加等量和相等推出∠HAF=∠CFA，由同圆中，相等得圆周角所对的弧相等得；由等边三角形的三边相等得AC=BC=AB，由同圆中相等得弦所对的劣弧相等得出， 则，由等量减去等量差相等得出，由等弧所对的圆周角相等得，由等角对等边得出CG=GF，然后根据三角形周长计算方法、线段和差及等量代换可将△CDG的周长转化为AC的长，从而即可求出两个三角形周长比.
17．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由绝对值性质、负整数指数幂法则“”及二次根式的性质“”分别化简，再计算有理数加减法运算即可得出答案.
18．【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴二元一次方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】用方程①+②×3可消去y求出x的值，再将x的值代入方程②求出y的值，从而即可得到原方程组的解.
19．【答案】（1）解：在中，，
，
（2）解：，
；
在中，由勾股定理得，
【知识点】已知正弦值求边长；求余弦值
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，由∠B的正切函数值结合正切函数定义求出AD，再利用勾股定理求出BD即可；
（2）先根据线段和差算出CD，然后在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC，最后根据余弦的定义求解即可．
（1）解：在中，，
，
；
（2）解：，
；
在中，由勾股定理得，
．
20．【答案】（1）解：由题意知，从丙厂购买：（台），
∴农机公司从丙厂购买农机了30台
（2）解： 由条形图可知：甲厂，乙厂，丙厂的优等品的台数分别为：50、51、26；
农机公司购买的150台农机中优等品的台数（台）
（3）解：①由题意知，从甲厂购买：（台）；
从乙厂购买：（台）；
∴甲厂的优品率=．
乙厂的优品率=；
丙厂的优品率=；
∵，
故丙厂的产品质量较好；
②甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有（台）；
答：甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有300台
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图提供的信息，由从甲、乙、丙三个工厂购买的农机所占的百分比之和为1可求出在丙厂购买农机所占的百分比，然后利用购买农机的总数量乘以在丙场购买农机所占的百分比即可求出该农机公司从丙厂购买农机的台数；
（2）根据条形图分别得出甲厂，乙厂，丙厂的优等品的台数，再求和即可；
（3）①用甲厂，乙厂，丙厂的优等品的台数除以从各厂购买的总数量求出优品率．比较大小即可；
②利用样本估计总体的思想，用2005年甲厂生产该农机的总数量乘以样本中甲厂生产该农机的优品率，即可估计出甲厂2005年生产的360台产品中的优等品数量.
（1）解：由题意知，从丙厂购买：（台），
∴农机公司从丙厂购买农机了30台．
（2）由条形图可知：甲厂，乙厂，丙厂的优等品的台数分别为：50、51、26；
农机公司购买的150台农机中优等品的台数（台）
（3）①由题意知，从甲厂购买：（台）；
从乙厂购买：（台）；
∴甲厂的优品率=．
乙厂的优品率=；
丙厂的优品率=；
∵，
故丙厂的产品质量较好；
②甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有（台）；
答：甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有300台．
21．【答案】解：如图：连结交与点O，点O即为所求．
理由：连结．
四边形为平行四边形，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点O是线段的中点
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结AC交EF与点O，点O即为所求；连接AF、CE，由平行四边形的对边平行得出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平分可得结论.
22．【答案】（1）100
（2）12
（3）2000
（4）解：由图象可知，小度、小艺两人在小艺同学休息之后相遇，
设出发小度、小艺两人途中相遇，
根据题意得：，
解得：，
出发小度、小艺两人途中相遇．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】（1）解：由图象可知，小度同学步行的路程为，时间为，
小度同学步行速度为，
故答案为：100；
（2）解：由图象可知，小艺同学途中休息时间为，
故答案为：12；
（3）解：由图象可知，小艺同学骑车的速度为，
小艺同学从地到达地的时间为：，
此时小度同学距B地的路程为，
故答案为：2000；
【分析】（1）根据图象可得A地距离B地4800米，小度步行用时48分钟，利用速度路程时间，即可求出小度同学步行速度；
（2）根据图象可得小艺同学在骑行6分钟时开始休息，在出发18分钟时休息结束，据此解答即可；
（3）从图象可得小艺6分钟骑行1800米，利用速度=路程÷时间，即可求出小艺同学骑行速度；再根据路程÷速度=时间求出小艺同学从B地骑行到A地的时间，结合休息时间，求出小艺同学从B地到达A地所用的时间，进而根据速度乘以时间等于路程得出小度同学距B地的路程；
（4）设出发xmin时小度、小艺两人在小艺同学休息之后相遇，根据两人相遇时距离之和为4800m列方程，求解即可得到答案．
（1）解：由图象可知，小度同学步行的路程为，时间为，
小度同学步行速度为，
故答案为：100；
（2）解：由图象可知，小艺同学途中休息时间为，
故答案为：12；
（3）解：由图象可知，小艺同学骑车的速度为，
小艺同学从地到达地的时间为：，
此时小度同学距B地的路程为，
故答案为：2000；
（4）解：由图象可知，小度、小艺两人在小艺同学休息之后相遇，
设出发小度、小艺两人途中相遇，
根据题意得：，
解得：，
出发小度、小艺两人途中相遇．
23．【答案】（1）解：对于，当时，，
∴，
又，
∴，
∴．
将代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
∴顶点坐标为；
（2）解： 由（1）知，
∴函数开口向下，顶点坐标为，对称直线直线为x=2，抛物线上的点离对称轴直线距离越大其纵坐标就越小，
∵-1≤x≤7，
∴最大值在顶点处取得，最小值在处取得，值为，
∴当时，，
∴最大值和最小值的差为：；
（3）解：点P的坐标为或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（3）设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为．设点关于原点的对称点为，则点的坐标为，．
∵点在抛物线上，
∴，解得或，
∴点的坐标为或．
【分析】（1）令抛物线y=-x2-2ax+5中的x=0算出对应的函数值y=5，可得OB=5，结合已知求出OC=1，则可得点C(1，0)，将点C的坐标代入y=-x2-2ax+5算出a的值，从而得到抛物线的解析式，进而再将抛物线的解析式配成顶点式即可得出顶点坐标；
（2）结合（1）中解析式可得抛物线开口向下，对称轴直线为x=2，抛物线上的点离对称轴直线距离越大其纵坐标就越小，从而结合x的取值范围得出最大值在顶点处取得，最小值在x=7处取得，求出最值即可解答；
（3）设点的横坐标为，根据抛物线上点的坐标特点得点P的坐标为，由点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”得点的坐标为，由关于坐标原点对称点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数得点的坐标为，最后将点P2的坐标代入抛物线，求出m的值，即可得到点P的坐标.
（1）解：对于，
当时，，
∴，
又，
∴，
∴．
将代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
顶点坐标为；
（2）由（1）知，
函数开口向下，顶点坐标为，
故最大值在顶点处取得，最小值在处取得，值为，
故当时，，
最大值和最小值的差为：；
（3）设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为．
设点关于原点的对称点为，则点的坐标为，．
∵点在抛物线上，
∴，解得或，
∴点的坐标为或．
24．【答案】（1）①、
②证明：由①知
，
∴AG=BG，
∴△AGB为等腰三角形，
又点是的中点，
（2）解：连结，，
由（1）可知是等腰三角形，，
∴AC=BE，
是直径，
，
由（1）知AG=BG，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
由(1)知，
，
，
，
，
（3）解：由（1）（2）可知，，
，
，
，
，
，是中点，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（1）解：①∵为的直径，弦于点，
∴，
∵∠AOD=∠BOE
∴，
故答案为：、；
【分析】（1）①由垂直弦的直径平分弦所对的弧得，由同圆中相等的圆心角所对的弧相等得出，从而可得答案；
②由①知，由等弧所对的圆周角相等得出∠A=∠B，由等角对等边得出AG=BG，然后根据等腰三角形的三线合一得出；
（2）连结AC，BE，由等弧所对的弦相等得出AC=BE，由直径所对的圆周角为90°得出∠ACG=∠BEG，从而利用“HL”判断出，由全等三角形的对应边相等得，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应角相等得，从而可推出可得，根据三角形内角和定理推出得；
（3）根据前面的结论证明GE=HB，用“SAS”证△GOE≌△HOB，由全等三角形的对应角相等得，在等腰直角△DFO中可求出DF，进而根据垂径定理可得CD的长.
（1）解：①∵为的直径，弦于点，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴，
故答案为：、；
②证明：为的直径，弦于点，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，且点是的中点，
；
（2）解：连结，，
由（1）可知是等腰三角形，，
，
是直径，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
由(1)知，
，
，
，
，
；
（3）解：由（1）（2）可知，，
，
，
，
，
，是中点，
，
，
，
，
，
，
．
1 / 1浙江省宁波七中教育集团2025年中考数学适应性试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知冰箱的冷冻要求为，则下列温度符合要求的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】∵冰箱的冷冻要求为，
∴下列温度符合要求的是，
故答案为：C.
【分析】根据冰箱的冷冻要求为，直接分析求解即可.
2．如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是指从正面看物体所得到的视图，
此几何体的主视图是，
故选：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．习近平总书记称之为“事关战略全局、事关长远发展、事关人民福祉”的南水北调工程，跨越长江、淮河、黄河、海河四大流域，是世界上最大的调水工程．统计显示，南水北调东、中线一期工程已累计调水75300000000立方米．将数据75300000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】用科学记数法表示绝对值大于10的数时形式为，其中，n为正整数，且n等于原数据的整数位数少1．
4． 下列计算正确的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： 故选项错误；
故选项错误；
故选项正确；
故选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
5．小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是（　　）
A．4，10 B．4，9 C．7，8 D．6，8
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵4，4，6，7，8，9，10的众数是4，中位数是7，
∴去掉的两个数可能是6，8，9，10中的任意两个数，不能去掉的数是4和7，
故答案为：D．
【分析】根据题意求得原数据的众数与中位数，结合题意，即可求解．
6．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，若点B的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵△OAB与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点B的坐标为（-1，-2），
∴点C的坐标为[(-1)×(-2)，(-2)×(-2)]，即点C的坐标为（2，4），
故答案为：D．
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），据此即可直接得出答案.
7．有意义的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】据题意得：，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得，据此求出的取值范围，进而可确定数轴的画法．
8．将和按如图所示的方式放置，其中，，连结，已知，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
，
故答案为：A．
【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠ABC=∠BED=30°，由直角三角形中30°角所对的直角边等腰斜边的一半得出AB=BE=4，由角的构成推出∠CBE=90°，从而利用勾股定理算出BC的长，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理算出CE即可.
9．若，两点均在函的图象上，且，则的值为（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，点，在函数上，
故，，
；
，m为负数，分母；
分子，
，
；
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点将P、Q两点的坐标分别代入反比例函数，用含m的式子表示出a、b，然后根据分式加减法法则用含m的式子表示出a-b的值，从而结合m的取值范围及有理数乘除法法则判断出a-b的正负.
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，
∵为等腰三角形，∠CBD=45°，90°＞∠BCP＞45°，
∴BP=BC，
又∵∠BGP=90°，
∴，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】 设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，由于腰等腰三角形BPC中，∠CBD=45°，90°＞∠BCP＞45°，故只能BP=BC，由等腰三角形的三线合一得出PG=CG=b，由线段和差表示出HP=a-2b；由有两组角对应相等的两个三角形相似得出△DHP∽△BGP，由相似三角形对应边成比例建立方程用含b的式子表示出a，再由线段和差表示出HP，从而代入计算即可.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．分解因式： －9=　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
12．方程的解是　 　.
【答案】x=4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘( 得：
解得：
检验：当 时，
∴原方程的解为x=4，
故答案为：x=4.
【分析】根据分式两边乘以(2x-1)化为整式方程，解方程求出整式方程的解，然后检验解答即可.
13．一个不透明的袋子中装有2个红球，3个蓝球，5个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸出黄球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从袋子中随机摸出一个球，摸出黄球的概率是
故答案为：.
【分析】直接根据概率公式求解即可.
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A=30°，则∠D的度数为　 　°．
【答案】30
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=60°，
∴∠D=90°-60°=30°，
故答案为：30．
【分析】连接OC，由圆的切线垂直经过切点的半径得到∠OCD=90°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COD=60°，最后根据直角三角形两锐角互余求出∠D．
15．如图，是内一点，，，若、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是　 　．
【答案】13
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵分别是的中点，
∴，．
∴四边形的周长．
又∵
∴四边形的周长．
故答案为：13．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半求出，，然后根据四边形周长计算方法推出四边形EFGH的周长为AD+BC，从而代值计算可得答案.
16．如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，，延长交于点，连接，
由折叠性质可知：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴的周长，
的周长，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，，延长交于点，连接，由折叠性质得AD=FD，由等边对等角得，由同弧所对的圆周角相等得∠CAH=∠CFH，由角的构成及等量加等量和相等推出∠HAF=∠CFA，由同圆中，相等得圆周角所对的弧相等得；由等边三角形的三边相等得AC=BC=AB，由同圆中相等得弦所对的劣弧相等得出， 则，由等量减去等量差相等得出，由等弧所对的圆周角相等得，由等角对等边得出CG=GF，然后根据三角形周长计算方法、线段和差及等量代换可将△CDG的周长转化为AC的长，从而即可求出两个三角形周长比.
三、解答题（第17-21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分）
17．计算：．
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由绝对值性质、负整数指数幂法则“”及二次根式的性质“”分别化简，再计算有理数加减法运算即可得出答案.
18．解方程组：．
【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴二元一次方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】用方程①+②×3可消去y求出x的值，再将x的值代入方程②求出y的值，从而即可得到原方程组的解.
19．如图，已知在锐角三角形ABC中，．
（1）求的长．
（2）求的值．
【答案】（1）解：在中，，
，
（2）解：，
；
在中，由勾股定理得，
【知识点】已知正弦值求边长；求余弦值
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，由∠B的正切函数值结合正切函数定义求出AD，再利用勾股定理求出BD即可；
（2）先根据线段和差算出CD，然后在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC，最后根据余弦的定义求解即可．
（1）解：在中，，
，
；
（2）解：，
；
在中，由勾股定理得，
．
20．某农机公司为更好地服务于麦收工作，按图1给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买了150台同种农机，公司技术人员对购买的这批农机全部进行了检验，绘制了如图2所示优等品台数的统计图．
请你根据图中提供的信息，解答一下问题：
（1）求该农机公司从丙厂购买农机的台数；
（2）求该农机公司购买的150台农机中优等品的台数；
（3）如果购买的这批产品质量能代表各厂的产品质量状况，那么：
①从优等品的角度考虑，哪个工厂的产品质量较好些？为什么？
②甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有多少台？
【答案】（1）解：由题意知，从丙厂购买：（台），
∴农机公司从丙厂购买农机了30台
（2）解： 由条形图可知：甲厂，乙厂，丙厂的优等品的台数分别为：50、51、26；
农机公司购买的150台农机中优等品的台数（台）
（3）解：①由题意知，从甲厂购买：（台）；
从乙厂购买：（台）；
∴甲厂的优品率=．
乙厂的优品率=；
丙厂的优品率=；
∵，
故丙厂的产品质量较好；
②甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有（台）；
答：甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有300台
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图提供的信息，由从甲、乙、丙三个工厂购买的农机所占的百分比之和为1可求出在丙厂购买农机所占的百分比，然后利用购买农机的总数量乘以在丙场购买农机所占的百分比即可求出该农机公司从丙厂购买农机的台数；
（2）根据条形图分别得出甲厂，乙厂，丙厂的优等品的台数，再求和即可；
（3）①用甲厂，乙厂，丙厂的优等品的台数除以从各厂购买的总数量求出优品率．比较大小即可；
②利用样本估计总体的思想，用2005年甲厂生产该农机的总数量乘以样本中甲厂生产该农机的优品率，即可估计出甲厂2005年生产的360台产品中的优等品数量.
（1）解：由题意知，从丙厂购买：（台），
∴农机公司从丙厂购买农机了30台．
（2）由条形图可知：甲厂，乙厂，丙厂的优等品的台数分别为：50、51、26；
农机公司购买的150台农机中优等品的台数（台）
（3）①由题意知，从甲厂购买：（台）；
从乙厂购买：（台）；
∴甲厂的优品率=．
乙厂的优品率=；
丙厂的优品率=；
∵，
故丙厂的产品质量较好；
②甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有（台）；
答：甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有300台．
21．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边上，且，连结，请仅用无刻度的直尺画出线段的中点O，并说明这样画的理由．
【答案】解：如图：连结交与点O，点O即为所求．
理由：连结．
四边形为平行四边形，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点O是线段的中点
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结AC交EF与点O，点O即为所求；连接AF、CE，由平行四边形的对边平行得出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平分可得结论.
22．小度同学步行从A地前往B地，小艺同学骑自行车沿同一条路从B地前往A地（两位同学的速度保持不变），两人同时出发．如图反映了小度、小艺两位同学距离B地的路程与小度同学出发的时间之间的关系，请根据图象回答下列问题．
（1）小度同学步行速度为______；
（2）小艺同学途中休息时间为______；
（3）小艺同学到达A地时，小度同学距B地的路程为______；
（4）求出发多少时间小度、小艺两人途中相遇？
【答案】（1）100
（2）12
（3）2000
（4）解：由图象可知，小度、小艺两人在小艺同学休息之后相遇，
设出发小度、小艺两人途中相遇，
根据题意得：，
解得：，
出发小度、小艺两人途中相遇．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】（1）解：由图象可知，小度同学步行的路程为，时间为，
小度同学步行速度为，
故答案为：100；
（2）解：由图象可知，小艺同学途中休息时间为，
故答案为：12；
（3）解：由图象可知，小艺同学骑车的速度为，
小艺同学从地到达地的时间为：，
此时小度同学距B地的路程为，
故答案为：2000；
【分析】（1）根据图象可得A地距离B地4800米，小度步行用时48分钟，利用速度路程时间，即可求出小度同学步行速度；
（2）根据图象可得小艺同学在骑行6分钟时开始休息，在出发18分钟时休息结束，据此解答即可；
（3）从图象可得小艺6分钟骑行1800米，利用速度=路程÷时间，即可求出小艺同学骑行速度；再根据路程÷速度=时间求出小艺同学从B地骑行到A地的时间，结合休息时间，求出小艺同学从B地到达A地所用的时间，进而根据速度乘以时间等于路程得出小度同学距B地的路程；
（4）设出发xmin时小度、小艺两人在小艺同学休息之后相遇，根据两人相遇时距离之和为4800m列方程，求解即可得到答案．
（1）解：由图象可知，小度同学步行的路程为，时间为，
小度同学步行速度为，
故答案为：100；
（2）解：由图象可知，小艺同学途中休息时间为，
故答案为：12；
（3）解：由图象可知，小艺同学骑车的速度为，
小艺同学从地到达地的时间为：，
此时小度同学距B地的路程为，
故答案为：2000；
（4）解：由图象可知，小度、小艺两人在小艺同学休息之后相遇，
设出发小度、小艺两人途中相遇，
根据题意得：，
解得：，
出发小度、小艺两人途中相遇．
23．如图，已知抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差；
（3）点P为抛物线上任意一点，将点P向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点P的坐标．
【答案】（1）解：对于，当时，，
∴，
又，
∴，
∴．
将代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
∴顶点坐标为；
（2）解： 由（1）知，
∴函数开口向下，顶点坐标为，对称直线直线为x=2，抛物线上的点离对称轴直线距离越大其纵坐标就越小，
∵-1≤x≤7，
∴最大值在顶点处取得，最小值在处取得，值为，
∴当时，，
∴最大值和最小值的差为：；
（3）解：点P的坐标为或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（3）设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为．设点关于原点的对称点为，则点的坐标为，．
∵点在抛物线上，
∴，解得或，
∴点的坐标为或．
【分析】（1）令抛物线y=-x2-2ax+5中的x=0算出对应的函数值y=5，可得OB=5，结合已知求出OC=1，则可得点C(1，0)，将点C的坐标代入y=-x2-2ax+5算出a的值，从而得到抛物线的解析式，进而再将抛物线的解析式配成顶点式即可得出顶点坐标；
（2）结合（1）中解析式可得抛物线开口向下，对称轴直线为x=2，抛物线上的点离对称轴直线距离越大其纵坐标就越小，从而结合x的取值范围得出最大值在顶点处取得，最小值在x=7处取得，求出最值即可解答；
（3）设点的横坐标为，根据抛物线上点的坐标特点得点P的坐标为，由点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”得点的坐标为，由关于坐标原点对称点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数得点的坐标为，最后将点P2的坐标代入抛物线，求出m的值，即可得到点P的坐标.
（1）解：对于，
当时，，
∴，
又，
∴，
∴．
将代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
顶点坐标为；
（2）由（1）知，
函数开口向下，顶点坐标为，
故最大值在顶点处取得，最小值在处取得，值为，
故当时，，
最大值和最小值的差为：；
（3）设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为．
设点关于原点的对称点为，则点的坐标为，．
∵点在抛物线上，
∴，解得或，
∴点的坐标为或．
24．如图，为的直径，弦于点，直径交弦于点，弦分别交于点M，G，连结．
（1）①写出图中所有与相等的弧______．
②求证：．
（2）若，求的度数．
（3）当时，，求的长．
【答案】（1）①、
②证明：由①知
，
∴AG=BG，
∴△AGB为等腰三角形，
又点是的中点，
（2）解：连结，，
由（1）可知是等腰三角形，，
∴AC=BE，
是直径，
，
由（1）知AG=BG，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
由(1)知，
，
，
，
，
（3）解：由（1）（2）可知，，
，
，
，
，
，是中点，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（1）解：①∵为的直径，弦于点，
∴，
∵∠AOD=∠BOE
∴，
故答案为：、；
【分析】（1）①由垂直弦的直径平分弦所对的弧得，由同圆中相等的圆心角所对的弧相等得出，从而可得答案；
②由①知，由等弧所对的圆周角相等得出∠A=∠B，由等角对等边得出AG=BG，然后根据等腰三角形的三线合一得出；
（2）连结AC，BE，由等弧所对的弦相等得出AC=BE，由直径所对的圆周角为90°得出∠ACG=∠BEG，从而利用“HL”判断出，由全等三角形的对应边相等得，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应角相等得，从而可推出可得，根据三角形内角和定理推出得；
（3）根据前面的结论证明GE=HB，用“SAS”证△GOE≌△HOB，由全等三角形的对应角相等得，在等腰直角△DFO中可求出DF，进而根据垂径定理可得CD的长.
（1）解：①∵为的直径，弦于点，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴，
故答案为：、；
②证明：为的直径，弦于点，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，且点是的中点，
；
（2）解：连结，，
由（1）可知是等腰三角形，，
，
是直径，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
由(1)知，
，
，
，
，
；
（3）解：由（1）（2）可知，，
，
，
，
，
，是中点，
，
，
，
，
，
，
．
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