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浙江省嘉兴市平湖市九年级2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　）
A．3 B．-3 C．1 D．-2
2．截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约为40000000次，数据“40000000”用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．排球垫球是中考体育选考项目，垫球40次及以上为满分。平平同学为了在排球垫球考试中取得好成绩，进行了为期两个阶段的训练。根据他的训练成绩计算得到中位数和方差，如下表：
中位数（次） 方差（次2）
第一阶段 36 216.02
第二阶段 38 151.46
则以下两个结论（　　）
①平平第二阶段的训练成绩中至少一半为满分。②经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定。
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
6．如图，正方形的边长是6，点在边上，，连结，过点作的垂线交于点，连结，线段的长是（　　）
A． B． C．7 D．
7．小海的圆形镜子摔碎了，想配一面与原来直径相同的镜子．他的办法是：将一块含角的直角三角板的顶点A放在圆上，记两边与圆的交点分别为B，C，如图所示，则需测量的弦为（　　）
A． B．
C． D．、、均可
8．我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
9．用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，菱形的对角线，交于点O，且的长度是定值．在较长的对角线上有两点E，F，，连结，，，．设四边形和四边形的面积分别是m，n，若，则下列运算结果为定值的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：x2-4x=　 　 。
12．一个布袋里装有只有颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球。从中任意摸出1个球，是红球的概率为　 　。
13．如图，已知与相切于A点，连结，，若，则的大小为　 　．
14．已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为　 　．
15．如图，点，均在反比例函数的图象上．连结，并延长，分别与反比例函数的图象交于点，，连结，，，．若，，则k的值为　 　．
16．如图，为的直径，且，为上异于的一点．现将劣弧沿直线折叠，若弧与直径交于点，，则的长　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：．
（2）解不等式：．
18．先化简，再求值：，其中。
19．如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
（1）在图中作格点C，使得．
（2）连结，，在图中作出的重心点G．（保留作图痕迹）
20．某校课后服务开设“人工智能小创客”社团，开设了四个兴趣小组：A：小小机器人组；B：趣味生物组；C：电脑编程组；D：无人机组．为了了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
（1）求C组人数占抽样人数的百分比．
（2）若该校共有学生260人，请估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数．
21．如图，在中，，将绕点A旋转得到，点B的对应点D恰好落在的延长线上．
（1）求证：平分．
（2）若，，求的正弦值．
22．兄妹两人一起步行去离家1200米的图书馆借书，途中哥哥突然发现借书证忘带了，于是马上跑步回家拿借书证，3分钟后又以相同的速度跑步去图书馆．妹妹在原地等了5分钟后，以原速度步行去图书馆．两人离家的路程y（米）与所经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示．已知哥哥跑步回家时y与x的函数表达式为．
（1）求k与a的值．
（2）妹妹比哥哥早到图书馆多少分钟？
23．已知，二次函数，x与y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … t m p n …
（1）当时，
①若，求二次函数解析式．
②若，求证：．
（2）若，且当时，函数y有最大值，求a的取值范围．
24．已知四边形内接于，对角线，交于点E，P为上一点，连结．
（1）如图1，若为的直径，且与均为等腰直角三角形，求证：．
（2）如图2，若与均为等边三角形，
①求证：．
②若，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：∵|3|=3，|-3|=3，|1|=1，|-2|=2，
∴3=3>2>1，
∴与原点距离最近的是1，
故答案为：C.
【分析】到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4000万=40000000=4×107，
故答案为：B.
【分析】将数据4000万转换为科学记数法，需先明确科学记数法的定义：形如a×10n，其中1≤|a|< 10.
3．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的俯视图为：
，
故答案为：D．
【分析】俯视图就是从几何体上面向下看得到的平面图形，该小正方体组合的三视图有两行两列，从上至下各列小正方形个数依次为2，1；从左向右各行小正方形个数依次为1，2，据此判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，
∴点A(1，1)的对应点为A'(3，3)，
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1：3，
∵B点的坐标为(-1，2)，
∴点B'的对应点坐标为(-1×3，2×3)，即(-3，6)，
故选：A。
【分析】本题主要考查位似变换的性质，需要正确理解位似与相似的关系，并掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系。根据点A与点A'的坐标确定相似比，再利用位似变换的性质进行计算即可。
5．【答案】C
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：第二阶段的成绩的中位数是38次，40次及以上为满分，
∴平平第二阶段的训练成绩中至少一半低于满分，故①说法错误；
第二阶段的成绩的方差为151.46，第一阶段的成绩的方差为216.02，
∴第二阶段的成绩的方差小于第一阶段，即经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定，故②说法正确.
故答案为：C.
【分析】根据中位数与方差的定义解答即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，假设的垂足为点，
在正方形中，
，，
，，且，
，，
由勾股定理得，
故选：D．
【分析】本题重点考查了正方形的相关性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，要求学生能够熟练掌握这些知识点并灵活运用。通过已知条件可以证明三角形与三角形全等，从而得出对应边，最后运用勾股定理即可求得所需结果。
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，∴，
∵，∴，∴，
因此确定了，即可确定半径，
故选：B．
【分析】本题主要考查圆周角定理和解直角三角形的相关知识，需要熟练掌握并灵活运用这些知识点来解决问题。根据圆周角定理可得，圆心角∠BOC等于圆周角∠A的两倍，即。由此可知△OBC是一个等腰直角三角形。根据等腰直角三角形的性质，可以得到边OC与BC的关系为，从而完成求解。
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】 解：A、根据用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺，可得此方程，该选项正确，不符合题意；
B、根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可列，该选项错误，故符合题意；
C、根据和，可得，该选项正确，不符合题意；
D、 根据和，可得，该选项正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】 设木长x尺，绳长y尺 ，根据第一种测量方法可得绳子的长度比长木的长度长4.5尺，据此列出方程y-x=4.5；根据第二种测量方法可得绳子长度的一半比长木短1尺，据此列出方程，据此逐项分析即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A、由作图知，和分别是的角平分线，不能说明和相似，A符合题意；
B、由作图知，，∴，B不符合题意；
C、由作图知，四边形是圆内接四边形，∴，
∵，∴，C不符合题意；
D、由作图知，点和点分别是和的中点，∴，
∴，D不符合题意；
故选：A．
【分析】本题主要考查尺规作图、相似三角形的判定、圆内接四边形的性质以及三角形中位线定理。需要根据不同的作图痕迹，结合相似三角形的判定条件进行分析判断。关键知识点：相似三角形的判定条件（如AA、SAS、SSS等），圆内接四边形的对角互补性质，三角形中位线平行于第三边且等于其一半的性质；解题思路：通过分析各选项的作图步骤，判断其是否满足相似三角形的判定定理。注意结合圆的性质和中位线定理进行辅助分析。
10．【答案】C
【知识点】角的概念及表示；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，∴四边形是平行四边形，
∵，∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴ ，
∴，
∵的长度是定值，∴的长度是定值，∴的值为定值。
故选：C．
【分析】本题以菱形及对角线上的动点为背景，综合考查菱形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、相似三角形的判定与性质以及面积乘积为定值的推导。由菱形 ABCD 得 AC BD，AO = CO，面积 m =ACBD；由 OE = OF 且 AO = CO 得四边形 AECF 为平行四边形，结合 AC EF 证其为菱形，面积 n = AC EF。由 ∠ EAF + ∠ BAD = 180°及菱形性质导角，可证，从而，即。结合 BD = 2BO，EF = 2OF，可得，由于 AC 为定值，AO =AC 也为定值，故 mn 为定值。

11．【答案】x(x-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 解：x2-4x= x(x-4)；
故答案为：x(x-4).
【分析】提取公因式x， 分解因式即可。
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，从5个球的袋子中任意摸出1个球，则摸出红球的概率为，
故答案为：.
【分析】根据概率公式即可求解.
13．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵与相切于A点，∴，
∵，∴，
故答案为：40．
【分析】本题考查了切线的性质以及三角形的内角和定理，通过切线的性质和三角形内角和定理可直接得出结论。
14．【答案】2
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题可知：，
，
，
，
∴，
故答案为：2．
【分析】本题主要考查有理数的运算。根据题目给出的新定义，首先计算各个数的对应值，然后将这些结果相加即可得到最终答案。
15．【答案】6
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：点，均在反比例函数的图象上，
点的坐标是，点的坐标是，，，，
四边形是矩形，，
，，，，
，，，
如下图所示，过点作，过点作，
则，
，
，
，，，，
点在第一象限，，，．
故答案为： ．
【分析】本题综合考查了矩形的判定与性质、反比例函数图象的性质以及反比例函数中的几何意义。
首先，根据反比例函数的性质可以证明四边形是一个矩形。已知，，因此矩形的面积为。由此可推得。进一步分析矩形的性质，可知，从而得到。根据题目条件，可以推导出。联立上述方程，可以求出和的具体数值，最终确定反比例函数的比例系数的值。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，作交于点，连接，交的延长线于点，连接，
，
，，
，，，
为的直径，，关于对称，
，，，
，，，，
故答案为：
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，解题关键在于合理添加辅助线。解题步骤如下：作辅助线交圆O于点E，连接，使其与AC的延长线交于点F，连接，可证得△CEF∽△BAF，根据相似关系得出， 利用对称性得出AB与BF关于BC对称， 计算得，最终求得，本题通过构造辅助线和运用几何变换的性质，综合考查了学生的空间想象能力和代数运算能力。
17．【答案】解：（1）
；
（2），
，
，
，
，
．
【知识点】零指数幂；二次根式的化简求值；解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法及实数运算，正确掌握不等式的解法是解题关键。
（1）利用绝对值的代数意义、算术平方根性质及零指数幂法则分别化简计算；
（2）按步骤解不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，最终求出解集。
18．【答案】解：原式=
=
=
=
当a=2时，原式=
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对分式进行通分和约分化简，再代入a=2求值.
19．【答案】（1）解：如图所示，C为所求；
（2）解：如图所示，G为所求；
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的重心及应用；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题考查无刻度直尺作图和重心的概念。
（1）通过观察网格可以发现边AC与边BC长度相等，即，由此可得出结论。
（2）三角形的重心是三条中线的交点，结合网格特点即可确定位置。
（1）解：如图，C为所求；
（2）解：如图，G为所求；
20．【答案】（1）解：本次共调查了名学生，
∵A组4人，B组16人，D组12人，∴C组：，∴C组人数占抽样人数的百分比：．
（2）解：估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】本题主要考查用样本估计总体，以及条形统计图和扇形统计图的应用。
（1）首先根据条形统计图和扇形统计图的数据，计算出调查的总人数。然后确定C组的人数，再按照公式计算C组人数占抽样总人数的百分比。
（2）利用样本估计总体的方法，通过公式进行计算即可。
（1）解：本次共调查了名学生，
∵A组4人，B组16人，D组12人，
∴C组：，
∴C组人数占抽样人数的百分比：．
（2）解：估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数为人．
21．【答案】（1）证明：由旋转可知，，
∵，∴，∴，即平分；
（2）解：在中，，，∴，
由（1）可知，即，
∵，，∴，
过点作的垂线，垂足为点．
∵，解得，
在中，，∴．
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；角平分线的概念；求正弦值
【解析】【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形的应用。
（1）根据旋转的性质，结合等腰三角形"三线合一"的特性，可以得出，由此即可证明结论成立。
（2）解题步骤如下： 首先运用勾股定理计算AB的长度；根据等腰三角形"三线合一"的性质，得出；过点B作AD的垂线，设垂足为H；通过计算△ABD的面积来确定BH的长度；最后根据正弦函数的定义求解。
（1）证明：由旋转可知，，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：在中，，，
∴，
由（1）可知，
即，
∵，，
∴，
过点作的垂线，垂足为点．
∵，
解得，
在中，，
∴．
22．【答案】（1）解：当时，，解得，∴哥哥跑步回家时与的函数表达式为
当时，，解得：；
∴，
（2）解：原步行速度为（米/分钟），
妹妹等哥哥5分钟后以原步行速度去图书馆用时（分钟），
妹妹一共用时（分钟）
哥哥跑步的速度为（米/分钟）
哥哥一共用时（分钟），
所以妹妹比哥哥早到图书馆（分钟）．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题主要考查一次函数在实际问题中的应用，正确分析函数图象是解题的核心。
（1）求解步骤：将代入函数式可求出参数；令函数值时，即可解得的值。
（2）比较方法：分别计算妹妹和哥哥到达图书馆所需时间，通过时间对比即可得出结论。
（1）解：当时，，
解得，
∴哥哥跑步回家时与的函数表达式为
当时，，
解得：；
（2）解：原步行速度为米/分钟，
妹妹等哥哥5分钟后以原步行速度去图书馆用时分钟，
妹妹一共用时分钟
哥哥跑步的速度为米/分钟
哥哥一共用时分钟，
所以妹妹比哥哥早到图书馆分钟．
23．【答案】（1）解：①当时，
若，则抛物线对称轴为直线，解得
二次函数解析式为；
②当时，，
当时，，
当时，，，，即；
（2）解：若时，二次函数解析式为，此抛物线的对称轴为直线
若，函数有最大值，且，解得
若，当时，函数有最大值顶点的纵坐标，解得
综上所述，或。
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【分析】本题以二次函数表格数据为背景，综合考查待定系数法、抛物线的对称性、代数式比较大小以及含参二次函数在区间上的最值分类讨论。
（1）①由 x=0 时 y=-3 得 c=-3，利用 m=n 推出抛物线的对称轴为 x=1，结合 a=1 求出 b；
②分别用含 b 的式子表示 m、n，作差得 n-m=2b+8，根据 b>-4 证明差值为正；
（2）由 b=-4a 得对称轴 x=2，分 a>0 和 a<0 两种情况，结合抛物线开口方向及区间端点与对称轴的位置关系，分别列出不等式组求解 a 的范围。
（1）解：①当时，
若时，抛物线对称轴为直线，
解得
二次函数解析式为；
②当时，，
当时，，
当时，，
，即；
（2）解：若时，二次函数解析式为，
此抛物线的对称轴为直线
若，函数有最大值，
且，解得
若，当时，函数有最大值顶点的纵坐标，解得
综上所述，或
24．【答案】（1）证明：和为等腰直角三角形且，
，，
，，即
（2）解：①和为等边三角形；，，
，即
，
②设，则由①可知，，则，
，，
，，，
，即，，
，
当时，有最小值，
的最小值为．

【知识点】圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查圆周角定理、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质。
（1）根据等腰直角三角形的性质，通过两边对应成比例且夹角相等来判定相似性。
（2）①利用等边三角形的性质，通过边角边(SAS)证明，从而得出结论。
②设，则，证出，得到，再证出，得到，代入并整理得到，即可求出结果．
（1）证明：和为等腰直角三角形且，
，
即
（2）解：①和为等边三角形
，，
即
②设，则由①可知
，则
，
，
即
，
当时，有最小值
的最小值为．
1 / 1浙江省嘉兴市平湖市九年级2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　）
A．3 B．-3 C．1 D．-2
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：∵|3|=3，|-3|=3，|1|=1，|-2|=2，
∴3=3>2>1，
∴与原点距离最近的是1，
故答案为：C.
【分析】到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断.
2．截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约为40000000次，数据“40000000”用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4000万=40000000=4×107，
故答案为：B.
【分析】将数据4000万转换为科学记数法，需先明确科学记数法的定义：形如a×10n，其中1≤|a|< 10.
3．如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的俯视图为：
，
故答案为：D．
【分析】俯视图就是从几何体上面向下看得到的平面图形，该小正方体组合的三视图有两行两列，从上至下各列小正方形个数依次为2，1；从左向右各行小正方形个数依次为1，2，据此判断得出答案.
4．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，
∴点A(1，1)的对应点为A'(3，3)，
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1：3，
∵B点的坐标为(-1，2)，
∴点B'的对应点坐标为(-1×3，2×3)，即(-3，6)，
故选：A。
【分析】本题主要考查位似变换的性质，需要正确理解位似与相似的关系，并掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系。根据点A与点A'的坐标确定相似比，再利用位似变换的性质进行计算即可。
5．排球垫球是中考体育选考项目，垫球40次及以上为满分。平平同学为了在排球垫球考试中取得好成绩，进行了为期两个阶段的训练。根据他的训练成绩计算得到中位数和方差，如下表：
中位数（次） 方差（次2）
第一阶段 36 216.02
第二阶段 38 151.46
则以下两个结论（　　）
①平平第二阶段的训练成绩中至少一半为满分。②经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定。
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】C
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：第二阶段的成绩的中位数是38次，40次及以上为满分，
∴平平第二阶段的训练成绩中至少一半低于满分，故①说法错误；
第二阶段的成绩的方差为151.46，第一阶段的成绩的方差为216.02，
∴第二阶段的成绩的方差小于第一阶段，即经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定，故②说法正确.
故答案为：C.
【分析】根据中位数与方差的定义解答即可.
6．如图，正方形的边长是6，点在边上，，连结，过点作的垂线交于点，连结，线段的长是（　　）
A． B． C．7 D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，假设的垂足为点，
在正方形中，
，，
，，且，
，，
由勾股定理得，
故选：D．
【分析】本题重点考查了正方形的相关性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，要求学生能够熟练掌握这些知识点并灵活运用。通过已知条件可以证明三角形与三角形全等，从而得出对应边，最后运用勾股定理即可求得所需结果。
7．小海的圆形镜子摔碎了，想配一面与原来直径相同的镜子．他的办法是：将一块含角的直角三角板的顶点A放在圆上，记两边与圆的交点分别为B，C，如图所示，则需测量的弦为（　　）
A． B．
C． D．、、均可
【答案】B
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，∴，
∵，∴，∴，
因此确定了，即可确定半径，
故选：B．
【分析】本题主要考查圆周角定理和解直角三角形的相关知识，需要熟练掌握并灵活运用这些知识点来解决问题。根据圆周角定理可得，圆心角∠BOC等于圆周角∠A的两倍，即。由此可知△OBC是一个等腰直角三角形。根据等腰直角三角形的性质，可以得到边OC与BC的关系为，从而完成求解。
8．我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】 解：A、根据用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺，可得此方程，该选项正确，不符合题意；
B、根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可列，该选项错误，故符合题意；
C、根据和，可得，该选项正确，不符合题意；
D、 根据和，可得，该选项正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】 设木长x尺，绳长y尺 ，根据第一种测量方法可得绳子的长度比长木的长度长4.5尺，据此列出方程y-x=4.5；根据第二种测量方法可得绳子长度的一半比长木短1尺，据此列出方程，据此逐项分析即可得出答案.
9．用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A、由作图知，和分别是的角平分线，不能说明和相似，A符合题意；
B、由作图知，，∴，B不符合题意；
C、由作图知，四边形是圆内接四边形，∴，
∵，∴，C不符合题意；
D、由作图知，点和点分别是和的中点，∴，
∴，D不符合题意；
故选：A．
【分析】本题主要考查尺规作图、相似三角形的判定、圆内接四边形的性质以及三角形中位线定理。需要根据不同的作图痕迹，结合相似三角形的判定条件进行分析判断。关键知识点：相似三角形的判定条件（如AA、SAS、SSS等），圆内接四边形的对角互补性质，三角形中位线平行于第三边且等于其一半的性质；解题思路：通过分析各选项的作图步骤，判断其是否满足相似三角形的判定定理。注意结合圆的性质和中位线定理进行辅助分析。
10．如图，菱形的对角线，交于点O，且的长度是定值．在较长的对角线上有两点E，F，，连结，，，．设四边形和四边形的面积分别是m，n，若，则下列运算结果为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的概念及表示；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，∴四边形是平行四边形，
∵，∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴ ，
∴，
∵的长度是定值，∴的长度是定值，∴的值为定值。
故选：C．
【分析】本题以菱形及对角线上的动点为背景，综合考查菱形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、相似三角形的判定与性质以及面积乘积为定值的推导。由菱形 ABCD 得 AC BD，AO = CO，面积 m =ACBD；由 OE = OF 且 AO = CO 得四边形 AECF 为平行四边形，结合 AC EF 证其为菱形，面积 n = AC EF。由 ∠ EAF + ∠ BAD = 180°及菱形性质导角，可证，从而，即。结合 BD = 2BO，EF = 2OF，可得，由于 AC 为定值，AO =AC 也为定值，故 mn 为定值。

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：x2-4x=　 　 。
【答案】x(x-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 解：x2-4x= x(x-4)；
故答案为：x(x-4).
【分析】提取公因式x， 分解因式即可。
12．一个布袋里装有只有颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球。从中任意摸出1个球，是红球的概率为　 　。
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，从5个球的袋子中任意摸出1个球，则摸出红球的概率为，
故答案为：.
【分析】根据概率公式即可求解.
13．如图，已知与相切于A点，连结，，若，则的大小为　 　．
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵与相切于A点，∴，
∵，∴，
故答案为：40．
【分析】本题考查了切线的性质以及三角形的内角和定理，通过切线的性质和三角形内角和定理可直接得出结论。
14．已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题可知：，
，
，
，
∴，
故答案为：2．
【分析】本题主要考查有理数的运算。根据题目给出的新定义，首先计算各个数的对应值，然后将这些结果相加即可得到最终答案。
15．如图，点，均在反比例函数的图象上．连结，并延长，分别与反比例函数的图象交于点，，连结，，，．若，，则k的值为　 　．
【答案】6
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：点，均在反比例函数的图象上，
点的坐标是，点的坐标是，，，，
四边形是矩形，，
，，，，
，，，
如下图所示，过点作，过点作，
则，
，
，
，，，，
点在第一象限，，，．
故答案为： ．
【分析】本题综合考查了矩形的判定与性质、反比例函数图象的性质以及反比例函数中的几何意义。
首先，根据反比例函数的性质可以证明四边形是一个矩形。已知，，因此矩形的面积为。由此可推得。进一步分析矩形的性质，可知，从而得到。根据题目条件，可以推导出。联立上述方程，可以求出和的具体数值，最终确定反比例函数的比例系数的值。
16．如图，为的直径，且，为上异于的一点．现将劣弧沿直线折叠，若弧与直径交于点，，则的长　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，作交于点，连接，交的延长线于点，连接，
，
，，
，，，
为的直径，，关于对称，
，，，
，，，，
故答案为：
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，解题关键在于合理添加辅助线。解题步骤如下：作辅助线交圆O于点E，连接，使其与AC的延长线交于点F，连接，可证得△CEF∽△BAF，根据相似关系得出， 利用对称性得出AB与BF关于BC对称， 计算得，最终求得，本题通过构造辅助线和运用几何变换的性质，综合考查了学生的空间想象能力和代数运算能力。
三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：．
（2）解不等式：．
【答案】解：（1）
；
（2），
，
，
，
，
．
【知识点】零指数幂；二次根式的化简求值；解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法及实数运算，正确掌握不等式的解法是解题关键。
（1）利用绝对值的代数意义、算术平方根性质及零指数幂法则分别化简计算；
（2）按步骤解不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，最终求出解集。
18．先化简，再求值：，其中。
【答案】解：原式=
=
=
=
当a=2时，原式=
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对分式进行通分和约分化简，再代入a=2求值.
19．如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
（1）在图中作格点C，使得．
（2）连结，，在图中作出的重心点G．（保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图所示，C为所求；
（2）解：如图所示，G为所求；
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的重心及应用；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题考查无刻度直尺作图和重心的概念。
（1）通过观察网格可以发现边AC与边BC长度相等，即，由此可得出结论。
（2）三角形的重心是三条中线的交点，结合网格特点即可确定位置。
（1）解：如图，C为所求；
（2）解：如图，G为所求；
20．某校课后服务开设“人工智能小创客”社团，开设了四个兴趣小组：A：小小机器人组；B：趣味生物组；C：电脑编程组；D：无人机组．为了了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
（1）求C组人数占抽样人数的百分比．
（2）若该校共有学生260人，请估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数．
【答案】（1）解：本次共调查了名学生，
∵A组4人，B组16人，D组12人，∴C组：，∴C组人数占抽样人数的百分比：．
（2）解：估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】本题主要考查用样本估计总体，以及条形统计图和扇形统计图的应用。
（1）首先根据条形统计图和扇形统计图的数据，计算出调查的总人数。然后确定C组的人数，再按照公式计算C组人数占抽样总人数的百分比。
（2）利用样本估计总体的方法，通过公式进行计算即可。
（1）解：本次共调查了名学生，
∵A组4人，B组16人，D组12人，
∴C组：，
∴C组人数占抽样人数的百分比：．
（2）解：估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数为人．
21．如图，在中，，将绕点A旋转得到，点B的对应点D恰好落在的延长线上．
（1）求证：平分．
（2）若，，求的正弦值．
【答案】（1）证明：由旋转可知，，
∵，∴，∴，即平分；
（2）解：在中，，，∴，
由（1）可知，即，
∵，，∴，
过点作的垂线，垂足为点．
∵，解得，
在中，，∴．
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；角平分线的概念；求正弦值
【解析】【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形的应用。
（1）根据旋转的性质，结合等腰三角形"三线合一"的特性，可以得出，由此即可证明结论成立。
（2）解题步骤如下： 首先运用勾股定理计算AB的长度；根据等腰三角形"三线合一"的性质，得出；过点B作AD的垂线，设垂足为H；通过计算△ABD的面积来确定BH的长度；最后根据正弦函数的定义求解。
（1）证明：由旋转可知，，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：在中，，，
∴，
由（1）可知，
即，
∵，，
∴，
过点作的垂线，垂足为点．
∵，
解得，
在中，，
∴．
22．兄妹两人一起步行去离家1200米的图书馆借书，途中哥哥突然发现借书证忘带了，于是马上跑步回家拿借书证，3分钟后又以相同的速度跑步去图书馆．妹妹在原地等了5分钟后，以原速度步行去图书馆．两人离家的路程y（米）与所经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示．已知哥哥跑步回家时y与x的函数表达式为．
（1）求k与a的值．
（2）妹妹比哥哥早到图书馆多少分钟？
【答案】（1）解：当时，，解得，∴哥哥跑步回家时与的函数表达式为
当时，，解得：；
∴，
（2）解：原步行速度为（米/分钟），
妹妹等哥哥5分钟后以原步行速度去图书馆用时（分钟），
妹妹一共用时（分钟）
哥哥跑步的速度为（米/分钟）
哥哥一共用时（分钟），
所以妹妹比哥哥早到图书馆（分钟）．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题主要考查一次函数在实际问题中的应用，正确分析函数图象是解题的核心。
（1）求解步骤：将代入函数式可求出参数；令函数值时，即可解得的值。
（2）比较方法：分别计算妹妹和哥哥到达图书馆所需时间，通过时间对比即可得出结论。
（1）解：当时，，
解得，
∴哥哥跑步回家时与的函数表达式为
当时，，
解得：；
（2）解：原步行速度为米/分钟，
妹妹等哥哥5分钟后以原步行速度去图书馆用时分钟，
妹妹一共用时分钟
哥哥跑步的速度为米/分钟
哥哥一共用时分钟，
所以妹妹比哥哥早到图书馆分钟．
23．已知，二次函数，x与y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … t m p n …
（1）当时，
①若，求二次函数解析式．
②若，求证：．
（2）若，且当时，函数y有最大值，求a的取值范围．
【答案】（1）解：①当时，
若，则抛物线对称轴为直线，解得
二次函数解析式为；
②当时，，
当时，，
当时，，，，即；
（2）解：若时，二次函数解析式为，此抛物线的对称轴为直线
若，函数有最大值，且，解得
若，当时，函数有最大值顶点的纵坐标，解得
综上所述，或。
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【分析】本题以二次函数表格数据为背景，综合考查待定系数法、抛物线的对称性、代数式比较大小以及含参二次函数在区间上的最值分类讨论。
（1）①由 x=0 时 y=-3 得 c=-3，利用 m=n 推出抛物线的对称轴为 x=1，结合 a=1 求出 b；
②分别用含 b 的式子表示 m、n，作差得 n-m=2b+8，根据 b>-4 证明差值为正；
（2）由 b=-4a 得对称轴 x=2，分 a>0 和 a<0 两种情况，结合抛物线开口方向及区间端点与对称轴的位置关系，分别列出不等式组求解 a 的范围。
（1）解：①当时，
若时，抛物线对称轴为直线，
解得
二次函数解析式为；
②当时，，
当时，，
当时，，
，即；
（2）解：若时，二次函数解析式为，
此抛物线的对称轴为直线
若，函数有最大值，
且，解得
若，当时，函数有最大值顶点的纵坐标，解得
综上所述，或
24．已知四边形内接于，对角线，交于点E，P为上一点，连结．
（1）如图1，若为的直径，且与均为等腰直角三角形，求证：．
（2）如图2，若与均为等边三角形，
①求证：．
②若，求的最小值．
【答案】（1）证明：和为等腰直角三角形且，
，，
，，即
（2）解：①和为等边三角形；，，
，即
，
②设，则由①可知，，则，
，，
，，，
，即，，
，
当时，有最小值，
的最小值为．

【知识点】圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查圆周角定理、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质。
（1）根据等腰直角三角形的性质，通过两边对应成比例且夹角相等来判定相似性。
（2）①利用等边三角形的性质，通过边角边(SAS)证明，从而得出结论。
②设，则，证出，得到，再证出，得到，代入并整理得到，即可求出结果．
（1）证明：和为等腰直角三角形且，
，
即
（2）解：①和为等边三角形
，，
即
②设，则由①可知
，则
，
，
即
，
当时，有最小值
的最小值为．
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