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浙江省衢州市实验教育集团2025年中考三模数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．据衢州气象台发布，2024年衢州最低温度为．下列四个数中，比小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．学校计划从甲、乙两人中选拔名同学参加市知识竞赛，两位同学次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
5．估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．如图，四边形与四边形位似，位似中心是O，若，且四边形的周长为5，则四边形的周长为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．45
7．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆曲线的半径，则这段圆曲线（弧）的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，，点H，F分别在边上，点E，G在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（　　）
A．4 B． C． D．
10．已知反比例函数，当时，函数的最小值为，则当时，函数有（　　）
A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： 　 　．
12．不透明袋子中装有6个球，其中有3个绿球、2个红球、1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则它是红球的概率为　 　．
13．如图，点A，B，C均在上，，则的度数为　 　．
14．当　 　时，分式的值为2．
15．如图，中，D，E分别是的中点．若，则的长等于　 　．
16．如图，已知菱形的边长为5，点在边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，且，则的长度为　 　．
三、解答题（17－21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．计算：．
18．解方程组：．
19．如图，在中，点是边上一点，且．
（1）求的长．
（2）求的值．
20．广大附中为开展“悦读”活动，对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是5本，最多的是8本，并根据调查结果绘制了如图不完整的图表．
（1）补全条形统计图，扇形统计图中的______；
（2）本次抽样调查中，中位数是______，扇形统计图中课外阅读5本的扇形的圆心角大小为______度；
（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数．
21．如图，在平行四边形中，为对角线，点为上一点，且平分．
（1）请利用无刻度的直尺和圆规作出的平分线交于点（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的基础上，求证：四边形是平行四边形．
22．小明骑自行车从甲地出发去乙地，同时小亮跑步从甲地出发到乙地．小明骑行后在某地休息了一段时间，休息结束后继续按原速骑行到达乙地，小亮直接跑步到乙地．已知甲、乙两地相距．下面图中表示出发的时间，表示两人离乙地的距离．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：图中______，______．
（2）请求出线段的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
（3）请求出小明休息结束后到小亮到达乙地这段时间，两人相距，出发的时间的值？
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线，抛物线顶点的纵坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若将抛物线向右平移个单位长度后，图象恰好经过点，求的值．
（3）只取抛物线在间的部分记为，将在直线上方的部分沿翻折，的其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围．
24．如图，等腰内接于，连接，过点作的平行线交于点，连接，交于点，交于点，连接
（1）若，请用含的代数式表示．
（2）求证：．
（3）若，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：A.，负数绝对值越大，数值越小，A符合题意；
B.，B不符合题意；
C.，C不符合题意；
D.，D不符合题意。
故选：A．
【分析】通过逐一分析各选项中的数值关系可进行判断。
2．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图均为长方形，可判断该几何体属于柱体；再结合俯视图为三角形，进一步确定该几何体为三棱柱。
故选：D。
【分析】本题考查三视图还原几何体的能力，关键在于理解三视图与立体几何图形之间的对应关系。通过三视图的形状特征分析，即可确定几何体的类型。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A运算错误，不符合题意；
B、，故B运算错误，不符合题意；
C、，故C运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法逐项判断解答即可．
4．【答案】A
【知识点】折线统计图；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由图示可知，甲的成绩波动幅度明显大于乙的成绩波动幅度，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查方差的意义，关键在于理解方差是衡量数据波动大小的指标。方差越大，表明数据离散程度越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越好。通过分析图中甲乙两组成绩的波动情况即可得出结论。
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜14＜16，
∴3＜＜4；即在3和4之间.
故选：C.
【分析】由题意易得3＜＜4，结合各选项可求解.
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：已知，
因此。
由于四边形与四边形以点O为位似中心，
所以它们的相似比为1：3，
因此周长比也是1：3。
已知四边形的周长为5，
所以四边形的周长为。
故选：B．
【分析】本题主要考查位似图形的性质：位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比，且周长之比等于相似比。由 OA ： AE = 1 ： 2 可得 OA ： OE = 1 ： 3，即四边形 ABCD 与 EFGH 的相似比为 1 ： 3，因此周长比也为 1 ： 3，已知 ABCD 周长为 5，则 EFGH 周长为 15。
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；数形结合
【解析】【解答】解：去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
解集表示在数轴上如图所示：
故答案为：D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集，然后根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来即可.
8．【答案】C
【知识点】切线的性质；弧长的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题可知：转角为，
∴，
∵过点，B的两条切线相交于点，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：C．
【分析】这道题目考查了圆的切线性质以及弧长的计算方法。题目中给出的转角为，由此可以推导出。根据圆的切线性质，我们知道。通过四边形内角和定理，我们可以求出的度数，最后利用弧长公式就能计算出所求的弧长。
9．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示：连接交于，
四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在与中，
，
，
，
中，，，
，
，
，，
，
，即，
，
故选：D．
【分析】本题综合考查了菱形和矩形的性质，重点考查全等三角形与相似三角形的判定方法及其性质应用。解题过程中，正确添加辅助线是解决问题的关键步骤。首先连接与相交于点。通过证明（AAS全等条件），可以得出的结论。接着利用勾股定理计算的长度，从而确定的具体数值。最后通过证明（相似三角形），并运用相似三角形的性质即可求得最终答案。
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：已知反比例函数为（其中），其图象位于第二、四象限。
在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大。
由题可知：当时，函数的最小值为。
根据函数值随自变量的增大而增大，最小值出现在处，
因此有：，解得。
当自变量范围变为时：
最小值出现在处，为；
最大值出现在处，为。
故选：B．
【分析】本题考查反比例函数的性质，重点分析函数在给定区间内的最值情况。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
12．【答案】
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：共有6个球，随机摸出1个球的所有可能结果数为6，其中红球的结果数为2。
∴；
故答案为：。
【分析】本题考查概率的计算，直接利用红球数量除以总球数即可得出结果。
13．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。已知 B、C 两点在 O 上，BOC 是 BC 弧所对的圆心角，BAC 是同一弧所对的圆周角，因此 BAC =BOC = = 50。
14．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：由题可知，，
∴
，
，
经检验：是原分式方程的解．
故答案为：．
【分析】本题主要考查分式方程的解法。根据题意列出方程，两边同乘 x+1 化为整式方程 x-2 = 2(x+1)，求解得 x = -4，再代入原方程分母验证 x+1 0，确认不是增根。
15．【答案】15
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：在 △ADB 中，AD = 9，BD = 12，AB = 15。
因为 92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152，
所以△ADB 是直角三角形，且∠ ADB = 90°。
因为 D、E 分别是 AC、AB 的中点，
所以 DE 是 △ABC 的中位线，故 DE = BC。
又因为△ADB 是直角三角形，E 为斜边 AB 的中点，
所以 DE 也是斜边上的中线，故 DE = AB =15 = 7.5。
因此 BC = 7.5，解得 BC = 15。
故答案为： 15。
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理。先由 AD=9、BD=12、AB=15 验证 AD2+BD2=AB2，得 △ ADB 为直角三角形且 ∠ ADB=90°。由 D、E 分别为 AC、AB 的中点，得 DE 既是△ ABC 的中位线又是 Rt△ ADB 斜边上的中线，从而 DE =BC =AB，解得 BC = AB = 15。
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，在的延长线上取点，使，
∵四边形是菱形，∴，，，∴
∵，∴，
∵，∴，
由对折可得：，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
设，则，∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【分析】本题重点考查了折叠变换的性质、菱形的特征、相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键。首先过点作垂线交于点，然后在的延长线上选取点，使得。通过分析菱形的特性以及折叠后的几何关系，结合三角形外角定理，可以推导出。根据相似三角形的比例关系得出。假设，则，进一步得到，从而完成解答。
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查的是包含特殊角度的三角函数混合运算，涉及绝对值化简和负整数指数幂的计算。解题步骤为：首先对绝对值部分进行化简，然后计算特殊角度的三角函数值，接着处理负整数指数幂，最后进行加减运算即可得出结果。
18．【答案】解：，
①②，得，解得，
把代入①，得
方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题关键在于熟练掌握加减消元法的运用步骤。
19．【答案】（1）解：∵
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∵AB=13，AE=12，
∴；
（2）解：∵
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠AEB=90°，在Rt△ABE中，直接利用勾股定理算出BE的长；
（2）由等腰三角形的三线合一得ED=BE=5，由线段和差得CE=16，最后根据正切函数的定义可直接求出∠ACE的正切值.
（1）解：∵
∴在中，．
（2）解：∵
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
则．
20．【答案】（1）解：调查的总人数为（人），
阅读5本的人数为（人），
补全条形统计图如下：
a=20
（2）6；72
（3）解：（人），
答：估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数有264人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵调查的总人数为（人），
∴，∴，
故答案为：20；
（2）解：将50名学生课外阅读本数从低到高排列，
∵第25和26个数字均为6，
∴中位数为，
∵扇形统计图中课外阅读有5本
∴扇形的圆心角大小为；
故答案为：6；72．
【分析】本题考查内容包括扇形统计图、条形统计图的解读，中位数的计算，以及用样本数据估计总体情况的方法。掌握这些统计基本概念并能灵活运用，是解决此类问题的关键，这类题目在中考中较为常见。（1）首先根据阅读6本的学生人数及其所占百分比，计算出总调查人数。然后利用总人数减去其他各组人数，求出阅读5本的人数，从而补全条形统计图，并确定a的值。
（2）按照中位数的定义进行计算分析。同时，使用乘以阅读7本的学生所占比例，得出对应的扇形圆心角度数。
（3）通过计算样本中"课外阅读至少7本"的学生比例，推算出总体中符合该条件的学生人数。
（1）解：调查的总人数为（人），
阅读5本的人数为（人），
∴，
∴，
补全条形统计图如下：
故答案为：20；
（2）解：将50名学生课外阅读本数从低到高排列，第25和26个数字均为6，
故中位数为，
扇形统计图中课外阅读5本的扇形的圆心角大小为；
故答案为：6；72．
（3）解：（人），
答：估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数有264人．
21．【答案】（1）解：如图所示：的平分线交于点，
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵平分，且由（1）得平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形判定与性质、角平分线定义及尺规作图等知识点，正确理解相关性质是解题关键。
（1）根据题目要求，作出角平分线：用尺规作出的平分线，使其与边相交于点。
（2）证明过程：由平行四边形ABCD性质可得且，根据平行线性质得；由CE平分及(1)中AF平分，可得；由角度关系推出，结合已知平行关系，根据"两组对边分别平行的四边形是平行四边形"即证。
（1）解：的平分线交于点，如图所示：
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，且由（1）得平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
22．【答案】（1）40，5000
（2）解：设线段的函数表达式为：；
由（1）和图象可知，线段经过点，代入得：
，解得：，
∴；
（3）解：设的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴，
由题意，当时，，
∴当时，，解得：（舍去）；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题可知，小明骑车的速度为：，
∴，；
【分析】本题主要考查一次函数在实际问题中的应用，关键在于从图象中准确提取信息，正确求出函数解析式。（1）求a和b的值：通过计算小明的骑车速度，进一步确定a和b的值。
（2）确定函数解析式：采用待定系数法，设出函数解析式并求解。
（3）分析OD的解析式：求出OD的解析式后，分三种情况进行讨论分析。
（1）解：由题意，小明骑车的速度为：，
∴，；
（2）设线段的函数表达式为：；
由（1）和图象可知，线段经过点，代入得：
，解得：，
∴；
（3）设的解析式为：，把代入，得：
，
∴，
∴，
由题意，当时，，
∴当时，，解得：（舍去）；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上：或．
23．【答案】（1）解：∵，∴对称轴为直线，
∵抛物线顶点的纵坐标为，∴当时，，∴，∴；
（2）解：∵，∴将抛物线向右平移个单位长度后，得到，
∵平移后的图象恰好经过点，∴，解得：或；
（3）解：设图象折叠后的对应点为，点H是时，函数所处的位置，图象Q为区域，
∵，当时，，∴点，点，∴点，
当点在点下方或与M平齐时，图象Q的最低点为，最高点为N，
则，，依题意得：．解得，
当点在点上方时，函数Q的最高点为点，最低点为，
则，，依题意得：．解得：．
综上所述：．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，包括二次函数图象的平移变换。解题关键在于正确求出函数解析式，掌握平移规律，并能灵活运用数形结合与分类讨论的思想方法：
（1）首先确定抛物线的对称轴，根据顶点纵坐标为的条件，得出当时函数值为，进而求解解析式；
（2）根据平移变换规则，确定新函数的解析式后，利用待定系数法求出参数的值；
（3）设图像折叠后点的对应点为，其中点表示时的函数位置。折叠后的图像对应区域。需要分两种情况讨论：当点位于点下方或与之齐平时，以及当点位于点上方时的不同解法。
（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵抛物线顶点的纵坐标为，
∴当时，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴将抛物线向右平移个单位长度后，得到，
∵平移后的图象恰好经过点，
∴，
解得：或；
（3）设图象折叠后的对应点为，点H是时，函数所处的位置，图象Q为区域，
∵，当时，
∴点，点，
∴点，
当点在点下方或与M平齐时，图象Q的最低点为，最高点为N，
则，，
依题意得：．
解得，
当点在点上方时，函数Q的最高点为点，最低点为，
则，，依题意得：
．
解得：．
综上所述：．
24．【答案】（1）解：如图所示，连接，
则：，
∵，∴垂直平分，∴平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：∵，∴，∵，∴，
∵，∴，即：，
∵，∴，
∵，，∴，∴；
（3）解：如图所示，连接并延长交于点N，连接，
由（1）可知：垂直平分，，∴，
由（2）知：，，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴垂直平分，∴， ∴，
∴，
由得：，∴，∴，
∴，，
∵，
∴，∴，
∴，∴（负值已舍），
∵，∴，∴，
∴， ∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点。熟练掌握这些知识是解题的关键。（1）连接OA、OB，根据圆的对称性可知AO垂直平分BC，利用等腰三角形三线合一性质可得AO平分∠BAC。设∠OAC=∠OCA=α，则∠BAC=2α。再根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ACB的度数，最后运用圆周角定理得出∠ADB=∠ACB的结论。
（2）利用平行线性质结合圆周角定理，可证得∠CBD=∠OCA。通过等边对等角性质和角的和差关系，配合圆周角定理推导出∠BCM=∠ACD。再结合三角形外角性质和角的和差关系，证明∠DMC=∠DCM，从而根据等角对等边得出所需结论。
（3）连接并延长交于点N，连接，证明，推出垂直平分，得到，进而得到，求出的长，证明，求出的长，证明，求出的长，利用分割法得到，进行求解即可。
（1）解：连接，则：，
∵，
∴垂直平分，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）如图，连接并延长交于点N，连接，
由（1）可知：垂直平分，，
∴，
由（2）知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
由得：
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省衢州市实验教育集团2025年中考三模数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．据衢州气象台发布，2024年衢州最低温度为．下列四个数中，比小的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：A.，负数绝对值越大，数值越小，A符合题意；
B.，B不符合题意；
C.，C不符合题意；
D.，D不符合题意。
故选：A．
【分析】通过逐一分析各选项中的数值关系可进行判断。
2．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图均为长方形，可判断该几何体属于柱体；再结合俯视图为三角形，进一步确定该几何体为三棱柱。
故选：D。
【分析】本题考查三视图还原几何体的能力，关键在于理解三视图与立体几何图形之间的对应关系。通过三视图的形状特征分析，即可确定几何体的类型。
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A运算错误，不符合题意；
B、，故B运算错误，不符合题意；
C、，故C运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法逐项判断解答即可．
4．学校计划从甲、乙两人中选拔名同学参加市知识竞赛，两位同学次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】折线统计图；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由图示可知，甲的成绩波动幅度明显大于乙的成绩波动幅度，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查方差的意义，关键在于理解方差是衡量数据波动大小的指标。方差越大，表明数据离散程度越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越好。通过分析图中甲乙两组成绩的波动情况即可得出结论。
5．估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜14＜16，
∴3＜＜4；即在3和4之间.
故选：C.
【分析】由题意易得3＜＜4，结合各选项可求解.
6．如图，四边形与四边形位似，位似中心是O，若，且四边形的周长为5，则四边形的周长为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．45
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：已知，
因此。
由于四边形与四边形以点O为位似中心，
所以它们的相似比为1：3，
因此周长比也是1：3。
已知四边形的周长为5，
所以四边形的周长为。
故选：B．
【分析】本题主要考查位似图形的性质：位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比，且周长之比等于相似比。由 OA ： AE = 1 ： 2 可得 OA ： OE = 1 ： 3，即四边形 ABCD 与 EFGH 的相似比为 1 ： 3，因此周长比也为 1 ： 3，已知 ABCD 周长为 5，则 EFGH 周长为 15。
7．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；数形结合
【解析】【解答】解：去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
解集表示在数轴上如图所示：
故答案为：D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集，然后根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来即可.
8．中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆曲线的半径，则这段圆曲线（弧）的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】切线的性质；弧长的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题可知：转角为，
∴，
∵过点，B的两条切线相交于点，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：C．
【分析】这道题目考查了圆的切线性质以及弧长的计算方法。题目中给出的转角为，由此可以推导出。根据圆的切线性质，我们知道。通过四边形内角和定理，我们可以求出的度数，最后利用弧长公式就能计算出所求的弧长。
9．如图，在矩形中，，，点H，F分别在边上，点E，G在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示：连接交于，
四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在与中，
，
，
，
中，，，
，
，
，，
，
，即，
，
故选：D．
【分析】本题综合考查了菱形和矩形的性质，重点考查全等三角形与相似三角形的判定方法及其性质应用。解题过程中，正确添加辅助线是解决问题的关键步骤。首先连接与相交于点。通过证明（AAS全等条件），可以得出的结论。接着利用勾股定理计算的长度，从而确定的具体数值。最后通过证明（相似三角形），并运用相似三角形的性质即可求得最终答案。
10．已知反比例函数，当时，函数的最小值为，则当时，函数有（　　）
A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：已知反比例函数为（其中），其图象位于第二、四象限。
在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大。
由题可知：当时，函数的最小值为。
根据函数值随自变量的增大而增大，最小值出现在处，
因此有：，解得。
当自变量范围变为时：
最小值出现在处，为；
最大值出现在处，为。
故选：B．
【分析】本题考查反比例函数的性质，重点分析函数在给定区间内的最值情况。
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
12．不透明袋子中装有6个球，其中有3个绿球、2个红球、1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则它是红球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：共有6个球，随机摸出1个球的所有可能结果数为6，其中红球的结果数为2。
∴；
故答案为：。
【分析】本题考查概率的计算，直接利用红球数量除以总球数即可得出结果。
13．如图，点A，B，C均在上，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。已知 B、C 两点在 O 上，BOC 是 BC 弧所对的圆心角，BAC 是同一弧所对的圆周角，因此 BAC =BOC = = 50。
14．当　 　时，分式的值为2．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：由题可知，，
∴
，
，
经检验：是原分式方程的解．
故答案为：．
【分析】本题主要考查分式方程的解法。根据题意列出方程，两边同乘 x+1 化为整式方程 x-2 = 2(x+1)，求解得 x = -4，再代入原方程分母验证 x+1 0，确认不是增根。
15．如图，中，D，E分别是的中点．若，则的长等于　 　．
【答案】15
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：在 △ADB 中，AD = 9，BD = 12，AB = 15。
因为 92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152，
所以△ADB 是直角三角形，且∠ ADB = 90°。
因为 D、E 分别是 AC、AB 的中点，
所以 DE 是 △ABC 的中位线，故 DE = BC。
又因为△ADB 是直角三角形，E 为斜边 AB 的中点，
所以 DE 也是斜边上的中线，故 DE = AB =15 = 7.5。
因此 BC = 7.5，解得 BC = 15。
故答案为： 15。
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理。先由 AD=9、BD=12、AB=15 验证 AD2+BD2=AB2，得 △ ADB 为直角三角形且 ∠ ADB=90°。由 D、E 分别为 AC、AB 的中点，得 DE 既是△ ABC 的中位线又是 Rt△ ADB 斜边上的中线，从而 DE =BC =AB，解得 BC = AB = 15。
16．如图，已知菱形的边长为5，点在边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，且，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，在的延长线上取点，使，
∵四边形是菱形，∴，，，∴
∵，∴，
∵，∴，
由对折可得：，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
设，则，∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【分析】本题重点考查了折叠变换的性质、菱形的特征、相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键。首先过点作垂线交于点，然后在的延长线上选取点，使得。通过分析菱形的特性以及折叠后的几何关系，结合三角形外角定理，可以推导出。根据相似三角形的比例关系得出。假设，则，进一步得到，从而完成解答。
三、解答题（17－21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查的是包含特殊角度的三角函数混合运算，涉及绝对值化简和负整数指数幂的计算。解题步骤为：首先对绝对值部分进行化简，然后计算特殊角度的三角函数值，接着处理负整数指数幂，最后进行加减运算即可得出结果。
18．解方程组：．
【答案】解：，
①②，得，解得，
把代入①，得
方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题关键在于熟练掌握加减消元法的运用步骤。
19．如图，在中，点是边上一点，且．
（1）求的长．
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∵AB=13，AE=12，
∴；
（2）解：∵
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠AEB=90°，在Rt△ABE中，直接利用勾股定理算出BE的长；
（2）由等腰三角形的三线合一得ED=BE=5，由线段和差得CE=16，最后根据正切函数的定义可直接求出∠ACE的正切值.
（1）解：∵
∴在中，．
（2）解：∵
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
则．
20．广大附中为开展“悦读”活动，对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是5本，最多的是8本，并根据调查结果绘制了如图不完整的图表．
（1）补全条形统计图，扇形统计图中的______；
（2）本次抽样调查中，中位数是______，扇形统计图中课外阅读5本的扇形的圆心角大小为______度；
（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数．
【答案】（1）解：调查的总人数为（人），
阅读5本的人数为（人），
补全条形统计图如下：
a=20
（2）6；72
（3）解：（人），
答：估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数有264人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵调查的总人数为（人），
∴，∴，
故答案为：20；
（2）解：将50名学生课外阅读本数从低到高排列，
∵第25和26个数字均为6，
∴中位数为，
∵扇形统计图中课外阅读有5本
∴扇形的圆心角大小为；
故答案为：6；72．
【分析】本题考查内容包括扇形统计图、条形统计图的解读，中位数的计算，以及用样本数据估计总体情况的方法。掌握这些统计基本概念并能灵活运用，是解决此类问题的关键，这类题目在中考中较为常见。（1）首先根据阅读6本的学生人数及其所占百分比，计算出总调查人数。然后利用总人数减去其他各组人数，求出阅读5本的人数，从而补全条形统计图，并确定a的值。
（2）按照中位数的定义进行计算分析。同时，使用乘以阅读7本的学生所占比例，得出对应的扇形圆心角度数。
（3）通过计算样本中"课外阅读至少7本"的学生比例，推算出总体中符合该条件的学生人数。
（1）解：调查的总人数为（人），
阅读5本的人数为（人），
∴，
∴，
补全条形统计图如下：
故答案为：20；
（2）解：将50名学生课外阅读本数从低到高排列，第25和26个数字均为6，
故中位数为，
扇形统计图中课外阅读5本的扇形的圆心角大小为；
故答案为：6；72．
（3）解：（人），
答：估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数有264人．
21．如图，在平行四边形中，为对角线，点为上一点，且平分．
（1）请利用无刻度的直尺和圆规作出的平分线交于点（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的基础上，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：如图所示：的平分线交于点，
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵平分，且由（1）得平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形判定与性质、角平分线定义及尺规作图等知识点，正确理解相关性质是解题关键。
（1）根据题目要求，作出角平分线：用尺规作出的平分线，使其与边相交于点。
（2）证明过程：由平行四边形ABCD性质可得且，根据平行线性质得；由CE平分及(1)中AF平分，可得；由角度关系推出，结合已知平行关系，根据"两组对边分别平行的四边形是平行四边形"即证。
（1）解：的平分线交于点，如图所示：
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，且由（1）得平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
22．小明骑自行车从甲地出发去乙地，同时小亮跑步从甲地出发到乙地．小明骑行后在某地休息了一段时间，休息结束后继续按原速骑行到达乙地，小亮直接跑步到乙地．已知甲、乙两地相距．下面图中表示出发的时间，表示两人离乙地的距离．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：图中______，______．
（2）请求出线段的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
（3）请求出小明休息结束后到小亮到达乙地这段时间，两人相距，出发的时间的值？
【答案】（1）40，5000
（2）解：设线段的函数表达式为：；
由（1）和图象可知，线段经过点，代入得：
，解得：，
∴；
（3）解：设的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴，
由题意，当时，，
∴当时，，解得：（舍去）；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题可知，小明骑车的速度为：，
∴，；
【分析】本题主要考查一次函数在实际问题中的应用，关键在于从图象中准确提取信息，正确求出函数解析式。（1）求a和b的值：通过计算小明的骑车速度，进一步确定a和b的值。
（2）确定函数解析式：采用待定系数法，设出函数解析式并求解。
（3）分析OD的解析式：求出OD的解析式后，分三种情况进行讨论分析。
（1）解：由题意，小明骑车的速度为：，
∴，；
（2）设线段的函数表达式为：；
由（1）和图象可知，线段经过点，代入得：
，解得：，
∴；
（3）设的解析式为：，把代入，得：
，
∴，
∴，
由题意，当时，，
∴当时，，解得：（舍去）；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上：或．
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线，抛物线顶点的纵坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若将抛物线向右平移个单位长度后，图象恰好经过点，求的值．
（3）只取抛物线在间的部分记为，将在直线上方的部分沿翻折，的其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵，∴对称轴为直线，
∵抛物线顶点的纵坐标为，∴当时，，∴，∴；
（2）解：∵，∴将抛物线向右平移个单位长度后，得到，
∵平移后的图象恰好经过点，∴，解得：或；
（3）解：设图象折叠后的对应点为，点H是时，函数所处的位置，图象Q为区域，
∵，当时，，∴点，点，∴点，
当点在点下方或与M平齐时，图象Q的最低点为，最高点为N，
则，，依题意得：．解得，
当点在点上方时，函数Q的最高点为点，最低点为，
则，，依题意得：．解得：．
综上所述：．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，包括二次函数图象的平移变换。解题关键在于正确求出函数解析式，掌握平移规律，并能灵活运用数形结合与分类讨论的思想方法：
（1）首先确定抛物线的对称轴，根据顶点纵坐标为的条件，得出当时函数值为，进而求解解析式；
（2）根据平移变换规则，确定新函数的解析式后，利用待定系数法求出参数的值；
（3）设图像折叠后点的对应点为，其中点表示时的函数位置。折叠后的图像对应区域。需要分两种情况讨论：当点位于点下方或与之齐平时，以及当点位于点上方时的不同解法。
（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵抛物线顶点的纵坐标为，
∴当时，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴将抛物线向右平移个单位长度后，得到，
∵平移后的图象恰好经过点，
∴，
解得：或；
（3）设图象折叠后的对应点为，点H是时，函数所处的位置，图象Q为区域，
∵，当时，
∴点，点，
∴点，
当点在点下方或与M平齐时，图象Q的最低点为，最高点为N，
则，，
依题意得：．
解得，
当点在点上方时，函数Q的最高点为点，最低点为，
则，，依题意得：
．
解得：．
综上所述：．
24．如图，等腰内接于，连接，过点作的平行线交于点，连接，交于点，交于点，连接
（1）若，请用含的代数式表示．
（2）求证：．
（3）若，求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图所示，连接，
则：，
∵，∴垂直平分，∴平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：∵，∴，∵，∴，
∵，∴，即：，
∵，∴，
∵，，∴，∴；
（3）解：如图所示，连接并延长交于点N，连接，
由（1）可知：垂直平分，，∴，
由（2）知：，，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴垂直平分，∴， ∴，
∴，
由得：，∴，∴，
∴，，
∵，
∴，∴，
∴，∴（负值已舍），
∵，∴，∴，
∴， ∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点。熟练掌握这些知识是解题的关键。（1）连接OA、OB，根据圆的对称性可知AO垂直平分BC，利用等腰三角形三线合一性质可得AO平分∠BAC。设∠OAC=∠OCA=α，则∠BAC=2α。再根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ACB的度数，最后运用圆周角定理得出∠ADB=∠ACB的结论。
（2）利用平行线性质结合圆周角定理，可证得∠CBD=∠OCA。通过等边对等角性质和角的和差关系，配合圆周角定理推导出∠BCM=∠ACD。再结合三角形外角性质和角的和差关系，证明∠DMC=∠DCM，从而根据等角对等边得出所需结论。
（3）连接并延长交于点N，连接，证明，推出垂直平分，得到，进而得到，求出的长，证明，求出的长，证明，求出的长，利用分割法得到，进行求解即可。
（1）解：连接，则：，
∵，
∴垂直平分，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）如图，连接并延长交于点N，连接，
由（1）可知：垂直平分，，
∴，
由（2）知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
由得：
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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