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浙江省温州市苍南外国语学校、瓯北五中2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．﹣6的相反数是（　　）
A．﹣6 B．﹣ C．6 D．
2．哪吒作为中国传统文化中的经典形象，其故事和精神内核深植于中华民族的文化土壤，截至年月日，《哪吒之魔童闹海》累计票房超亿，成为全球动画电影票房榜第一．用科学记数法表示亿正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示，几何体由5个相同的小正方体组成，则该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色
6．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于
C．有一个内角小于或等于 D．每一个内角都小于
7．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．，是反比例函数图象上的两点，下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
9．如图，已知为底的等腰内接于半径为的，（是锐角），则的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，点M，N分别在线段上，且，，且，若，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．比较大小：　 　填“>，<或=”
12．内角和是外角和的两倍的多边形的边数是　 　．
13．某学校对学生课余时间经常参加的四种球类运动情况做了调查，并将调查数据整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图．如果参加篮球运动的人数为80人，那么该校参加各种球类运动的学生共有　 　人．
14．如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为　 　．
15．如图，已知四边形中，，平分，点E在边上且，连接，若，，，则，，之间的数量关系是　 　．
16．若分式的值为0，则x的值为　 　．
三、解答题：本题共9小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
18．解不等式组：，并求出x的整数解．
19．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上．
（1）求证：是等边三角形．
（2）若，求的长．
20．甲、乙两名同学要参加知识竞赛，已知竞赛共100道题，每题1分，满分为100分．两位同学各模拟了十次，将成绩绘制成如下的统计图和统计表：
甲、乙成绩统计表
平均成绩/分 中位数/分 方差/分
甲 96 a
乙 96 96 b
（1）求a、b的值；
（2）若将每题1分改为每题分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将　 　填“变大”、“变小”或“不变”
21．老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线．甲同学的方法：如图1，连接，作的垂直平分线交于点M，以M为圆心，为半径画圆，交于点Q，连接，即为的切线；乙同学的方法：如图2，连接，交于点B，以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，，交于点M，作直线，即为过点P所求的其中一条切线．
（1）根据甲同学的作法，的依据是______；
（2）根据乙同学的作法，请说明直线为切线的理由．
22．如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格：
托盘与点的距离
托盘中的砝码质量
（1）与x之间的函数表达式为______；
（2）当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离；
（3）当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由．
23．已知二次函数的图象经过点
（1）求二次函数的图象的对称轴；
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移1个单位长度，得到新的二次函数，当时，求的取值范围；
（3）若该二次函数图象与x轴分别为，，且，若，求a的取值范围．
24．如图1，等腰与正方形的顶点重合于点C，连接，，点M为的中点，直线交于点．对于旋转问题中位置关系的研究，我们的研究的思路是从特殊到一般，要探究与的位置关系，可先将其位置特殊化．
（1）如图2，当点E，F分别落在正方形的边上，与正方形对角线交于点N，
①若正方形的边长为3，，连接，求的长度；
②判断直线、的位置关系，并说明理由；
（2）如图1，点E落在正方形内，求证：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】 6的相反数是：6，
故选C.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】观察几何体的正视图可见：左侧排列有两层结构，右侧排列为单层结构，因此选项A符合该视图特征。
故选：A．
【分析】本题主要考查三视图知识，重点掌握： 主视图是从物体正面观察所得的投影视图，准确识别视图层次结构是解题关键。根据几何体的主视图（即从正面观察到的图形）特征进行判断。
4．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C．，故C错误：
D、，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据平方根的意义分别进行化简，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，得不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，
故，，
，，
根据图象，得该球频率稳定在，
故其概率约为．
故答案为：A．
【分析】用袋中白色小球的个数比上袋中小球的总个数求得从袋中随机摸出一个小球是白色小球的概率，同理求出从袋中随机摸出一个小球是黑色、红色及白色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在0.20，比较即可得出结论.
6．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设：每一个内角都小于．
故答案为：D．
【分析】假设结论不成立时，要先假每一个内角都小于解答即可．
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：．
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方以及合并同类项等知识。解题时需先将等式两边通过合并同类项和幂的乘方转化为同底数的幂的形式，再通过比较指数建立关系式。熟练掌握相关运算法则是解决此类问题的关键。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数常量，∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
A、当时，，两点都在第一象限，，说法错误，A不符合题意；
B、当时，在第一象限，在第三象限，，说法错误，B不符合题意；
C、当时，，两点都在第三象限，，说法错误，C不符合题意；
D、当时，在第一象限，在第三象限，，说法正确，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征。题目给出了反比例函数（其中），需要比较两点和的函数值大小关系。解题时需要结合反比例函数的性质，分析两点横坐标的符号和相对大小，从而判断函数值的大小关系。
9．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】解：如图，连接并延长，交于，连接、，
可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴的面积为：，
故选：D．
【分析】本题综合考查了圆周角定理、弧弦圆心角关系、等腰三角形性质、三角形外角定理以及解直角三角形等知识点。解题的关键在于熟练掌握并灵活运用锐角三角函数的相关定义和性质。首先连接线段并延长，使其与边相交于点。接着连接半径和。根据圆周角定理，可以得出圆心角。在同一个圆中，相等的弦所对应的圆心角也相等，因此。根据等腰三角形的性质，可以推导出。再应用三角形的外角定理，得到，这表明线段垂直于边。根据等腰三角形的三线合一性质，可以确定。最后，通过解直角三角形分别计算出边和的长度，再应用三角形面积公式完成计算。
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：在上取一点P，使得，过C作于Q，如图：
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理可知，，
，
整理得：，
的值是不变的．
故选：A．
【分析】本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质。解题的关键在于合理构造全等三角形，通过几何关系推导目标结论。在上取一点P，使得，过点C作于点Q。通过三角形全等关系可证得。接着利用等腰三角形的性质求出的长度，进而得到的长度。最后，通过勾股定理建立方程，化简后即可证明为定值。
11．【答案】
【知识点】实数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
，
，
，即，
故答案为：
【分析】本题主要考查实数的大小比较，解题时需要掌握几种常见的实数比较方法。首先对两个数进行通分处理，然后将根号外的系数平方后移到根号内部。通过比较被开方数的大小，可以判断分子的相对大小，进而确定这两个数的大小关系。
12．【答案】6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得：
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查的是多边形内角和与外角和的计算。根据多边形内角和公式，以及多边形外角和的性质，我们可以建立相应的方程来求解。题目要求通过这两个关键知识点来解决问题。
13．【答案】320
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（人）．
∴该校参加各种球类运动的学生共有320人．
故答案为：320．
【分析】本题主要考查对扇形统计图的理解和运用，正确读取统计图中的数据是解题的关键。首先根据题目中给出的参加篮球运动的人数，除以扇形统计图中篮球项目对应的百分比，即可求出总人数。
14．【答案】60
【知识点】平行四边形的性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：连接，
四边形是关于点的中心对称，为过中心的线段，
，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，、、三点在同一直线上，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握相关性质是解题的关键。首先连接。根据题目条件，可以推导出。由此可得：，。利用平行四边形的对角线性质，可以得到：，。最后根据平行四边形面积公式，即可求得最终结果。
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
在和，，
，
，，
设，则，
，，
，
，
，，
，即①，
，即②，
②+①，得：，
故答案为：
【分析】本题重点考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的核心。
由可得。通过证明 ，得出且。设，则。由可。根据三角形内角和关系：①， 由，得 ②，将①与②相加，即可求得最终结果。
16．【答案】3
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由x2-9=0，得
x=±3．
又∵x+3≠0，
∴x≠-3，
因此x=3．
故答案为3．
【分析】根据分式值为0的条件，结合分式有意义的条件即可求出答案.
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂和二次根式的化简。解题步骤包括：首先化简二次根式，然后计算零指数幂和负整数指数幂的值，最后进行加减运算得出最终答案。
18．【答案】解：，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得，，
不等式组的解集为，
则x的整数解为，，0．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法。解题的关键在于熟练掌握解不等式组的基本步骤和方法。具体步骤如下：分别求解每个不等式；根据不等式组的解集确定原则（"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"）来确定最终解集。
19．【答案】（1）证明：，
，
又，
点F在BC的垂直平分线上，
，
，
，
是等边三角形．
（2）解：，，
在中，
在中，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；求特殊角的三角函数值；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题综合考查特殊角的三角函数值、直角三角形两锐角互余、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定。
（1）由 tan C =得C = 30，结合 ADBC 得CAD = 60；利用垂直平分线性质得 FB = FC，从而 FBC = C = 30，通过外角或内角关系推出 AFE = 60，结合已有 60 角证得 △AEF 为等边三角形。
（2）在 Rt△ ABD 中由 BD = 2 及 BAD = 30° 求出 AD，再在 Rt△ ADC 中由 CAD = 60 求出 CD。
（1）证明：，
，
又，
点F在BC的垂直平分线上，
，
，
，
是等边三角形．
（2）解：，，
在中，
在中，
．
20．【答案】（1）解：甲的分数为：91，92，95，94，95，97，98，99，99，100，
从小到大排列为：91，92，94，95，95，97，98，99，99，100，
分，
乙的分数为：94，95，96，95，96，98，97，96，97，96，
分）。
（2）变小
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：(2)∵分数，方差，
甲的方差将变小，
故答案为：变小．
【分析】本题主要考查统计量中的中位数与方差的计算，以及数据线性变换后方差的变化规律。
（1）将甲的成绩从小到大排序后取中间两个数的平均值得到中位数 a；乙的方差 b 按方差公式计算，即每个数据与平均数的差的平方和除以数据个数。
（2）将每题分值从 1 分改为 0.5 分，相当于原成绩乘以 0.5，根据方差性质：若每个数据都乘以常数 k，则新方差为原方差的 k2 倍，因此方差变为原来的 0.25 倍，即变小。
（1）解：甲的分数为：91，92，95，94，95，97，98，99，99，100，
从小到大排列为：91，92，94，95，95，97，98，99，99，100，
分，
乙的分数为：94，95，96，95，96，98，97，96，97，96，
分
（2）解：∵分数，
方差，
甲的方差将变小，
故答案为：变小．
21．【答案】（1）直径所对的圆周角是直角
（2）解：由作图可知，，
，
是半径，
直线是切线．
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；圆周角定理的推论；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【解答】（1）解：据甲同学的作法，的依据是直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
【分析】本题考查的是复杂作图、圆周角定理、切线的判定以及等腰三角形的性质。
（1）根据直径所对的圆周角是直角这一性质进行判断；
（2）运用等腰三角形三线合一的性质进行证明。
（1）解：据甲同学的作法，的依据是直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
（2）解：由作图可知，，
，
是半径，
直线是切线．
22．【答案】（1）
（2）解：当时，得，
解得，
当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为；
（3）解：托盘中应减少砝码．理由如下：
，，
随x的增大而减小，
当托盘B向右移动时x增大，
托盘中的砝码质量y应该减小，
托盘中应减少砝码．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：由表格可知，，
与x之间的函数表达式为
故答案为：；
【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，通过分析表格数据确定y与x的函数关系式，并利用反比例函数的性质解决问题。
（1）根据表格中x与y的变化规律可直接得出函数关系；
（2）当时，代入函数关系式求解对应的x值；
（3）利用反比例函数的单调性进行判断分析。
（1）解：由表格可知，，
与x之间的函数表达式为
故答案为：；
（2）解：当时，得，
解得，
当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为；
（3）解：托盘中应减少砝码．理由如下：
，，
随x的增大而减小，
当托盘B向右移动时x增大，
托盘中的砝码质量y应该减小，
托盘中应减少砝码．
23．【答案】（1）解：将代入得，
整理得，
二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：由（1）得，即，
将代入得，，
将代入得，，，
抛物线的解析式为，即，
又该函数的图象向右平移1个单位长度，
新的二次函数的解析式为，
当时，，当时，，
当时，求的取值范围是；
（3）解：由抛物线的对称轴得，变形可得，
代入中，得，
解得，
和是方程的两个根，把代入方程得，
又，则，整理可得，
令，，
当时，，
当时，，
在这个范围内，随自变量的增大而减小，
，则
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题重点考查二次函数的图象特征、对称轴计算、图像平移以及函数与不等式的综合应用，需灵活运用二次函数的相关性质。（1）通过将已知点坐标代入函数解析式，整理后可得到对称轴公式，由此直接求出抛物线对称轴；
（2）根据对称轴和给定点坐标确定解析式为。运用图像平移规律得到新抛物线解析式后，可计算区间内函数值的范围；
（3）利用对称性得到，代入不等式求出范围。将代入得关系式，设辅助函数，在区间内分析其取值特征即可得到最终结果。
（1）解：将代入得，
整理得，
二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：由（1）得，即，
将代入得，，
将代入得，，，
抛物线的解析式为，即，
又该函数的图象向右平移1个单位长度，
新的二次函数的解析式为，
当时，，当时，，
当时，求的取值范围是；
（3）解：由抛物线的对称轴得，变形可得，
代入中，得，
解得，
和是方程的两个根，把代入方程得，
又，则，整理可得，
令，，
当时，，
当时，，
在这个范围内，随自变量的增大而减小，
，则
24．【答案】（1）解：①四边形为正方形，
，，
为等腰直角三角形，
，，，
，
点M为的中点，
，
，
，
，
，
；
②直线、的位置关系为，理由：
四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
由①知：，，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
由①知：，
，
，点M为的中点，
，
，
，
四边形的内角和为，
，
；
（2）证明：延长至点G，使，连接，如图，
四边形为正方形，
，，
，
为的垂直平分线，等腰直角三角形，
，，
等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
点M为的中点，点D为的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
即，
，
．
【知识点】垂线的概念；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①根据正方形和等腰直角三角形的性质，结合等腰三角形三线合一的性质，可得。再运用直角三角形斜边中线性质和勾股定理，即可得出结论。②通过全等三角形判定与性质，得到。结合线段垂直平分线性质与等腰三角形性质，可得。再利用直角三角形斜边中线性质和等腰三角形性质，得到和。最后运用等腰直角三角形性质和四边形内角和定理，得出结论。
（2）延长至点G，使，连接。根据正方形性质、等腰直角三角形判定与性质及全等三角形判定与性质，得到。再运用三角形中位线定理和平行线性质，得到。最后利用等腰直角三角形性质和三角形内角和定理，即可得出结论。
（1）解：①四边形为正方形，
，，
为等腰直角三角形，
，，，
，
点M为的中点，
，
，
，
，
，
；
②直线、的位置关系为，理由：
四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
由①知：，，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
由①知：，
，
，点M为的中点，
，
，
，
四边形的内角和为，
，
；
（2）证明：延长至点G，使，连接，如图，
四边形为正方形，
，，
，
为的垂直平分线，等腰直角三角形，
，，
等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
点M为的中点，点D为的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
即，
，
．
1 / 1浙江省温州市苍南外国语学校、瓯北五中2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．﹣6的相反数是（　　）
A．﹣6 B．﹣ C．6 D．
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】 6的相反数是：6，
故选C.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此判断即可.
2．哪吒作为中国传统文化中的经典形象，其故事和精神内核深植于中华民族的文化土壤，截至年月日，《哪吒之魔童闹海》累计票房超亿，成为全球动画电影票房榜第一．用科学记数法表示亿正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．如图所示，几何体由5个相同的小正方体组成，则该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】观察几何体的正视图可见：左侧排列有两层结构，右侧排列为单层结构，因此选项A符合该视图特征。
故选：A．
【分析】本题主要考查三视图知识，重点掌握： 主视图是从物体正面观察所得的投影视图，准确识别视图层次结构是解题关键。根据几何体的主视图（即从正面观察到的图形）特征进行判断。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C．，故C错误：
D、，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据平方根的意义分别进行化简，即可得出答案.
5．数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，得不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，
故，，
，，
根据图象，得该球频率稳定在，
故其概率约为．
故答案为：A．
【分析】用袋中白色小球的个数比上袋中小球的总个数求得从袋中随机摸出一个小球是白色小球的概率，同理求出从袋中随机摸出一个小球是黑色、红色及白色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在0.20，比较即可得出结论.
6．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于
C．有一个内角小于或等于 D．每一个内角都小于
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设：每一个内角都小于．
故答案为：D．
【分析】假设结论不成立时，要先假每一个内角都小于解答即可．
7．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：．
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方以及合并同类项等知识。解题时需先将等式两边通过合并同类项和幂的乘方转化为同底数的幂的形式，再通过比较指数建立关系式。熟练掌握相关运算法则是解决此类问题的关键。
8．，是反比例函数图象上的两点，下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数常量，∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
A、当时，，两点都在第一象限，，说法错误，A不符合题意；
B、当时，在第一象限，在第三象限，，说法错误，B不符合题意；
C、当时，，两点都在第三象限，，说法错误，C不符合题意；
D、当时，在第一象限，在第三象限，，说法正确，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征。题目给出了反比例函数（其中），需要比较两点和的函数值大小关系。解题时需要结合反比例函数的性质，分析两点横坐标的符号和相对大小，从而判断函数值的大小关系。
9．如图，已知为底的等腰内接于半径为的，（是锐角），则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】解：如图，连接并延长，交于，连接、，
可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴的面积为：，
故选：D．
【分析】本题综合考查了圆周角定理、弧弦圆心角关系、等腰三角形性质、三角形外角定理以及解直角三角形等知识点。解题的关键在于熟练掌握并灵活运用锐角三角函数的相关定义和性质。首先连接线段并延长，使其与边相交于点。接着连接半径和。根据圆周角定理，可以得出圆心角。在同一个圆中，相等的弦所对应的圆心角也相等，因此。根据等腰三角形的性质，可以推导出。再应用三角形的外角定理，得到，这表明线段垂直于边。根据等腰三角形的三线合一性质，可以确定。最后，通过解直角三角形分别计算出边和的长度，再应用三角形面积公式完成计算。
10．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，点M，N分别在线段上，且，，且，若，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：在上取一点P，使得，过C作于Q，如图：
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理可知，，
，
整理得：，
的值是不变的．
故选：A．
【分析】本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质。解题的关键在于合理构造全等三角形，通过几何关系推导目标结论。在上取一点P，使得，过点C作于点Q。通过三角形全等关系可证得。接着利用等腰三角形的性质求出的长度，进而得到的长度。最后，通过勾股定理建立方程，化简后即可证明为定值。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．比较大小：　 　填“>，<或=”
【答案】
【知识点】实数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
，
，
，即，
故答案为：
【分析】本题主要考查实数的大小比较，解题时需要掌握几种常见的实数比较方法。首先对两个数进行通分处理，然后将根号外的系数平方后移到根号内部。通过比较被开方数的大小，可以判断分子的相对大小，进而确定这两个数的大小关系。
12．内角和是外角和的两倍的多边形的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得：
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查的是多边形内角和与外角和的计算。根据多边形内角和公式，以及多边形外角和的性质，我们可以建立相应的方程来求解。题目要求通过这两个关键知识点来解决问题。
13．某学校对学生课余时间经常参加的四种球类运动情况做了调查，并将调查数据整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图．如果参加篮球运动的人数为80人，那么该校参加各种球类运动的学生共有　 　人．
【答案】320
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（人）．
∴该校参加各种球类运动的学生共有320人．
故答案为：320．
【分析】本题主要考查对扇形统计图的理解和运用，正确读取统计图中的数据是解题的关键。首先根据题目中给出的参加篮球运动的人数，除以扇形统计图中篮球项目对应的百分比，即可求出总人数。
14．如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为　 　．
【答案】60
【知识点】平行四边形的性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：连接，
四边形是关于点的中心对称，为过中心的线段，
，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，、、三点在同一直线上，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握相关性质是解题的关键。首先连接。根据题目条件，可以推导出。由此可得：，。利用平行四边形的对角线性质，可以得到：，。最后根据平行四边形面积公式，即可求得最终结果。
15．如图，已知四边形中，，平分，点E在边上且，连接，若，，，则，，之间的数量关系是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
在和，，
，
，，
设，则，
，，
，
，
，，
，即①，
，即②，
②+①，得：，
故答案为：
【分析】本题重点考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的核心。
由可得。通过证明 ，得出且。设，则。由可。根据三角形内角和关系：①， 由，得 ②，将①与②相加，即可求得最终结果。
16．若分式的值为0，则x的值为　 　．
【答案】3
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由x2-9=0，得
x=±3．
又∵x+3≠0，
∴x≠-3，
因此x=3．
故答案为3．
【分析】根据分式值为0的条件，结合分式有意义的条件即可求出答案.
三、解答题：本题共9小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂和二次根式的化简。解题步骤包括：首先化简二次根式，然后计算零指数幂和负整数指数幂的值，最后进行加减运算得出最终答案。
18．解不等式组：，并求出x的整数解．
【答案】解：，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得，，
不等式组的解集为，
则x的整数解为，，0．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法。解题的关键在于熟练掌握解不等式组的基本步骤和方法。具体步骤如下：分别求解每个不等式；根据不等式组的解集确定原则（"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"）来确定最终解集。
19．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上．
（1）求证：是等边三角形．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
又，
点F在BC的垂直平分线上，
，
，
，
是等边三角形．
（2）解：，，
在中，
在中，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；求特殊角的三角函数值；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题综合考查特殊角的三角函数值、直角三角形两锐角互余、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定。
（1）由 tan C =得C = 30，结合 ADBC 得CAD = 60；利用垂直平分线性质得 FB = FC，从而 FBC = C = 30，通过外角或内角关系推出 AFE = 60，结合已有 60 角证得 △AEF 为等边三角形。
（2）在 Rt△ ABD 中由 BD = 2 及 BAD = 30° 求出 AD，再在 Rt△ ADC 中由 CAD = 60 求出 CD。
（1）证明：，
，
又，
点F在BC的垂直平分线上，
，
，
，
是等边三角形．
（2）解：，，
在中，
在中，
．
20．甲、乙两名同学要参加知识竞赛，已知竞赛共100道题，每题1分，满分为100分．两位同学各模拟了十次，将成绩绘制成如下的统计图和统计表：
甲、乙成绩统计表
平均成绩/分 中位数/分 方差/分
甲 96 a
乙 96 96 b
（1）求a、b的值；
（2）若将每题1分改为每题分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将　 　填“变大”、“变小”或“不变”
【答案】（1）解：甲的分数为：91，92，95，94，95，97，98，99，99，100，
从小到大排列为：91，92，94，95，95，97，98，99，99，100，
分，
乙的分数为：94，95，96，95，96，98，97，96，97，96，
分）。
（2）变小
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：(2)∵分数，方差，
甲的方差将变小，
故答案为：变小．
【分析】本题主要考查统计量中的中位数与方差的计算，以及数据线性变换后方差的变化规律。
（1）将甲的成绩从小到大排序后取中间两个数的平均值得到中位数 a；乙的方差 b 按方差公式计算，即每个数据与平均数的差的平方和除以数据个数。
（2）将每题分值从 1 分改为 0.5 分，相当于原成绩乘以 0.5，根据方差性质：若每个数据都乘以常数 k，则新方差为原方差的 k2 倍，因此方差变为原来的 0.25 倍，即变小。
（1）解：甲的分数为：91，92，95，94，95，97，98，99，99，100，
从小到大排列为：91，92，94，95，95，97，98，99，99，100，
分，
乙的分数为：94，95，96，95，96，98，97，96，97，96，
分
（2）解：∵分数，
方差，
甲的方差将变小，
故答案为：变小．
21．老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线．甲同学的方法：如图1，连接，作的垂直平分线交于点M，以M为圆心，为半径画圆，交于点Q，连接，即为的切线；乙同学的方法：如图2，连接，交于点B，以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，，交于点M，作直线，即为过点P所求的其中一条切线．
（1）根据甲同学的作法，的依据是______；
（2）根据乙同学的作法，请说明直线为切线的理由．
【答案】（1）直径所对的圆周角是直角
（2）解：由作图可知，，
，
是半径，
直线是切线．
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；圆周角定理的推论；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【解答】（1）解：据甲同学的作法，的依据是直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
【分析】本题考查的是复杂作图、圆周角定理、切线的判定以及等腰三角形的性质。
（1）根据直径所对的圆周角是直角这一性质进行判断；
（2）运用等腰三角形三线合一的性质进行证明。
（1）解：据甲同学的作法，的依据是直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
（2）解：由作图可知，，
，
是半径，
直线是切线．
22．如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格：
托盘与点的距离
托盘中的砝码质量
（1）与x之间的函数表达式为______；
（2）当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离；
（3）当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：当时，得，
解得，
当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为；
（3）解：托盘中应减少砝码．理由如下：
，，
随x的增大而减小，
当托盘B向右移动时x增大，
托盘中的砝码质量y应该减小，
托盘中应减少砝码．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：由表格可知，，
与x之间的函数表达式为
故答案为：；
【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，通过分析表格数据确定y与x的函数关系式，并利用反比例函数的性质解决问题。
（1）根据表格中x与y的变化规律可直接得出函数关系；
（2）当时，代入函数关系式求解对应的x值；
（3）利用反比例函数的单调性进行判断分析。
（1）解：由表格可知，，
与x之间的函数表达式为
故答案为：；
（2）解：当时，得，
解得，
当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为；
（3）解：托盘中应减少砝码．理由如下：
，，
随x的增大而减小，
当托盘B向右移动时x增大，
托盘中的砝码质量y应该减小，
托盘中应减少砝码．
23．已知二次函数的图象经过点
（1）求二次函数的图象的对称轴；
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移1个单位长度，得到新的二次函数，当时，求的取值范围；
（3）若该二次函数图象与x轴分别为，，且，若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：将代入得，
整理得，
二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：由（1）得，即，
将代入得，，
将代入得，，，
抛物线的解析式为，即，
又该函数的图象向右平移1个单位长度，
新的二次函数的解析式为，
当时，，当时，，
当时，求的取值范围是；
（3）解：由抛物线的对称轴得，变形可得，
代入中，得，
解得，
和是方程的两个根，把代入方程得，
又，则，整理可得，
令，，
当时，，
当时，，
在这个范围内，随自变量的增大而减小，
，则
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题重点考查二次函数的图象特征、对称轴计算、图像平移以及函数与不等式的综合应用，需灵活运用二次函数的相关性质。（1）通过将已知点坐标代入函数解析式，整理后可得到对称轴公式，由此直接求出抛物线对称轴；
（2）根据对称轴和给定点坐标确定解析式为。运用图像平移规律得到新抛物线解析式后，可计算区间内函数值的范围；
（3）利用对称性得到，代入不等式求出范围。将代入得关系式，设辅助函数，在区间内分析其取值特征即可得到最终结果。
（1）解：将代入得，
整理得，
二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：由（1）得，即，
将代入得，，
将代入得，，，
抛物线的解析式为，即，
又该函数的图象向右平移1个单位长度，
新的二次函数的解析式为，
当时，，当时，，
当时，求的取值范围是；
（3）解：由抛物线的对称轴得，变形可得，
代入中，得，
解得，
和是方程的两个根，把代入方程得，
又，则，整理可得，
令，，
当时，，
当时，，
在这个范围内，随自变量的增大而减小，
，则
24．如图1，等腰与正方形的顶点重合于点C，连接，，点M为的中点，直线交于点．对于旋转问题中位置关系的研究，我们的研究的思路是从特殊到一般，要探究与的位置关系，可先将其位置特殊化．
（1）如图2，当点E，F分别落在正方形的边上，与正方形对角线交于点N，
①若正方形的边长为3，，连接，求的长度；
②判断直线、的位置关系，并说明理由；
（2）如图1，点E落在正方形内，求证：
【答案】（1）解：①四边形为正方形，
，，
为等腰直角三角形，
，，，
，
点M为的中点，
，
，
，
，
，
；
②直线、的位置关系为，理由：
四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
由①知：，，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
由①知：，
，
，点M为的中点，
，
，
，
四边形的内角和为，
，
；
（2）证明：延长至点G，使，连接，如图，
四边形为正方形，
，，
，
为的垂直平分线，等腰直角三角形，
，，
等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
点M为的中点，点D为的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
即，
，
．
【知识点】垂线的概念；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①根据正方形和等腰直角三角形的性质，结合等腰三角形三线合一的性质，可得。再运用直角三角形斜边中线性质和勾股定理，即可得出结论。②通过全等三角形判定与性质，得到。结合线段垂直平分线性质与等腰三角形性质，可得。再利用直角三角形斜边中线性质和等腰三角形性质，得到和。最后运用等腰直角三角形性质和四边形内角和定理，得出结论。
（2）延长至点G，使，连接。根据正方形性质、等腰直角三角形判定与性质及全等三角形判定与性质，得到。再运用三角形中位线定理和平行线性质，得到。最后利用等腰直角三角形性质和三角形内角和定理，即可得出结论。
（1）解：①四边形为正方形，
，，
为等腰直角三角形，
，，，
，
点M为的中点，
，
，
，
，
，
；
②直线、的位置关系为，理由：
四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
由①知：，，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
由①知：，
，
，点M为的中点，
，
，
，
四边形的内角和为，
，
；
（2）证明：延长至点G，使，连接，如图，
四边形为正方形，
，，
，
为的垂直平分线，等腰直角三角形，
，，
等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
点M为的中点，点D为的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
即，
，
．
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