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湖南长沙市长郡教育集团2025-2026学年九年级下学期期中检测数学试卷
一、单选题
1．2026的相反数是（ ）
A． B．2026 C． D．
2．下列立体图形中，俯视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列调查适合抽样调查的是（ ）
A．了解某品牌牛奶的蛋白质含量 B．对搭乘飞机的旅客进行安检
C．了解某小组10名学生的跳远成绩 D．检查“神舟二十二号”零件质量
5．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示，这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是
尺码/ 24 25 26
销售量/双 1 3 10 4 2
A．，25 B．25，25 C．25， D．，26
7．若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．2025年2月份，我国自主研发的软件一经发布，便占据各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A． B．10 C． D．
二、填空题
11．使代数式有意义的x的取值范围是_______．
12．已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：________．（填“”“”或“”）
13．如图，切于点A、B，，切于点E，交于C、D两点，则的周长是___________．
14．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是________．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A 、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为________．
16．在一次数学活动课上，老师将写有共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和：
甲：17 乙：4 丙：12 丁：9 戊：13
根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是________．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
(1)求点D转动到点的路径长；
(2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：）
20．我校数学教研组为了迎接学校第四届学科素养节游园活动，准备了四个数学活动项目，分别是：A．数学跳棋，B．数学积木方块，C．数学华容道，D．数独．每名学生只选择其中一个活动参与，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图：
项目 选择人数 频率
A．数学跳棋 16 a
B．数学积木方块 b 0.25
C．数学华容道 56 c
D．数独 48 0.3
(1)填空：________，________；扇形统计图中C（数学华容道）活动所对应的圆心角的度数为________；
(2)若该中学共有1200名九年级学生，那么估计该中学九年级学生中选择“B（数学积木方块）”活动意向的学生有________人；
(3)学校要从甲、乙、丙、丁四位志愿者家长中选取两位家长去协助数学教研组完成这四项活动，请利用画树状图或列表的方法，求选中甲、乙两位家长的概率．
21．如图，是的直径，，为上一点，为外一点，连接，，，且．
(1)求证：与相切；
(2)若，求扇形的面积．
22．首届“湘超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销．
(1)某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价；
(2)经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足，请你帮忙计算单件售价a为多少元时，该店销售A品牌足球的利润最大？
23．如图，在矩形中，，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
24．如图1，二次函数与二次函数的图象均过点，，的图象与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，点P位于第一象限且在二次函数的图象上，直线l过点P且与x轴平行，与二次函数的图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与二次函数的图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求的面积；
(3)如图2，二次函数的图象与一次函数的图象相交于C，H两点，点C在y轴上，点T是二次函数图象的对称轴上的一点．
①若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求二次函数的解析式；
②在①的条件下，点E是上方的抛物线上的一动点，将上方的抛物线沿翻折，点E的对应点为F，连接交于点G，求线段的最大值．
25．小明在生物课上学习了蜜蜂的相关知识，发现蜂窝都是由一系列六边形的蜂室密铺而成，他对此非常感兴趣，打算叫上小伙伴们一起探究一下六边形的相关性质，于是几个小伙伴就开始了他们的探索旅程．
【初步思考】
他们规定：在凸六边形中，满足，，，且，，，称这样的凸六边形叫作“光谱六边形”．其中与，与，与叫作“正对边”，和，和，和叫作“正对角”，，，叫作“正对角线”．
(1)类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在括号内画“√”或“×”．
①“光谱六边形”的三条“正对角线”互相平分；（ ）
②“光谱六边形”的邻角互补；（ ）
③“光谱六边形”是中心对称图形．（ ）
(2)【实践操作】
如图1，在“光谱六边形”中，证明：．
(3)【思维探究】
当“光谱六边形”的六条边都相等时，我们把它叫作“正光谱六边形”．如图2是一张面积为的等腰直角三角形纸片，分别在三角形的三个顶点处各剪裁掉一个小三角形，使剪裁后的纸片变成一个“正光谱六边形”，请求出这个“正光谱六边形”的面积．
参考答案
1．A
2．D
3．B
4．A
5．A
6．B
7．C
8．A
9．C
10．C
11．
12．
13．20
14．-2
15．4
16．72
17．解：
．
18．解：原式
，
∵m ≠ 0 且 ，
∴当时，原式．
19．（1）解：，且，
．
，
．
，
，
点转动到点的路径长为．
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）知，
，
是等边三角形．
，
．
，，
．
点到直线的距离约为．
20．（1）解：调查的学生人数为（人），
∴，
，
扇形统计图中C（数学华容道）活动所对应的圆心角的度数为；
（2）解：估计选择“”活动的人数为（人）；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
由列表法可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到甲和乙的有2种结果，
所以选中甲和乙的概率为．
21．（1）证明：连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又点为上一点，
与相切；
（2）解：连接，
，
，
，，
，
由（1）知：，
，
扇形的面积为．
22．（1）设品牌足球的单件进价为元，则品牌足球的单件进价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解．
．
答：品牌足球的单件进价为100元，品牌足球的单件进价为80元．
（2）设销售品牌足球的利润为元，
则
，
因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当元时，取得最大值．
答：当单件售价元时，该店销售品牌足球的利润最大．
23．（1）证明：四边形为矩形，
，
．
，
，
．
．
（2）解：在中，根据勾股定理得，
，
．
在中，根据勾股定理得，
，
由（1）知，
，
即，
．
24（1）解：把点，代入得
解得
二次函数的解析式为．
（2）解：当时，二次函数的解析式为，
令，得,
∴二次函数的图象与轴的交点的坐标为，
设直线的方程为，
令，
整理得，
解得
，
令，
整理得，
解得，
，
又，
，
，
解得，
把代入，得，
解得，，
点在第一象限，
，
设直线的解析式为，将，分别代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
设直线与的交点为，将代入，
得，
∴，
，
的面积为．
（3）解：①过点作交二次函数的图象的对称轴于点，设对称轴与轴相交于点，
∴，
∴，
∴，
∵是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴
∴，
，
，
二次函数的解析式为．
②将代入，得，
∴一次函数的解析式为，
当时，
解得，
则点，
设点，，
过点作轴与一次函数的图象交于点，延长交y轴于点P，令直线交x轴于点M，连接，如图
由翻折，得，，
∴，
将代入，得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
设，
，
当时，，
∵，
．
25（1）①√ ；②× ；③ √；
（2）解：连接，
，，
，，
，
；
（3）解：如图，作，，，
设“正光谱六边形”的边长为，
等腰直角三角形的面积为，
等腰直角三角形的直角边长为，
，即，
，
该“正光谱六边形”的面积为．

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