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四川省成都市青羊区树德中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷
1．年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2． 如果，那么下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题是假命题的是（　　）
A．三个角都相等的三角形是等边三角形
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．等腰三角形的中线就是角平分线
D．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
7．如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（　　）
A．20 B．24 C．25 D．30
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a为常数，且与正比例函数（k为常数，且的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
9．分解因式： ＝　 　．
10．关于x的不等式的解集如图所示，那么m的值为　 　．
11．若分式的值等于，则　 　．
12．如图，在中，，，，点D到的距离为，则的长为　 　．
13．如图，长方体的长为6，宽为5，高为8，棱上一点到顶点的距离为2，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从顶点爬到点，则爬行的最短路程为　 　．
14．若 则 =　 　.
15．已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是　 　．
16．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为 　 　．
17．已知，直线与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方)，以同样的方式依次作等边三角形，…，按此方式继续作下去，则点的横坐标为　 　．
18．若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数．（其中，b，c，，且a，b，c，d均为整数）为“吉祥数”，则　 　，定义，若能被17整除，且存在整数k，使得，则满足条件的M的值为　 　．
19．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
20．先化简，再求值：，并从、1、2中选一个你喜欢的值代入求值．
21．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在正方形网格的格点上．
（1）画出关于原点成中心对称的，写出点的坐标为______；
（2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并求出的面积．
22．为提升成都历史文化街区风貌，市政府计划修建一条连接锦里古街与金沙遗址的文化步道，全长7000米，甲工程队修3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲队每天修路多少米．
23．已知是等腰直角三角形且，若以为斜边作，且始终为直角，再将线段绕点B逆时针旋转得到线段．
（1）在BC下方时，连接交于点G，交于点D，
①如图1，若，，求线段的长．
②如图2，若，求证：．
（2）如图3，在上方时，连接，若的延长线过的中点D，且，交于点H，直接写出的值．
24．某工厂进行人员招聘，经市场调研与成本核算发现：若录用3名A工种工人和2名B工种工人，每月需支付工资总额为10500元；若录用2名A工种工人和3名B工种工人，每月需支付工资总额为12000元．
（1）请根据上述信息，分别求出A、B两种工种工人的月工资各是多少元？
（2）现工厂计划招聘150名工人，为保证生产质量与岗位协作需求，要求B工种人数不少于A工种人数的2倍．那么，当招聘A工种多少人时，工厂每月支付的工资总额最低？最低工资总额是多少？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线与x轴交于点E，与交于点．
（1）求m的值和的解析式；
（2）当点C为直线上一动点，且的面积为8，求点C的坐标；
（3）点M为x轴一动点，点P是直线上一动点，是否存在以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由．
26．在几何图形变换的数学课堂情境中，徐老师引导学生共同探索角度与线段长度的相关奥秘．
（1）如图1，已知，在射线和射线上取，连接，点D、H分别是线段、上的点，若，求的度数．
（2）在（1）问的条件下，如图2，过点A作的平行线交延长线于点E，求证：．
（3）如图3，若，点A在射线上，且，点P是射线上一动点，以点A为直角顶点作，若的面积为，请直接写出长度的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、该图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项A错误；
、该图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项B错误；
、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C错误；
、该图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D正确；
故选：．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
∴选项A不符合题意；
∴选项B不符合题意；
∴选项C不符合题意；
∴选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断解答即可.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．，等号右边不是几个因式的积的形式，不是因式分解，
∴此项不符合题意；
B．，等号右边不是几个因式的积的形式，不是因式分解，
∴此项不符合题意；
C．，等号右边不是几个因式的积的形式，是因式分解，
∴此项符合题意；
D．，不符合完全平方公式特征，分解错误，
∴此项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义"把一个多项式分成几个因式的积的形式"并结合各选项即可判断求解．
4．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由平移的性质得出BE=CF=AD，然后根据线段构成，由BF=BE+EC+CF=2BE+CE，结合BF=8可求出BE的长，从而即可得到AD的长.
5．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A.，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.当，时，，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变．
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定；真命题与假命题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】A、等边三角形的判定，由等角对等边即可；
B、角平分线的性质定理；
C、等腰三角形三线合一，即底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线重合；
D、线段垂直平分线的判定定理．
【分析】
假命题即由题设不能推导出结论的命题，再由等边三角形的判定、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质三线合一及线段垂直平分线的判定定理逐项判断即可．
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
，，
，
的周长，
，
的周长
故答案为：B.
【分析】根据作图可知垂直平分线段，于是可得，，由三角形的周长等于三角形三边之和可得，再根据三角形的周长公式进行计算即可求解．
8．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的上方，
∴关于x的不等式的解集是．
故答案为：D．
【分析】根据两函数图象可知，不等式的解集就是直线的图象高于直线的图象，结合图象即可求解．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可。
10．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
从图上可以看出，不等式的解集为，
，
，
故答案为：
【分析】由题意，用含m的式子表示出不等式的解集，再根据数轴上不等式的解集可得关于m的方程，解方程即可求解．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式的值等于，
，且，
解得，
故答案为：．
【分析】
分式值为0的条件是分子等于0但分母不等于0．
12．【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
过点D作，垂足为E，
，，
，
点D到的距离为，
∴ ，
，
∴，
，
故答案为：
【分析】
由于角平分线上的点到角两边的距离相等，则过点D作AB的垂线段DE可得DC=DE=5，再由线段的和差关系可得BD=7．
13．【答案】
【知识点】实数的大小比较；几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，
根据勾股定理，可得；
如图2，
根据勾股定理，可得；
如图3，
根据勾股定理，可得；
∵，
∴爬行的最短路程为．
故答案为：．
【点睛】
勾股定理的实际应用，由长方体的展开图可知从A到C有三种不同的路径，再分别利用勾股定理求出这三种路径的长度并对结果进行比较即可．
14．【答案】2029
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴原式 2+2025=4+2025=2029.
故答案为：2029.
【分析】先根据已知条件求出x2+x的值，然后把所求代数式写成含有x2+x的形式，再把x2+x的值代入进行计算即可.
15．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘，得，
去括号，得，
解得：，
分式方程的解是正数，
且，
解得：且
故答案为：且
【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，解这个整式方程将未知数x用含k的代数式表示出来，再根据原分式方程的解是正数并结合分式有意义的条件“分母≠0”列关于k的不等式，解之即可求解．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由旋转得：，，，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理可得AC=13，再由旋转全等模型知DE=BC=12，AD=AB=5，则CD=AC-AD=8，再在直角三角形EDC中应用勾股定理即可．
17．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；与一次函数相关的规律问题；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：如图：
由题意得；，过作轴于点D，则，
三角形是等边三角形，
∴，，
当时，，
解得：，
的横坐标为：，
同理得：的横坐标为：，
的横坐标为：，
……，
的横坐标为：，
点的横坐标为：，
故答案为：
【分析】由题意画出图形，过作轴于点D，计算四个特殊点的坐标，找出规律为：的横坐标为：，把n=2025代入规律计算即可求解．
18．【答案】10；6928
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：，
变形得，为 10 的倍数．
，
，
∵为 10 的倍数，
∴．
∴，可求得．
∵能被 17 整除，
可设为整数）．
将变形得：，
即，
∴为整数，
∵与 3 互质，
∴必是 17 的整数倍．
∵均为正整数，
∴，即，
∵是 17 的整数倍，
∴或．
以下分两种情况讨论：
①当时，则，
，
符合条件的有或或，
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴（符合题意），
此时，
∴；
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
②当时，则，
，
符合条件的有或或，
当时，，
，
∴无解（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴无解（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
综上，，
故答案为： 10，6928 ．
【分析】第一空：用“吉祥数”的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；第二空：由整数整除的性质，可得或；分两种情况讨论：①当时，则，②当时，则，结合题意即可求得满足条件的的值．
19．【答案】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为；
（2）原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原分式方程的解为
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）由题意，先分别求出每一个不等式的解集，然后根据"同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解"即可求解；
（2）由题意，方程两边同时乘以最简公分母，将原分式方程化为整式方程，解这个整式方程并检验即可求解．
20．【答案】解：
，
，，
，2，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再选取一个符合题意的a的值，代入化简后的分式计算可求解.
21．【答案】（1）解：如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求．
的面积为.
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（1）根据旋转的性质即可画出，然后根据画出的图形可写出点A1的坐标；
（2）根据旋转的性质即可画出；由图形的构成并结合梯形和直角三角形的面积可求解.
（1）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为
故答案为：；
（2）如图，即为所求．
的面积为.
22．【答案】解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲队每天修路100米．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，根据题中的相对关系"甲工程队修3000米所用时间+乙=工程队修（7000-3000）米所用时间=50"列关于x的分式方程，解分式方程并检验即可求解．
23．【答案】（1）解：①，，，
，
，
将线段绕点B逆时针旋转得到线段，
，，
；
②证明：在上截取，连接，如图：
，交于点D，
，
在 ADM和 BDF中
≌，
，，
，，
，
在 CAM和 CBE中
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
（2）解：作，交延长线于点N，过点B作，垂足为点P，
绕点B逆时针旋转得到，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在 ACN和和 BCE中
，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
设，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点作交于点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形的综合
【解析】【分析】①由30度角所对的直角边等于斜边的一半得，在Rt BCE中，用勾股定理可求得BE的值，根据旋转的性质并结合勾股定理可求得EF的值；
②在上截取，连接，结合已知，用边角边可证明≌，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，从而，同理可证≌，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，即可得是等腰直角三角形，由勾股定理得，代入DE-DF计算即可求解；
作，交FD延长线于点N，过点B作，垂足为点P，结合已知，用边角边可证明，由可得，，同理可再证≌，则，设，由线段的和差，过点作交于点，由勾股定理表示，，，再求得，结合可求解.
（1）解：①，，，
，
，
将线段绕点B逆时针旋转得到线段，
，，
；
②证明：在上截取，连接，如图：
，交于点D，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
（2）解：作，交延长线于点N，过点B作，垂足为点P，
绕点B逆时针旋转得到，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
设，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点作交于点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
24．【答案】（1）解：设A工种工人每月的工资是x元，B工种工人每月的工资是y元，
根据题意得： ，
解得 ，
答：A工种工人每月的工资是1500元，B工种工人每月的工资是3000元；
（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人人，
根据题意得： ，
解得：，
设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的工资总额是w元，则，
即 ，
∵ ，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，最小值为万元
答：招聘A工种工人50人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A工种工人每月的工资是x元，B工种工人每月的工资是y元，根据题中的两个相等关系“ 3名A工种工人的工资+2名B工种工人的工资=10500，2名A工种工人的工资+3名B工种工人的工资=12000 ”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人人，根据不等关系“B工种人数≥2×A工种人数”列关于m的不等式，解之可得关于m的范围；设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的工资总额是w元，根据工资总额=A工种工人每月所付的工资+B工种工人每月所付的工资可列w与m之间的函数关系式，整理成一般形式，然后根据一次函数的性质即可求解．
（1）解：设A工种工人每月的工资是x元，B工种工人每月的工资是y元，
根据题意得： ，
解得 ，
答：A工种工人每月的工资是1500元，B工种工人每月的工资是3000元；
（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人人，
根据题意得： ，
解得：，
设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的工资总额是w元，则，
即 ，
∵ ，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，最小值为万元
答：招聘A工种工人50人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是万元．
25．【答案】（1）解：过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的解析式为；
（2）解：根据直线的解析式为，得，
由直线，得，
∴，又，
设点，
当点C在x轴的上方时，此时，
根据题意，得的面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点；
当点C在x轴的下方时，此时，
根据题意，得的面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点；
综上可得，点或．
（3）解：存在是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下：
设，，
当为直角边时，过P作轴，过M作于N，过F作于Q，如图：
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
解得或，
此时点P的横坐标为0或；
当为直角边时，过P作轴于H，过F作轴于G，如图：
同理可得，
，，
，
解得或此时P，F重合，舍去或，
综上可得，P的横坐标为0或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意，把点F的坐标代入直线可得关于m的方程，解方程求得m的值，再把点F的坐标代入直线的解析式可得关于k的方程，解方程即可求解；
（2）设点，由题意可分两种情况：①当点C在x轴的上方时，此时，，根据三角形面积的构成可得关于n的方程，解方程即可求解；②点C在x轴的下方时，此时，然后根据三角形面积的构成可得关于n的方程，解方程即可求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质，构造一线三直角全等模型，设，，分两种情况：①当为直角边时，过P作轴，过M作于N，过F作于Q，②当为直角边时，过P作轴于H，过F作轴于G，结合全等三角形的性质可求解．
（1）解：过点，
故，
∴，
∴，
∴，
∴的解析式为；
（2）解：根据直线的解析式为，得，由直线，得，故，
又，
设点，当点C在x轴的上方时，此时，
根据题意，得的面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点；
当点C在x轴的下方时，此时，
根据题意，得的面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点；
综上所述，点或．
（3）解：存在是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下：
设，，
当为直角边时，过P作轴，过M作于N，过F作于Q，如图：
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
解得或，
此时点P的横坐标为0或；
当为直角边时，过P作轴于H，过F作轴于G，如图：
同理可得，
，，
，
解得或此时P，F重合，舍去或，
综上所述，P的横坐标为0或或或
26．【答案】（1）解：，
又，，
．
（2）证明：如图2所示，在上截取，
，
，，，
又，
故为等边三角形，
，即，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（3）解：如图3所示，作，，和交于点C，过点A作交于点D，作于点E，作于点F，
，，
，
∴，，
四边形为矩形，
，
，
，即，
，即为定长．
取中点R，连接，
由斜边中线定理知，
，
，
当B、R、Q三点共线时取等号，
，
即长度的最大值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解；
（2）在上截取，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得三角形ABC为等边三角形，由等边三角形的性质并结合题意，用角边角可得△DFC≌△EAD，然后根据全等三角形的对应边相等可求解；
（3）作，，和交于点C，过点A作交于点D，作于点E，作于点F，由角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=AB，用勾股定理求得BE的值，由矩形的性质和三角形的面积公式易得AD为定长；取中点R，连接，由三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QR=AD，用勾股定理求得BR的值，然后根据两点之间线段最短可求解．
（1）解：，
又，，
．
（2）证明：如图2所示，在上截取，
，
，，，
又，
故为等边三角形，
，即，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（3）解：如图3所示，作，，和交于点C，
过点A作交于点D，作于点E，作于点F，
，，
，
∴，，
四边形为矩形，
，
，
，即，
，即为定长．
取中点R，连接，
由斜边中线定理知，
，
，
当B、R、Q三点共线时取等号，
，
即长度的最大值为．
1 / 1四川省成都市青羊区树德中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷
1．年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、该图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项A错误；
、该图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项B错误；
、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C错误；
、该图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D正确；
故选：．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
2． 如果，那么下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
∴选项A不符合题意；
∴选项B不符合题意；
∴选项C不符合题意；
∴选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断解答即可.
3．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．，等号右边不是几个因式的积的形式，不是因式分解，
∴此项不符合题意；
B．，等号右边不是几个因式的积的形式，不是因式分解，
∴此项不符合题意；
C．，等号右边不是几个因式的积的形式，是因式分解，
∴此项符合题意；
D．，不符合完全平方公式特征，分解错误，
∴此项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义"把一个多项式分成几个因式的积的形式"并结合各选项即可判断求解．
4．如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由平移的性质得出BE=CF=AD，然后根据线段构成，由BF=BE+EC+CF=2BE+CE，结合BF=8可求出BE的长，从而即可得到AD的长.
5．下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A.，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.当，时，，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变．
6．下列命题是假命题的是（　　）
A．三个角都相等的三角形是等边三角形
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．等腰三角形的中线就是角平分线
D．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定；真命题与假命题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】A、等边三角形的判定，由等角对等边即可；
B、角平分线的性质定理；
C、等腰三角形三线合一，即底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线重合；
D、线段垂直平分线的判定定理．
【分析】
假命题即由题设不能推导出结论的命题，再由等边三角形的判定、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质三线合一及线段垂直平分线的判定定理逐项判断即可．
7．如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（　　）
A．20 B．24 C．25 D．30
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
，，
，
的周长，
，
的周长
故答案为：B.
【分析】根据作图可知垂直平分线段，于是可得，，由三角形的周长等于三角形三边之和可得，再根据三角形的周长公式进行计算即可求解．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a为常数，且与正比例函数（k为常数，且的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的上方，
∴关于x的不等式的解集是．
故答案为：D．
【分析】根据两函数图象可知，不等式的解集就是直线的图象高于直线的图象，结合图象即可求解．
9．分解因式： ＝　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可。
10．关于x的不等式的解集如图所示，那么m的值为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
从图上可以看出，不等式的解集为，
，
，
故答案为：
【分析】由题意，用含m的式子表示出不等式的解集，再根据数轴上不等式的解集可得关于m的方程，解方程即可求解．
11．若分式的值等于，则　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式的值等于，
，且，
解得，
故答案为：．
【分析】
分式值为0的条件是分子等于0但分母不等于0．
12．如图，在中，，，，点D到的距离为，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
过点D作，垂足为E，
，，
，
点D到的距离为，
∴ ，
，
∴，
，
故答案为：
【分析】
由于角平分线上的点到角两边的距离相等，则过点D作AB的垂线段DE可得DC=DE=5，再由线段的和差关系可得BD=7．
13．如图，长方体的长为6，宽为5，高为8，棱上一点到顶点的距离为2，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从顶点爬到点，则爬行的最短路程为　 　．
【答案】
【知识点】实数的大小比较；几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，
根据勾股定理，可得；
如图2，
根据勾股定理，可得；
如图3，
根据勾股定理，可得；
∵，
∴爬行的最短路程为．
故答案为：．
【点睛】
勾股定理的实际应用，由长方体的展开图可知从A到C有三种不同的路径，再分别利用勾股定理求出这三种路径的长度并对结果进行比较即可．
14．若 则 =　 　.
【答案】2029
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴原式 2+2025=4+2025=2029.
故答案为：2029.
【分析】先根据已知条件求出x2+x的值，然后把所求代数式写成含有x2+x的形式，再把x2+x的值代入进行计算即可.
15．已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘，得，
去括号，得，
解得：，
分式方程的解是正数，
且，
解得：且
故答案为：且
【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，解这个整式方程将未知数x用含k的代数式表示出来，再根据原分式方程的解是正数并结合分式有意义的条件“分母≠0”列关于k的不等式，解之即可求解．
16．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由旋转得：，，，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理可得AC=13，再由旋转全等模型知DE=BC=12，AD=AB=5，则CD=AC-AD=8，再在直角三角形EDC中应用勾股定理即可．
17．已知，直线与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方)，以同样的方式依次作等边三角形，…，按此方式继续作下去，则点的横坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；与一次函数相关的规律问题；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：如图：
由题意得；，过作轴于点D，则，
三角形是等边三角形，
∴，，
当时，，
解得：，
的横坐标为：，
同理得：的横坐标为：，
的横坐标为：，
……，
的横坐标为：，
点的横坐标为：，
故答案为：
【分析】由题意画出图形，过作轴于点D，计算四个特殊点的坐标，找出规律为：的横坐标为：，把n=2025代入规律计算即可求解．
18．若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数．（其中，b，c，，且a，b，c，d均为整数）为“吉祥数”，则　 　，定义，若能被17整除，且存在整数k，使得，则满足条件的M的值为　 　．
【答案】10；6928
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：，
变形得，为 10 的倍数．
，
，
∵为 10 的倍数，
∴．
∴，可求得．
∵能被 17 整除，
可设为整数）．
将变形得：，
即，
∴为整数，
∵与 3 互质，
∴必是 17 的整数倍．
∵均为正整数，
∴，即，
∵是 17 的整数倍，
∴或．
以下分两种情况讨论：
①当时，则，
，
符合条件的有或或，
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴（符合题意），
此时，
∴；
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
②当时，则，
，
符合条件的有或或，
当时，，
，
∴无解（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴无解（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
综上，，
故答案为： 10，6928 ．
【分析】第一空：用“吉祥数”的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；第二空：由整数整除的性质，可得或；分两种情况讨论：①当时，则，②当时，则，结合题意即可求得满足条件的的值．
19．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为；
（2）原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原分式方程的解为
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）由题意，先分别求出每一个不等式的解集，然后根据"同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解"即可求解；
（2）由题意，方程两边同时乘以最简公分母，将原分式方程化为整式方程，解这个整式方程并检验即可求解．
20．先化简，再求值：，并从、1、2中选一个你喜欢的值代入求值．
【答案】解：
，
，，
，2，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再选取一个符合题意的a的值，代入化简后的分式计算可求解.
21．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在正方形网格的格点上．
（1）画出关于原点成中心对称的，写出点的坐标为______；
（2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并求出的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求．
的面积为.
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（1）根据旋转的性质即可画出，然后根据画出的图形可写出点A1的坐标；
（2）根据旋转的性质即可画出；由图形的构成并结合梯形和直角三角形的面积可求解.
（1）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为
故答案为：；
（2）如图，即为所求．
的面积为.
22．为提升成都历史文化街区风貌，市政府计划修建一条连接锦里古街与金沙遗址的文化步道，全长7000米，甲工程队修3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲队每天修路多少米．
【答案】解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲队每天修路100米．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，根据题中的相对关系"甲工程队修3000米所用时间+乙=工程队修（7000-3000）米所用时间=50"列关于x的分式方程，解分式方程并检验即可求解．
23．已知是等腰直角三角形且，若以为斜边作，且始终为直角，再将线段绕点B逆时针旋转得到线段．
（1）在BC下方时，连接交于点G，交于点D，
①如图1，若，，求线段的长．
②如图2，若，求证：．
（2）如图3，在上方时，连接，若的延长线过的中点D，且，交于点H，直接写出的值．
【答案】（1）解：①，，，
，
，
将线段绕点B逆时针旋转得到线段，
，，
；
②证明：在上截取，连接，如图：
，交于点D，
，
在 ADM和 BDF中
≌，
，，
，，
，
在 CAM和 CBE中
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
（2）解：作，交延长线于点N，过点B作，垂足为点P，
绕点B逆时针旋转得到，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在 ACN和和 BCE中
，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
设，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点作交于点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形的综合
【解析】【分析】①由30度角所对的直角边等于斜边的一半得，在Rt BCE中，用勾股定理可求得BE的值，根据旋转的性质并结合勾股定理可求得EF的值；
②在上截取，连接，结合已知，用边角边可证明≌，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，从而，同理可证≌，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，即可得是等腰直角三角形，由勾股定理得，代入DE-DF计算即可求解；
作，交FD延长线于点N，过点B作，垂足为点P，结合已知，用边角边可证明，由可得，，同理可再证≌，则，设，由线段的和差，过点作交于点，由勾股定理表示，，，再求得，结合可求解.
（1）解：①，，，
，
，
将线段绕点B逆时针旋转得到线段，
，，
；
②证明：在上截取，连接，如图：
，交于点D，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
（2）解：作，交延长线于点N，过点B作，垂足为点P，
绕点B逆时针旋转得到，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
设，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点作交于点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
24．某工厂进行人员招聘，经市场调研与成本核算发现：若录用3名A工种工人和2名B工种工人，每月需支付工资总额为10500元；若录用2名A工种工人和3名B工种工人，每月需支付工资总额为12000元．
（1）请根据上述信息，分别求出A、B两种工种工人的月工资各是多少元？
（2）现工厂计划招聘150名工人，为保证生产质量与岗位协作需求，要求B工种人数不少于A工种人数的2倍．那么，当招聘A工种多少人时，工厂每月支付的工资总额最低？最低工资总额是多少？
【答案】（1）解：设A工种工人每月的工资是x元，B工种工人每月的工资是y元，
根据题意得： ，
解得 ，
答：A工种工人每月的工资是1500元，B工种工人每月的工资是3000元；
（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人人，
根据题意得： ，
解得：，
设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的工资总额是w元，则，
即 ，
∵ ，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，最小值为万元
答：招聘A工种工人50人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A工种工人每月的工资是x元，B工种工人每月的工资是y元，根据题中的两个相等关系“ 3名A工种工人的工资+2名B工种工人的工资=10500，2名A工种工人的工资+3名B工种工人的工资=12000 ”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人人，根据不等关系“B工种人数≥2×A工种人数”列关于m的不等式，解之可得关于m的范围；设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的工资总额是w元，根据工资总额=A工种工人每月所付的工资+B工种工人每月所付的工资可列w与m之间的函数关系式，整理成一般形式，然后根据一次函数的性质即可求解．
（1）解：设A工种工人每月的工资是x元，B工种工人每月的工资是y元，
根据题意得： ，
解得 ，
答：A工种工人每月的工资是1500元，B工种工人每月的工资是3000元；
（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人人，
根据题意得： ，
解得：，
设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的工资总额是w元，则，
即 ，
∵ ，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，最小值为万元
答：招聘A工种工人50人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是万元．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线与x轴交于点E，与交于点．
（1）求m的值和的解析式；
（2）当点C为直线上一动点，且的面积为8，求点C的坐标；
（3）点M为x轴一动点，点P是直线上一动点，是否存在以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的解析式为；
（2）解：根据直线的解析式为，得，
由直线，得，
∴，又，
设点，
当点C在x轴的上方时，此时，
根据题意，得的面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点；
当点C在x轴的下方时，此时，
根据题意，得的面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点；
综上可得，点或．
（3）解：存在是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下：
设，，
当为直角边时，过P作轴，过M作于N，过F作于Q，如图：
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
解得或，
此时点P的横坐标为0或；
当为直角边时，过P作轴于H，过F作轴于G，如图：
同理可得，
，，
，
解得或此时P，F重合，舍去或，
综上可得，P的横坐标为0或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意，把点F的坐标代入直线可得关于m的方程，解方程求得m的值，再把点F的坐标代入直线的解析式可得关于k的方程，解方程即可求解；
（2）设点，由题意可分两种情况：①当点C在x轴的上方时，此时，，根据三角形面积的构成可得关于n的方程，解方程即可求解；②点C在x轴的下方时，此时，然后根据三角形面积的构成可得关于n的方程，解方程即可求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质，构造一线三直角全等模型，设，，分两种情况：①当为直角边时，过P作轴，过M作于N，过F作于Q，②当为直角边时，过P作轴于H，过F作轴于G，结合全等三角形的性质可求解．
（1）解：过点，
故，
∴，
∴，
∴，
∴的解析式为；
（2）解：根据直线的解析式为，得，由直线，得，故，
又，
设点，当点C在x轴的上方时，此时，
根据题意，得的面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点；
当点C在x轴的下方时，此时，
根据题意，得的面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点；
综上所述，点或．
（3）解：存在是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下：
设，，
当为直角边时，过P作轴，过M作于N，过F作于Q，如图：
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
解得或，
此时点P的横坐标为0或；
当为直角边时，过P作轴于H，过F作轴于G，如图：
同理可得，
，，
，
解得或此时P，F重合，舍去或，
综上所述，P的横坐标为0或或或
26．在几何图形变换的数学课堂情境中，徐老师引导学生共同探索角度与线段长度的相关奥秘．
（1）如图1，已知，在射线和射线上取，连接，点D、H分别是线段、上的点，若，求的度数．
（2）在（1）问的条件下，如图2，过点A作的平行线交延长线于点E，求证：．
（3）如图3，若，点A在射线上，且，点P是射线上一动点，以点A为直角顶点作，若的面积为，请直接写出长度的最大值．
【答案】（1）解：，
又，，
．
（2）证明：如图2所示，在上截取，
，
，，，
又，
故为等边三角形，
，即，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（3）解：如图3所示，作，，和交于点C，过点A作交于点D，作于点E，作于点F，
，，
，
∴，，
四边形为矩形，
，
，
，即，
，即为定长．
取中点R，连接，
由斜边中线定理知，
，
，
当B、R、Q三点共线时取等号，
，
即长度的最大值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解；
（2）在上截取，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得三角形ABC为等边三角形，由等边三角形的性质并结合题意，用角边角可得△DFC≌△EAD，然后根据全等三角形的对应边相等可求解；
（3）作，，和交于点C，过点A作交于点D，作于点E，作于点F，由角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=AB，用勾股定理求得BE的值，由矩形的性质和三角形的面积公式易得AD为定长；取中点R，连接，由三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QR=AD，用勾股定理求得BR的值，然后根据两点之间线段最短可求解．
（1）解：，
又，，
．
（2）证明：如图2所示，在上截取，
，
，，，
又，
故为等边三角形，
，即，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（3）解：如图3所示，作，，和交于点C，
过点A作交于点D，作于点E，作于点F，
，，
，
∴，，
四边形为矩形，
，
，
，即，
，即为定长．
取中点R，连接，
由斜边中线定理知，
，
，
当B、R、Q三点共线时取等号，
，
即长度的最大值为．
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