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广东省深圳市深圳高级中学2025年中考三模数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在标准大气压下，物质的凝固点是指该物质从液态转变为固态时的温度，以下是一些物质的凝固点 ：
物质名称 水 乙醇 甘油 氯仿
凝固点（）
其中凝固点最低的物质为（　　）
A．水 B．乙醇 C．甘油 D．氯仿
2．剪纸文化承载着深厚的历史底蕴和民族特色，其发展脉络可追溯至200多年前．以下剪纸图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．下表是小颖同学课堂检测的完成情况，她最后的得分是（　　）
课堂检测得分___________ 填空题（评分标准：每道题3分） （1） （2）（1） （3） （4）
A．3分 B．6分 C．9分 D．12分
5．研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（　　）
A． B． C． D．
6．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（　　）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到800里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？快马的速度为多少？下列说法错误的是（　　）
A．设规定的时间为天，所列方程为
B．规定的时间为7天
C．设慢马的速度为里/天，所列方程为
D．快马速度是200里/天
8．5网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如下图提供的信息，下列推断不合理的是（　　）
A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元
B．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长
C．2029年直接经济产出约为2020年直接经济产出的10倍
D．2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．学校为提升学生的科创素养，组建了三门科创社团：A（3D打印社团）、B（WRC机器人社团）、C（无人机社团）．小亮同学决定从这三个社团中随机选择一门参加社团活动（每门课程被选中的可能性相同）．则他恰好选择A（3D打印社团）的概率是　 　．
10．　 　．
11．如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为　 　度．（备注：入射角等于反射角）
12．发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，其由底部矩形和两个反比例函数图象一部分组成．以地面为轴、的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知，则整个冷却塔的高度为　 　m．
13．如图，在菱形中，是上一点，将菱形沿翻折使点的对应点刚好落在的延长线上，则折痕的长为　 　．
三、解答题（本大题共7大题，共61分）
14．化简：．
15．为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中， ， ， ，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：；
八年级C组同学的分数分别为：．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七 91 95
八 91 93
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”知识竞赛中，哪个年级学生的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校现有学生七年级1200名，八年级1000名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
16．综合与实践
主题 测量书架内侧长度
信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点刚好靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上．（图2是平面示意图）
信息2 长方体档案盒的长，厚度．
信息3 借助量角器测得．（参考数据：）
问题解决
任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长；
任务2 求书架内侧的长．
17．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学九年级名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话．
王老师：“客运公司有，两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金元，型客车每辆租金元．” 小强：“七年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 小国：“八年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
（1）分别求每辆型客车和型客车坐满后的载客人数；
（2）因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用，两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？
18．如图，在中，，以为直径作分别交于两点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）求作：过点作的切线，交于点．（要求：利用圆规及无刻度直尺作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
19．综合与探究
【研究任务】如图1，在平面直角坐标系中，点，是轴上一动点，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记和的交点为．设点的坐标为，则与具有怎样的关系呢？
【操作 猜想】
（1）数学小组类比学习函数的一般方法，通过测量、列表、描点、连线，确定函数的大致图象．
①数据收集：
0 1 2 3 4
2 1 2
②绘制图象：根据所得到的数据，在图2的平面直角坐标系画出与的函数图象；
③观察猜想：观察所画的图象，猜想它是我们学过的___________函数，与的关系式是___________；
【验证·证明】
（2）观察图1，完成下列任务：
①验证：若点在轴的正半轴且，求的长，并验证此时点是否在你所猜想的函数图象上；
②证明：请证明你的猜想．
【联系 拓广】
（3）结合上述探究，若满足时，该函数的最大值与最小值的差为，请求出的值．
20．综合与探究
【定义】若四边形的一条对角线将这个四边形分成等腰三角形和直角三角形，且此对角线为直角三角形的斜边，则这个四边形叫做“等腰直角四边形”，这条对角线为“分割对角线”．
【示例】如图1，是四边形的对角线，是等腰三角形，，则四边形是等腰直角四边形，是分割对角线．
【简单应用】
（1）如图2，在“等腰直角四边形”中，，．若，，，则___________；
（2）如图3，在中，点在对角线上．若四边形是“等腰直角四边形”，，求的值；
【拓展提升】
（3）如图4，在“等腰直角四边形”中，对角线与相关于点，，，求的值；
（4）如图5，在中，，，．点是平面内一点且满足四边形是以为分割对角线的“等腰直角四边形”，与交于点，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：四种物质的凝固点分别为：水 、乙醇 、甘油 、氯仿 。
根据“正数大于0，0大于负数”，可知水和甘油的凝固点不是最低的，只需比较乙醇和氯仿的凝固点。
两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
因为 ，所以 。凝固点最低的物质是乙醇。
故答案为：B。
【分析】本题考查有理数的大小比较，核心是利用“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”的规则，判断四种物质凝固点的最小值。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、沿竖直 、水平、 对角线方向折叠均可重合（轴对称），绕中心旋转 180° 后也能与自身重合（中心对称），A符合题意；
B、仅为轴对称图形，旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形， B不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， C不符合题意；
D、仅为中心对称图形，无法找到一条直线使折叠后两旁部分完全重合，不是轴对称图形，D 不符合题意；
故答案为：A。
【分析】先分别用 “折叠重合” 和 “旋转 180° 重合” 的定义判断每个选项的对称性，最终选出同时满足轴对称和中心对称的选项。
3．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由题意得，和为平行线间同旁内角，
故．
故选C．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求解即可．
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：(1) ，计算正确，得3分；
(2) ，原计算错误，不得分；
(3) ，计算正确，得3分；
(4) ，原计算错误，不得分；
总得分：分，
故答案为：B。
【分析】先逐一判断每道题的正误，再根据“每道题3分”的评分标准，将做对题目的分值相加得到最终得分。
5．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】将年龄 15 代入最佳燃脂心率计算公式，先算最低值为 (220-15)×0.6=205×0.6=123，
再算最高值为 (220-15)×0.8=205×0.8=164，因此 15 岁的人最佳燃脂心率范围为 123≤p≤164，
故答案为：B。
【分析】先把年龄 15 代入最佳燃脂心率的最低值和最高值公式进行计算，再根据计算结果确定心率 p 的取值范围。
6．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据弧长公式 （其中 为圆心角度数， 为半径），将 ， 代入计算：，故弧 的长为 ，
故答案为：B。
【分析】先根据弧长计算公式，再代入题目给出的圆心角与半径数值，计算得出管道展直长度。
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：A、设规定的时间为天，慢马用时天，快马用时天，根据“快马速度是慢马速度的2倍”列方程：，A正确，
B、解方程，两边同除以得：，交叉相乘得：，解得，经检验是原方程的解，即规定的时间为7天，B正确，
C、设慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天，慢马用时天，快马用时天，
由题意知时间差为天，应列方程：，C错误，
D、规定时间为7天，快马用时天，快马速度为里/天，D正确，
故答案为：C。
【分析】先分别以“规定时间”和“慢马速度”为未知数列分式方程，再求解并验证各选项，找出错误的说法。
8．【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】通过观察统计图数据可知：
A、2024年5G直接经济产出为3万亿元，间接经济产出为6万亿元，万亿元，故直接经济产出比间接经济产出少3万亿元，A正确；
B、2020年到2030年，5G直接经济产出和间接经济产出的折线均呈上升趋势，即都是逐年增长，B正确；
C、2029年5G直接经济产出为5万亿元，2020年为0.5万亿元，，即2029年约为2020年的10倍，C正确；
D、2024到2025年，5G直接经济产出增长率为，5G间接经济产出增长率为，两者增长率不同，D错误；
故答案为：D。
【分析】先从折线统计图中提取对应年份的5G直接与间接经济产出数据，再分别计算各选项的差值、增长趋势、倍数及增长率，从而判断推断的合理性。
9．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵小亮同学决定从三门科创社团：A（打印社团）、B（机器人社团）、C（无人机社团）这三个社团中随机选择一门参加社团活动（每门课程被选中的可能性相同），
∴他恰好选择A（打印社团）的概率是，
故答案为：．
【分析】从 3 个等可能的社团中随机选择 1 个，选择 A 社团的情况数为 1，总情况数为 3，根据概率公式，恰好选择 A 社团的概率是。
10．【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：3。
【分析】先运用零次幂公式计算 ，再运用负整数指数幂的性质计算 ，最后将两者结果相加。
11．【答案】27
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；余角；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
故答案为：。
【分析】先利用平角定义求出∠AOB 的度数，再结合反射定律算出∠BOC，接着根据垂直关系求出∠BOM，最后依据对顶角相等得到∠DON 的度数。
12．【答案】105
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：设的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵y轴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点F的横坐标为8，
∴，
∴整个冷却塔高度为．
故答案为：105。
【分析】先利用矩形与轴对称性质确定点C坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式，最后代入F点横坐标求出纵坐标，即为冷却塔高度。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点作于点G，过点作于点F，
∵菱形中，是上一点，将菱形沿翻折使点的对应点刚好落在的延长线上，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】先借助菱形与折叠的性质确定各边长度和角度，再利用直角三角形、等腰三角形的性质逐步计算出 DE 各分段的长度，最终求和得到折痕 DE 的长。
14．【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】 先处理括号内的减法运算，再将除法转换为乘法，通过因式分解和约分化简分式，得到最终结果。
15．【答案】（1）
（2），∴八年级学生了解情况更好．
（3）七年级优秀人数为（人），八年级优秀人数为（人），（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为人．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
∴中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在组，
，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，，，
故答案为：；
【分析】(1)先根据七年级条形统计图和 C 组分数，确定第 10、11 位分数并求平均值得出中位数a；再根据八年级 C 组分数找出出现次数最多的数得到众数b；最后计算七年级优秀人数占比得到优秀率m。
(2)对比两个年级的优秀率（或中位数、众数），八年级优秀率更高，因此八年级学生了解情况更好。
(3)分别用七年级、八年级总人数乘以各自优秀率得到各年级优秀人数，再将两者相加得到两个年级优秀总人数。
（1）解：，
∴中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在组，
，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，，，
故答案为：；
（2），
∴八年级学生了解情况更好．
（3）七年级优秀人数为（人），
八年级优秀人数为（人），（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为人．
16．【答案】解：任务1：由题意可知：在中，
即，
解得：，
答：斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长约为．
任务2：由题意可知，
，
，
在中，，
即，
解得：，
，
答：书架内侧的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】在中，利用，代入和，计算得出的长度。先通过同角的余角相等得到，在中利用求出，再将7个竖放档案盒的总厚度、和相加得到的长度。
17．【答案】（1）解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，
根据题意，可得，解得，
答：每辆型客车坐满后的载客人数为60人，每辆型客车坐满后的载客人数为45人；
（2）解：设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，
根据题意，可得，
解得，
∵租金，
又∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最小值，最小值为（元），
此时（辆），
答：九年级租用4辆型客车，6辆型客车所需的租金最少，最少为8800元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，再表示出，结合一次函数的性质求解即可．
（1）解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，
根据题意，可得，解得，
答：每辆型客车坐满后的载客人数为60人，每辆型客车坐满后的载客人数为45人；
（2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，
根据题意，可得，
解得，
∵租金，
又∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最小值，最小值为（元），
此时（辆），
答：九年级租用4辆型客车，6辆型客车所需的租金最少，最少为8800元．
18．【答案】（1）证明：连接，
为直径，
，
，
．
（2）解：圆内接四边形，
，
又，
，
，
即，
解得，
．
（3）解：如图所示：
理由：连结，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
又，
∴是中位线，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又是半径，
∴是切线．
【知识点】切线的判定；尺规作图-作角的平分线；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1) 连接 AD，由直径所对圆周角为直角得 AD ⊥ BC，再根据等腰三角形三线合一性质证得 BD=CD。
(2) 先由圆内接四边形性质得 ∠CED =∠B，结合公共角 ∠C 证 △CDE∽△CAB，再列比例式求出 CE，最后用 AC - CE 算出 AE。
(3) 连接 OD，利用中位线性质得 OD∥AC，再作 ∠CDE 的平分线 DF，由 DF⊥CE 证得 OD⊥DF，从而 DF 为 ⊙O 的切线。
（1）证明：连接，
为直径，
，
，
．
（2）解：圆内接四边形，
，
又，
，
，
即，
解得，
．
（3）解：如图所示：
理由：连结，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
又，
∴是中位线，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又是半径，
∴是切线．
19．【答案】解：（1）②绘制图象：
③二次，；
（2）①连接，作，垂足为，
垂直平分，
，
，则，
在中，
，即，
解得，
，即，
将代入
得，
点在所猜想的函数图象上．
②，
，
在中，
，即，
（3）当时，
当时，；
当时，，
，
解得（舍）；
当时，
由得：
当时，；
当时，，
，解得（舍）．
综上所述，．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）③观察所画的图象，猜想它是我们学过的二次函数，
∵当与时的函数值相等，
∴对称轴为直线，
由表格可知，当时，函数值为1，
∴顶点坐标为，
设与的关系式是，
又当时，，
∴，解得：，
∴，
故答案为：二次，，
【分析】(1)先根据表格数据描点连线画出函数图象，再由图象对称性确定顶点，设顶点式代入数据求出二次函数解析式。
(2)① 连接 AP，利用垂直平分线性质得 AP=PB，构造直角三角形用勾股定理列方程求出 PB 的长，再代入解析式验证点 P 在函数图象上；② 设 P (x，y)，构造直角三角形利用勾股定理列出等式，化简后得到 y 与 x 的函数关系式，证明猜想成立。
(3)分 t>2 和 020．【答案】解：（1）；
（2）如图所示，过点C作，垂足为，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
解得．
（3）如图所示，作交延长线于点，作交于点，
，
，
，
又，
，
∴，
设，则，
∵，
∴，
，
∴，
，即
∴，
，
，即；
（4）解析：①当时，
过点A作交延长线于F，分别过点C和点D作的垂线，垂足分别为N、M，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则
在和中，由勾股定理得，
∵，
诉
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
；
②当时，
过点D作于M，过点A作交延长线于N，
∴，
同理可得，
过点A作，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
∵，
∴，
；
③当时，
作交于点，作于H，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
设，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
，
∴，
∴
∵，
，
．
综上所述，的值为或或．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点C作于H，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
故答案为：；
【分析】(1) 过点 C 作 CH⊥AD 于 H，先证四边形 ABCH 是矩形，用勾股定理求出 AC，再结合 AC=AD 算出 DH，最后在 Rt△CDH 中用勾股定理求出 CD。
(2) 过点 C 作 CF⊥BD 于 F，由 CE=CD 得 EF=DF，再证△DAE∽△BFC，根据相似三角形对应边成比例列方程求出 AD。
(3) 作 DM⊥BC、CN⊥BC，先证△ABC≌△CMD，设 AB=t 表示各边长，再证△BNC∽△BDM、△ABE∽△CEN，最后由相似比求出 的值。
(4) 分三种直角情况讨论：①∠BCD=90° 且 AD=BD；②∠BAD=90° 且 BD=CD；③∠BAD=90° 且 BC=BD，分别构造辅助线，利用全等、相似三角形及勾股定理求出 的值。
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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在标准大气压下，物质的凝固点是指该物质从液态转变为固态时的温度，以下是一些物质的凝固点 ：
物质名称 水 乙醇 甘油 氯仿
凝固点（）
其中凝固点最低的物质为（　　）
A．水 B．乙醇 C．甘油 D．氯仿
【答案】B
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：四种物质的凝固点分别为：水 、乙醇 、甘油 、氯仿 。
根据“正数大于0，0大于负数”，可知水和甘油的凝固点不是最低的，只需比较乙醇和氯仿的凝固点。
两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
因为 ，所以 。凝固点最低的物质是乙醇。
故答案为：B。
【分析】本题考查有理数的大小比较，核心是利用“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”的规则，判断四种物质凝固点的最小值。
2．剪纸文化承载着深厚的历史底蕴和民族特色，其发展脉络可追溯至200多年前．以下剪纸图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、沿竖直 、水平、 对角线方向折叠均可重合（轴对称），绕中心旋转 180° 后也能与自身重合（中心对称），A符合题意；
B、仅为轴对称图形，旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形， B不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， C不符合题意；
D、仅为中心对称图形，无法找到一条直线使折叠后两旁部分完全重合，不是轴对称图形，D 不符合题意；
故答案为：A。
【分析】先分别用 “折叠重合” 和 “旋转 180° 重合” 的定义判断每个选项的对称性，最终选出同时满足轴对称和中心对称的选项。
3．如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由题意得，和为平行线间同旁内角，
故．
故选C．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求解即可．
4．下表是小颖同学课堂检测的完成情况，她最后的得分是（　　）
课堂检测得分___________ 填空题（评分标准：每道题3分） （1） （2）（1） （3） （4）
A．3分 B．6分 C．9分 D．12分
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：(1) ，计算正确，得3分；
(2) ，原计算错误，不得分；
(3) ，计算正确，得3分；
(4) ，原计算错误，不得分；
总得分：分，
故答案为：B。
【分析】先逐一判断每道题的正误，再根据“每道题3分”的评分标准，将做对题目的分值相加得到最终得分。
5．研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】将年龄 15 代入最佳燃脂心率计算公式，先算最低值为 (220-15)×0.6=205×0.6=123，
再算最高值为 (220-15)×0.8=205×0.8=164，因此 15 岁的人最佳燃脂心率范围为 123≤p≤164，
故答案为：B。
【分析】先把年龄 15 代入最佳燃脂心率的最低值和最高值公式进行计算，再根据计算结果确定心率 p 的取值范围。
6．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据弧长公式 （其中 为圆心角度数， 为半径），将 ， 代入计算：，故弧 的长为 ，
故答案为：B。
【分析】先根据弧长计算公式，再代入题目给出的圆心角与半径数值，计算得出管道展直长度。
7．我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到800里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？快马的速度为多少？下列说法错误的是（　　）
A．设规定的时间为天，所列方程为
B．规定的时间为7天
C．设慢马的速度为里/天，所列方程为
D．快马速度是200里/天
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：A、设规定的时间为天，慢马用时天，快马用时天，根据“快马速度是慢马速度的2倍”列方程：，A正确，
B、解方程，两边同除以得：，交叉相乘得：，解得，经检验是原方程的解，即规定的时间为7天，B正确，
C、设慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天，慢马用时天，快马用时天，
由题意知时间差为天，应列方程：，C错误，
D、规定时间为7天，快马用时天，快马速度为里/天，D正确，
故答案为：C。
【分析】先分别以“规定时间”和“慢马速度”为未知数列分式方程，再求解并验证各选项，找出错误的说法。
8．5网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如下图提供的信息，下列推断不合理的是（　　）
A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元
B．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长
C．2029年直接经济产出约为2020年直接经济产出的10倍
D．2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同
【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】通过观察统计图数据可知：
A、2024年5G直接经济产出为3万亿元，间接经济产出为6万亿元，万亿元，故直接经济产出比间接经济产出少3万亿元，A正确；
B、2020年到2030年，5G直接经济产出和间接经济产出的折线均呈上升趋势，即都是逐年增长，B正确；
C、2029年5G直接经济产出为5万亿元，2020年为0.5万亿元，，即2029年约为2020年的10倍，C正确；
D、2024到2025年，5G直接经济产出增长率为，5G间接经济产出增长率为，两者增长率不同，D错误；
故答案为：D。
【分析】先从折线统计图中提取对应年份的5G直接与间接经济产出数据，再分别计算各选项的差值、增长趋势、倍数及增长率，从而判断推断的合理性。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．学校为提升学生的科创素养，组建了三门科创社团：A（3D打印社团）、B（WRC机器人社团）、C（无人机社团）．小亮同学决定从这三个社团中随机选择一门参加社团活动（每门课程被选中的可能性相同）．则他恰好选择A（3D打印社团）的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵小亮同学决定从三门科创社团：A（打印社团）、B（机器人社团）、C（无人机社团）这三个社团中随机选择一门参加社团活动（每门课程被选中的可能性相同），
∴他恰好选择A（打印社团）的概率是，
故答案为：．
【分析】从 3 个等可能的社团中随机选择 1 个，选择 A 社团的情况数为 1，总情况数为 3，根据概率公式，恰好选择 A 社团的概率是。
10．　 　．
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：3。
【分析】先运用零次幂公式计算 ，再运用负整数指数幂的性质计算 ，最后将两者结果相加。
11．如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为　 　度．（备注：入射角等于反射角）
【答案】27
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；余角；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
故答案为：。
【分析】先利用平角定义求出∠AOB 的度数，再结合反射定律算出∠BOC，接着根据垂直关系求出∠BOM，最后依据对顶角相等得到∠DON 的度数。
12．发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，其由底部矩形和两个反比例函数图象一部分组成．以地面为轴、的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知，则整个冷却塔的高度为　 　m．
【答案】105
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：设的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵y轴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点F的横坐标为8，
∴，
∴整个冷却塔高度为．
故答案为：105。
【分析】先利用矩形与轴对称性质确定点C坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式，最后代入F点横坐标求出纵坐标，即为冷却塔高度。
13．如图，在菱形中，是上一点，将菱形沿翻折使点的对应点刚好落在的延长线上，则折痕的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点作于点G，过点作于点F，
∵菱形中，是上一点，将菱形沿翻折使点的对应点刚好落在的延长线上，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】先借助菱形与折叠的性质确定各边长度和角度，再利用直角三角形、等腰三角形的性质逐步计算出 DE 各分段的长度，最终求和得到折痕 DE 的长。
三、解答题（本大题共7大题，共61分）
14．化简：．
【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】 先处理括号内的减法运算，再将除法转换为乘法，通过因式分解和约分化简分式，得到最终结果。
15．为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中， ， ， ，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：；
八年级C组同学的分数分别为：．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七 91 95
八 91 93
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”知识竞赛中，哪个年级学生的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校现有学生七年级1200名，八年级1000名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】（1）
（2），∴八年级学生了解情况更好．
（3）七年级优秀人数为（人），八年级优秀人数为（人），（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为人．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
∴中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在组，
，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，，，
故答案为：；
【分析】(1)先根据七年级条形统计图和 C 组分数，确定第 10、11 位分数并求平均值得出中位数a；再根据八年级 C 组分数找出出现次数最多的数得到众数b；最后计算七年级优秀人数占比得到优秀率m。
(2)对比两个年级的优秀率（或中位数、众数），八年级优秀率更高，因此八年级学生了解情况更好。
(3)分别用七年级、八年级总人数乘以各自优秀率得到各年级优秀人数，再将两者相加得到两个年级优秀总人数。
（1）解：，
∴中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在组，
，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，，，
故答案为：；
（2），
∴八年级学生了解情况更好．
（3）七年级优秀人数为（人），
八年级优秀人数为（人），（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为人．
16．综合与实践
主题 测量书架内侧长度
信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点刚好靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上．（图2是平面示意图）
信息2 长方体档案盒的长，厚度．
信息3 借助量角器测得．（参考数据：）
问题解决
任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长；
任务2 求书架内侧的长．
【答案】解：任务1：由题意可知：在中，
即，
解得：，
答：斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长约为．
任务2：由题意可知，
，
，
在中，，
即，
解得：，
，
答：书架内侧的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】在中，利用，代入和，计算得出的长度。先通过同角的余角相等得到，在中利用求出，再将7个竖放档案盒的总厚度、和相加得到的长度。
17．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学九年级名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话．
王老师：“客运公司有，两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金元，型客车每辆租金元．” 小强：“七年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 小国：“八年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
（1）分别求每辆型客车和型客车坐满后的载客人数；
（2）因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用，两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？
【答案】（1）解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，
根据题意，可得，解得，
答：每辆型客车坐满后的载客人数为60人，每辆型客车坐满后的载客人数为45人；
（2）解：设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，
根据题意，可得，
解得，
∵租金，
又∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最小值，最小值为（元），
此时（辆），
答：九年级租用4辆型客车，6辆型客车所需的租金最少，最少为8800元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，再表示出，结合一次函数的性质求解即可．
（1）解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，
根据题意，可得，解得，
答：每辆型客车坐满后的载客人数为60人，每辆型客车坐满后的载客人数为45人；
（2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，
根据题意，可得，
解得，
∵租金，
又∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最小值，最小值为（元），
此时（辆），
答：九年级租用4辆型客车，6辆型客车所需的租金最少，最少为8800元．
18．如图，在中，，以为直径作分别交于两点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）求作：过点作的切线，交于点．（要求：利用圆规及无刻度直尺作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
【答案】（1）证明：连接，
为直径，
，
，
．
（2）解：圆内接四边形，
，
又，
，
，
即，
解得，
．
（3）解：如图所示：
理由：连结，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
又，
∴是中位线，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又是半径，
∴是切线．
【知识点】切线的判定；尺规作图-作角的平分线；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1) 连接 AD，由直径所对圆周角为直角得 AD ⊥ BC，再根据等腰三角形三线合一性质证得 BD=CD。
(2) 先由圆内接四边形性质得 ∠CED =∠B，结合公共角 ∠C 证 △CDE∽△CAB，再列比例式求出 CE，最后用 AC - CE 算出 AE。
(3) 连接 OD，利用中位线性质得 OD∥AC，再作 ∠CDE 的平分线 DF，由 DF⊥CE 证得 OD⊥DF，从而 DF 为 ⊙O 的切线。
（1）证明：连接，
为直径，
，
，
．
（2）解：圆内接四边形，
，
又，
，
，
即，
解得，
．
（3）解：如图所示：
理由：连结，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
又，
∴是中位线，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又是半径，
∴是切线．
19．综合与探究
【研究任务】如图1，在平面直角坐标系中，点，是轴上一动点，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记和的交点为．设点的坐标为，则与具有怎样的关系呢？
【操作 猜想】
（1）数学小组类比学习函数的一般方法，通过测量、列表、描点、连线，确定函数的大致图象．
①数据收集：
0 1 2 3 4
2 1 2
②绘制图象：根据所得到的数据，在图2的平面直角坐标系画出与的函数图象；
③观察猜想：观察所画的图象，猜想它是我们学过的___________函数，与的关系式是___________；
【验证·证明】
（2）观察图1，完成下列任务：
①验证：若点在轴的正半轴且，求的长，并验证此时点是否在你所猜想的函数图象上；
②证明：请证明你的猜想．
【联系 拓广】
（3）结合上述探究，若满足时，该函数的最大值与最小值的差为，请求出的值．
【答案】解：（1）②绘制图象：
③二次，；
（2）①连接，作，垂足为，
垂直平分，
，
，则，
在中，
，即，
解得，
，即，
将代入
得，
点在所猜想的函数图象上．
②，
，
在中，
，即，
（3）当时，
当时，；
当时，，
，
解得（舍）；
当时，
由得：
当时，；
当时，，
，解得（舍）．
综上所述，．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）③观察所画的图象，猜想它是我们学过的二次函数，
∵当与时的函数值相等，
∴对称轴为直线，
由表格可知，当时，函数值为1，
∴顶点坐标为，
设与的关系式是，
又当时，，
∴，解得：，
∴，
故答案为：二次，，
【分析】(1)先根据表格数据描点连线画出函数图象，再由图象对称性确定顶点，设顶点式代入数据求出二次函数解析式。
(2)① 连接 AP，利用垂直平分线性质得 AP=PB，构造直角三角形用勾股定理列方程求出 PB 的长，再代入解析式验证点 P 在函数图象上；② 设 P (x，y)，构造直角三角形利用勾股定理列出等式，化简后得到 y 与 x 的函数关系式，证明猜想成立。
(3)分 t>2 和 020．综合与探究
【定义】若四边形的一条对角线将这个四边形分成等腰三角形和直角三角形，且此对角线为直角三角形的斜边，则这个四边形叫做“等腰直角四边形”，这条对角线为“分割对角线”．
【示例】如图1，是四边形的对角线，是等腰三角形，，则四边形是等腰直角四边形，是分割对角线．
【简单应用】
（1）如图2，在“等腰直角四边形”中，，．若，，，则___________；
（2）如图3，在中，点在对角线上．若四边形是“等腰直角四边形”，，求的值；
【拓展提升】
（3）如图4，在“等腰直角四边形”中，对角线与相关于点，，，求的值；
（4）如图5，在中，，，．点是平面内一点且满足四边形是以为分割对角线的“等腰直角四边形”，与交于点，直接写出的值．
【答案】解：（1）；
（2）如图所示，过点C作，垂足为，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
解得．
（3）如图所示，作交延长线于点，作交于点，
，
，
，
又，
，
∴，
设，则，
∵，
∴，
，
∴，
，即
∴，
，
，即；
（4）解析：①当时，
过点A作交延长线于F，分别过点C和点D作的垂线，垂足分别为N、M，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则
在和中，由勾股定理得，
∵，
诉
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
；
②当时，
过点D作于M，过点A作交延长线于N，
∴，
同理可得，
过点A作，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
∵，
∴，
；
③当时，
作交于点，作于H，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
设，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
，
∴，
∴
∵，
，
．
综上所述，的值为或或．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点C作于H，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
故答案为：；
【分析】(1) 过点 C 作 CH⊥AD 于 H，先证四边形 ABCH 是矩形，用勾股定理求出 AC，再结合 AC=AD 算出 DH，最后在 Rt△CDH 中用勾股定理求出 CD。
(2) 过点 C 作 CF⊥BD 于 F，由 CE=CD 得 EF=DF，再证△DAE∽△BFC，根据相似三角形对应边成比例列方程求出 AD。
(3) 作 DM⊥BC、CN⊥BC，先证△ABC≌△CMD，设 AB=t 表示各边长，再证△BNC∽△BDM、△ABE∽△CEN，最后由相似比求出 的值。
(4) 分三种直角情况讨论：①∠BCD=90° 且 AD=BD；②∠BAD=90° 且 BD=CD；③∠BAD=90° 且 BC=BD，分别构造辅助线，利用全等、相似三角形及勾股定理求出 的值。
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