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广东省广州市广州中学2025年中考二模数学试卷
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（　　）
A． B．3 C． D．
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱
3．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（　　）
A． B．1 C．3 D．4
8．一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为( )
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分共18分）
11．点关于原点对称的点的坐标是　 　．
12．一次函数图象上有两点，，则　 　（填，，）
13．分解因式：　 　．
14．将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是　 　．
15．如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是　 　．
16．在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为　 　．
三、解答题（共9题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）．
17．解二元一次方程组：．
18．如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．
19．已知．
（1）化简；
（2）若点在一次函数的图象上，请求出的值．
20．祁阳市某中学开展了一系列形式多样，内容丰富的“阳光大课间”活动，学生们热情高涨，操场上欢声笑语不断，学生们在运动中挥洒汗水，不仅增强了体质，还培养了团队协作精神和积极向上的生活态度．为了解学生周末在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．，其中周末运动时间不少于2小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了__________名学生：
（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数：
（3）若该校有学生2000人，试估计该校学生周末在家运动时间达标的人数．
21．2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示．
产品数量x/件 … 10 12 16 20 …
生产成本y/元 … 400 420 460 500 …
请你根据表中信息，解答下列问题．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？
22．如图，中，．
（1）在上找一点M，使得，并说明理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，若，，求的长．（保留根号，无需化简）
23．如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边，分别交于点，（不与边的端点重合），连接，，．
（1）若为边的中点，求的值及点的坐标；
（2）若，求的面积．
24．已知抛物线的对称轴为直线．
（1）若点在抛物线上，求的值；
（2）若点，在抛物线上，
①当时，求的取值范围；
②若，且，求的取值范围．
25．已知，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边的中点上，交于点，连接．
（1）如图，若，时
① ▲ ；
②求的长；
（2）若为的三等分点，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：D．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此解题即可.
2．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体，
由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱，
故选：A．
【分析】根据主视图、俯视图得到几何体是柱体，再根据左视图确定具体形状解答即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：55000=，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；积的乘方运算；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解∶A．与不是同类二次根式，不可以合并，错误；
B．，错误；
C．，正确；
D．，错误；
故选：C．
【分析】
根据二次根式的加减，可判断A；
根据，可判断B；
根据，可判断C；
根据，可判断D
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据平行四边形的对边相等得到，然后根据菱形的四边相等得到，然后根据BE=BC-CE求解即可．
6．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），
根据题意，得，
故答案为：C．
【分析】直接根据“ 两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒“列出关于x的分式方程.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质，当时，反比例函数的图象位于第一、三象限．
8．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下：
H O C N
H
O
C
N
共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有种，
所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率为，
故答案为：D．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表格可知：共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有2种，从而根据概率公式求解即可.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
得，
在数轴上表示为：
，
故选：A．
【分析】
当，方程有两个不相等的实数根，由此求出不等式的解集，即可得出选项．
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
在中，，，
，
，
，
当时，的最大值为．
故选：C．
【分析】先根据得到AC和AB，CD的关系，即，
再由勾股定理得到AC和BC的关系，即，将两式联立，由此得解．
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点的坐标是，关于原点的对称点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴点关于原点的对称点Q的坐标是．
故答案为：．
【分析】
关于原点的对称点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，2的相反数是-2，-3的相反数是3，由此得解。
12．【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵中，，
∴随的增大而增大，
∵一次函数的图象上有两点，，且，
∴，
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此比较两点横坐标的大小即可判断出对应函数值的大小.
13．【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
分解因式就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，直接提出公因式即可
14．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据两直线平行，内错角相等，得到，图中所给三角尺为30°，60°，90°的特殊三角尺，因此∠CAB=60°，即可求得。
15．【答案】40cm
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径是，
∴圆锥的底面周长为，半径为，
∴扇形的弧长为，
设扇形的半径为r，
则，
解得：，
∴高为：
故答案为：40cm．
【分析】根据扇形弧长计算公式，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长建立方程求得铁皮的半径，再根据圆锥的高、底面半径及母线长构成直角三角形，从而利用勾股定理计算即可．
16．【答案】5
【知识点】矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：根据题意画出图象，
可知抛物线，
此时抛物线有最高点．
当点A在抛物线的顶点时，最小，最小值是5．
∵四边形是矩形，
∴，
∴对角线的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】
抛物线解析式为，将其配方 可知抛物线顶点为，开口向下。根据图像的位置可知当点A在抛物线的顶点时，最小，最小值是5， 以 AC为对角线作矩形ABCD，根据矩形对角线互相平分且相等的性质，对角线BD＝AC。由此可得答案。
17．【答案】解：，
得，解得，
把代入①得，解得，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法求解二元一次方程，即可求解．
18．【答案】解：∵ ED ∥ BC，EF ∥ AB，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C，∠EFC = ∠B，
∴ ∠ADE = ∠EFC，∠AED = ∠C，
∴ △ADE ∽ △EFC．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质，同位角相等：由 ED ∥ BC 可得 ∠ADE = ∠B 和 ∠AED = ∠C；由 EF ∥ AB 可得 ∠EFC = ∠B。
通过等量代换，得到 ∠ADE = ∠EFC，结合 ∠AED = ∠C，可判定 △ADE 与 △EFC 相似。
19．【答案】（1）解：
（2）解：∵点在一次函数的图像上，
∴，
即，
∴．

【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；一次函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）两分式相加减，通分并展开分子，运用平方差公式，进行化简约分；
（2） 利用一次函数条件 ，可得和的关系式，即，代入化简即可
（1）解：．
（2）∵点在一次函数的图像上，
∴，
即，
∴．
20．【答案】（1）120
（2）解：由（1）可知：这次抽样调查，共调查了（名），
∴组频数为：，
因此补全频数分布直方图如下：
，
∴在扇形统计图中，C组所对应扇形的圆心角的度数为：；
（3）解：（人），
答：估计该校学生周末在家运动时间达标的人数约为1300人
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由频数分布直方图可知，B组的人数为36人，由扇形统计图可知，B组占比为：30%，
在这次抽样调查中，共调查了（名），
故答案为：120；
【分析】（1）根据频数分布直方图与扇形统计图可知组实际人数以及所占比例，进而即可得出答案；
（2）根据（1）中数据计算可得C组的人数，进而即可补全频数分布直方图，并求得C组扇形圆心角的度数；
（3）根据样本估计总体，列式计算即可．
（1）解：组36人，占比，
在这次抽样调查中，共调查了（名），
故答案为：120；
（2）解：组频数为：，补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为：；
（3）解：该校学生周末在家运动时长达标人数约为：（人），
所以，估计该校学生周末在家运动时间达标的人数约为1300人．
21．【答案】（1）解：（1）设，
把，代入中得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：在中，令，得，
解得．
（元），
当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题明确与是一次函数关系，
（1） 选取表格中两组数据，代入即可；
（2） 待定系数法 ，把代入（1）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案．
（1）解：设，
把，代入中得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：在中，令，得，
解得．
（元），
当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元．
22．【答案】（1）解：（1）如图，点M即为所作；
由作图知，是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，
∴，
∴，，
在中，．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1） 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作线段的垂直平分线即可（2）利用等腰三角形与角度关系推导边长，根据等边对等角得，，根据三角形外角性质，，则， 由等角对等边得，，
作于点，根据等腰三角形三线合一，得，，最后利用勾股定理即可。
（1）解：如图，点M即为所作；
由作图知，是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，
∴，
∴，，
在中，．
23．【答案】（1）解：∵点的坐标为，为边的中点，
∴点的坐标为，代入得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
点E坐标为．

（2）解：∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点，
设点D的坐标为，点E坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，或32（不合题意，舍去），
则点D的坐标为，点E坐标为，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据为边的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，同样利用待定系数法确定点E坐标；
（2）根据反比例函数上点的坐标特征，设点D的坐标为，点E坐标为，又根据，，得到，进而可得 ，即， 求出或32（不合题意，舍去） ，代入即可求得点D，点E的坐标，进而求得OD，ED的值，即可解答。
（1）解：∵点的坐标为，为边的中点，
∴点的坐标为，
代入得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
点E坐标为．
（2）∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点，
设点D的坐标为，点E坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，或32（不合题意，舍去），
则点D的坐标为，点E坐标为，
∴，
∴，，
∴．
24．【答案】（1）解：将点代入抛物线表达式得：
，
则
∵对称轴
∴
（2）解：①当时，，
则抛物线的表达式为：，
顶点坐标为
∵点，在抛物线上
当时，
解得：；
当时， 即，
解得：，
故或；
②∵点，在抛物线上，，
∴，在对称轴的右边，且随的增大而增大，
∴
将点，代入抛物线表达式得：
得
，
，
，
由，整理得
则，
∵，
则，
∵
则，
则
则，
综上。
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】对称轴，可得， 即
（1）将点代入抛物线表达式，即可求解；
（2）利用待定系数法求解，
将点，代入抛物线表达式得：
①当时，，
抛物线的顶点表达式为，
此时需分类讨论， 当时，，即可求解；
当时， 即，同理可解；
②将点，代入抛物线表达式得：整理得到，进而求解．
同时要考虑到的情况，此时抛物线开口向下，当时，随增大而减小，与时，9＞5矛盾，故。
（1）解：将点代入抛物线表达式得：
，
则
∵对称轴
∴
（2）①当时，，
则抛物线的表达式为：，
顶点坐标为
∵点，在抛物线上
当时，
解得：；
当时， 即，
解得：，
故或；
②∵点，在抛物线上，，
∴，在对称轴的右边，且随的增大而增大，
∴
将点，代入抛物线表达式得：
得
，
，
，
由，整理得
则，
∵，
则，
∵
则，
则
则，
综上
25．【答案】（1）①，
②解：如图，作于点，设与交于点，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得，垂直平分，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：延长与交于点，
由折叠的性质得，，，
，
，即，
，
，
，
，
为的三等分点，
或，
①当时，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或1．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：（1） ① 在矩形中，
，，，
∴，
点落在边的中点，
，
，，
解得，即．
故填：
【分析】（1）作于点，设与交于点，
①根据矩形的性质得到，，，利用勾股定理求出，，即可求出的长
②通过证明得到，即可解答；
（2）延长与交于点，利用折叠的性质推出，通过证明得到，结合为的三等分点，分2种情况讨论，或，
当时，
通过求得，
，即可求出的值．
当时，
通过求得
，即可求出的值．
（1）解：如图，作于点，设与交于点，
矩形，
，，，
∴，
点落在边的中点，
，
，，
解得，即．
，
，
，，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得，垂直平分，
，
，
，
又，
，
，
．
故答案为：①，②
（2）延长与交于点，
由折叠的性质得，，，
，
，即，
，
，
，
，
为的三等分点，
或，
①当时，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或1．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
1 / 1广东省广州市广州中学2025年中考二模数学试卷
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：D．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此解题即可.
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体，
由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱，
故选：A．
【分析】根据主视图、俯视图得到几何体是柱体，再根据左视图确定具体形状解答即可．
3．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：55000=，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；积的乘方运算；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解∶A．与不是同类二次根式，不可以合并，错误；
B．，错误；
C．，正确；
D．，错误；
故选：C．
【分析】
根据二次根式的加减，可判断A；
根据，可判断B；
根据，可判断C；
根据，可判断D
5．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据平行四边形的对边相等得到，然后根据菱形的四边相等得到，然后根据BE=BC-CE求解即可．
6．小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），
根据题意，得，
故答案为：C．
【分析】直接根据“ 两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒“列出关于x的分式方程.
7．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（　　）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质，当时，反比例函数的图象位于第一、三象限．
8．一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下：
H O C N
H
O
C
N
共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有种，
所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率为，
故答案为：D．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表格可知：共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有2种，从而根据概率公式求解即可.
9．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
得，
在数轴上表示为：
，
故选：A．
【分析】
当，方程有两个不相等的实数根，由此求出不等式的解集，即可得出选项．
10．如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
在中，，，
，
，
，
当时，的最大值为．
故选：C．
【分析】先根据得到AC和AB，CD的关系，即，
再由勾股定理得到AC和BC的关系，即，将两式联立，由此得解．
二、填空题（共6小题，每小题3分共18分）
11．点关于原点对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点的坐标是，关于原点的对称点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴点关于原点的对称点Q的坐标是．
故答案为：．
【分析】
关于原点的对称点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，2的相反数是-2，-3的相反数是3，由此得解。
12．一次函数图象上有两点，，则　 　（填，，）
【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵中，，
∴随的增大而增大，
∵一次函数的图象上有两点，，且，
∴，
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此比较两点横坐标的大小即可判断出对应函数值的大小.
13．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
分解因式就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，直接提出公因式即可
14．将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据两直线平行，内错角相等，得到，图中所给三角尺为30°，60°，90°的特殊三角尺，因此∠CAB=60°，即可求得。
15．如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是　 　．
【答案】40cm
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径是，
∴圆锥的底面周长为，半径为，
∴扇形的弧长为，
设扇形的半径为r，
则，
解得：，
∴高为：
故答案为：40cm．
【分析】根据扇形弧长计算公式，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长建立方程求得铁皮的半径，再根据圆锥的高、底面半径及母线长构成直角三角形，从而利用勾股定理计算即可．
16．在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为　 　．
【答案】5
【知识点】矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：根据题意画出图象，
可知抛物线，
此时抛物线有最高点．
当点A在抛物线的顶点时，最小，最小值是5．
∵四边形是矩形，
∴，
∴对角线的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】
抛物线解析式为，将其配方 可知抛物线顶点为，开口向下。根据图像的位置可知当点A在抛物线的顶点时，最小，最小值是5， 以 AC为对角线作矩形ABCD，根据矩形对角线互相平分且相等的性质，对角线BD＝AC。由此可得答案。
三、解答题（共9题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）．
17．解二元一次方程组：．
【答案】解：，
得，解得，
把代入①得，解得，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法求解二元一次方程，即可求解．
18．如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．
【答案】解：∵ ED ∥ BC，EF ∥ AB，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C，∠EFC = ∠B，
∴ ∠ADE = ∠EFC，∠AED = ∠C，
∴ △ADE ∽ △EFC．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质，同位角相等：由 ED ∥ BC 可得 ∠ADE = ∠B 和 ∠AED = ∠C；由 EF ∥ AB 可得 ∠EFC = ∠B。
通过等量代换，得到 ∠ADE = ∠EFC，结合 ∠AED = ∠C，可判定 △ADE 与 △EFC 相似。
19．已知．
（1）化简；
（2）若点在一次函数的图象上，请求出的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵点在一次函数的图像上，
∴，
即，
∴．

【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；一次函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）两分式相加减，通分并展开分子，运用平方差公式，进行化简约分；
（2） 利用一次函数条件 ，可得和的关系式，即，代入化简即可
（1）解：．
（2）∵点在一次函数的图像上，
∴，
即，
∴．
20．祁阳市某中学开展了一系列形式多样，内容丰富的“阳光大课间”活动，学生们热情高涨，操场上欢声笑语不断，学生们在运动中挥洒汗水，不仅增强了体质，还培养了团队协作精神和积极向上的生活态度．为了解学生周末在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．，其中周末运动时间不少于2小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了__________名学生：
（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数：
（3）若该校有学生2000人，试估计该校学生周末在家运动时间达标的人数．
【答案】（1）120
（2）解：由（1）可知：这次抽样调查，共调查了（名），
∴组频数为：，
因此补全频数分布直方图如下：
，
∴在扇形统计图中，C组所对应扇形的圆心角的度数为：；
（3）解：（人），
答：估计该校学生周末在家运动时间达标的人数约为1300人
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由频数分布直方图可知，B组的人数为36人，由扇形统计图可知，B组占比为：30%，
在这次抽样调查中，共调查了（名），
故答案为：120；
【分析】（1）根据频数分布直方图与扇形统计图可知组实际人数以及所占比例，进而即可得出答案；
（2）根据（1）中数据计算可得C组的人数，进而即可补全频数分布直方图，并求得C组扇形圆心角的度数；
（3）根据样本估计总体，列式计算即可．
（1）解：组36人，占比，
在这次抽样调查中，共调查了（名），
故答案为：120；
（2）解：组频数为：，补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为：；
（3）解：该校学生周末在家运动时长达标人数约为：（人），
所以，估计该校学生周末在家运动时间达标的人数约为1300人．
21．2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示．
产品数量x/件 … 10 12 16 20 …
生产成本y/元 … 400 420 460 500 …
请你根据表中信息，解答下列问题．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？
【答案】（1）解：（1）设，
把，代入中得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：在中，令，得，
解得．
（元），
当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题明确与是一次函数关系，
（1） 选取表格中两组数据，代入即可；
（2） 待定系数法 ，把代入（1）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案．
（1）解：设，
把，代入中得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：在中，令，得，
解得．
（元），
当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元．
22．如图，中，．
（1）在上找一点M，使得，并说明理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，若，，求的长．（保留根号，无需化简）
【答案】（1）解：（1）如图，点M即为所作；
由作图知，是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，
∴，
∴，，
在中，．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1） 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作线段的垂直平分线即可（2）利用等腰三角形与角度关系推导边长，根据等边对等角得，，根据三角形外角性质，，则， 由等角对等边得，，
作于点，根据等腰三角形三线合一，得，，最后利用勾股定理即可。
（1）解：如图，点M即为所作；
由作图知，是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，
∴，
∴，，
在中，．
23．如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边，分别交于点，（不与边的端点重合），连接，，．
（1）若为边的中点，求的值及点的坐标；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：∵点的坐标为，为边的中点，
∴点的坐标为，代入得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
点E坐标为．

（2）解：∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点，
设点D的坐标为，点E坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，或32（不合题意，舍去），
则点D的坐标为，点E坐标为，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据为边的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，同样利用待定系数法确定点E坐标；
（2）根据反比例函数上点的坐标特征，设点D的坐标为，点E坐标为，又根据，，得到，进而可得 ，即， 求出或32（不合题意，舍去） ，代入即可求得点D，点E的坐标，进而求得OD，ED的值，即可解答。
（1）解：∵点的坐标为，为边的中点，
∴点的坐标为，
代入得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
点E坐标为．
（2）∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点，
设点D的坐标为，点E坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，或32（不合题意，舍去），
则点D的坐标为，点E坐标为，
∴，
∴，，
∴．
24．已知抛物线的对称轴为直线．
（1）若点在抛物线上，求的值；
（2）若点，在抛物线上，
①当时，求的取值范围；
②若，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入抛物线表达式得：
，
则
∵对称轴
∴
（2）解：①当时，，
则抛物线的表达式为：，
顶点坐标为
∵点，在抛物线上
当时，
解得：；
当时， 即，
解得：，
故或；
②∵点，在抛物线上，，
∴，在对称轴的右边，且随的增大而增大，
∴
将点，代入抛物线表达式得：
得
，
，
，
由，整理得
则，
∵，
则，
∵
则，
则
则，
综上。
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】对称轴，可得， 即
（1）将点代入抛物线表达式，即可求解；
（2）利用待定系数法求解，
将点，代入抛物线表达式得：
①当时，，
抛物线的顶点表达式为，
此时需分类讨论， 当时，，即可求解；
当时， 即，同理可解；
②将点，代入抛物线表达式得：整理得到，进而求解．
同时要考虑到的情况，此时抛物线开口向下，当时，随增大而减小，与时，9＞5矛盾，故。
（1）解：将点代入抛物线表达式得：
，
则
∵对称轴
∴
（2）①当时，，
则抛物线的表达式为：，
顶点坐标为
∵点，在抛物线上
当时，
解得：；
当时， 即，
解得：，
故或；
②∵点，在抛物线上，，
∴，在对称轴的右边，且随的增大而增大，
∴
将点，代入抛物线表达式得：
得
，
，
，
由，整理得
则，
∵，
则，
∵
则，
则
则，
综上
25．已知，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边的中点上，交于点，连接．
（1）如图，若，时
① ▲ ；
②求的长；
（2）若为的三等分点，求的值．
【答案】（1）①，
②解：如图，作于点，设与交于点，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得，垂直平分，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：延长与交于点，
由折叠的性质得，，，
，
，即，
，
，
，
，
为的三等分点，
或，
①当时，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或1．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：（1） ① 在矩形中，
，，，
∴，
点落在边的中点，
，
，，
解得，即．
故填：
【分析】（1）作于点，设与交于点，
①根据矩形的性质得到，，，利用勾股定理求出，，即可求出的长
②通过证明得到，即可解答；
（2）延长与交于点，利用折叠的性质推出，通过证明得到，结合为的三等分点，分2种情况讨论，或，
当时，
通过求得，
，即可求出的值．
当时，
通过求得
，即可求出的值．
（1）解：如图，作于点，设与交于点，
矩形，
，，，
∴，
点落在边的中点，
，
，，
解得，即．
，
，
，，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得，垂直平分，
，
，
，
又，
，
，
．
故答案为：①，②
（2）延长与交于点，
由折叠的性质得，，，
，
，即，
，
，
，
，
为的三等分点，
或，
①当时，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或1．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
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