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安徽淮北市第十二学2025-2026学年高二下学期第一次检测数学试卷
一、单选题
1．掷一枚硬币,记事件A表示“出现正面”,事件B表示“出现反面”,则
A．A与B相互独立 B． C．A与不相互独立 D．
2．随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P a
则（ ）
A． B． C． D．
3．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
4．数列，，，，，，的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
5．某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ）
A．90 B．120 C．180 D．200
6．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．已知抛物线，准线为，点，点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种 B．36种 C．48种 D．54种
二、多选题
9．某校高一年级开设了文学社 科创社 体育社 艺术社 辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查.
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．艺术社的学生人数有120人
B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人
C．从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为
D．调查结果显示文学社 科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81
10．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量，，则
B．若随机变量，则
C．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．如果随机变量服从，且，那么是上的增函数
11．已知抛物线：（）的焦点为，若直线：过点与交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，为坐标原点，则（ ）
A． B．可能为锐角
C．若，则 D．点在定直线上
三、填空题
12．在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________．
13．在数列中，，，，则__________．
14．三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为__________.
四、解答题
15．如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 的底面半径为，圆锥的侧面积 ．设是底面圆周上的两点，线段不经过点 O ．
(1)求圆锥的体积；
(2)二面角 的大小为 ，求直线与平面所成角的大小．
16．现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸换，袋中的红球个数记为.
(1)求与；
(2)求；
(3)当时，求随机变量的数学期望.
17．BMI指数是体重指数，当18.5≤BMI≤23.9时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的BMI数据进行统计，得到如下2×2列联表：
BMI数据 合计
正常范围 不正常范围
男顾客 75 15 90
女顾客 30 20 50
合计 105 35 140
(1)依据小概率值（＝0.005的独立性检验，能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？
(2)该机构统计出上述男顾客平均体重为70kg，女顾客的平均体重为56kg，试估计该机构全体顾客的平均体重．
公式：，其中n＝a＋b＋c＋d．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
18．已知公差为正数的等差数列满足成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n．
19．已知点A( 2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
参考答案
1．C
2．C
3．C
4．C
5．D
6．B
7．C
8．B
9．ABD
10．AD
11．ACD
12．252
13．46
14．
15．（1）设圆锥的母线长为，底面半径为，
由题意可得：，
所以，
所以圆锥的体积；
（2）因为二面角的大小为，
由圆锥的结构可知：，
所以即为二面角的平面角，
所以，又，
所以，
过点作于，连接，
因为，为平面两条相交直线，
所以平面
所以即为直线与平面所成角，
又，
又平面，在平面内，
所以，
所以，
所以，
即直线与平面所成角大小为．
16．（1），.
（2）
,
故.
（3）当时，，，，，且，，
则
，
，
随机变量的数学期望.
17．（1）零假设为：男、女顾客的BMI不存在差异，
.
因为，所以依据小概率值的独立性检验，
能够推断出男、女顾客的BMI存在差异.
（2）由题意，样本中男顾客占，女顾客占.
估计该机构全体顾客的平均体重为kg.
18．（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，
得，则，即，
则，所以.
（2）由（1）知：，等比数列的公比，，，
数列是首项、公比都为的等比数列，则，
由，得，则，即，而数列单调递增，
又，，因此，
所以所求最大正整数为4.
19．（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；
（2）（i）
[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】
依题意设，
直线的斜率为，则，
所以．
又，所以，
进而有，即是直角三角形．
[方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】
由题意设，则．
因为Q，E，G三点共线，所以，
又因为点P，G在椭圆上，所以，
两式相减得，
所以，所以．
（ii）
[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】
设，则直线的方程为，联立解得
所以直线的方程为．
联立直线的方程和椭圆C的方程，可得，
则，
所以．
令，即
．
注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，．
[方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】
设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为．
由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，．
又，从而，进而．以下同解法一．

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