资源简介

广东省深圳市蛇口育才教育集团育才二中2025年中考三模数学试卷
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共 24分）
1．若分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：
故答案为：A．
【分析】根据分式有意义的条件"分母不等于0"可列关于x的不等式，解不等式即可求解．
2．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是：
，
故选：D．
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．根据俯视图的定义即可得到答案．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方法则逐项判断解答即可．
4．一组数据：，这组数据的众数和极差分别是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】众数；极差
【解析】【解答】解：∵数据中，出现的次数最多，最大数据是，最小数据是，
∴这组数据的众数为，极差为，
故答案为：．
【分析】本题考查了众数和极差，先判断所给数据中出现次数最多的是27，即为众数；再找出这组数据中最大的数据是27，最小的数据是21，用最大的数据减去最小的数据即为极差．
5．已知直线，将一个直角三角板如图放置，使得角的顶点落在上，直角顶点落在上，点落在，之间，当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：中，，，
，
如图，过G点作，
，
，
，，
又，
．
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理可求得，过G点作，则，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，，然后由角的和差即可求解．
6．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行投影；列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设竿的长度为尺，
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】本题考查平行投影，由同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，结合“ 影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸”可列出关于的分式方程.
7．如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
故A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故B选项正确，不符合题意；
∵是中线，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴是中位线，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故C选项正确，不符合题意；
在和中，为公共角，
但和，和均不一定相等，相应边不成比例，
故和不相似，
故D选项错误，符合题意，
故答案为：D．
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先证明，，根据证明；再证明可得；分别证明是中位线，是中位线，可得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和不相似．
8．如图，在矩形中，点A的坐标是，点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，
∵四边形是矩形，
∴，
∴点A到点C的平移方式与点O到点B的平移方式相同，
∵点A的坐标是，点C的纵坐标是4，
∴点B的纵坐标为，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵矩形对角线中点坐标相同，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，坐标与图形变化—平移，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据平移方式可得点B的纵坐标为3，即，证明，求得，再由矩形对角线中点坐标相同，可得结论．
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共 15分）
9．2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据“大于0且小于1的数用科学记数法的表示形式为的形式，其中，为负整数．”并结合题意即可求解．
10．如果将关于的一元二次方程配方成，那 么　 　．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移常数项得，方程左边再加上一次项系数一半的平方，再减去得一次项系数一半的平方得，利用完全平方公式将方程配方成，即可得到答案．
11．阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②深圳市的纬度约为北纬；③如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，北纬纬线的长度约为　 　 千米（参考数据：，，，）
【答案】34560
【知识点】垂径定理；解直角三角形的其他实际应用；圆的周长；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：过于D，如图所示：
∴，
∵，，
∴，
在中，千米，，
∴（千米），
∴（千米），
∴以为直径的圆的周长为：（千米）．
∴北纬纬线的长度约为34560千米．
故答案为：34560．
【分析】本题考查解直角三角形的应用．垂径定理的应用以及计算圆的周长， 解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法． 作于D，由垂径定理得，根据平行线的性质可知，解，求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可．
12．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】如图，延长交y轴于点D，
根据平行四边形面积，得，得点 ，根据反比例函数图象上点的坐标特征，得k=-7．
13．如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，
∵沿翻折，得到，
∴，，
过E作于H，设与相交于M，
则，
又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，则，
解得，（舍去），
即，
故答案为：．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识． 解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线．
设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明，得到，， 进而得到， 证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则， 根据三角形的面积关系列方程，然后解一元二次方程求解x值即可 ．
三、解答题（本题共有7小题，共61分）
14．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算二次根式，三角函数，绝对值，以及零次幂的值，在计算加减，
15．化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）
【答案】解：根据条件可以得出，，
而且为整数，又，∴，
；
将，代入，原式．
【知识点】无理数的估值；分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算。
首先根据对话内容可推出，的值，然后利用因式分解法将原分式进行合并化简，最后将a和b代入计算即可。
16．为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分；
（2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”）
（3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
【答案】（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，
则；
（2）乙；
（3）解：列表如下．
第二名
第一名
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种，
∴（选择同一套图书）．
【知识点】折线统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】（2）解：甲班平均分：，
则，
乙班平均分：，
则，
丙班平均分：，
则，
∵
∴乙整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
【分析】（）根据平均数公式计算解答即可；
（）利用方差公式计算解题；
（）用列表法得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，再根据概率的计算方法即可求解．
（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，
则；
（2）解：甲班平均分：，
则，
乙班平均分：，
则，
丙班平均分：，
则，
∵
∴乙整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）列表如下．
第二名 第一名
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种，
∴（选择同一套图书）．
17．现有一张矩形纸片，要将点D沿某条直线翻折，恰好落在边上的点处，直线与交于点E，与交于点F．
（1）请利用尺规作图在图中作出该直线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，在矩形中，若，，，请计算的长度．
【答案】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，
则直线即为所求．
（2）解：设直线交于点O，
∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图和性质、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握折叠性质是解答的关键．
（1）作线段的垂直平分线即可；
（2）设直线交于点O，分别求出，，由勾股定理得
则，由得，根据得，求得，进而利用勾股定理可得．
（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，
则直线即为所求．
（2）解：设直线交于点O，
∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
18．5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 　单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天　10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：
（1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
（2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）
（3）①与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
（4）这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
【答案】（1）
（2）解：由题意得，
（3）①；
②解：∵，，
∴
，
∵，且（x为正整数），
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
（4）4
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：∵ 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，且每天的固定成本为745元，
因此可以设第天的单价与满足的一次函数关系式为，
将代入中，得，解得，
∴第天的单价与满足的一次函数关系式为，
∴A樱桃园第x天的单价是元/盒，
故答案为：；
（3）解：①把代入中，
得：，解得，
∴；
（4）解：当时，则，
化简为，
∴，即，
∵x的正整数解有1、2、3、4，共4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
故答案为：（1）；（3）①；（4）4.
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用。
（1）可以先假设出对应的一次函数解析式，然后利用待定系数法将代入，列式求解即可；
（2）根据（1）的计算结果，并依据“利润单价×销售量固定成本”进行列式，然后化简计算即可；
（3）①利用待定系数法，将代入列式计算求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案．
（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为，
把代入中得，
∴，
∴第天的单价与满足的一次函数关系式为，
∴A樱桃园第x天的单价是元/盒，
故答案为：；
（2）解：由题意得，
（3）解：①把代入中得：，
解得，
∴；
②∵，，
∴
，
∵，且（x为正整数），
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
（4）解：当时，则，
∴，
∴，
∴，
∵x的正整数解有4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
19．【项目式学习】
项目主题：设计窗户遮阳篷．
项目背景：深圳市育才中学新校区向育才学子招募“天选策划人”，为休闲餐吧的外卖窗口设计遮阳棚，已知窗户的高度．育才二中的小明积极探究，做了以下遮阳蓬的设计方案，请你根据不同设计方案完成任务．
方案1：直角形遮阳篷
如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点C在的延长线上．
【任务一】
①若，，则支撑杆 ▲ ．
②小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．求图2中，的长度．
方案2：抛物线形遮阳篷
如图3，为了美观及实用性，小明再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（弧延伸后经过点B，段可伸缩，F为的中点），的长保持不变．
【任务二】求弧的弓高（点F到的距离）；
【任务三】若某时太阳光与地平面的夹角γ的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，则遮阳篷点D上升高度的最小值（点到的距离）为 ▲ ．
【答案】任务一：
①，
②解：过点D作交于点E，与入射线交于点F
由题意得：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴设，
在中，，，
∴，
解得，
∴，；
任务二：
解：如图，取的中点O，连接交于点E，
则，，
∵，
∴为直径，
∴点O为圆心，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴弧的弓高；
任务三：
【知识点】圆周角定理；解直角三角形的其他实际应用；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：【任务一】①在中，，，，
（），
答案为：．
【任务三】如图，连接交于点G，作于点H，
由题意得，此时与太阳光线平行，则，
∴，
∴，
∴点G为的中点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为，
即遮阳篷点D上升高度的最小值为．
故答案为：.
【分析】任务1：①运用由勾股定理求解即可．
②过点D作交于点E，与入射线交于点F，得到，设，由得，解出x的值，即可求得，的长；
任务2：由中位线定理得，，再求出弓高即可．
任务3：题意得，根据，求得，再由求出，由可求解．
20．综合与实践
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”．
（1）理解应用
如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则　 　；　 　．
（2）问题探究
如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度．
【答案】（1）2；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：的长为或．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴在中，，
在中，．
故答案为：2；．
（3）分两种情况讨论：
①如图，若，则
∵在矩形中，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴在中，．
②如图，若，则
∵在矩形中，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴在中，．
综上所述，的长为或．
【分析】
本题考查平行四边形与矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1），得，即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出；
（2）证明，因此，设，则，，在中，求得，则有，，即可得到；
（3）分两种情况讨论：①若，②若，根据相似三角形的判定与性质解答即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴在中，，
在中，．
故答案为：2；．
（2）解：，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：分两种情况讨论：
①如图，若，则
∵在矩形中，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴在中，．
②如图，若，则
∵在矩形中，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴在中，．
综上所述，的长为或．
1 / 1广东省深圳市蛇口育才教育集团育才二中2025年中考三模数学试卷
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共 24分）
1．若分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．一组数据：，这组数据的众数和极差分别是（　　）
A． B． C． D．
5．已知直线，将一个直角三角板如图放置，使得角的顶点落在上，直角顶点落在上，点落在，之间，当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形中，点A的坐标是，点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共 15分）
9．2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为　 　．
10．如果将关于的一元二次方程配方成，那 么　 　．
11．阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②深圳市的纬度约为北纬；③如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，北纬纬线的长度约为　 　 千米（参考数据：，，，）
12．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为　 　．
13．如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则　 　．
三、解答题（本题共有7小题，共61分）
14．计算：．
15．化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）
16．为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分；
（2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”）
（3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
17．现有一张矩形纸片，要将点D沿某条直线翻折，恰好落在边上的点处，直线与交于点E，与交于点F．
（1）请利用尺规作图在图中作出该直线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，在矩形中，若，，，请计算的长度．
18．5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 　单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天　10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：
（1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
（2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）
（3）①与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
（4）这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
19．【项目式学习】
项目主题：设计窗户遮阳篷．
项目背景：深圳市育才中学新校区向育才学子招募“天选策划人”，为休闲餐吧的外卖窗口设计遮阳棚，已知窗户的高度．育才二中的小明积极探究，做了以下遮阳蓬的设计方案，请你根据不同设计方案完成任务．
方案1：直角形遮阳篷
如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点C在的延长线上．
【任务一】
①若，，则支撑杆 ▲ ．
②小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．求图2中，的长度．
方案2：抛物线形遮阳篷
如图3，为了美观及实用性，小明再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（弧延伸后经过点B，段可伸缩，F为的中点），的长保持不变．
【任务二】求弧的弓高（点F到的距离）；
【任务三】若某时太阳光与地平面的夹角γ的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，则遮阳篷点D上升高度的最小值（点到的距离）为 ▲ ．
20．综合与实践
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”．
（1）理解应用
如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则　 　；　 　．
（2）问题探究
如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：
故答案为：A．
【分析】根据分式有意义的条件"分母不等于0"可列关于x的不等式，解不等式即可求解．
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是：
，
故选：D．
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．根据俯视图的定义即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方法则逐项判断解答即可．
4．【答案】C
【知识点】众数；极差
【解析】【解答】解：∵数据中，出现的次数最多，最大数据是，最小数据是，
∴这组数据的众数为，极差为，
故答案为：．
【分析】本题考查了众数和极差，先判断所给数据中出现次数最多的是27，即为众数；再找出这组数据中最大的数据是27，最小的数据是21，用最大的数据减去最小的数据即为极差．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：中，，，
，
如图，过G点作，
，
，
，，
又，
．
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理可求得，过G点作，则，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，，然后由角的和差即可求解．
6．【答案】A
【知识点】平行投影；列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设竿的长度为尺，
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】本题考查平行投影，由同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，结合“ 影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸”可列出关于的分式方程.
7．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
故A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故B选项正确，不符合题意；
∵是中线，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴是中位线，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故C选项正确，不符合题意；
在和中，为公共角，
但和，和均不一定相等，相应边不成比例，
故和不相似，
故D选项错误，符合题意，
故答案为：D．
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先证明，，根据证明；再证明可得；分别证明是中位线，是中位线，可得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和不相似．
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，
∵四边形是矩形，
∴，
∴点A到点C的平移方式与点O到点B的平移方式相同，
∵点A的坐标是，点C的纵坐标是4，
∴点B的纵坐标为，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵矩形对角线中点坐标相同，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，坐标与图形变化—平移，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据平移方式可得点B的纵坐标为3，即，证明，求得，再由矩形对角线中点坐标相同，可得结论．
9．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据“大于0且小于1的数用科学记数法的表示形式为的形式，其中，为负整数．”并结合题意即可求解．
10．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移常数项得，方程左边再加上一次项系数一半的平方，再减去得一次项系数一半的平方得，利用完全平方公式将方程配方成，即可得到答案．
11．【答案】34560
【知识点】垂径定理；解直角三角形的其他实际应用；圆的周长；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：过于D，如图所示：
∴，
∵，，
∴，
在中，千米，，
∴（千米），
∴（千米），
∴以为直径的圆的周长为：（千米）．
∴北纬纬线的长度约为34560千米．
故答案为：34560．
【分析】本题考查解直角三角形的应用．垂径定理的应用以及计算圆的周长， 解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法． 作于D，由垂径定理得，根据平行线的性质可知，解，求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可．
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】如图，延长交y轴于点D，
根据平行四边形面积，得，得点 ，根据反比例函数图象上点的坐标特征，得k=-7．
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，
∵沿翻折，得到，
∴，，
过E作于H，设与相交于M，
则，
又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，则，
解得，（舍去），
即，
故答案为：．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识． 解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线．
设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明，得到，， 进而得到， 证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则， 根据三角形的面积关系列方程，然后解一元二次方程求解x值即可 ．
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算二次根式，三角函数，绝对值，以及零次幂的值，在计算加减，
15．【答案】解：根据条件可以得出，，
而且为整数，又，∴，
；
将，代入，原式．
【知识点】无理数的估值；分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算。
首先根据对话内容可推出，的值，然后利用因式分解法将原分式进行合并化简，最后将a和b代入计算即可。
16．【答案】（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，
则；
（2）乙；
（3）解：列表如下．
第二名
第一名
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种，
∴（选择同一套图书）．
【知识点】折线统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】（2）解：甲班平均分：，
则，
乙班平均分：，
则，
丙班平均分：，
则，
∵
∴乙整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
【分析】（）根据平均数公式计算解答即可；
（）利用方差公式计算解题；
（）用列表法得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，再根据概率的计算方法即可求解．
（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，
则；
（2）解：甲班平均分：，
则，
乙班平均分：，
则，
丙班平均分：，
则，
∵
∴乙整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）列表如下．
第二名 第一名
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种，
∴（选择同一套图书）．
17．【答案】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，
则直线即为所求．
（2）解：设直线交于点O，
∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图和性质、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握折叠性质是解答的关键．
（1）作线段的垂直平分线即可；
（2）设直线交于点O，分别求出，，由勾股定理得
则，由得，根据得，求得，进而利用勾股定理可得．
（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，
则直线即为所求．
（2）解：设直线交于点O，
∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）
（2）解：由题意得，
（3）①；
②解：∵，，
∴
，
∵，且（x为正整数），
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
（4）4
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：∵ 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，且每天的固定成本为745元，
因此可以设第天的单价与满足的一次函数关系式为，
将代入中，得，解得，
∴第天的单价与满足的一次函数关系式为，
∴A樱桃园第x天的单价是元/盒，
故答案为：；
（3）解：①把代入中，
得：，解得，
∴；
（4）解：当时，则，
化简为，
∴，即，
∵x的正整数解有1、2、3、4，共4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
故答案为：（1）；（3）①；（4）4.
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用。
（1）可以先假设出对应的一次函数解析式，然后利用待定系数法将代入，列式求解即可；
（2）根据（1）的计算结果，并依据“利润单价×销售量固定成本”进行列式，然后化简计算即可；
（3）①利用待定系数法，将代入列式计算求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案．
（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为，
把代入中得，
∴，
∴第天的单价与满足的一次函数关系式为，
∴A樱桃园第x天的单价是元/盒，
故答案为：；
（2）解：由题意得，
（3）解：①把代入中得：，
解得，
∴；
②∵，，
∴
，
∵，且（x为正整数），
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
（4）解：当时，则，
∴，
∴，
∴，
∵x的正整数解有4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
19．【答案】任务一：
①，
②解：过点D作交于点E，与入射线交于点F
由题意得：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴设，
在中，，，
∴，
解得，
∴，；
任务二：
解：如图，取的中点O，连接交于点E，
则，，
∵，
∴为直径，
∴点O为圆心，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴弧的弓高；
任务三：
【知识点】圆周角定理；解直角三角形的其他实际应用；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：【任务一】①在中，，，，
（），
答案为：．
【任务三】如图，连接交于点G，作于点H，
由题意得，此时与太阳光线平行，则，
∴，
∴，
∴点G为的中点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为，
即遮阳篷点D上升高度的最小值为．
故答案为：.
【分析】任务1：①运用由勾股定理求解即可．
②过点D作交于点E，与入射线交于点F，得到，设，由得，解出x的值，即可求得，的长；
任务2：由中位线定理得，，再求出弓高即可．
任务3：题意得，根据，求得，再由求出，由可求解．
20．【答案】（1）2；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：的长为或．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴在中，，
在中，．
故答案为：2；．
（3）分两种情况讨论：
①如图，若，则
∵在矩形中，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴在中，．
②如图，若，则
∵在矩形中，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴在中，．
综上所述，的长为或．
【分析】
本题考查平行四边形与矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1），得，即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出；
（2）证明，因此，设，则，，在中，求得，则有，，即可得到；
（3）分两种情况讨论：①若，②若，根据相似三角形的判定与性质解答即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴在中，，
在中，．
故答案为：2；．
（2）解：，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：分两种情况讨论：
①如图，若，则
∵在矩形中，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴在中，．
②如图，若，则
∵在矩形中，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴在中，．
综上所述，的长为或．
1 / 1

展开更多......

收起↑