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安徽淮北市第十二中学2025-2026学年高二下学期第一次调研数学试卷
一、单选题
1．下列说法正确的个数是（ ）
随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生
任意事件发生的概率总满足
若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知随机事件A，B，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（ ）
A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 5
4．展开式中的系数为
A． B．
C． D．
5．已知数据的三对观测值为，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（ ）

A． B． C． D．
7．在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
二、多选题
9．已知样本数据的平均数为3，方差为3，样本数据的平均数为3，方差为6，则下列结论正确的是（ ）
A．数据的平均数为7
B．数据的方差为11
C．数据的平均数为3
D．数据的方差为5
10．某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：，整理得频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．样本中水费支出位于区间的频率为0.03
B．按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取16户，则应从水费支出在的用户中抽4户
C．水费支出的中位数的估计值为45
D．若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为3
11．如图，在直三棱柱中，，且为所在平面内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹是一条直线
B．若，则点的轨迹是半径为1的圆
C．若，则点的轨迹是椭圆
D．若点到直线和的距离相等，则点的轨迹是抛物线
三、填空题
12．5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为______．
13．已知随机变量X服从正态分布，若，则______．
14．如图所示的梯形数阵中，第行第个数的值为__________

四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为等边三角形，．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
16．某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：

乙教师分数频数分布表
分数区间 频数
3
3
15
19
35
25
(1)在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；
(2)从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；
(3)如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）
17．已知各项均为正数的等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
18．小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.
19．已知动点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）令（1）中方程表示曲线C，点S（2，0），过点B（1，0）的直线l与曲线C相交于P，Q两点，求△PQS的面积的取值范围．
参考答案
1．C
2．B
3．C
4．C
5．A
6．A
7．A
8．C
9．ACD
10．BD
11．ABD
12．
13．/2.5
14．
15．（1）因为底面为矩形，所以，
又因为，所以，
又因为平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）取中点连接，因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图所示，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
从而，
设平面的法向量分别为，
从而，，
令，解得，
故可取，
设平面与平面夹角为，则，
故所求为.
16．（1）由频率分布直方图可知，70分以上的频率为，
所以70分以下的频率为，
所以对甲教师的评分低于70分的人数：.
即：对甲教师的评分低于70分的人数为32人.
（2）由频数分布表有3人，有3人，
记的3人为A、B、C，的3人为、、，
随机选出2人的基本事件为：，，，，，，， ，，， ，，， ，，共种，
评分均在范围内的基本事件为：， ，，共3种，
所以2人评分均在范围内的概率.
（3）由频率分布直方图可得的频率为： ，
所以甲教师的平均数为： ，
乙教师的平均数为：，
由于乙教师的平均数大于80分，
故乙可评为年度该校优秀教师.
17．（1）解：各项均为正数的等差数列满足，，
整理得，
由于，
所以，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以．
（2）解：由（1）可得，
所以．
18．（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.
则，
，
.
所以.
答：发生调剂现象的概率为.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.
则，
，
.
所以X的分布表为：
X 0 1 2
P
所以.
19．（1）设M（x，y），由题意得，得，
（2）设直线l：x＝ky+1，由，消去x得（4+k2）y2+2ky﹣3＝0，
y1+y2，y1y2，
|PQ ||y1﹣y2|4，
令t∈（0，]，
上式化简为：|PQ |＝4|＝4，
函数在定义域内单调递减，故当t，有最大值，
所以0＜S．

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