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广东深圳市盐田高级中学2026届高三下学期二模热身考试数学试题
一、单选题
1．样本数据3，8，14，16，24的平均数为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．18
2．设，互为共轭复数，如果，且为实数，那么（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的单调递增区间为
C．是周期为的周期函数 D．的图象关于点对称
5．已知函数为奇函数，则等于 （　　）
A． B．1 C．0 D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ）
A．4 B．16 C．1 D．3
8．已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设P为菱形所在平面外一点，与交于，为上（异于，）的一点，则（ ）
A．
B．与异面
C．若为的中点，则平面
D．若，则平面
10．斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于两点，是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．是双曲线两条渐近线所构成的“”形图像的方程
B．也是线段的中点
C．若过双曲线的焦点，则直线的斜率是
D．若过双曲线的焦点，点的坐标为，则该双曲线的离心率为
11．在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ）
A．服从二项分布 B．服从超几何分布
C． D．
三、填空题
12．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则__________.
13．已知等差数列中，，则前7项和______.
14．设，，，均是正整数，且．则________．
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
16．在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功.
(1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作.
盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42
盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34
盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64
盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57
盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59
盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44
（i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度；
（ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率；
(2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由.
17．如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且．
(1)求证：∥平面；
(2)已知．
①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积；
②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若方程有两个不等实根，证明：．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.
(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若过作，垂足为.
（i）证明:直线过定点；
（ii）求的最大值.
参考答案
1．C
2．A
3．A
4．C
5．D
6．D
7．A
8．C
9．BCD
10．ABD
11．BD
12．
13．21
14．14
15．（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，
即，即①，
又由，得，即②，
由①②得：，所以．
（2）由（1）得，所以，
所以．
16．（1）（i）甲型部件的总数为，根据题中表格统计指标在的甲型部件个数为，
故甲型部件的可靠度；
（ii）又一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，
故乙型部件的可靠度为，设“系统试验成功”为事件A,“两个甲型部件同时工作”为事件B，
设“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件C，
则,
设“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”为事件D，
则,
设“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件E，
则,
,
,
,
（2）（2）优化后系统可靠度提高了.
原因：原系统需要四个部件正常工作或三个部件正常工作，系统才能正常运行，新系统除了在四个部件正常工作或三个部件正常工作时，系统能正常运行以外，只有两个部件正常工作，系统也可能正常运行，所以可靠度提高了.
按照这个优化方案安排原有的四个部件可以有两种方法：
方法一：（1）（2）放同型部件，（3）（4）放同型部件，不妨设（1）（2）放甲型部件（3）（4）放乙型部件，设此时可靠度为；
方法二：（1）（2）放不同型部件，（3）（4）放不同型部件，不妨设（1）（3）放甲型部件，（2）（4）放乙型部件，设此时可靠度为.
；
因为，所以，，即，
所以当时，两个方案都可以；
当时，方案二可靠度更高.
17．（1）连接交于点，连接，
，，由相似三角形的性质，可得，
又，所以，
平面，平面，
平面．
（2）①取的中点，取的中点，连接，，，
则，，
，，
∵是边长为6的等边三角形，则，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，．
又，平面，平面，
∵平面，，所以为二面角的平面角．
在中，．
在中，，
，
．
②过作交于，连接，由于平面，
所以平面，
则为与平面所成角，即，．
点在棱上，且．
由，，，
由余弦定理得
，
，，，，
故的取值范围为．
18．（1）函数的定义域为，
时，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
时，令得，
当时，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，当时，，所以在上单调递增.
当时，当时，；当时，，
所以在上单调递增,在上单调递减. ,,
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，时，在上单调递减，在上单调递增，
因为方程有两个不等实根，所以不妨设，且
设,令，

则，
所以当时，在单调递减，又，
所以，即
又，所以，
又由于，且在上单调递增，
所以即.
19．（1）由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，所以，所以，
又，所以椭圆的方程：，
所以椭圆的焦点为，，
当点为椭圆的上顶点时，，
所以直线的方程为：，
由解得，，
由对称性知，
以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴的正半轴所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为.
（2）（i）设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，
所以，故，
又，
同理，，，
由三点共线，得，
所以，
直线的方程为，
由对称性可知，如果直线过定点，则该定点在轴上，
令得，
，
故直线过定点.
（ii）由题意知点，点的轨迹为以，为直径的圆（除外），
圆心为，半径为，故.

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