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广西壮族自治区河池市宜州区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑．
1．下列式子中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、中，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、不是二次根式，不符合题意；
D、中，不是二次根式，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】一般形如的形式叫做二次根式，据此逐项判断是否符合题意．
2．下列式子中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，符合题意；
B、C、D均为最简二次根式
故答案为：A
【分析】二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式，依此对各项进行判断；
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
4．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分交边于点，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得：，，则，由角平分线的定义得，则，由等角对等边得，则CE=2．
5．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是 （　　）
A．∠A=∠C，∠B=∠D B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB=CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB=CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选C．
【分析】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
6．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（　　）
A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：
（海里/小时）
故答案为：D
【分析】根据题目提供的方位角判定，甲轮船的速度乘以行驶时间等于路程，在Rt△AOB中，利用勾股定理得，除以时间等于乙轮船的行驶速度．
7．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.
8．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知正方形的边长为，
∴正方形的面积为：，
故选：B．
【分析】
先根据勾股定理该直角三角形另一直角边的长度，即为正方形的边长，最后根据正方形面积公式求解即可．
9．如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；数形结合；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，，，
，
，
点在数轴上所对应的数是，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理得=，得=，点在数轴上所对应的数+1．
10．使成立的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件得，根据不等式的性质，解得．
11．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（　　）
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接AO，

∵四边形，四边形与也都是正方形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵阴影部分的面积是10，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】作辅助线：连接AO，由四边形与也都是正方形 ，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，由 ，得四边形是矩形，则，由阴影部分的面积是10，则S阴影=S△AOG+S△AOE=10，即， 则，所以 ， 。
12．如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（　　）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
，，
，，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，
，故②正确；
由②知：，
，
故③正确；
，
，故④错误；
，
为等腰的角平分线，
平分，故⑤正确，
故正确的为：①②③⑤，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得， ，等角代换得，则是等边三角形，，则AE=EC，等边对等角得，则，，故①正确 ；由直角三角形中位线定理得，， 在中 ，由勾股定理得 ， 在中 ， 由勾股定理得 ，则BD=，故②正确 ； 由②知： ， 故③正确；， 故④错误 ；为等腰的角平分线，EO平分 ，故⑤正确.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请把答案写在答题卡上对应的答题区域内．）
13．当x　 　时，二次根式有意义．
【答案】≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据题意得：x+1≥0，根式有意义，解得：x≥-1。
14．如图，在平行四边形中，两点均在对角线上．要使四边形为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是　 　（写出一个即可）．
【答案】(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
若AE=CF，则有AO-AE=CO-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．答案不唯一．
【分析】连接BD交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形性质得OB=OD，则证明四边形BEDF为平行四边形，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．只需要OE=OF，故添加的条件AE=CF．
15．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　米.
【答案】7
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=5米，BC=3米，∠ACB=90°，
∴AC=
∴AC+BC=3+4=7米．
故答案是：7．
【分析】利用勾股定理得AC=4，AC+BC=7.
16．如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则　 　．
【答案】9
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵、分别是与的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9
【分析】根据平行四边形的性质得，，，，平行线的性质得，由等角对等边得，同理得，则，根据平行线的性质得，，根据勾股定理得．
三、解答题：（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．请将解答写在答题卡上对应的答题区域内．）
17．计算：
（1）；
（2） ．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化简，然后再进行合并；
（2）根据二次根式的除法以及完全平方公式进行计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？
【答案】解：设木杆断裂处离地面x米，则断裂处离木杆顶部长度为米，
由题意得：，
解得．
答：木杆断裂处离地面6米．
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【分析】设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程：，解得x=6，则木杆断裂处离地面6米．
19．已知：如图，平行四边形中，M、N 分别为和 的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当的边满足时，平行四边形是菱形吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵M，N分别为和的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
∵，
∴
∵M是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】垂线的概念；平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等，线段中点的定义，则，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得 四边形是平行四边形 ；
（2）由 ，得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，一组邻边相等的平行四边形是菱形，得平行四边形是菱形 ．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵M，N分别为和的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）四边形是菱形，
∵，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形．
20．已知：，．
（1）求和的值；
（2）求式子的值．
【答案】（1）解：∵，，∴，
；
（2）解：∵，，∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2，把，代入求值；
（2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求值．
（1）解：∵，，
∴，
；
（2）解：∵，，
∴
．
21．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
答：的长为．

【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）四边形 是菱形，根据菱形对角线互相平分且垂直得，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得四边形是菱形；
（2）根据题意，得等边三角形，在中，勾股定理得=，得=，在中，根据勾股定理得DE=．
22．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
（2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
【答案】（1）解：如图1所示：
大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，
即；
（2）解：如图2所示：
在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示：
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
即=25．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；解直角三角形；“赵爽弦图”模型；等积变换
【解析】【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示为 ，化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到；
（3）由题意得，结合得，再利用完全平方公式得，即可得到答案．
23．如图，正方形，点、分别在、上．
（1）如图1，当时．
①求证：；
②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长．
【答案】（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①如图，过点作，交的延长线于点，
根据正方形性质得对边平行，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，由同角的余角相等，得，则，DE=GH；
②如图，在上截取，
则是等腰直角三角形，，由，全等三角形性质，则AE=CH，由正方形性质可知AB=BC，则CN=AE=CH，则，，；
（2）如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，作，交延长线于，（ASA），设，则，在中，由，设，则，解得x=，则DE=．
（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
1 / 1广西壮族自治区河池市宜州区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑．
1．下列式子中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列式子中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
4．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是 （　　）
A．∠A=∠C，∠B=∠D B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
6．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（　　）
A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里
7．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（　　）
A． B． C． D．
10．使成立的条件是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（　　）
A． B． C．6 D．8
12．如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（　　）个
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请把答案写在答题卡上对应的答题区域内．）
13．当x　 　时，二次根式有意义．
14．如图，在平行四边形中，两点均在对角线上．要使四边形为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是　 　（写出一个即可）．
15．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　米.
16．如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则　 　．
三、解答题：（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．请将解答写在答题卡上对应的答题区域内．）
17．计算：
（1）；
（2） ．
18．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？
19．已知：如图，平行四边形中，M、N 分别为和 的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当的边满足时，平行四边形是菱形吗？请说明理由．
20．已知：，．
（1）求和的值；
（2）求式子的值．
21．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
22．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
（2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
23．如图，正方形，点、分别在、上．
（1）如图1，当时．
①求证：；
②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的概念；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、中，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、不是二次根式，不符合题意；
D、中，不是二次根式，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】一般形如的形式叫做二次根式，据此逐项判断是否符合题意．
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，符合题意；
B、C、D均为最简二次根式
故答案为：A
【分析】二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式，依此对各项进行判断；
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分交边于点，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得：，，则，由角平分线的定义得，则，由等角对等边得，则CE=2．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB=CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB=CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选C．
【分析】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：
（海里/小时）
故答案为：D
【分析】根据题目提供的方位角判定，甲轮船的速度乘以行驶时间等于路程，在Rt△AOB中，利用勾股定理得，除以时间等于乙轮船的行驶速度．
7．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知正方形的边长为，
∴正方形的面积为：，
故选：B．
【分析】
先根据勾股定理该直角三角形另一直角边的长度，即为正方形的边长，最后根据正方形面积公式求解即可．
9．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；数形结合；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，，，
，
，
点在数轴上所对应的数是，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理得=，得=，点在数轴上所对应的数+1．
10．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件得，根据不等式的性质，解得．
11．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接AO，

∵四边形，四边形与也都是正方形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵阴影部分的面积是10，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】作辅助线：连接AO，由四边形与也都是正方形 ，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，由 ，得四边形是矩形，则，由阴影部分的面积是10，则S阴影=S△AOG+S△AOE=10，即， 则，所以 ， 。
12．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
，，
，，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，
，故②正确；
由②知：，
，
故③正确；
，
，故④错误；
，
为等腰的角平分线，
平分，故⑤正确，
故正确的为：①②③⑤，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得， ，等角代换得，则是等边三角形，，则AE=EC，等边对等角得，则，，故①正确 ；由直角三角形中位线定理得，， 在中 ，由勾股定理得 ， 在中 ， 由勾股定理得 ，则BD=，故②正确 ； 由②知： ， 故③正确；， 故④错误 ；为等腰的角平分线，EO平分 ，故⑤正确.
13．【答案】≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据题意得：x+1≥0，根式有意义，解得：x≥-1。
14．【答案】(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
若AE=CF，则有AO-AE=CO-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．答案不唯一．
【分析】连接BD交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形性质得OB=OD，则证明四边形BEDF为平行四边形，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．只需要OE=OF，故添加的条件AE=CF．
15．【答案】7
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=5米，BC=3米，∠ACB=90°，
∴AC=
∴AC+BC=3+4=7米．
故答案是：7．
【分析】利用勾股定理得AC=4，AC+BC=7.
16．【答案】9
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵、分别是与的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9
【分析】根据平行四边形的性质得，，，，平行线的性质得，由等角对等边得，同理得，则，根据平行线的性质得，，根据勾股定理得．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化简，然后再进行合并；
（2）根据二次根式的除法以及完全平方公式进行计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：设木杆断裂处离地面x米，则断裂处离木杆顶部长度为米，
由题意得：，
解得．
答：木杆断裂处离地面6米．
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【分析】设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程：，解得x=6，则木杆断裂处离地面6米．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵M，N分别为和的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
∵，
∴
∵M是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】垂线的概念；平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等，线段中点的定义，则，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得 四边形是平行四边形 ；
（2）由 ，得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，一组邻边相等的平行四边形是菱形，得平行四边形是菱形 ．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵M，N分别为和的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）四边形是菱形，
∵，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形．
20．【答案】（1）解：∵，，∴，
；
（2）解：∵，，∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2，把，代入求值；
（2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求值．
（1）解：∵，，
∴，
；
（2）解：∵，，
∴
．
21．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
答：的长为．

【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）四边形 是菱形，根据菱形对角线互相平分且垂直得，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得四边形是菱形；
（2）根据题意，得等边三角形，在中，勾股定理得=，得=，在中，根据勾股定理得DE=．
22．【答案】（1）解：如图1所示：
大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，
即；
（2）解：如图2所示：
在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示：
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
即=25．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；解直角三角形；“赵爽弦图”模型；等积变换
【解析】【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示为 ，化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到；
（3）由题意得，结合得，再利用完全平方公式得，即可得到答案．
23．【答案】（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①如图，过点作，交的延长线于点，
根据正方形性质得对边平行，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，由同角的余角相等，得，则，DE=GH；
②如图，在上截取，
则是等腰直角三角形，，由，全等三角形性质，则AE=CH，由正方形性质可知AB=BC，则CN=AE=CH，则，，；
（2）如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，作，交延长线于，（ASA），设，则，在中，由，设，则，解得x=，则DE=．
（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
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