资源简介

广西桂林市全州县2024—2025学年下学期八年级数学期中素养检测试题
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合要求的，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5． 矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是（　　）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
6．如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，若的长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，以平行四边形的顶点为圆心、长为半径画弧，交边于点， 作，交边于点，则四边形的形状是（　　）．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别交、于点E 、F，连 接， 若的周长为12，则平行四边形的周长为（　　）
A．12 B．24 C．18 D．20
9．有一张直角三角形纸片，记作，其中， 按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形 中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线AC上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（　　）．
A．2 B． C．4 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分．请将答案填在答题卡上．）
13．八边形的内角和为　 　度．
14．在平行四边形中，， 则　 　 °．
15．如图，矩形中，，，点在上，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为　 　．
16．如图，在中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间　 　时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．如图，已知，垂足C是的中点，．求证：．
18．如图，在中，点在上，点在上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若为的角平分线，且，，求的周长．
19．为推进绿色低碳社区建设，全州县老年活动中心准备在屋顶安装太 阳能光伏板．如图所示为屋顶四边形的示意图，其中为需要加固的支撑架，已知，米，米，米，米．
（1）工程师需要计算支撑架的长度以准备材料，请通过计算说明的具体长度．
（2）若光伏板铺设成本为150元/平方米，则铺设整个屋顶的光伏板需花费多少元？
20．如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
21．在中，对角线与相交点O，过点O分别作和的垂线，垂足分别为H，M．
（1）如图1，当时，求证：平行四边形是菱形；
（2）如图2，当时，若，求的值．
22．【阅读理解】亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在中，，若点是斜边的中点，则．
【牛刀小试】
（1）在图1中，若，其他条件不变，则___________；
【活学活用】
（2）如图2，已知，点、分别为、的中点，，．求的长；
【问题解决】
（3）为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个运动公园，形状如图3中的四边形，其中，，，千米，要在公园的、之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑道铺设成本每米200元，当最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？
23．如图1，正方形的对角线相交于点O，点 O 又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分， 正方形可绕点 O 转动 ．
【问题发现】
（1）如图1，求证：；
【性质探究】
（2）如图1，求四边形的面积，并探究线段之间的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如 图 2，点O 是矩形对角线的中点，点O 又是矩形的一个顶 点 ，与边相交于点E， 与边相交于点F，连 接，矩 形可绕着点 O 旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为，
∴．
故答案为：D．
【分析】已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数等于60°．
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解答．
3．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选B．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A中，∵，，，
∴，
∴，，不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
B中，，，
满足，
故能构成直角三角形，
故选项符合题意；
C中，，，，
∴
∴，，不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
D中，，，，
∴
∴，，不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】若三角形三边长满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，利用勾股定理的逆定理逐项判断．
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；
矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等.
选项ABC是矩形和平行四边形都有的性质，D是矩形特有的性质
故答案为：D.
【分析】由矩形和平行四边形的性质判断即可.
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
，
是的中点，
，
故答案为：B．
【分析】由菱形的性质对角线互相垂直，则，由直角三角形斜边中线的性质，得，则=2．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵以点为圆心、长为半径画弧，交边于点，
∴，
∴四边形是菱形，
故答案为：．
【分析】由平行四边形的性质，结合已知条件，可得平行四边形，根据作图过程可知一组邻边相等，即可判定四边形的形状．
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵对角线的垂直平分线分别交、于点E 、F，
∴，
∴的周长，
∴平行四边形的周长为；
故答案为：B．
【分析】由中垂线的性质，得，则的周长为CD+DE+AE，等量代换，则CD+DE+AE==12，在平行四边形ABCD的周长为24。
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】在△ABC中，由三角形内角和定理得，在四边形ADEC中，由四边形内角和定理得，则，则∠2=125°。
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过作于，于，连接，
∵，分别平分和，于，
∴，，
∵的周长是，
∴，
∴
，
即的面积为．
故答案为：C．
【分析】过作于，于，连接，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得，由图可知 ，则=21.
11．【答案】B
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质，得，，，=8，由菱形面积等于对角线乘积的一半，则，解得=6，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则OH=BD=3．
12．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故答案为：B．
【分析】由于点B与D关于AC对称，连接BD，BD与AC的交点为F点．此时PD+PE=BE最小，由正方形ABCD的面积为12，则AB=2，BE是等边△ABE的边，则BE=AB=2．
13．【答案】1080
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：八边形的内角和=
故答案为：1080°.
【分析】根据n边形的内角和为（n-2）×180°，将n=8代入计算。
14．【答案】50
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：50．
【分析】根据平行四边形的对角相等，，得．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，，
，
由折叠得，，，
，，
，且，
，
，
故答案为：．
【分析】由矩形的性质得，，，由勾股定理得，由折叠性质得，，，则，，在中，由勾股定理得，则，得．
16．【答案】秒或8秒
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
．
若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则．
当时，，，，，
，
解得：；
当时，，，，
，
解得：．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：秒或8秒．
【分析】由四边形为平行四边形，得，根据的速度为每秒，可得，从而得到，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则，分两种情况： 当时 ，BQ=(30-4t)cm，则10-t=30-4t，解得 ；
当时，，10-t=4t-30，解得t=8.
17．【答案】证明：∵，
∴，
∵C是中点，
∴，
在和中，
，
∴（）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】由题 意可知AC=CD，AB=DE，利用证明即可解决问题．
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵为的角平分线，∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等，得，，由AE=DF，得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形 ；
（2）由角平分线的定义，得，根据平行四边形的对边平行，得，根据两直线平行，内错角相等，得，等角代换得，由等角对等边，得，得，的周长 ．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵为的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
19．【答案】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（元，
答：铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；几何图形的面积计算-割补法；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）在直角三角形ACB中，由勾股定理得AC=5；
（2）由勾股定理的逆定理a2+b2=c2，则是直角三角形，且，由图可知，
四边形ABCD的面积是36平方米，则总花费是四边形的面积乘以每平方米的钱数为5400元。
（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（元，
答：铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元．
20．【答案】（1）解：∵四边形为菱形，
∴；
∵，，
∴∠OCE=180°-∠COD=90°，∠OCE=180°-∠COD=90°，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质可推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理得到，再利用矩形的周长公式即可求解．
21．【答案】（1）证明：∵，，，∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形
（2）解：∵四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理的应用；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由已知，根据在角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，则BD是∠ABC角平分线，得，根据平行四边形的性质，则AD∥BC，得，等角代换得，得到，则平行四边形是菱形 ；
（2）一个角是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，由矩形对角线相等，得，则是等边三角形，，由三个角是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，则，，在Rt△BOM中，由勾股定理得，即．
（1）证明：∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
22．【答案】（1）；
（2）解：如图2，连接、，
，点是的中点，，
，
，
，
，
点是的中点，，
，，
，
，
的长是5．
（3）解：如图3，连接，取的中点，连接、，
千米，，
是等边三角形，
千米，
（千米），
，
，
（千米），
，
千米，
，
千米，
如图4，当、、在同一直线上时，的值最大，此时千米，
跑道铺设成本每米200元，
元，
跑道铺设的总成本为元，
，
管理部门预算160万元不够用．
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（1）解：如图1，
，，
，
点是斜边的中点，
，
故答案为：．
【分析】
（1）先由勾股定理求得的长为10，再利用定理求出的长即可；
（2）由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则连接BE、DE可得BE＝DE＝13，再由等腰三角形“三线合一”可得EF垂直平分BD，再在中利用勾股定理求出的长即可；
（3）连接AC，取AC的中点E，再连接BE、DE，则可证是等边三角形，再由等腰三角形“三线合一”可得并结合勾股定理可得DE，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再由“两点之间，线段最短”可得到不等式，即当、、三点共线时的值最大，即此时可求得千米，再根据已知求出总成本并与结果比较大小即可．
23．【答案】解：（1）证明：∵四边形，都是正方形，
，，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
（2）∵正方形的边长为1，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3），理由如下：
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质四个角是直角，对角线平分每一组对角且相等，，，，得（ASA）；
（2）由（1）知，则， =，在中，由勾股定理得，等量代换得；
（3）延长交于，，，，则，得，由矩形A1B1C1O，得，即垂直平分，得，在中，勾股定理得，等量代换得．
1 / 1广西桂林市全州县2024—2025学年下学期八年级数学期中素养检测试题
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合要求的，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为，
∴．
故答案为：D．
【分析】已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数等于60°．
2．公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解答．
3．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选B．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A中，∵，，，
∴，
∴，，不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
B中，，，
满足，
故能构成直角三角形，
故选项符合题意；
C中，，，，
∴
∴，，不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
D中，，，，
∴
∴，，不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】若三角形三边长满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，利用勾股定理的逆定理逐项判断．
5． 矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是（　　）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；
矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等.
选项ABC是矩形和平行四边形都有的性质，D是矩形特有的性质
故答案为：D.
【分析】由矩形和平行四边形的性质判断即可.
6．如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，若的长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
，
是的中点，
，
故答案为：B．
【分析】由菱形的性质对角线互相垂直，则，由直角三角形斜边中线的性质，得，则=2．
7．如图，以平行四边形的顶点为圆心、长为半径画弧，交边于点， 作，交边于点，则四边形的形状是（　　）．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵以点为圆心、长为半径画弧，交边于点，
∴，
∴四边形是菱形，
故答案为：．
【分析】由平行四边形的性质，结合已知条件，可得平行四边形，根据作图过程可知一组邻边相等，即可判定四边形的形状．
8．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别交、于点E 、F，连 接， 若的周长为12，则平行四边形的周长为（　　）
A．12 B．24 C．18 D．20
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵对角线的垂直平分线分别交、于点E 、F，
∴，
∴的周长，
∴平行四边形的周长为；
故答案为：B．
【分析】由中垂线的性质，得，则的周长为CD+DE+AE，等量代换，则CD+DE+AE==12，在平行四边形ABCD的周长为24。
9．有一张直角三角形纸片，记作，其中， 按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形 中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】在△ABC中，由三角形内角和定理得，在四边形ADEC中，由四边形内角和定理得，则，则∠2=125°。
10．如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过作于，于，连接，
∵，分别平分和，于，
∴，，
∵的周长是，
∴，
∴
，
即的面积为．
故答案为：C．
【分析】过作于，于，连接，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得，由图可知 ，则=21.
11．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质，得，，，=8，由菱形面积等于对角线乘积的一半，则，解得=6，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则OH=BD=3．
12．如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线AC上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（　　）．
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故答案为：B．
【分析】由于点B与D关于AC对称，连接BD，BD与AC的交点为F点．此时PD+PE=BE最小，由正方形ABCD的面积为12，则AB=2，BE是等边△ABE的边，则BE=AB=2．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分．请将答案填在答题卡上．）
13．八边形的内角和为　 　度．
【答案】1080
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：八边形的内角和=
故答案为：1080°.
【分析】根据n边形的内角和为（n-2）×180°，将n=8代入计算。
14．在平行四边形中，， 则　 　 °．
【答案】50
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：50．
【分析】根据平行四边形的对角相等，，得．
15．如图，矩形中，，，点在上，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，，
，
由折叠得，，，
，，
，且，
，
，
故答案为：．
【分析】由矩形的性质得，，，由勾股定理得，由折叠性质得，，，则，，在中，由勾股定理得，则，得．
16．如图，在中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间　 　时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】秒或8秒
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
．
若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则．
当时，，，，，
，
解得：；
当时，，，，
，
解得：．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：秒或8秒．
【分析】由四边形为平行四边形，得，根据的速度为每秒，可得，从而得到，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则，分两种情况： 当时 ，BQ=(30-4t)cm，则10-t=30-4t，解得 ；
当时，，10-t=4t-30，解得t=8.
三、解答题（本大题共7小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．如图，已知，垂足C是的中点，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵C是中点，
∴，
在和中，
，
∴（）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】由题 意可知AC=CD，AB=DE，利用证明即可解决问题．
18．如图，在中，点在上，点在上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若为的角平分线，且，，求的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵为的角平分线，∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等，得，，由AE=DF，得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形 ；
（2）由角平分线的定义，得，根据平行四边形的对边平行，得，根据两直线平行，内错角相等，得，等角代换得，由等角对等边，得，得，的周长 ．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵为的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
19．为推进绿色低碳社区建设，全州县老年活动中心准备在屋顶安装太 阳能光伏板．如图所示为屋顶四边形的示意图，其中为需要加固的支撑架，已知，米，米，米，米．
（1）工程师需要计算支撑架的长度以准备材料，请通过计算说明的具体长度．
（2）若光伏板铺设成本为150元/平方米，则铺设整个屋顶的光伏板需花费多少元？
【答案】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（元，
答：铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；几何图形的面积计算-割补法；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）在直角三角形ACB中，由勾股定理得AC=5；
（2）由勾股定理的逆定理a2+b2=c2，则是直角三角形，且，由图可知，
四边形ABCD的面积是36平方米，则总花费是四边形的面积乘以每平方米的钱数为5400元。
（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（元，
答：铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元．
20．如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）解：∵四边形为菱形，
∴；
∵，，
∴∠OCE=180°-∠COD=90°，∠OCE=180°-∠COD=90°，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质可推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理得到，再利用矩形的周长公式即可求解．
21．在中，对角线与相交点O，过点O分别作和的垂线，垂足分别为H，M．
（1）如图1，当时，求证：平行四边形是菱形；
（2）如图2，当时，若，求的值．
【答案】（1）证明：∵，，，∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形
（2）解：∵四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理的应用；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由已知，根据在角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，则BD是∠ABC角平分线，得，根据平行四边形的性质，则AD∥BC，得，等角代换得，得到，则平行四边形是菱形 ；
（2）一个角是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，由矩形对角线相等，得，则是等边三角形，，由三个角是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，则，，在Rt△BOM中，由勾股定理得，即．
（1）证明：∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
22．【阅读理解】亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在中，，若点是斜边的中点，则．
【牛刀小试】
（1）在图1中，若，其他条件不变，则___________；
【活学活用】
（2）如图2，已知，点、分别为、的中点，，．求的长；
【问题解决】
（3）为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个运动公园，形状如图3中的四边形，其中，，，千米，要在公园的、之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑道铺设成本每米200元，当最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？
【答案】（1）；
（2）解：如图2，连接、，
，点是的中点，，
，
，
，
，
点是的中点，，
，，
，
，
的长是5．
（3）解：如图3，连接，取的中点，连接、，
千米，，
是等边三角形，
千米，
（千米），
，
，
（千米），
，
千米，
，
千米，
如图4，当、、在同一直线上时，的值最大，此时千米，
跑道铺设成本每米200元，
元，
跑道铺设的总成本为元，
，
管理部门预算160万元不够用．
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（1）解：如图1，
，，
，
点是斜边的中点，
，
故答案为：．
【分析】
（1）先由勾股定理求得的长为10，再利用定理求出的长即可；
（2）由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则连接BE、DE可得BE＝DE＝13，再由等腰三角形“三线合一”可得EF垂直平分BD，再在中利用勾股定理求出的长即可；
（3）连接AC，取AC的中点E，再连接BE、DE，则可证是等边三角形，再由等腰三角形“三线合一”可得并结合勾股定理可得DE，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再由“两点之间，线段最短”可得到不等式，即当、、三点共线时的值最大，即此时可求得千米，再根据已知求出总成本并与结果比较大小即可．
23．如图1，正方形的对角线相交于点O，点 O 又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分， 正方形可绕点 O 转动 ．
【问题发现】
（1）如图1，求证：；
【性质探究】
（2）如图1，求四边形的面积，并探究线段之间的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如 图 2，点O 是矩形对角线的中点，点O 又是矩形的一个顶 点 ，与边相交于点E， 与边相交于点F，连 接，矩 形可绕着点 O 旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明
【答案】解：（1）证明：∵四边形，都是正方形，
，，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
（2）∵正方形的边长为1，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3），理由如下：
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质四个角是直角，对角线平分每一组对角且相等，，，，得（ASA）；
（2）由（1）知，则， =，在中，由勾股定理得，等量代换得；
（3）延长交于，，，，则，得，由矩形A1B1C1O，得，即垂直平分，得，在中，勾股定理得，等量代换得．
1 / 1

展开更多......

收起↑