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【小白鸥 分类卷】2026小升初数学专题44 变量间的关系 类型一 与图象有关
一、考向1 与行程问题结合
1．小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时出发且匀速行驶，当行驶5分钟时小冬发现重要物视频讲解品忘带，立刻掉头以提速后的速度匀速返回甲地，拿到物品后以提速后的速度继续匀速前往乙地(掉头和拿物品的时间忽略不计)，小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y(米)与小冬出发时间x(分钟)之间的关系如图所示。①小冬返回甲地的所用时间为4分钟；②小冬和小天出发时的速度分别为160米/分和200米/分；③小天出发14.5分钟两人相遇；④小冬最终到达乙地的时间是20分钟，则以上说法中错误的是　 　。
2．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，求
（1）甲的速度=　 　米/分，乙的速度=　 　米/分；
（2）甲、乙两人的最远距离是多少米
（3）甲到终点时，乙已经在终点处休息了多少分钟
3．邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校。小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟。二人与县城间的距离(千米)和小王从县城出发后所用时间(分)之间的关系如图所示，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：
（1）小王和李明第一次遇到时，距县城多少千米
（2）小王从县城出发到返回县城所用时间是多少
（3）李明从A村到县城共用多长时间
4．如图所示，表示一条船从点A 到河的上游点B往返的情形，从A 点出发20分钟后，发动机坏了一段时间，船顺着河水倒着走了一段，之后发动机修好，继续前进到点B，接着立即向点A 返回，假设河水的流速、船在静水中行驶时的速度是不变的。
（1）这艘船在静水中每小时行驶多少千米
（2）在途中发动机停止时，船顺着河水倒行了多少千米
5．甲、乙两车从A 地出发沿着同一路线到达 B 地，甲车先出发，匀速驶向B 地。40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少50千米/时，结果与甲车同时达到B地。设乙车行驶的时间为x小时，甲、乙两车距离A地的距离是y千米，图中折线表示y与x之间的关系，根据图象回答下面的问题：
（1）A，B两地之间的距离是　 　千米，a=　 　；(直接写答案)
（2）求甲、乙两车的速度；
（3）在到达B地之前，乙车出发多少分钟后追上甲车
（4）乙车到达货站时，甲车距离B地多少千米
6．快、慢两车分别从相距480千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，途中慢车因故停留1小时，然后以原速度继续向甲地行驶，到达甲地后停止行驶；快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地(快车掉头的时间忽略不计)，快、慢两车距乙地的路程y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题：
（1）求慢车的行驶速度和a的值；
（2）求快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是多少千米
（3）求两车出发后几小时相距的路程为160千米
二、考向2 与图形问题结合
7． 如图①，在长方形ABCD中，E为AD边上一点，点P是长方形ABCD中BC边上的动点，点P从点B 出发沿着 B→C→D→E的路线向点 E匀速运动，若P 点的运动速度为4cm/s，则随着时间t的变化， 的面积也随之变化，变化情况如图②所示，当 的面积为 时间t为　 　s。
8．如图①，一个长方形纸条从正方形的左边开始以每秒2厘米的速度沿水平方向向右行驶，如图②是运动过程中长方形纸条和正方形重叠部分的面积与运动时间的关系图。
（1）运动4秒后，重叠部分的面积是多少平方厘米
（2）正方形的边长是多少厘米
（3）在图②的两个括号内填入正确的时间。
9． 如图①，在长方形ABCD中，AB=30cm，BC=60cm，点P从点A 出发，沿A→B→C→D路线向点D 匀速运动，到达点D 后停止；点Q 从点D 出发，沿D→C→B→A路线向点A 匀速运动，到达点A后停止，若点P、Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程s(cm)与时间t(s)之间的关系图象。
（1）请解释图中点H的实际意义：　 　；
（2）求P、Q两点的运动速度；
（3）将图②补充完整；
（4）当时间t为何值时， 为等腰三角形 请直接写出t的值为　 　。
三、考向 3 与容器问题结合
10．如图①是一个圆柱形水箱，上部有个进水孔，侧面有两个粗细相同的排水孔。现在给空水箱注水，注水时间与水箱内水面高度的关系如图②。那么水箱注满需要　 　分钟，注满水后立即停止注水，两个水孔往外能继续排水，排水过程需要　 　分钟。
11． 如图①，底面积为： 的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间
的关系如图②所示。
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）圆柱形容器的高为　 　cm，匀速注水的水流速度为　 　
（2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为 ，求“几何体”上方圆柱的高和底面积。
12．如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图②所示。根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图②中折线ABC 表示　 　槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段 DE 表示　 　槽中水的深度与注水时间的关系(以上两空选填“甲”或“乙”)；点B的纵坐标表示的实际意义是：　 　；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同
（3）若乙槽底面积为： (壁厚不计)，求乙槽中铁块的体积。
四、考向 4 与科学问题结合
13．在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(厘米)与燃烧时间x(小时)的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答：当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相差1厘米
14．小明用一根弹簧做实验，测量并记录当弹簧上挂上不同重量的物品时弹簧的长度，并制作了如下的统计图。挂上500克物品时的弹簧长度比挂上300克物品时的弹簧长度长4厘米。(均在弹簧的弹性限度内)
（1）这根弹簧原来不挂物品时的长度是多少厘米
（2）挂上400克物品时弹簧长度是多少厘米
（3）弹簧长度增加6厘米，挂上的物品是多少克
（4）你发现弹簧增加的长度与挂上物品的重量有什么关系 为什么
（5）想象一下，如果挂上物品的重量是1千克，弹簧的长度可能是多少厘米
五、考向 5与经济问题结合
15．为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费：第一档是用电量不超过80千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况见折线图，请根据图象回答下列问题：
（1）“基本电价”是　 　元/千瓦时；
（2）若小明家11月份用电量为140千瓦时，则11月份的电费是多少元
（3）若小明家12月份的电费是351元，请算一算这个月他家用电多少千瓦时
六、考向6 与其他问题结合
16．某仓库调拨一批物资，调进物资共用10小时，调进物资5小时后同时开始调出物资(调进与调出的速度保持不变)，该仓库库存物资m(吨)与时间t(小时)之间的关系如图所示，则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是　 　小时。
17．机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时)之间的关系如图所示，根据图回答问题：
（1）机动车行驶　 　小时后加油，中途加油　 　升；
（2）如果加油站距目的地还有230千米，车速为40千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用 请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】④
【知识点】用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【解答】解：根据题意，可得
9-5=4（分钟），故①正确
设小冬原速度为v米/分钟，则提速后为米/分钟，小天的速度为米/分钟
解得v=160
小天的速度为 (米/分钟)
2200÷(200+200)
＝2200÷400
=5.5(分钟)
5+4+5.5=14.5(分钟)
4000÷200=20(分钟)
5+4+20=29(分钟)
故答案为：④
【分析】由题图可知①正确；小冬掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，小冬提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，小天速度是小冬提速前的速度的 倍，设小冬原速度为v米/分钟，则提速后为 米/分钟，小天的速度为米/分钟，可列方程 解得v=160，小天的速度为 (米/分钟)，则②正确；2200÷(200+200)=5.5(分钟)，小天出发5+4+5.5=14.5(分钟)两人相遇，则③正确；小冬行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地4000÷200=20(分钟)，小冬最终达到乙地的时间是5+4+20=29(分钟)，则④错误。
2．【答案】（1）60；80
（2）解：已到达终点所需的时间是2400÷80=30(分)，
当乙到达终点时，甲走的路程是(30+4)×60=2040(米)，
甲、乙两人的最远距离是2400-2040=360(米)。
答：甲、乙两人的最远距离是360米。
（3）解：乙到达终点时甲还需步行(2400-2040)÷60=6(分钟)
即甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟。
答：甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟。
【知识点】速度、时间、路程的关系及应用；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【解答】解：（1）240÷4=60（米 / 分）。
16 4=12分钟；960÷12=80（米 / 分）。
故答案为：（1）60；80。
【分析】本题考查行程问题中的追及问题、速度 - 时间 - 路程的关系，以及根据函数图象分析运动过程。
（1）先根据 0-4 分钟甲单独走的路程和时间求出甲的速度，再根据 16 分钟乙追上甲的追及条件，用甲走的总路程除以乙实际步行的时间，求出乙的速度。
（2）先算出乙走完全程的时间，再算出此时甲走的总路程，用总路程减去甲的路程，得到两人的最远距离。
（3）先算出甲走完全程的总时间，减去乙到达终点时甲的用时，得到乙的休息时间。
3．【答案】（1）解：根据题意，可得
小王的速度是：6÷30=0.2(千米/分)，
小王和李明第一次遇到时距离县城：0.2×20=4(千米）
答：小王和李明第一次遇到时，距离县城4千米。
（2）解：返回时小王速度：(6-1)÷(80-60)=0.25(千米/分，计划剩下1千米所需时间：1÷0.25=4(分钟)，返回时计划用时：80+4=84(分钟)，
返回实际用时：84+1=85(分钟)。
答：小王从县城出发到返回县城所用时间是85分钟。
（3）解：李明的速度是：
(4-1)÷(80-20)
＝3÷60
=0.05(千米/分)，
李明从A村到和小王第二次相遇用时：
(6-1)÷0.05
=5÷0.05
=100(分钟)，
李明从A村到县城总用时是：100+5=105(分钟)。
答：李明从A村到县城共用105分钟。
【知识点】从单式折线统计图获取信息；从复式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【分析】本题考查行程问题中的路程、速度、时间关系，结合折线统计图分析运动过程，追及与相遇问题。
（1）从图像中提取小王 20 分钟骑行 6 千米的信息，先算小王的速度，再用速度乘第一次相遇的时间 20 分钟，得到距县城的距离。
（2）先求小王返回阶段的速度，再根据剩余路程和返回速度算行驶时间，结合 “晚到 1 分钟” 的条件，推算出实际总用时。
（3）从图像中提取李明 A 村到第二次相遇的路程和时间，算出李明的速度，再用李明 A 村到相遇点的路程除以速度，加上相遇前的时间，得到总用时。
4．【答案】（1）解：20分钟 小时，
船逆水航行的速度是 (千米/时)，
126-90=36(分钟)，
36分钟 小时，
船顺水航行的速度是 (千米/时)，
所以船在静水中航行的速度是(24+30)÷2=27(千米/时)。
答：这艘船在静水中每小时行驶27 千米。
（2）解：水速是(30-24)÷2=3(千米/时)，
18÷24=0.75(小时)，
90分钟=1.5小时，
多花时间：1.5-0.75=0.75(小时)，
倒行时间： (小时)，
倒行的距离： (千米)。
答：在途中发动机停止时，船顺着河水倒行了2千米。
【知识点】流水行船基础；速度、时间、路程的关系及应用；用图像表示变化关系
【解析】【分析】本题考查流水行船问题中船速、水速、顺水 / 逆水速度的关系，以及路程、速度、时间的数量关系。
（1）先根据船顺流航行 20 分钟走 8 千米求出顺流速度，再结合返回时 18 千米用 36 分钟求出逆流速度，最后利用静水速度 =(顺水速度 + 逆水速度)÷2算出船在静水中的速度。
（2）先根据顺流速度和静水速度求出水速，再算出按原速行驶 90 分钟的时间与实际顺流时间的差值，结合速度比求出倒行时间，最终算出倒行的距离。
5．【答案】（1）460；4.5
（2）解：甲车： 千米/时)，
设乙车减速前的速度为k千米/时，由题意可得：
4k+(7-4.5)×(k-50)=460，解得k=90，
乙车减速后的速度为90-50=40(千米/时)。
答：甲车的速度为 60 千米/时，乙车减速前的速度为90千米/时，乙车减速后的速度为40千米/时。
（3）解：设乙车出发m小时后追上甲车，根据题意可得：
解得 小时=80分钟。
答：在到达B地之前，乙车出发80分钟后追上甲车。
（4）解：(千米)。
答：乙车到达货站时，甲车距离B地180千米。
【知识点】从复式折线统计图获取信息；速度、时间、路程的关系及应用；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【解答】解：（1）由图中 F 点坐标可知，A、B 两地距离为460 千米；
乙车在 4 小时到达货站，卸货半小时（0.5 小时），因此a=4+0.5=4.5。
答：A、B 两地距离为460千米，a=4.5。
故答案为：460；4.5。
【分析】本题考查行程问题中路程、速度、时间的数量关系，追及问题的等量关系，结合折线统计图分析运动过程。
（1）从折线图终点直接读取 A、B 两地距离，根据乙车到货站时间 + 卸货时间计算a的值。
（2）先根据甲车总行驶时间和总路程求甲车速度；再设乙车减速前速度为未知数，根据两段路程和为总路程列方程求解，进而得到减速后速度。
（3）利用追及问题 “两车路程相等” 的等量关系，设乙车行驶时间为未知数，列方程求解后换算为分钟。
（4）先计算乙车到货站时甲车的总行驶时间，再用总路程减去甲车已走路程，得到剩余距离。
6．【答案】（1）解：根据题意，可得
480÷(9-1)
＝480÷8
=60(千米/时)，
a=(7-1)×60
＝6×60
=360
答：慢车行驶的速度是60千米/时，a的值是360。
（2）解：根据题意，可得
(480+360)÷7
＝840÷7
=120(千米/时)，
两车相遇时间为
(小时)，
(千米)。
答：快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是320千米。
（3）480÷120=4(小时)，则B点的坐标是(4，0)，
4×2=8(小时)，则C点的坐标是(8，480)，
60×5=300(千米)，则D点的坐标是(5，300)，则E点的坐标是(6，300)，
设AB段的函数解析式是
则解得
则AB段的函数解析式是YAB=-120x+480(0≤x≤4)；
设 BC段的函数解析式是
则 解得
则 BC段的函数解析式是yBc=120x-480(4设EF段的函数解析式是
则 解得
则EF段的函数解析式是yEF=60x-60(6≤x≤9)，
同理求得yon=60x(0≤x≤5)，yDE=300(5≤x≤6)；
-120x+480-60x=160，解得
60x-(-120x+480)= 160，解得
300-(120x-480)=160，解得
120x-480-(60x-60)=160，解得 舍去)。
答：两车出发后 小时或 小时或 小时相距的路程为160千米。
【知识点】速度、时间、路程的关系及应用；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【分析】本题考查行程问题中的相遇、追及、变速问题，路程、速度、时间的数量关系，结合 分析函数图象 运动过程。
（1）根据慢车 1 小时行驶 60 千米的图像信息求出慢车速度，再用速度乘总时间 6 小时求出a的值。
（2）先求出快车速度，再根据相遇问题 “总路程 ÷ 速度和 = 相遇时间” 算出相遇用时，最后用慢车速度乘相遇时间得到距离甲地的路程。
（3）先确定各时间段两车的位置与速度，分阶段列出两车距离的表达式，解方程求出相距 160 千米对应的时间，舍去超过 9 小时的无效解。
7．【答案】1
【知识点】从单式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【解答】解：由题可得，BC=10×4=40(cm)，CD=(14-10)×4=16(cm)，
同理DE=(21-14)×4=28(cm)，则AE=12(cm)；
当t=10时，△ABP的面积为
又因为 AE=12，
所以当点P在点E时，△ABP的面积为
所以当△ABP 的面积为32cm2时，点P在BC上，则
则t=4÷4=1（秒）
故答案为：1
【分析】由图①知，BC=10×4=40，CD=（14-10）×4=16，同理DE=28，AE=12；当t=10时， △ABP的面积为：，代入数据，求出△ABP的面积； 当点P在点E时，△ABP的面积为：，代入数据，即可求出△ABP的面积；当△ABP的面积为32cm2时，点P在BC上，此时△ABP的面积=，即可求出BP的值，最后再用BP除以4，即可求出t的值．
8．【答案】（1）解：根据题意，可得
运动4秒后重叠部分的长是2×4=8(厘米)，
重叠的面积是8×2=16(平方厘米)。
答：运动4秒后，重叠部分的面积是16平方厘米。
（2）解：根据题意，可得
由图②可得，正方形的边长是运动到6秒后的重叠部分长方形的长，即6×2=12(厘米)。
答：正方形的边长是12厘米。
（3）10，16
【知识点】从单式条形统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【分析】（1）观察图2，可知，用运动速度乘以4秒，求出重叠部分的长，然后再根据长方形的面积公式：S=长×宽，代入数据，即可求出重叠部分的面积；
（2）观察图②可得，正方形的边长是运动到6秒后的重叠部分长方形的长，据此即可求解；
（3）当长方形纸条的最左边刚好与正方形重叠时，长方形纸条已经行驶了20厘米。因此，时间是20厘米÷2厘米/秒=10秒 当长方形纸条离开正方形时，长方形纸条已经行驶了20厘米+12厘米=32厘米。因此，时间是32厘米÷2厘米/秒=16秒
9．【答案】（1）P、Q 两点相遇
（2）解：由函数图象得出，当两点在 F点到G点，两点相距路程随时间变化减慢得出此时Q 点停留1秒，只有 P 点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，故P 点运动速度为30cm/s，再根据E点到 F点s的值由120变为75，根据P 点速度，得出 Q 点速度为(120-75)÷1-30=15(cm/s)。
答：P 点的运动速度为30cm/s；Q点的运动速度为15 cm/s。
（3）如解图①所示：根据4秒后，P点到达 D 点，只有 Q 点运动，根据运动速度为15 cm/s，还需要运动120-45=75(cm)，则运动时间为75÷15=5(s)，画出图象即可。
（4）或5或8
【知识点】从单式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【解答】解：（1）点 H 的纵坐标为 0，代表 P、Q 两点在折线 AB-BC-CD 上的相距路程为 0，因此点 H 表示 P、Q 两点相遇。
（4）如解图②所示，当QP=PC，此时 即
解得 故当时间 时，△PCQ为等腰三角形；如解图③所示，当D，P重合，QP=QC时，Q 为AB 中点，则运动时间为：(15+60+30)÷15+1=8(s)，
故当时间t=8s时，△PCQ 为等腰三角形；若PC=CQ，故90-30t=30-15t，解得t=4(舍去)，或30t-90=15t-30，解得t=4，则4+1=5(s)。综上所述， 或t=5s或t=8s时，△PCQ为等腰三角形。
故答案为：（1）P、Q 两点相遇。（4）或5或8。
【分析】本题考查行程问题中的相遇问题、速度计算，结合函数图象分析运动过程，等腰三角形的判定与分类讨论。
（1）根据函数图象纵坐标代表 “相距路程”，纵坐标为 0 时代表两点相遇，因此点 H 表示 P、Q 两点相遇。
（2）利用图像中 Q 停留 1s 仅 P 运动的阶段，求出 P 的速度；再用初始 1s 内路程缩短量减去 P 的路程，得到 Q 的速度。
（3）先计算 P 到达终点的时间，再算出 Q 剩余的路程和时间，补全两点相距路程随时间变化的图像。
（4）分不同时间段，根据等腰三角形三边相等的条件，列方程求解t，舍去不符合区间的解。
10．【答案】11；21
【知识点】从单式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：根据题意，可得
5÷2=2.5(分米/分)
2.5-(11-5)÷(5-2)
＝2.5-6÷3
=2.5-2
=0.5(分米/分)
(20-11)÷(2.5-2×0.5)
=9÷(2.5-1)
=9÷1.5
=6(分钟)
5+6=11(分钟)
(20-11)÷(2×0.5)
=9÷1
=9(分钟)
(11-5)÷0.5=12(分钟)
9+12=21(分钟)
故答案为：11；21
【分析】由图②可知：注水速度是5÷2=2.5(分米/分)，一个排水孔的排水速度是2.5-(11-5)÷(5-2)=0.5(分米/分)，所以2个排水孔排水时到注满需要的时间为(20-11)÷(2.5-2×0.5)=6(分钟)，所以水箱注满一共需要5+6=11(分钟)；注满水箱后停止注水，两个孔一起排水用时(20-11)÷(2×0.5)=9(分钟)，之后一个孔排水还需用时(11-5)÷0.5=12(分钟)，所以注满水箱后停止注水，排水过程需要9+12=21(分钟)。
11．【答案】（1）14；5
（2）解：水流速度为5 cm3/s，则“几何体”下方水的体积为18
图②中a=90÷(30-15)=6，
“几何体”上方圆柱的高为11-6=5(cm)，
体积为30×5-(24-18)×5=120cm3，
底面积为
答：“几何体”上方圆柱的高为5cm，底面积为24 cm2。
【知识点】从单式折线统计图获取信息；圆柱的体积（容积）；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：（1）由图②可知，水面高度最终稳定在 14cm，因此圆柱形容器的高为 14cm。
选取 24s 到 42s 时间段（水面无几何体遮挡，匀速上升）：
水面上升高度：14 11=3 cm，
注水体积：30×3=90 cm3 ，
注水时间：42 24=18 s，
水流速度90÷18=5 cm3 /s。
故答案为：14；5。
【分析】本题考查用图像表示变化关系、从单式折线统计图获取信息和圆柱的体积（容积）。
（1）从折线图最高点读取容器高度；选择无遮挡的上升段，通过 “底面积 × 上升高度” 算注水体积，再除以时间得水流速度。
（2）利用 0~18s 的注水量和有效底面积差算出下方圆柱的高；再利用 18~24s 的注水数据算出有效底面积，用容器底面积减去它得到上方圆柱的底面积，并结合水面高度差求出高。
12．【答案】（1）乙；甲；乙槽中圆柱形铁块高14cm
（2）解： 设线段AB、DE的解析式分别为：y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，
∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0）
∴
解得，
解得，
∴解析式为y=3x+2和y=-2x+12，
令3x+2=-2x+12，
解得x=2，
∴当2分钟时两个水槽水面一样高．
答：注水2m in时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同。
（3）解：由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm，即1分钟上升3cm，
当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm，
设铁块的底面积为acm2， 则乙水槽中不放铁块的体积分别为：2.5×36cm3，
放了铁块的体积为3×（36-a）cm3，
∴3×（36-a）=2.5×36，
解得a=6，
∴铁块的体积为：6×14=84(cm3)．
答：乙槽中铁块的体积是84cm3。
【知识点】从单式折线统计图获取信息；从复式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】 解：（1）图②中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间的关系， ；点B的纵坐标表示的实际意义是：乙槽中圆柱形铁块高14cm
故答案为：乙；甲；乙槽中圆柱形铁块高14cm
【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；
（2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间；
（3）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积.
13．【答案】解：由图可知，甲燃烧的速度是30÷2=15(厘米/时)，乙燃烧的速度是25÷2.5=10(厘米/时)。
设甲蜡烛燃烧时y与x 之间的函数解析式：y=kx+b，
则
解得
即甲蜡烛燃烧时y与x 之间的函数解析式为：y=-15x+30；
设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式为：y=mx+n，
则
解得
即乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式y=-10x+25；
当-10x+25-(-15x+30)=1，解得x=1.2；
当-15x+30-(-10x+25)=1，解得x=0.8；
当x=2.4时，甲的高度为0，乙的高度是1厘米。
所以当x=2.4或x=1.2或x=0.8时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相差1厘米。
答：当x=2.4或x=1.2或x=0.8时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相差1厘米。
【知识点】用图像表示变化关系
【解析】【分析】根据图形，用30除以2，求出甲蜡烛的燃烧速度，用25除以2.5，求出乙蜡烛的燃烧速度，设甲蜡烛燃烧时y与x 之间的函数解析式：y=kx+b，将x=0，y=30和x=2，y=0代入，求出甲蜡烛燃烧的解析式； 设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式为：y=mx+n，将x=0，y=25和x=2.5，y=0，代入，求出乙蜡烛燃烧的解析式。用甲蜡烛燃烧的解析式减去乙蜡烛燃烧的解析式等于1，然后再求出x的值即可；用乙蜡烛燃烧的解析式减去甲蜡烛燃烧的解析式等于1，然后再解出x的值；当x=2.4时，甲的高度为0，乙的高度为1厘米，据此即可求解。
14．【答案】（1）解：根据题意，可得
300克所挂物体弹簧的长度是8格。500 克所挂物体弹簧长度是10格，两次之间相差10-8=2(格)，2格之间的差是4厘米，所以1格就是4÷2=2(厘米)，那么弹簧的原长就是5×2=10(厘米)。
答：这根弹簧原来不挂物品时的长度是10厘米。
（2）解：根据题意，可得
挂上400克物体的时候，弹簧的长度是9格，所以弹簧的长度是2×9=18(厘米)。
答：挂上400克物品时弹簧长度是18厘米。
（3）解：弹簧长度增加6厘米的时候，也就是在最初的情况上增加了6÷2=3(格)。每增加100克对应的是上升1格，所以上升3格对应的应该是300克，所以挂上的物品是300克。
答：挂上的物品是300克。
（4）解：根据300克和500克所挂重物弹簧的长度可以看到所挂物品的重量每增加100克弹簧增加2厘米。
则弹簧增加的长度与挂上物品的重量成正比例关系。
答：因为比值一定，弹簧增加的长度与挂上物品的重量成正比例。
（5）解：根据题意，可得
在弹簧的伸长范围内，如果挂上的物品是1千克=1000克，
对应的格数是1000÷100=10(格)，那么也就是增加了10×2=20(厘米)，
弹簧长度可能为10+20=30(厘米)。
答：弹簧的长度可能是30厘米。
【知识点】从单式折线统计图获取信息；成正比例的量及其意义；用图像表示变化关系
【解析】【分析】结合统计图上的信息和“挂上500克物品时的弹簧长度比挂上300克物品时的弹簧长度长4厘米”，可以看出挂500克比挂300克多占两格，所以两个格长度表示4厘米，那么一格的长度是2厘米．
（1）这根弹簧原来不挂物品时长度占5个格，所以是2×5=100厘米）；
（2）从图上可以看出400克时占9格，即为；2×9=18（厘米）；
（3）弹簧长度增加6厘米，即为：10+6=16（厘米），此时由图看出：挂上的物品是300克；
（4）增加的长度与重量的关系： 100：2=200：4=300：6=400：8=500：10=50，比值相同，所以弹簧增加的长度与挂上物品的重量成正比；
（5）根据上面的第四问可知：1000÷50=20（厘米），10+20=30（厘米）．
15．【答案】（1）1.2
（2）解：根据题意，可得
第二档电价为：
(201-96)÷(150-80)
=105÷70
=1.5(元/千瓦时)，
96+(140-80)×1.5
=96+60×1.5
=96+90
=186(元)。
答：11月份的电费是186元。
（3）解：根据题意，可得
第三档电价为：
(301-201)÷(200-150)
=100÷50
=2(元/千瓦时)，
第三档用电量为：
(351-201)÷2
=150÷2
=75(千瓦时)，
150+75=225(千瓦时)。
答：12月份小明家用电225千瓦时。
【知识点】用图像表示变化关系；分段计费问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，可得
96÷80=1.2(元/千瓦时)
故答案为：1.2
【分析】（1）观察统计图，可知，80千瓦时对应A点处的96元，用96元除以80，即可求解；
（2）用150千瓦时减去80千瓦时，求出第二档的跨度，这一挡对应的电费为（201-96），用（201-96）除以（150-80），求出第二档的电价，然后再用11月份的电量减去80，求出超过部分的电量，然后再乘以第二档的电价，最后再加上96元，即可求出11月份的电费。
（3）用200千瓦时减去150千瓦时，求出第三档的跨度，这一挡对应的电费为（301-201），用（301-201）除以（200-150），求出第三档的电价，用12月份的电费减去201，求出超过部分电量的电价，然后再除以第三档的电价，即可求出第三档的电量，最后再加上150，即可求出12月份的用电量。
16．【答案】11
【知识点】从单式折线统计图获取信息；从复式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：根据题意，可得
调进的速度为：60÷5=12(吨/时)，
10小时共调进：12×10=120(吨)，
调出的速度为：
(60-20+12×5)÷5
=（60-20+60）÷5
=100÷5
=20(吨/时)，
20÷20=1(小时)，
10+1=11(小时)。
故答案为：11
【分析】 根据题图可知，在 t=5 时仓库有货物60 吨，则调进物资的速度为60-5=12 吨/时；当t=10时库有货物20吨从第5小时到第 10小时货物既调进又调出，则调出速度-调进速度=(60-20)÷(10-5)=8 吨/时，即调出速度为12+8=20 吨/时，剩下的20吨完全调出需要20-20=1小时这批货物从调进到调出一共需要10+1=11 小时。
17．【答案】（1）5；24
（2）答：油箱中的油够用，理由：
由图象可知，5时加油后到11时油量为零，所以最多可以行驶6小时，车速为40千米/时，共行驶6×40=240(千米)，240>230，因此油箱中的油够用。
【知识点】从单式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：（1）根据题意，可得
由图象可知，行驶5小时时，油量由12升变为36升，因此机动车行驶5小时后加油，加了36-12=24(升)。
故答案为：5；24
【分析】（1）直接从关系图中，可知，机动车行驶5小时后加油，中途加油（36-12）升，据此即可求解
（2）从图中可知，5小时到11小时之间，油量开始减少，直至都0，所以最多可以行驶6小时，用6小时乘以车速40，求出6小时内可以行驶的路程，然后再和230进行比较，即可求解。
1 / 1【小白鸥 分类卷】2026小升初数学专题44 变量间的关系 类型一 与图象有关
一、考向1 与行程问题结合
1．小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时出发且匀速行驶，当行驶5分钟时小冬发现重要物视频讲解品忘带，立刻掉头以提速后的速度匀速返回甲地，拿到物品后以提速后的速度继续匀速前往乙地(掉头和拿物品的时间忽略不计)，小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y(米)与小冬出发时间x(分钟)之间的关系如图所示。①小冬返回甲地的所用时间为4分钟；②小冬和小天出发时的速度分别为160米/分和200米/分；③小天出发14.5分钟两人相遇；④小冬最终到达乙地的时间是20分钟，则以上说法中错误的是　 　。
【答案】④
【知识点】用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【解答】解：根据题意，可得
9-5=4（分钟），故①正确
设小冬原速度为v米/分钟，则提速后为米/分钟，小天的速度为米/分钟
解得v=160
小天的速度为 (米/分钟)
2200÷(200+200)
＝2200÷400
=5.5(分钟)
5+4+5.5=14.5(分钟)
4000÷200=20(分钟)
5+4+20=29(分钟)
故答案为：④
【分析】由题图可知①正确；小冬掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，小冬提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，小天速度是小冬提速前的速度的 倍，设小冬原速度为v米/分钟，则提速后为 米/分钟，小天的速度为米/分钟，可列方程 解得v=160，小天的速度为 (米/分钟)，则②正确；2200÷(200+200)=5.5(分钟)，小天出发5+4+5.5=14.5(分钟)两人相遇，则③正确；小冬行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地4000÷200=20(分钟)，小冬最终达到乙地的时间是5+4+20=29(分钟)，则④错误。
2．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，求
（1）甲的速度=　 　米/分，乙的速度=　 　米/分；
（2）甲、乙两人的最远距离是多少米
（3）甲到终点时，乙已经在终点处休息了多少分钟
【答案】（1）60；80
（2）解：已到达终点所需的时间是2400÷80=30(分)，
当乙到达终点时，甲走的路程是(30+4)×60=2040(米)，
甲、乙两人的最远距离是2400-2040=360(米)。
答：甲、乙两人的最远距离是360米。
（3）解：乙到达终点时甲还需步行(2400-2040)÷60=6(分钟)
即甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟。
答：甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟。
【知识点】速度、时间、路程的关系及应用；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【解答】解：（1）240÷4=60（米 / 分）。
16 4=12分钟；960÷12=80（米 / 分）。
故答案为：（1）60；80。
【分析】本题考查行程问题中的追及问题、速度 - 时间 - 路程的关系，以及根据函数图象分析运动过程。
（1）先根据 0-4 分钟甲单独走的路程和时间求出甲的速度，再根据 16 分钟乙追上甲的追及条件，用甲走的总路程除以乙实际步行的时间，求出乙的速度。
（2）先算出乙走完全程的时间，再算出此时甲走的总路程，用总路程减去甲的路程，得到两人的最远距离。
（3）先算出甲走完全程的总时间，减去乙到达终点时甲的用时，得到乙的休息时间。
3．邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校。小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟。二人与县城间的距离(千米)和小王从县城出发后所用时间(分)之间的关系如图所示，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：
（1）小王和李明第一次遇到时，距县城多少千米
（2）小王从县城出发到返回县城所用时间是多少
（3）李明从A村到县城共用多长时间
【答案】（1）解：根据题意，可得
小王的速度是：6÷30=0.2(千米/分)，
小王和李明第一次遇到时距离县城：0.2×20=4(千米）
答：小王和李明第一次遇到时，距离县城4千米。
（2）解：返回时小王速度：(6-1)÷(80-60)=0.25(千米/分，计划剩下1千米所需时间：1÷0.25=4(分钟)，返回时计划用时：80+4=84(分钟)，
返回实际用时：84+1=85(分钟)。
答：小王从县城出发到返回县城所用时间是85分钟。
（3）解：李明的速度是：
(4-1)÷(80-20)
＝3÷60
=0.05(千米/分)，
李明从A村到和小王第二次相遇用时：
(6-1)÷0.05
=5÷0.05
=100(分钟)，
李明从A村到县城总用时是：100+5=105(分钟)。
答：李明从A村到县城共用105分钟。
【知识点】从单式折线统计图获取信息；从复式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【分析】本题考查行程问题中的路程、速度、时间关系，结合折线统计图分析运动过程，追及与相遇问题。
（1）从图像中提取小王 20 分钟骑行 6 千米的信息，先算小王的速度，再用速度乘第一次相遇的时间 20 分钟，得到距县城的距离。
（2）先求小王返回阶段的速度，再根据剩余路程和返回速度算行驶时间，结合 “晚到 1 分钟” 的条件，推算出实际总用时。
（3）从图像中提取李明 A 村到第二次相遇的路程和时间，算出李明的速度，再用李明 A 村到相遇点的路程除以速度，加上相遇前的时间，得到总用时。
4．如图所示，表示一条船从点A 到河的上游点B往返的情形，从A 点出发20分钟后，发动机坏了一段时间，船顺着河水倒着走了一段，之后发动机修好，继续前进到点B，接着立即向点A 返回，假设河水的流速、船在静水中行驶时的速度是不变的。
（1）这艘船在静水中每小时行驶多少千米
（2）在途中发动机停止时，船顺着河水倒行了多少千米
【答案】（1）解：20分钟 小时，
船逆水航行的速度是 (千米/时)，
126-90=36(分钟)，
36分钟 小时，
船顺水航行的速度是 (千米/时)，
所以船在静水中航行的速度是(24+30)÷2=27(千米/时)。
答：这艘船在静水中每小时行驶27 千米。
（2）解：水速是(30-24)÷2=3(千米/时)，
18÷24=0.75(小时)，
90分钟=1.5小时，
多花时间：1.5-0.75=0.75(小时)，
倒行时间： (小时)，
倒行的距离： (千米)。
答：在途中发动机停止时，船顺着河水倒行了2千米。
【知识点】流水行船基础；速度、时间、路程的关系及应用；用图像表示变化关系
【解析】【分析】本题考查流水行船问题中船速、水速、顺水 / 逆水速度的关系，以及路程、速度、时间的数量关系。
（1）先根据船顺流航行 20 分钟走 8 千米求出顺流速度，再结合返回时 18 千米用 36 分钟求出逆流速度，最后利用静水速度 =(顺水速度 + 逆水速度)÷2算出船在静水中的速度。
（2）先根据顺流速度和静水速度求出水速，再算出按原速行驶 90 分钟的时间与实际顺流时间的差值，结合速度比求出倒行时间，最终算出倒行的距离。
5．甲、乙两车从A 地出发沿着同一路线到达 B 地，甲车先出发，匀速驶向B 地。40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少50千米/时，结果与甲车同时达到B地。设乙车行驶的时间为x小时，甲、乙两车距离A地的距离是y千米，图中折线表示y与x之间的关系，根据图象回答下面的问题：
（1）A，B两地之间的距离是　 　千米，a=　 　；(直接写答案)
（2）求甲、乙两车的速度；
（3）在到达B地之前，乙车出发多少分钟后追上甲车
（4）乙车到达货站时，甲车距离B地多少千米
【答案】（1）460；4.5
（2）解：甲车： 千米/时)，
设乙车减速前的速度为k千米/时，由题意可得：
4k+(7-4.5)×(k-50)=460，解得k=90，
乙车减速后的速度为90-50=40(千米/时)。
答：甲车的速度为 60 千米/时，乙车减速前的速度为90千米/时，乙车减速后的速度为40千米/时。
（3）解：设乙车出发m小时后追上甲车，根据题意可得：
解得 小时=80分钟。
答：在到达B地之前，乙车出发80分钟后追上甲车。
（4）解：(千米)。
答：乙车到达货站时，甲车距离B地180千米。
【知识点】从复式折线统计图获取信息；速度、时间、路程的关系及应用；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【解答】解：（1）由图中 F 点坐标可知，A、B 两地距离为460 千米；
乙车在 4 小时到达货站，卸货半小时（0.5 小时），因此a=4+0.5=4.5。
答：A、B 两地距离为460千米，a=4.5。
故答案为：460；4.5。
【分析】本题考查行程问题中路程、速度、时间的数量关系，追及问题的等量关系，结合折线统计图分析运动过程。
（1）从折线图终点直接读取 A、B 两地距离，根据乙车到货站时间 + 卸货时间计算a的值。
（2）先根据甲车总行驶时间和总路程求甲车速度；再设乙车减速前速度为未知数，根据两段路程和为总路程列方程求解，进而得到减速后速度。
（3）利用追及问题 “两车路程相等” 的等量关系，设乙车行驶时间为未知数，列方程求解后换算为分钟。
（4）先计算乙车到货站时甲车的总行驶时间，再用总路程减去甲车已走路程，得到剩余距离。
6．快、慢两车分别从相距480千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，途中慢车因故停留1小时，然后以原速度继续向甲地行驶，到达甲地后停止行驶；快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地(快车掉头的时间忽略不计)，快、慢两车距乙地的路程y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题：
（1）求慢车的行驶速度和a的值；
（2）求快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是多少千米
（3）求两车出发后几小时相距的路程为160千米
【答案】（1）解：根据题意，可得
480÷(9-1)
＝480÷8
=60(千米/时)，
a=(7-1)×60
＝6×60
=360
答：慢车行驶的速度是60千米/时，a的值是360。
（2）解：根据题意，可得
(480+360)÷7
＝840÷7
=120(千米/时)，
两车相遇时间为
(小时)，
(千米)。
答：快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是320千米。
（3）480÷120=4(小时)，则B点的坐标是(4，0)，
4×2=8(小时)，则C点的坐标是(8，480)，
60×5=300(千米)，则D点的坐标是(5，300)，则E点的坐标是(6，300)，
设AB段的函数解析式是
则解得
则AB段的函数解析式是YAB=-120x+480(0≤x≤4)；
设 BC段的函数解析式是
则 解得
则 BC段的函数解析式是yBc=120x-480(4设EF段的函数解析式是
则 解得
则EF段的函数解析式是yEF=60x-60(6≤x≤9)，
同理求得yon=60x(0≤x≤5)，yDE=300(5≤x≤6)；
-120x+480-60x=160，解得
60x-(-120x+480)= 160，解得
300-(120x-480)=160，解得
120x-480-(60x-60)=160，解得 舍去)。
答：两车出发后 小时或 小时或 小时相距的路程为160千米。
【知识点】速度、时间、路程的关系及应用；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【分析】本题考查行程问题中的相遇、追及、变速问题，路程、速度、时间的数量关系，结合 分析函数图象 运动过程。
（1）根据慢车 1 小时行驶 60 千米的图像信息求出慢车速度，再用速度乘总时间 6 小时求出a的值。
（2）先求出快车速度，再根据相遇问题 “总路程 ÷ 速度和 = 相遇时间” 算出相遇用时，最后用慢车速度乘相遇时间得到距离甲地的路程。
（3）先确定各时间段两车的位置与速度，分阶段列出两车距离的表达式，解方程求出相距 160 千米对应的时间，舍去超过 9 小时的无效解。
二、考向2 与图形问题结合
7． 如图①，在长方形ABCD中，E为AD边上一点，点P是长方形ABCD中BC边上的动点，点P从点B 出发沿着 B→C→D→E的路线向点 E匀速运动，若P 点的运动速度为4cm/s，则随着时间t的变化， 的面积也随之变化，变化情况如图②所示，当 的面积为 时间t为　 　s。
【答案】1
【知识点】从单式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【解答】解：由题可得，BC=10×4=40(cm)，CD=(14-10)×4=16(cm)，
同理DE=(21-14)×4=28(cm)，则AE=12(cm)；
当t=10时，△ABP的面积为
又因为 AE=12，
所以当点P在点E时，△ABP的面积为
所以当△ABP 的面积为32cm2时，点P在BC上，则
则t=4÷4=1（秒）
故答案为：1
【分析】由图①知，BC=10×4=40，CD=（14-10）×4=16，同理DE=28，AE=12；当t=10时， △ABP的面积为：，代入数据，求出△ABP的面积； 当点P在点E时，△ABP的面积为：，代入数据，即可求出△ABP的面积；当△ABP的面积为32cm2时，点P在BC上，此时△ABP的面积=，即可求出BP的值，最后再用BP除以4，即可求出t的值．
8．如图①，一个长方形纸条从正方形的左边开始以每秒2厘米的速度沿水平方向向右行驶，如图②是运动过程中长方形纸条和正方形重叠部分的面积与运动时间的关系图。
（1）运动4秒后，重叠部分的面积是多少平方厘米
（2）正方形的边长是多少厘米
（3）在图②的两个括号内填入正确的时间。
【答案】（1）解：根据题意，可得
运动4秒后重叠部分的长是2×4=8(厘米)，
重叠的面积是8×2=16(平方厘米)。
答：运动4秒后，重叠部分的面积是16平方厘米。
（2）解：根据题意，可得
由图②可得，正方形的边长是运动到6秒后的重叠部分长方形的长，即6×2=12(厘米)。
答：正方形的边长是12厘米。
（3）10，16
【知识点】从单式条形统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【分析】（1）观察图2，可知，用运动速度乘以4秒，求出重叠部分的长，然后再根据长方形的面积公式：S=长×宽，代入数据，即可求出重叠部分的面积；
（2）观察图②可得，正方形的边长是运动到6秒后的重叠部分长方形的长，据此即可求解；
（3）当长方形纸条的最左边刚好与正方形重叠时，长方形纸条已经行驶了20厘米。因此，时间是20厘米÷2厘米/秒=10秒 当长方形纸条离开正方形时，长方形纸条已经行驶了20厘米+12厘米=32厘米。因此，时间是32厘米÷2厘米/秒=16秒
9． 如图①，在长方形ABCD中，AB=30cm，BC=60cm，点P从点A 出发，沿A→B→C→D路线向点D 匀速运动，到达点D 后停止；点Q 从点D 出发，沿D→C→B→A路线向点A 匀速运动，到达点A后停止，若点P、Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程s(cm)与时间t(s)之间的关系图象。
（1）请解释图中点H的实际意义：　 　；
（2）求P、Q两点的运动速度；
（3）将图②补充完整；
（4）当时间t为何值时， 为等腰三角形 请直接写出t的值为　 　。
【答案】（1）P、Q 两点相遇
（2）解：由函数图象得出，当两点在 F点到G点，两点相距路程随时间变化减慢得出此时Q 点停留1秒，只有 P 点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，故P 点运动速度为30cm/s，再根据E点到 F点s的值由120变为75，根据P 点速度，得出 Q 点速度为(120-75)÷1-30=15(cm/s)。
答：P 点的运动速度为30cm/s；Q点的运动速度为15 cm/s。
（3）如解图①所示：根据4秒后，P点到达 D 点，只有 Q 点运动，根据运动速度为15 cm/s，还需要运动120-45=75(cm)，则运动时间为75÷15=5(s)，画出图象即可。
（4）或5或8
【知识点】从单式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系；S-t/v-t图
【解析】【解答】解：（1）点 H 的纵坐标为 0，代表 P、Q 两点在折线 AB-BC-CD 上的相距路程为 0，因此点 H 表示 P、Q 两点相遇。
（4）如解图②所示，当QP=PC，此时 即
解得 故当时间 时，△PCQ为等腰三角形；如解图③所示，当D，P重合，QP=QC时，Q 为AB 中点，则运动时间为：(15+60+30)÷15+1=8(s)，
故当时间t=8s时，△PCQ 为等腰三角形；若PC=CQ，故90-30t=30-15t，解得t=4(舍去)，或30t-90=15t-30，解得t=4，则4+1=5(s)。综上所述， 或t=5s或t=8s时，△PCQ为等腰三角形。
故答案为：（1）P、Q 两点相遇。（4）或5或8。
【分析】本题考查行程问题中的相遇问题、速度计算，结合函数图象分析运动过程，等腰三角形的判定与分类讨论。
（1）根据函数图象纵坐标代表 “相距路程”，纵坐标为 0 时代表两点相遇，因此点 H 表示 P、Q 两点相遇。
（2）利用图像中 Q 停留 1s 仅 P 运动的阶段，求出 P 的速度；再用初始 1s 内路程缩短量减去 P 的路程，得到 Q 的速度。
（3）先计算 P 到达终点的时间，再算出 Q 剩余的路程和时间，补全两点相距路程随时间变化的图像。
（4）分不同时间段，根据等腰三角形三边相等的条件，列方程求解t，舍去不符合区间的解。
三、考向 3 与容器问题结合
10．如图①是一个圆柱形水箱，上部有个进水孔，侧面有两个粗细相同的排水孔。现在给空水箱注水，注水时间与水箱内水面高度的关系如图②。那么水箱注满需要　 　分钟，注满水后立即停止注水，两个水孔往外能继续排水，排水过程需要　 　分钟。
【答案】11；21
【知识点】从单式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：根据题意，可得
5÷2=2.5(分米/分)
2.5-(11-5)÷(5-2)
＝2.5-6÷3
=2.5-2
=0.5(分米/分)
(20-11)÷(2.5-2×0.5)
=9÷(2.5-1)
=9÷1.5
=6(分钟)
5+6=11(分钟)
(20-11)÷(2×0.5)
=9÷1
=9(分钟)
(11-5)÷0.5=12(分钟)
9+12=21(分钟)
故答案为：11；21
【分析】由图②可知：注水速度是5÷2=2.5(分米/分)，一个排水孔的排水速度是2.5-(11-5)÷(5-2)=0.5(分米/分)，所以2个排水孔排水时到注满需要的时间为(20-11)÷(2.5-2×0.5)=6(分钟)，所以水箱注满一共需要5+6=11(分钟)；注满水箱后停止注水，两个孔一起排水用时(20-11)÷(2×0.5)=9(分钟)，之后一个孔排水还需用时(11-5)÷0.5=12(分钟)，所以注满水箱后停止注水，排水过程需要9+12=21(分钟)。
11． 如图①，底面积为： 的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间
的关系如图②所示。
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）圆柱形容器的高为　 　cm，匀速注水的水流速度为　 　
（2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为 ，求“几何体”上方圆柱的高和底面积。
【答案】（1）14；5
（2）解：水流速度为5 cm3/s，则“几何体”下方水的体积为18
图②中a=90÷(30-15)=6，
“几何体”上方圆柱的高为11-6=5(cm)，
体积为30×5-(24-18)×5=120cm3，
底面积为
答：“几何体”上方圆柱的高为5cm，底面积为24 cm2。
【知识点】从单式折线统计图获取信息；圆柱的体积（容积）；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：（1）由图②可知，水面高度最终稳定在 14cm，因此圆柱形容器的高为 14cm。
选取 24s 到 42s 时间段（水面无几何体遮挡，匀速上升）：
水面上升高度：14 11=3 cm，
注水体积：30×3=90 cm3 ，
注水时间：42 24=18 s，
水流速度90÷18=5 cm3 /s。
故答案为：14；5。
【分析】本题考查用图像表示变化关系、从单式折线统计图获取信息和圆柱的体积（容积）。
（1）从折线图最高点读取容器高度；选择无遮挡的上升段，通过 “底面积 × 上升高度” 算注水体积，再除以时间得水流速度。
（2）利用 0~18s 的注水量和有效底面积差算出下方圆柱的高；再利用 18~24s 的注水数据算出有效底面积，用容器底面积减去它得到上方圆柱的底面积，并结合水面高度差求出高。
12．如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图②所示。根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图②中折线ABC 表示　 　槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段 DE 表示　 　槽中水的深度与注水时间的关系(以上两空选填“甲”或“乙”)；点B的纵坐标表示的实际意义是：　 　；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同
（3）若乙槽底面积为： (壁厚不计)，求乙槽中铁块的体积。
【答案】（1）乙；甲；乙槽中圆柱形铁块高14cm
（2）解： 设线段AB、DE的解析式分别为：y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，
∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0）
∴
解得，
解得，
∴解析式为y=3x+2和y=-2x+12，
令3x+2=-2x+12，
解得x=2，
∴当2分钟时两个水槽水面一样高．
答：注水2m in时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同。
（3）解：由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm，即1分钟上升3cm，
当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm，
设铁块的底面积为acm2， 则乙水槽中不放铁块的体积分别为：2.5×36cm3，
放了铁块的体积为3×（36-a）cm3，
∴3×（36-a）=2.5×36，
解得a=6，
∴铁块的体积为：6×14=84(cm3)．
答：乙槽中铁块的体积是84cm3。
【知识点】从单式折线统计图获取信息；从复式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】 解：（1）图②中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间的关系， ；点B的纵坐标表示的实际意义是：乙槽中圆柱形铁块高14cm
故答案为：乙；甲；乙槽中圆柱形铁块高14cm
【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；
（2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间；
（3）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积.
四、考向 4 与科学问题结合
13．在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(厘米)与燃烧时间x(小时)的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答：当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相差1厘米
【答案】解：由图可知，甲燃烧的速度是30÷2=15(厘米/时)，乙燃烧的速度是25÷2.5=10(厘米/时)。
设甲蜡烛燃烧时y与x 之间的函数解析式：y=kx+b，
则
解得
即甲蜡烛燃烧时y与x 之间的函数解析式为：y=-15x+30；
设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式为：y=mx+n，
则
解得
即乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式y=-10x+25；
当-10x+25-(-15x+30)=1，解得x=1.2；
当-15x+30-(-10x+25)=1，解得x=0.8；
当x=2.4时，甲的高度为0，乙的高度是1厘米。
所以当x=2.4或x=1.2或x=0.8时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相差1厘米。
答：当x=2.4或x=1.2或x=0.8时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相差1厘米。
【知识点】用图像表示变化关系
【解析】【分析】根据图形，用30除以2，求出甲蜡烛的燃烧速度，用25除以2.5，求出乙蜡烛的燃烧速度，设甲蜡烛燃烧时y与x 之间的函数解析式：y=kx+b，将x=0，y=30和x=2，y=0代入，求出甲蜡烛燃烧的解析式； 设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式为：y=mx+n，将x=0，y=25和x=2.5，y=0，代入，求出乙蜡烛燃烧的解析式。用甲蜡烛燃烧的解析式减去乙蜡烛燃烧的解析式等于1，然后再求出x的值即可；用乙蜡烛燃烧的解析式减去甲蜡烛燃烧的解析式等于1，然后再解出x的值；当x=2.4时，甲的高度为0，乙的高度为1厘米，据此即可求解。
14．小明用一根弹簧做实验，测量并记录当弹簧上挂上不同重量的物品时弹簧的长度，并制作了如下的统计图。挂上500克物品时的弹簧长度比挂上300克物品时的弹簧长度长4厘米。(均在弹簧的弹性限度内)
（1）这根弹簧原来不挂物品时的长度是多少厘米
（2）挂上400克物品时弹簧长度是多少厘米
（3）弹簧长度增加6厘米，挂上的物品是多少克
（4）你发现弹簧增加的长度与挂上物品的重量有什么关系 为什么
（5）想象一下，如果挂上物品的重量是1千克，弹簧的长度可能是多少厘米
【答案】（1）解：根据题意，可得
300克所挂物体弹簧的长度是8格。500 克所挂物体弹簧长度是10格，两次之间相差10-8=2(格)，2格之间的差是4厘米，所以1格就是4÷2=2(厘米)，那么弹簧的原长就是5×2=10(厘米)。
答：这根弹簧原来不挂物品时的长度是10厘米。
（2）解：根据题意，可得
挂上400克物体的时候，弹簧的长度是9格，所以弹簧的长度是2×9=18(厘米)。
答：挂上400克物品时弹簧长度是18厘米。
（3）解：弹簧长度增加6厘米的时候，也就是在最初的情况上增加了6÷2=3(格)。每增加100克对应的是上升1格，所以上升3格对应的应该是300克，所以挂上的物品是300克。
答：挂上的物品是300克。
（4）解：根据300克和500克所挂重物弹簧的长度可以看到所挂物品的重量每增加100克弹簧增加2厘米。
则弹簧增加的长度与挂上物品的重量成正比例关系。
答：因为比值一定，弹簧增加的长度与挂上物品的重量成正比例。
（5）解：根据题意，可得
在弹簧的伸长范围内，如果挂上的物品是1千克=1000克，
对应的格数是1000÷100=10(格)，那么也就是增加了10×2=20(厘米)，
弹簧长度可能为10+20=30(厘米)。
答：弹簧的长度可能是30厘米。
【知识点】从单式折线统计图获取信息；成正比例的量及其意义；用图像表示变化关系
【解析】【分析】结合统计图上的信息和“挂上500克物品时的弹簧长度比挂上300克物品时的弹簧长度长4厘米”，可以看出挂500克比挂300克多占两格，所以两个格长度表示4厘米，那么一格的长度是2厘米．
（1）这根弹簧原来不挂物品时长度占5个格，所以是2×5=100厘米）；
（2）从图上可以看出400克时占9格，即为；2×9=18（厘米）；
（3）弹簧长度增加6厘米，即为：10+6=16（厘米），此时由图看出：挂上的物品是300克；
（4）增加的长度与重量的关系： 100：2=200：4=300：6=400：8=500：10=50，比值相同，所以弹簧增加的长度与挂上物品的重量成正比；
（5）根据上面的第四问可知：1000÷50=20（厘米），10+20=30（厘米）．
五、考向 5与经济问题结合
15．为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费：第一档是用电量不超过80千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况见折线图，请根据图象回答下列问题：
（1）“基本电价”是　 　元/千瓦时；
（2）若小明家11月份用电量为140千瓦时，则11月份的电费是多少元
（3）若小明家12月份的电费是351元，请算一算这个月他家用电多少千瓦时
【答案】（1）1.2
（2）解：根据题意，可得
第二档电价为：
(201-96)÷(150-80)
=105÷70
=1.5(元/千瓦时)，
96+(140-80)×1.5
=96+60×1.5
=96+90
=186(元)。
答：11月份的电费是186元。
（3）解：根据题意，可得
第三档电价为：
(301-201)÷(200-150)
=100÷50
=2(元/千瓦时)，
第三档用电量为：
(351-201)÷2
=150÷2
=75(千瓦时)，
150+75=225(千瓦时)。
答：12月份小明家用电225千瓦时。
【知识点】用图像表示变化关系；分段计费问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，可得
96÷80=1.2(元/千瓦时)
故答案为：1.2
【分析】（1）观察统计图，可知，80千瓦时对应A点处的96元，用96元除以80，即可求解；
（2）用150千瓦时减去80千瓦时，求出第二档的跨度，这一挡对应的电费为（201-96），用（201-96）除以（150-80），求出第二档的电价，然后再用11月份的电量减去80，求出超过部分的电量，然后再乘以第二档的电价，最后再加上96元，即可求出11月份的电费。
（3）用200千瓦时减去150千瓦时，求出第三档的跨度，这一挡对应的电费为（301-201），用（301-201）除以（200-150），求出第三档的电价，用12月份的电费减去201，求出超过部分电量的电价，然后再除以第三档的电价，即可求出第三档的电量，最后再加上150，即可求出12月份的用电量。
六、考向6 与其他问题结合
16．某仓库调拨一批物资，调进物资共用10小时，调进物资5小时后同时开始调出物资(调进与调出的速度保持不变)，该仓库库存物资m(吨)与时间t(小时)之间的关系如图所示，则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是　 　小时。
【答案】11
【知识点】从单式折线统计图获取信息；从复式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：根据题意，可得
调进的速度为：60÷5=12(吨/时)，
10小时共调进：12×10=120(吨)，
调出的速度为：
(60-20+12×5)÷5
=（60-20+60）÷5
=100÷5
=20(吨/时)，
20÷20=1(小时)，
10+1=11(小时)。
故答案为：11
【分析】 根据题图可知，在 t=5 时仓库有货物60 吨，则调进物资的速度为60-5=12 吨/时；当t=10时库有货物20吨从第5小时到第 10小时货物既调进又调出，则调出速度-调进速度=(60-20)÷(10-5)=8 吨/时，即调出速度为12+8=20 吨/时，剩下的20吨完全调出需要20-20=1小时这批货物从调进到调出一共需要10+1=11 小时。
17．机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时)之间的关系如图所示，根据图回答问题：
（1）机动车行驶　 　小时后加油，中途加油　 　升；
（2）如果加油站距目的地还有230千米，车速为40千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用 请说明理由。
【答案】（1）5；24
（2）答：油箱中的油够用，理由：
由图象可知，5时加油后到11时油量为零，所以最多可以行驶6小时，车速为40千米/时，共行驶6×40=240(千米)，240>230，因此油箱中的油够用。
【知识点】从单式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：（1）根据题意，可得
由图象可知，行驶5小时时，油量由12升变为36升，因此机动车行驶5小时后加油，加了36-12=24(升)。
故答案为：5；24
【分析】（1）直接从关系图中，可知，机动车行驶5小时后加油，中途加油（36-12）升，据此即可求解
（2）从图中可知，5小时到11小时之间，油量开始减少，直至都0，所以最多可以行驶6小时，用6小时乘以车速40，求出6小时内可以行驶的路程，然后再和230进行比较，即可求解。
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