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2025-2026学年高三下学期4月联考数学试卷
一、单选题
1．已知i为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．-2i
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的选法共有（ ）
A．15种 B．18种 C．24种 D．30种
4．已知等差数列的前3项分别为，这3项分别加上后构成等比数列的前3项，则的前5项和为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
5．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
6．已知空间中四个单位向量两两之间夹角都相等，则这个夹角的余弦值为（ ）
A． B． C．0 D．
7．某科技企业采用大模型训练一款智能协作机器人，该机器人完成单次精密装配任务所需时间（单位：秒）与训练迭代次数的关系式为.定义“边际时间缩短量”为，当时，继续训练节省的工时收益将低于算力成本，应停止训练.已知，则达到停止训练条件的迭代次数至少为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
8．已知双曲线的左 右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是定义域为的奇函数，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．为增函数
D．
10．已知椭圆的离心率为，左 右焦点分别为，.抛物线以为焦点，两曲线交于两点（点在第一象限），则（ ）
A．的准线方程为
B．
C．四边形的面积为
D．对任意的，都有
11．已知四棱锥的体积为24，底面是平行四边形，是上靠近点的一个三等分点，经过直线的平面与侧棱分别交于点（均不与重合），设，则下列说法正确的是（ ）
A．当平面时，
B．当时，
C．四面体的体积的最小值为
D．四棱锥的体积的最小值为4
三、填空题
12．函数的图象在点处的切线方程为__________.
13．已知一组样本数据满足，，则这组数据的方差为__________．
14．记的内角的对边分别为，已知，则的最小值为______.
四、解答题
15．已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)设函数，求．
16．如图，在矩形中，为的中点.现将沿折起到的位置，使得.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知椭圆与曲线在第一象限内有两个不同的交点和，且.
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)记为坐标原点，的面积为，求的取值范围.
18．设整数，满足，从集合中随机选取个不同的元素，记这个元素中最大的为，最小的为.
(1)当，时，求；
(2)证明：；
(3)设，用，表示.
19．已知函数，对任意的的图象恒过点.
(1)若的图象在点处的切线互相平行，求.
(2)若有两个极值点，且，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
参考答案
1．B
2．A
3．A
4．B
5．C
6．D
7．B
8．C
9．ABD
10．AC
11．ACD
12．
13．/1.25
14．
15．（1）由已知得，
显然，所以，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即.
（2）由题意知，
所以
．
16．（1）如图，连接.在矩形中，有，所以，
又因为，所以平面，
所以.
由题意知，所以，
则，故.
又因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，
所以.
设平面的法向量为，
则即取，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．（1）直线的斜率.
联立与，化简得，
由，得.
由根与系数的关系得，
由于，所以，
所以，
所以直线的斜率为定值.
（2）
因为，
所以.
由（1）知，则，所以的取值范围为.
18．（1）从集合中随机选取2个不同的元素，有种情况，
分别为，，，，，，
的所有可能取值为，，，
，，，
.
（2）从集合中随机选取个不同的元素，有种方法，
要满足，则需取出元素，其余个元素是从小于的个元素中选出的，
所以，
，
因为，
所以
.
（3）从集合中随机选取个不同的元素，对每一种满足的取法，如取到，，，，，其中，
我们都可以构造另一种取法，取到，，，，，在这种取法中，，
所以.
因为，
所以，
所以
.
19．（1），则对任意的，
所以的图象恒过点和.
求导得，所以，
由题意知，即，
解得.
（2）（i）由（1）知.
由，则.若，则，不成立.
故，分离得，令，则.
因为有两个极值点，所以有两个零点，
即直线与的图象有两个不同的交点.
由，可知在上单调递减，在上单调递增，
作出的大致图象如下：
结合的图象，可知，即的取值范围是.
（ii）记，由（i）可知，，且.
要证明，即证明，
只需证.
构造函数，则.
令，则，所以，即.
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
设方程的两根为，
则由得，
所以.
而是的两个根，
由，数形结合可得，
故原命题得证.

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