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第一章 三角形的证明及其应用 单元测试卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.用如图所标数据判断，下面说法正确的是( ).
A.①是等腰三角形 B.②是等腰三角形
C.①和②均是等腰三角形 D.①和②都不是等腰三角形
2.(2025·河南中考)如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为( ).
A. 100° B. 110°
C. 120° D. 130°
3.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于 60°，即三个内角都大于60°，则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( ).
A.反证法 B.比较法
C.综合法 D.分析法
4.(2025·广元中考)如图,在正八边形ABCDEFGH 中,对角线 HB,AC 交于点K,则∠AKH=( ).
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 45°
5.(2025·连云港中考)如图,在△ABC中,BC=7,AB 的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC 于点F,G,则△AEG 的周长为( ).
A. 5 B. 6 C. 7 D.8
6.已知等腰三角形的一个外角的度数为150°，则其底角的度数为( ).
A. 30° B. 75°
C. 30°或 75° D.无法确定
7.(2025·陕西西安长安区月考)如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形的个数为( ).
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
8.(2025·陕西榆林期末)如图,△ABC 的两个外角的平分线BP,AP 相交于点P,过点 P 作PD∥BC,分别交AC,AB 于点D,E.下列四个结论:①△EBP 是等腰三角形;②AE=EB;③DE=CD-BE;④点P在∠ACB 的平分线上.其中正确的结论有( ).
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E,则DE 的长为( ).
A. B. C. D.
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A>∠B,CD 是斜边上的高,CE 是△ABC 的角平分线,FG是边AB 的垂直平分线,FG 分别交边BC,AB 于点F,G.若∠DCE=∠B,则 等于( ).
A. B. C. D. 2
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.命题“如果 那么a=b”的逆命题是 命题(填“真”或“假”).定理“等角对等边”的逆定理是 .
12.(2025·河南开封尉氏期末)如图,∠A=80°,O 是AB,AC 垂直平分线的交点,则∠BOC 的度数是 °.
13. (2025·资阳中考)如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B,点 E 在线段AB上,CE∥DA.若使△BCE 成为等边三角形,可增加的一个条件是 .
14.(2024·内江中考)如图,在△ABC 中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB 的度数为 .
15.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB 于点E,BF⊥AC 于点F,DE=2.5cm ,则 BF= cm.
16.淇淇用正方形、正五边形和正六边形纸片组成如图所示的图形(正五边形和正六边形有1个顶点重合，正方形的两个顶点分别在正五边形和正六边形的边上)，若 则 的度数为 .
17.(2025·福建厦门集美区期中)如图，等腰三角形ABC 的底边BC长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC,AB 于点E,F,若D 为边BC的中点,M 为线段EF 上一动点,则 周长的最小值为 .
18.(2025·湖南中考)已知a,b,c 是 的三条边长，记 其中k为整数.
(1)若三角形为等边三角形，则
(2)下列结论正确的是 .(写出所有正确的结论)
①若k=2,t=1,则 为直角三角形；
②若 则5③若 a,b,c为三个连续整数，且a三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)如图是A，B，C三个便民超市和小亮家(点D)的平面图，已知A，B，C三点在同一条东西方向的路段上，D在A 的北偏东 方向上，在 C的北偏西 方向上，且点 B 到A，D两点的距离相等，试求出从小亮家(点 D)观测超市 B，C两处的视角的度数.
20.(6分)(2025·河北中考)如图,四边形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点E, 点F 在 ED 上,
(1)求证:
(2)若BE=FE,求证：
21.(8分)(2024·杭州模拟)如图,在六边形ABCDEF 中, 的平分线与 的平分线交于点P，
(1)求六边形 ABCDEF 的内角和;
(2)求 的度数.
22.(8分)(2025·湖北宜昌月考)如图，每个小正方形的边长都为1， 的顶点均在格点上.
(1)求三角形的周长；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)求AB 边上的高h。
23.(8分)在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=16.
(1)若 的腰不变，将底变为12，甲同学说，这两个等腰三角形面积相等；乙同学说，腰不变，底变化，这两个三角形面积必不相等，请对甲、乙两种说法做出判断，并说明理由；
(2)已知 底边上的高增加x，腰长增加(x-2)时，底却保持不变，请确定x的值.
24.(8 分)如图,BD 是 的角平分线， 垂足分别为E，F.
(1)∠EDB 与 相等吗 请说明理由.
(2)若 的面积为70，AB=16,DE=5,求 BC 的长.
25.(10分)(2025·河南周口项城期末)(1)如图(1),AD平分 当 时，根据角平分线的性质，我们可知 DB 与DC 之间的数量关系为 ；
(2)如图(2),AD平分 当 时，试说明 DB 与DC 之间的数量关系；
(3)如图(3),AD 平分 若 求 的度数.
26.(12分)阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
(1)“多边形内角和为 2020°”，为什么不可能
(2)明明求的是几边形的内角和
(3)错当成内角的那个外角为多少度
1. B 2. C 3. A
4. D [解析]因为八边形ABCDEFGH 为正八边形,所以∠HAB=∠ABC
=(8-2)×180°÷8
=6×180°÷8
=135°,
所以∠BAC=∠BCA =∠ABH =∠AHB =(180°-135°)÷2=22.5°,
∠AKH=∠BAC+∠ABH=22.5°+22.5°=45°.
故选 D.
5. C [解析]∵AB 的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC 的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,
∴EA=EB,GA=GC,∴△AEG 的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=7.故选 C.
6. C [解析]由题意可知等腰三角形的一个内角为180°-150°=30°.
∵30°<90°,∴该内角可能是等腰三角形的底角或顶角,当该内角为等腰三角形的顶角时，底角为 30°)=75°,∴该等腰三角形底角的度数为 30°或 75°.故选C.
7. D [解析]∵∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,
∴△ABC 和△ADE 是等腰三角形.
∵∠B=36°,∠ADE=72°,∴∠BAD=36°,∴AD=BD,
∴△ABD 是等腰三角形，同理可得△AEC 是等腰三角形.
∵∠ADE=∠AED=72°,∴∠DAE=36°,
∴∠CAD=36°+36°=72°,∴∠CAD=∠CDA=72°,
∴CA=CD,∴△ADC 是等腰三角形,同理可得△ABE 是等腰三角形.
综上所述，图中的等腰三角形有6个.故选 D.
8. B [解析]连接CP,如图所示.
∵PD∥BC,∴∠DPB=∠PBN.
∵∠ABP=∠PBN,∴∠DPB=∠ABP,∴EP=EB,
∴△EBP 是等腰三角形，∴结论①正确；
∵根据已知条件无法得到AE=EB，∴结论②不一定正确；
∵△ABC 的两个外角的平分线相交于点P，∴点 P 到边AM,AB,BN的距离相等,即点 P 到∠ACB 两边的距离相等,∴点 P 在∠ACB 的平分线上,∴结论④正确;
∵CP 是∠ACB 的平分线,∴∠ACP=∠PCN.
∵PD∥BC,∴∠DPC=∠PCN,
∴∠ACP=∠DPC,∴CD=DP.
∵EP=EB,∴CD=DE+BE,即DE=CD-BE,∴结论
③正确.综上所述，正确的结论有①③④，共3个，故选 B.
9. B [解析]如图,连接AE,设CE=x.
∵DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴AE=BE=BC+CE=3+x,
在 Rt△ACE 中,
即 解得
在 Rt△ABC 中,
在 Rt△BDE 中,
故选 B.
10. C [解析]如图,连接AF.
∵∠ACB=90°,CD 是斜边上的高,∴∠CAB+∠B=90°,∠CAD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B.
∵∠DCE=∠B,∴∠ACD=∠DCE=∠B.
∵CE 是△ABC 的角平分线,
∴∠ACE=45°,即2∠B=45°.
∵FG 是边AB 的垂直平分线，
∴FA=FB,∴∠FAB=∠B,
∴∠CFA=∠FAB+∠B=2∠B=45°,
∴△CAF 为等腰直角三角形，，
即 故选 C.
11.真“等边对等角”[解析]“如果 那么a=b”的逆命题是“如果a=b，那么 是真命题；定理“等角对等边”的逆定理是“等边对等角”.
12.160 [解析]连接QA,如图所示,
∵∠BAC=80°,∴∠ABC+∠ACB=100°.
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB,OA=OC,
∴∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC,
∴∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=80°,
13.∠BCE=∠B(答案不唯一) [解析]要使△BCE 成为等边三角形，可增加的一个条件是∠BCE=∠B(答案不唯一).理由如下:∵CE∥DA,∴∠A=∠BEC.
∵∠A=∠B,∴∠B=∠BEC.
∵∠BCE=∠B,∴∠B=∠BCE=∠BEC,
∴△BCE 为等边三角形.
14.100°[解析]∵AC=AE,BC=BD,
∴设∠AEC=∠ACE=x°,∠BDC=∠BCD=y°,
∴∠A=180°-2x°,∠B=180°-2y°.
∴∠ACB+2∠DCE=180°.
∵∠DCE=40°,∴∠ACB=100°.
15.5 [解析]在 Rt△ADB 与 Rt△ADC中,{AB=AC,,∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL),
16.22°[解析]如图,
∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠DAB=∠CBA=90°.
∵∠1+∠2=110°,∠DAB+∠1+∠CBA+∠2=290°,
∵正五边形的每个内角的度数 正六边形的每个内角的度数是120°，
17.10 [解析]如图,连接AD,AM。
∵△ABC是等腰三角形，D 是BC边的中点，
∵EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴AM=CM,∴CM+MD=AM+MD≥AD,
∴AD 的长为CM+MD 的最小值,
∴△CDM 周长的最小值=AD+CD=8+2=10.
18.(1)2 (2)①② [解析](1)由题意可知 1=2.
(2)①当k=2,t=1时,
即
∴△ABC 为直角三角形，故①正确，符合题意；
②当 时，
(Ⅰ)当a≥b时, 解得2(Ⅱ)当a综上所述,2当b=2时,
当b=6时,
∴5③当k=1时,
又a+b>c,∴c不妨设a=n,则b=n+1,c=n+2(n为正整数),
解得1∴n可取2,3,4,5,6,7,
∴符合题意的a，b，c的取值一共有 6种，则满足条件的△ABC 的个数为6，故③错误，不符合题意.
19.如图,由题意可知∠MAC=∠ECA=90°,∠MAD=50°,∠ECD=20°,AB=BD,
∴∠DAC=40°,∠DCB=70°,∴∠ADB=∠DAC=40°,
∴∠DBC=∠ADB+∠DAC=80°,在△DBC中,∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°,
∴∠BDC=180°-70°-80°=30°.
20.(1)∵∠BAF=∠EAD,
∴∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF,∴∠BAC=∠FAD.在△ABC和△AFD中
∴△ABC≌△AFD(ASA).
(2)由(1),得△ABC≌△AFD,∴AB=AF.
∵BE=FE,∴AC⊥BF,即AC⊥BD.
21.(1)六边形ABCDEF 的内角和=(6-2)×180°=720°.
(2)∵∠P =60°,∴∠PCD+∠PDC=180°-∠P=180°-60°=120°.
∵CP 平分∠BCD, DP 平分 ∠EDC,∴∠BCD +∠EDC=2∠PCD+2∠PDC=2×120°=240°.
∵∠A+∠B+∠E+∠F+∠BCD+∠EDC=720°,
∴∠A+∠B+∠E+∠F=720°-∠BCD-∠EDC=720°-240°=480°.
22.(1)由题意,得
∴AB=5,AC= ,BC= =2 ,∴三角形的周长=
(2)△ABC 是直角三角形.理由如下:
是直角三角形.
(3)由(2)知△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴△ABC 的面积
∴AB·h=AC·BC,∴5h= ×2解得h=2.故AB边上的高h为2.
23.(1)甲的说法对，乙的说法不对.理由如下：如图(1),过点A 作AD⊥BC 于点D.
∵AB=AC=10,BC=16,∴BD=CD=8,
如图(2),过点 A'作A'D'⊥B'C'于点D',
∵A'B'=A'C'=10,B'C'=12,
故甲的说法对，乙的说法不对.
(2)依题意,得解得x=9.
24.(1)∠EDB 与∠FDB 相等.理由如下:
∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠BED=∠BFD=90°.
∵BD 是△ABC 的角平分线,∴∠EBD=∠FBD.
在△BDE 和△BDF 中,
∴△DBE≌△DBF(AAS),∴∠EDB=∠FDB.
(2)∵BD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
而S△BCD = BC·DF,∴BC=12.
25.(1)DB=DC [解析]如题图(1),∵∠B+∠C=180°,∠B=90°,∴∠C=90°,∴DB⊥AB,DC⊥AC.
∵AD 平分∠BAC,∴DB=DC.
(2)过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC 的延长线于点F,如图(1).∵AD 平分∠BAC,∴DE=DF.
∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠DCF=180°,∴∠B=∠DCF.
在△BDE 和△CDF 中, ∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DB=DC.
(3)过点 D 作DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 交AC 的延长线于点 F,如图(2).∵AD平分∠BAC,∴DE=DF.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴∠DCF=∠B=70°,
∴∠ACD=180°-∠DCF=180°-70°=110°.
26.(1)设当多边形的边数为n时，其内角和为 2 020°，根据题意，得180°×(n-2)=2 020°,解得
∵n 为正整数， 不符合题意，
∴多边形的内角和不可能为 2 020°.
(2)设应加的内角度数为x，错加的外角度数为y，根据题意,得(n-2)×180°=2020°-y+x.
∵0°∴-180°∴2 020°-180°<180°×(n-2)<2 020°+180°,解得
又n为正整数,∴n=13或n=14.
故明明求的是十三边形或十四边形的内角和.
(3)分两种情况：
①当边数为13时,其内角和为(13-2)×180°=1 980°,∴y-x=2 020°-1 980°=40°.
解方程组 得
②当边数为14时,其内角和为(14-2)×180°=2 160°,∴y-x=2 020°-2 160°=-140°,
解方程组 得
综上所述，错当成内角的那个外角为110°或20°.

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