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第一章 三角形的证明及其应用 提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·山西临汾侯马五中月考)石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景.它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC 的度数为( ).
A. 100° B. 110° C. 120° D. 135°
2.如图，AE与BF 交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是( ).
A. AE,BF 是△ABC 的角平分线 B. CG 也是△ABC 的一条角平分线
C. AO=BO=CO D.点O到△ABC 三边的距离相等
3.(2025·江苏宿迁宿城区期中)如图，以Rt△ABC 的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S ,S ,若斜边 AB 的长为10,则 的值为( ).
A. 8 B. 32 C. 64 D. 100
4.(2025·凉山州中考)已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引( )条对角线.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.(2025·河南实验中学期末)若在△ABC 中,∠B=2∠C,则称△ABC 为“可爱三角形”，称∠A 为“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，这个三角形的“可爱角”应该是( ).
A. 45°或 36° B. 72°或 36°
C. 45°或 72° D. 36°,45°或 72°
6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=12,AC=13,分别以三边为直径画半圆,则两个月牙形图案的面积之和(阴影部分的面积)是( ).
A. 30 B. 30π C. 60 D. 60π
7.如图,在等腰三角形ABC 中,BD 为 ∠ABC 的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD 等于( ).
A. B.
C. a-b D. b-a
8.如图,△ABC是等边三角形,AD 是BC边上的高,E 是边AC的中点,P 是AD上的一个动点,当PC+PE 最小时,∠CPE 的度数是( ).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
9.如图,已知∠MON=30°,点A ,A ,A ,…在射线ON上,点B ,B ,B ,…在射线OM 上,△A B A ,△A B A ,△A B A ,…均为等边三角形,若则△A B A 的边长为( ).
A. 16 B. 64 C. 128 D. 256
10.(2025·山东东营利津期末)如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形;②F为DE的中点;③△ADE 的周长等于AB+AC;④BF=CF.其中正确的有( ).
A. ①③ B. ①②③
C. ①② D. ①④
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫作“准等边三角形”.判断：顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”.(填“是”或“不是”)
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=110°,若沿图中虚线剪去∠D,则∠1+∠2= °.
13.(2025·南充中考)如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC 的长为半径画弧;再以点C为圆心，OC 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点D，连接并延长CD 交射线OA于点E.设OC=1,则OE 的长是 .
14.(2025·长春中考)图(1)是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图(2)是其表面展开图，则∠α为 度.
15.(2025·广西中考)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=则AD= .
16.(2025·陕西宝鸡陈仓区期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将∠B 沿CD 折叠,点 B 正好落在边AC上的点E 处,若∠B=65°,则∠ADE 的度数是 .
17.(2025·河南平顶山宝丰期中)在平面直角坐标系中，已知A(-5，0)，点 P 在第三象限，△AOP 是以OA 为腰的等腰三角形，且面积为10，则满足条件的点 P 的坐标为 .
18.如图,在△ABC中,∠BAC=70°,延长BC至点D,使CD=CA,连接AD,过点C作AD 的垂线,交∠ABC 的平分线于点 E,则∠CDE 的度数为 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)已知n边形的内角和
(1)甲同学认为θ能取800°，而乙同学认为θ能取720°.甲、乙两人的说法对吗 若对，求出边数n；若不对，请说明理由.
(2)若n边形变为(n+x)边形，发现内角和增加了 试利用方程确定x的值.
20.(6分)(2025·重庆巫山期末)2025年5月1日，重庆市区五一劳动节无人机灯光秀精彩呈现，吸引了近万名市民共同前往感受重庆山城的美好图景.如图，朝天门码头上有A，B两个观景地，相距250米，在公路北面不远处的C地呈现灯光秀表演，已知C与A 的距离为150米，与B的距离为200米，在灯光秀表演过程中，为了安全起见，表演点C 周围半径130米范围内不得进入.
(1)灯光秀表演点 C 距离公路的垂直距离为多少米
(2)灯光秀表演过程中，按照安全要求，A，B之间的公路是否需要暂时封锁 若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长.
21.(8分)(2025·甘肃酒泉玉门期末)如图,在 中,点D,E 分别在边BC,AB上, CE,连接DE.
(1)求证:
(2)若AC=BC,BE=CE,求 的度数.
22.(8分)如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路(点M，N表示大学，AO，BO表示公路).现计划修建一座物资仓库P，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.你能确定仓库 P 应该建在什么位置吗 在所给的图形中画出你的设计方案.(不写作法，但必须保留作图痕迹)
23.(8分)如图，在 中，AD平分 E 是BC上一点, 交AB于点F，交CA 的延长线于点 P， 交AD 的延长线于点 H.
(1)求证: 是等腰三角形.
(2)猜想AB 与PC 的大小有什么关系 证明你的猜想.
24.(8分)(2025·河北保定安国期末)如图(1), 垂足分别为A,B,AC=7cm.点 P 在线段AB 上以3cm/s的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 从点B 出发在射线BD 上运动，它们运动的时间为t(s)(当点 P 运动结束时，点Q 运动随之结束).
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t=1时， 与 是否全等 此时线段PC 和线段PQ 有怎样的位置关系 请分别说明理由.
(2)如图(2),若 改为 点Q 的运动速度为xcm/s,其他条件不变，当 与 全等时，求出相应的x与t的值.
25.(10分)探究与发现：如图(1)，在 中， 点D 在底边BC上,AE=AD,连接DE.
(1)当 时，求 的度数；
(2)当点 D 在BC(点B,C 除外)上运动时,试猜想并探究 与 的数量关系；
(3)若 试就图(2)探究 与 的数量关系.
26.(12分)(2025·四川成都成华区期末)如图， 与 为等腰三角形， AB=AC,AE=AD, D 为线段BC上一个动点，AB与DE 相交于点G.
(1)如图(1),求证:BA 平分
(2)如图(2),作 交 ED 延长线于点F，求证：DF=EG;
(3)如图(3),若 且 求 的面积.
1. C
2. C [解析]A.由尺规作图的痕迹可知AE,BF 是△ABC的角平分线，所以选项 A正确；
B.根据三角形三条角平分线交于一点，且点O在CG上，可得CG 也是△ABC的一条角平分线，所以选项B正确；
C.三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项C不正确；
D.根据角平分线的点到角两边的距离相等，可得点 O到△ABC三边的距离相等，所以选项D正确.故选 C.
3. D [解析]∵以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为 S ,S ,
的值为. 故选 D.
4. B[解析]设这个多边形的边数为n，
180°·(n-2)=360°×4,
180°n-360°=360°× 4,解得n=10,
∴这个多边形是十边形，
∴从这个多边形一个顶点可以引7条对角线.故选 B.
5. C [解析]设三角形的底角为α,顶角为2α,则α+α+2α=180°,解得α=45°,此时可爱角是45°;
设三角形的顶角为α，底角为2α，则2α+2α+α=180°,解得α=36°,此时可爱角是72°.
故三角形的“可爱角”是45°或 72°.故选 C.
6. A [解析]∵∠ABC=90°,AB=12,AC=13,
∴两个月牙形图案的面积之和为 故选 A.
7. C [解析]∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD= ∠ABC=36°,∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠A+∠ABD =72°,∴BD =AD,∠BDC=∠C,∴AD=BD=BC=b.
∴CD=AC-AD=a-b.故选 C.
8. C [解析]如图,连接 BE,与 AD 交于点 P,此时 PE+PC 最小.
∵△ABC 是等边三角形,AD⊥BC,
∴BD=CD,∴PC=PB,
∴PE+PC=PE+PB=BE,即 BE 就是 PE+PC 的最小值.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=60°.
∵BA=BC,E 是边AC 的中点,∴BE⊥AC,∠EBC=
∵PB=PC,∴∠PCB=∠PBC=30°,
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°.故选 C.
9. C [解析]如图,∵△A B A 是等边三角形,
∴∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°.
∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,
又∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°.
∵△A B A ,△A B A 均为等边三角形,
∴∠4=∠10=∠11,∠12=∠13,
∴A B ∥A B ∥A B ,B A ∥B A ,
∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,
以此类推， 故选C.
10. A [解析]∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F,
∴∠ABF=∠FBC,∠ACF=∠FCB.
∵DE∥BC,∴∠BFD=∠FBC,∠CFE=∠BCF,
∴∠ABF=∠BFD,∠ACF=∠CFE,
∴BD=DF,CE=EF,即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形，故①正确，
根据已知条件无法得到 DF=EF，则不能确定 F 为DE的中点，故②错误；
BD=DF,CE=EF,
∴DE=DF+EF=BD+CE,
∴△ADE 的周长为AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC,故③正确;
∵无法判断∠FBC,∠FCB 的大小关系,
∴BP，CF 的大小也无法判断，故④错误.
综上所述，①③正确，故选 A.
11.不是[解析]∵等腰三角形的顶角为120°，
∴等腰三角形的底角是 30°.
∵120°-30°=90°,30°-30°=0°,
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”.
12.250 13.
14.36 [解析]∵正五边形每个外角为 ∴正五边形每个内角为
15. -1 [解析]延长AD 交BC 于点E,如图所示.
∵AB=CA,BD=CD,
∴A,D,E均在BC 的垂直平分线上,
∴AE⊥BC,BE=CE.
∵AB=BC=CA=2,
∴BE=CE=1,
16.40°[解析]由折叠,可得 45°,∠BDC=∠EDC.
∵∠B=65°,
∴∠EDC=∠BDC=180°-∠B-∠BCD=70°,
∴∠ADE=180°-∠BDC-∠EDC=180°-70°-70°=40°,即∠ADE 的度数为40°.
17.(-3,-4)或(-2,-4)或(-8,-4) [解析]∵A(-5,0),∴OA=5.
∵点 P 在第三象限，△AOP 是以OA 为腰的等腰三角形，且面积为10，∴有以下两种情况：
①当O 为等腰三角形的顶点时，过点 P 作 PB⊥OA 于点B,如图(1)所示,则OP=OA=5,
∴PB=4.
在 Rt△OPB 中,由勾股定理,得 点 P 的坐标为(-3,-4);
②当点 A 为等腰三角形的顶点且△OAP 为锐角三角形时,过点 P 作 PC⊥OA 于点C,如图(2)所示,则 PA=OA=5,
∴PC=4,
在 Rt△ACP 中,由勾股定理,得
∴点 P 的坐标为(-2,-4);
当点 A 为等腰三角形的顶点且△OAP 为钝角三角形时，过点 P 作 PD⊥OA 于点 D,如图(3)所示,则 PA=OA=5,
同理可得PD=4,
∴OD=OA+AD=8,
∴点 P 的坐标为(-8,-4).
综上所述,满足条件的点 P 坐标为(-3,-4)或(-2,-4)或(-8,-4).
18.55°[解析]如图,过点 E 作EH⊥BD 于点 H,作 EG⊥AC 于点G,EM⊥BA 交BA 的延长线于点M,连接AE.
∵BE平分∠ABC,∴EM=EH.
∵AC=DC,CE⊥AD,∴CE平分∠ACD,CE平分AD,
∴EG=EH,CE是AD 的垂直平分线,
∴EM=EG,AE=DE.
又EG⊥AC,EM⊥BA,
∴AE平分∠CAM,∴∠CAE= ∠CAM.
∵∠BAC=70°,
∵AC=DC,AE=DE,
∴∠CAD=∠CDA,∠EAD=∠EDA,
∴∠CAD+∠EAD=∠CDA+∠EDA,即∠EAC=∠CDE,∴∠CDE=55°.
19.(1)甲不对,乙对.理由如下:
∵当θ取800°时,得 解得 又多边形的边数为正整数，
不符合题意，即θ不能取800°.
当θ取720°时,得 解得n=6.
故甲不对，乙对，且边数n为6.
(2)根据题意,得(n-2)×180°+540°=(n+x-2)×180°,解得x=3.
故x的值为3.
20.(1)由题意,得AB=250米,AC=150米,BC=200米,如图,过C作CD⊥AB.
∴△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°,
米.
故灯光秀表演点 C 距离公路的垂直距离为120米.
(2)按照安全要求，A，B之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图,由(1)可知,CD=120米<130米,
∴公路上存在两点 E，F到C的距离为130米，公路上E，F 之间到灯光秀表演点C 的距离均小于130米，
∴按照安全要求，A，B之间的公路EF 段需要暂时封锁，以点C为圆心，130米为半径画弧，交AB 于点E，F，连接CE,CF.
∵CE=CF=130米,CD⊥AB,∴DE=DF,
在 Rt△CDE 中, 50(米),∴EF=2DE=100米,
即需要封锁的公路长为100米.
21.(1)∵AE=AC,AD⊥CE,
∴AD是CE的垂直平分线：
∴DE=CD,∴∠DEC=∠DCE.
(2)∵AC=BC,BE=CE,AE=AC,
∴∠B=∠BCE,∠B=∠BAC,∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC=∠B+∠BCE,∴∠ACE=∠AEC=2∠B.
∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°,
∴∠B+∠B+∠B+2∠B=180°,∴∠B=36°.
22.如图所示，点 P 即为所求的仓库的位置.
23.(1)如图,∵EF∥AD,∴∠1=∠4,∠2=∠P.
∵AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2,
∴∠4=∠P,∴AF=AP,
∴△APF 是等腰三角形.
(2)AB=PC.证明如下:
∵CH∥AB,
∴∠5=∠B,∠H=∠1.
∵EF∥AD,∴∠1=∠3,
在△BEF 和△CDH 中,
∴△BEF≌△CDH(AAS),∴BF=CH.
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠H,
∴AC=CH,∴AC=BF.
∵AB=AF+BF,PC=AP+AC,∴AB=PC.
24.(1)当t=1时,△ACP 与△BPQ 全等,线段 PC 和线段PQ 的位置关系是 PC⊥PQ.理由如下:
∵点 P,Q 的运动的速度都是3cm/s,
∴当运动的时间t=1时,AP=BQ=3cm.
∵AB=10cm,∴BP=AB-AP=7cm.
∵AC=7cm,∴AC=BP=7cm.
∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴∠A=∠B=90°.
在△ACP 与△BPQ 中,
∴△ACP≌△BPQ(SAS),∴∠C=∠BPQ,在 Rt△ACP 中,∠C+∠APC=90°,
∴∠BPQ+∠APC=90°,
∴∠CPQ=180°-(∠BPQ+∠APC)=90°,
∴PC⊥PQ.
(2)∵点 P 运动的速度是 3cm/s,点 Q 的运动速度为x cm/s,运动的时间为 ts,
∴AP=3t cm,BQ= xt cm.
∵AC=7cm,AB=10cm,
∴BP=AB-AP=(10-3t) cm.
∵∠CAB=∠DBA,
∴当△ACP 与△BPQ 全等时,有以下两种情况:
①当AP=BQ,AC=BP 时,△ACP≌△BPQ,
由AC=BP,得7=10-3t,解得t=1,
由AP=BQ,得3t= xt,解得x=3;
②当AP=BP,AC=BQ时,△ACP≌△BQP,
由AP=BP,得3t=10-3t,解得
由AC=BQ,得 解得
综上所述，当x=3时，t=1或当 时
25.(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.
∵∠BAD=60°,∴∠DAE=30°.
∵AD=AE,∴∠AED=75°,
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°.
理由如下：
设∠BAD=x,则∠CAD=90°-x.
∵AE=AD,∴∠AED=45°+ x,
即
(3)∠BAD=2∠CDE.理由如下:设∠CDE=x,∠C=y,
∵AB=AC,∴∠B=∠C=y.
∵∠CDE=x,∴∠AED=y+x.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=y+x,
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,
∴y+∠BAD=y+x+x,∴∠BAD=2x,
∴∠BAD=2∠CDE.
26.(1)∵∠EAD=∠BAC,∴∠EAB=∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD=∠DAC.
在△EAB 和△DAC 中,
∴△EAB≌△DAC(SAS),∴∠ABE=∠ACD,EB=DC.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABE=∠ABC,∴BA 平分∠CBE.
(2)如图(1),作 EK∥BC,交 AB 于点 K,则∠EKB=∠ABC,∠KEG=∠BDE=∠CDF,
由(1)可知∠ABE=∠ABC,∴∠EKB=∠ABE,
∴EK=EB=DC.
∵CF∥AB,∴∠DCF=∠ABC=∠EKG.
在△EKG 和△DCF 中,
∴△EKG≌△DCF(ASA),∴DF=EG.
(3)由 AB = AC,AE = AD,可知∠ABC =∠ACB,∠AED=∠ADE,
∴2∠C+∠BAC=180°,2∠ADE+∠DAE=180°.
∵∠EAD=∠BAC,∴∠C=∠ADE.
∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=∠CAD+∠C,
∴∠BDE=∠CAD.
设∠BDE=α,则∠EAB=∠CAD=α.
∵∠BAD=2∠BDE,∴∠BAD=2α.
∵AE⊥AC,∴∠EAC=90°,
∴α+2α+α=90°,∴α=22.5°.
∵∠ABE=∠ACD=∠ADE,∠EGB=∠AGD,
∴∠BED=180°-∠EBG-∠BGE=180°-∠ADG-∠AGD=∠DAG=2α,∴∠DEB=22.5°×2=45°.
如图(2),延长 DB,作 EP⊥DB 交 DB 的延长线于点 P,在 EP 的延长线上截取PS=PE,连接DS,交 EB 的延长线于点 H,则∠DPE=∠DPS=90°.
在△DPE 和△DPS 中,
∴△DPE≌△DPS(SAS),∴∠PDS=∠PDE,
∴∠EDS=2∠PDE=45°,
∴∠EDH=∠DEH,∠EHD=90°,
∴EH=DH,∠SEH=90°-∠EBP=90°-∠DBH=∠BDH,∠EHS=90°.
在△EHS 和△DHB 中,
∴△EHS≌△DHB,∴ES=DB.
∵PS=PE,BD=3,∴2EP=3,∴EP=

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