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2025-2026 学年第二学期九年级一模数学试卷
一、选择题（共 30 分，每小题 3 分）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”， 的相反数为（ ）
A．-2026 B．2026 C． D．
2．若 是关于 的一元二次方程 的一个解，则 的值为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．如图，在 中， ， ， ，平面上有一点 ， ，连接 ，
，取 的中点 ．连接 ，在 绕点 的旋转过程中，则 的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C． D．14
4．如图，点 A、B、C在 上，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信
模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙
两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点 ， 均在反比例函数 （ 为常数）的图象上，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．D．E分别是 的边 、 上的点， ，如果 ， ，那么 的长是（ ）
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A．12 B．22.5 C．25 D．6
8．在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，在 轴上找点 ，使得 的值最小，则此时的点
的坐标及 的最小值分别为（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ；
9．下面立体图形的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线 ，顶点坐标为 ，与 轴的一个交点在 0和 之间．下列结论：①
；②若 ， 两点都在函数图象上，则 ；③ ；④关于 的方程
没有实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共 24 分，每小题 3 分）
11．因式分解： ________．
12．式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
13．一元二次方程 的两根分别为 ，则 _____
14．如图，将 绕点 A逆时针旋转得到 ，点 C的对应点 D恰好落在 延长线上，已知
， ， ，则 的长为________．
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15．如图，已知 A，B，D三点在 上， ，则 _______°．
16．如图， 的直角顶点 在 轴上，反比例函数 的图象经过 的中点 ，且与
边 相交于点 ．若点 的坐标为 ，则点 的坐标是________．
17．如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 O，点 E为 上一点， ，连接并延长
交 于点 F，连接 ， ，且 ， 交于点 H，若 ， ，则 的长为________．
18．如图， 是 的外接圆， 是 的直径，过点 的切线交 的延长线于点 ，连接 并
延长，交 于点 ，连接 ， ．若 ， ，则 ________．
三、解答题（共 66 分）
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ，
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， ，请按下列要求画图：
(1)将 先向右平移 4个单位长度、再向下平移 1个单位长度，得到 ，画出 ；
(2)画出与 关于原点 O成中心对称的 ，并直接写出点 的坐标．
20．（6分）计算与化简求值：
(1) ；
(2) ，其中 ．
21．（6分）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某
市机器人产业 2023年总产值约为 256亿元，2025年总产值约为 400亿元．
(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；
(2)该市 2026年机器人产业总产值的目标是 600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？
22．（8分）如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到 的位置，使得
，连接 与 交于点 ，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
23．（8分）在 中，已知 为直径，点 E是弧 上一点，弦 ，且 ．连 交 于
点 N，点 P在 的延长线上， ．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
24．（8分）如图，直线 与反比例函数交于点 ，与坐标轴分别交于点 和 ．过
点 作 轴的垂线交反比例函数于点 ，连接 并延长交 轴于点
(1)求反比例函数的解析式及点 的坐标；
(2)求 的面积．
25．（6分）已知： 中， 是 边上的中线，过 作一直线交 于 ，交 于 ．求证：
．
26．（8分）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物 的高度．如图，在建筑
物 旁有一小山坡 ，测得山坡 的坡度 i（即 ）为 ， ，在 D处测得 A处的仰
角为 ，在 C处测得 A处的仰角为 ．
(1)求 的度数；
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(2)求建筑物 的高度．
27．（10分）如图，抛物线 经过 三点，交 轴于点 ．
(1)（3分）求 a，b的值；
(2)（3分）在抛物线对称轴上找一点 ，使 的值最小时，求 的面积；
(3)（4分）点 为 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 ，使以 A，C，M，N四点构成的四边形为平行
四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案
1-5 CAAAB 6-10 AABCD
11． 12． 13．2 14．
15．100 16． 17． 18．
19．（1） 即为所求，如下图所示；（2） 即为所求，且
20．(1) ； (2) ，
21．（1）设年平均增长率为 x，根据题意得， ，
解得 或 （舍去），
答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为 ；
（2）按照这个年平均增长率增长，该市 2026年机器人产业总产值为 （亿元）
亿元，
答：不能实现目标．
22．（1）证明如下：
∵边 绕点 旋转到 的位置，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
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∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
23．（1）连接 ，如图 1所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ，如图 2所示：
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∵ ，
∴ ，
∴ 为 的直径．
∵ ，
∴ ，
设 的半径为 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
∴ ．
24．（1）∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
设反比例函数解析式为 ，
∵点 在反比例函数图象上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
对于直线 ，当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∵过点 作 轴的垂线交反比例函数于点 ，
∴点 的横坐标为 ，
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∴ ，
∴点 的坐标为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，
把 、 代入 得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
25．如图，过点 作 ，交 于点 ．
是 边上的中线，
，
，
，
．
，
，即 ，
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．
26．（1）过点 作 于点 ，如图，
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴
∴ ；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图，
∵ ，
∴
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ；
又 ，
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∴ ，
∵ ，即 ，且 ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
27．（1）将 代入 ，
得到 ，
解得 ，
故抛物线解析式为 ，
将 代入解析式，得 ，
解得 ；
；
（2） 抛物线解析式为 ，
，
对称轴为直线 ，
连接 ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
使 的值最小，即点 为直线 与对称轴的交点，
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当 时， ，
，
；
（3）①当点 在 轴下方时，如图，
∴
抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴ 点纵坐标为 ，
将 代入 ，
解得 或 （舍去），
;
②当点 在 轴上方时，
过点 作 轴于点 ，
在 和 中，
，
，即 点的纵坐标为 ，
，
解得 或
或 ，
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综上所述，符合条件的坐标为 或 或 ．
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