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第二章 不等式与不等式组 提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·甘肃白银期末)如图，数轴上的点 A 与点B 所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是( ).
A. a-2>b-2 B. 3a>3b C. - 2a>-2b D. 5a+2>5b+2
2.(2024·长春中考)不等关系在生活中广泛存在.如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.则图中两人的对话体现的数学原理是( ).
A. 若a>b,则a+c>b+c B. 若a>b,b>c,则a>c
C. 若a>b,c>0,则 ac> bc D. 若a>b,c>0,则
3.(2025·宜宾中考)某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是( ).
A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. 11道
4.(2025·长春中考)下列不等式组无解的是( ).
A. B. C. D.
5.某数学兴趣小组对关于x 的不等式组 讨论得到以下结论：甲：若m=5，则不等式组的解集为33.下面判断正确的是( ).
A.甲错，乙对 B.甲对，乙对 C.甲对，丙对 D.乙对，丙错
6.某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件.为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价( ).
A. 120元 B. 132.5元 C. 140元 D. 142.5元
7. 已知x满足5x+10≥3x-2,整式m=3(4x+5),则下列说法正确的是( ).
A. m 的最小值是25 B. m 的最小值是57
C. m 的最小值是—57 D. m的最小值无法确定
8.(2025·徐州中考)如图为一次函数y= kx+b的图象,关于x 的不等式k(x-3)+b<0的解集为( ).
A. x<-4 B. x>-4 C. x<2 D. x>2
9.若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组 的解满足x+y≤1，且使不等式组 只有3个整数解，则满足条件的所有整数m 的和是( ).
A. 12 B. 6 C. -14 D. -15
10.(2025·泸州中考)对于任意实数a，b，定义新运算：给出下列结论：
①8※2=8;
②若x※3=6,则x=6;
③a※b=(-a)※(-b);
④若(2x-4)※2<5x,则x 的取值范围为
其中正确结论的个数是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·重庆江北区期末)已知 是关于 x 的一元一次不等式，则m 的值为 ·
12.(2024·驻马店西平一模)如图表示某个关于x的不等式的解集，若x=m-2是该不等式的一个解，则m 的取值范围是 .
13.如图,若点A(-1,2)在一次函数y= kx+b(k≠0,且k,b为常数)的图象上,则关于x 的不等式 kx+b>2的解集是 .
14.研究表明，运动时将心率p(次)控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏的作用.最佳燃脂心率的最高值不超过(220一年龄)×0.7，最低值不低于(220一年龄)×0.6，则13岁学生的最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为 .
15.(2025·江苏泰州姜堰区月考)若不等式组 的解集中任意一个x 的值均不在3≤x≤6的范围内，则a 的取值范围是 .
16.若不等式组只有n 个正整数解(n为自然数)，则称这个不等式组为n阶不等式组.若关于x 的不等式组 是4阶不等式组，则a 的取值范围为 .
17.某数学兴趣小组在研究如图所示运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是 .
18.(2025·广东广州越秀区期末)在平面直角坐标系xOy中,直线l:y= mx+n(m,n 为常数,且m≠0)上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表：
x 2
y a 2-a
下列结论：①方程 mx+n=a的解为x=-1；②若a>0，则 mn>0；③若对于任意x，总有 mx+n,则 ④过点 O 作 OP⊥l,垂足为 P,则 OP 的最大值为 其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)在平面直角坐标系中,已知点 P(2m+1,m-1).
(1)若点 P 在第四象限，则 m 的取值范围是 ；
(2)若点 P 在第二、四象限的平分线上，求 m 的值.
20.(6分)(2025·广东茂名高州月考)定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，例如：方程4x=8和2x+1=-7为“活力方程”.
(1)若关于x的方程3x+s=0和方程4x-2=x+10是“活力方程”,求s的值;
(2)若“活力方程”的两个解分别为a，b(a>b)，且a，b分别是关于x的不等式组 的最大整数解和最小整数解，求 k 的取值范围.
21.(8分)如图,直线 经过点A(-6,0),B(-1,5).
(1)求直线AB 对应的函数表达式；
(2)若直线 与直线AB 相交于点M，求点 M 的坐标；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b>-2x-3≥0的解集.
22.(8分)(2025·江苏扬州江都区期末)在一次数学活动课上，老师提出了一个问题：若a+b=3,a>1,b>-2，求2a+3b的取值范围.甲、乙两位同学采用了两种不同的方法解决了这个问题：
(1) (填“甲”或“乙”)的解法正确；
(2)若a-b=m(其中m为常数),a≥2,b≤-1,求3a-b的最小值(用含m的代数式表示).
23.(8分)(2025·邯郸冀南新区三模)在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算.例如：路线A→B上数字的和记为(-9)+2=-7.
(1)求路线A→B→C上所有数字的和；
(2)若路线A→D上两个数字的积大于路线D→C上两个式子的和，求x的正整数解.
24.(8分)定义一种关于a，b的*运算：a*b=a+2b,如2*4=2+2×4=10.
(1)若5*x<8,且x为正整数，求x的值；
(2)若不等式 的解集和关于x的不等式 的解集相同，求a 的值.
25.(10分)(2025·湖南长沙雨花区期末)我国国产某动画电影票房突破了150亿，商家推出A，B两种类型的纪念娃娃，若用380元可购进A种娃娃7件，B种娃娃8件；用340元可购进A种娃娃11件，B种娃娃4件.
(1)求 A，B两种娃娃的进价.
(2)若每件A 种娃娃售价为25元，每件B种娃娃售价为37元，某商店准备用不超过900元购进A，B两种娃娃40件，且这两种娃娃全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案 并求出利润最大值.
26.(12分)对x，y定义一种新运算，规定： (其中a，b均为非零常数).例如：
(1)已知
①求a,b 的值;
②若关于 m的不等式组 恰好有2 025个整数解，求实数 p 的取值范围.
(2)若不论m，n取何值， 的值都是一个定值，请求出该定值.
1. C 2. A
3. C[解析]设小明要答对x道题，则答错或不答(20-x)道
题,根据题意,得10x-5(20-x)≥80,
解得x≥12,∴x的最小值为12,
∴他至少要答对的题数是12 道.故选 C.
4. B[解析]A.∵判断不等式组解集的口诀：同大取大，
∴不等式组的解集为x>2，故此选项不符合题意；
B.∵判断不等式组解集的口诀：大大小小无解，
∴不等式组无解，故此选项符合题意；
C.∵判断不等式组解集的口诀：同小取小，
∴不等式组的解集为x<-1，故此选项不符合题意；
D.∵判断不等式组解集的口诀：大小小大中间找，∴不等式组的解集为-15. C [解析]若m=5,则不等式组的解集为33，故丙对.故选 C.
6. C[解析]设这批电子产品可降价x元.
根据题意，得 解得x≤140,
∴该批电子产品最多可降价140元.故选C.
7. C 8. C
9. D [解析]
①+②,得7x+7y=7m+14,∴x+y=m+2.
∵x+y≤1,∴m+2≤1,解得m≤-1.
解不等式5x-m>0,得
解不等式x-4<-1,得x<3,
∵该不等式组只有 3个整数解，∴它的整数解为0，1，2，
解得-5≤m<0,
∴-5≤m≤-1，∴符合条件的所有整数m的和为-5-4-3-2-1=-15.故选 D.
10. B [解析]①∵8>2,∴8※2=8,故①正确;
②若x≥3,则x=6;
若x<3,则-x=6,此时x=-6,故②错误;
③若a>b,则-a<-b,∴a※b=a,(-a)※(-b)=a,则a※b=(-a)※(-b);
若a-b,
∴a※b=-a,(-a)※(-b)=-a,
则a※b=(-a)※(-b);
若a=b,则a※b=a,(-a)※(-b)=-a,此时a※b≠(-a)※(-b),故③错误;
④当2x-4≥2,即x≥3时,由(2x-4)※2<5x得2x-4<5x,解得 此时x≥3;
当2x-4<2,即x<3时,由(2x-4)※2<5x得-2x+4<5x,解得 此时
综上,若(2x-4)※2<5x,则x的取值范围为 故④正确.故选 B.
11.-3 12. m<-5 13. x<-1
14.124.2≤p≤144.9 [解析]∵最佳燃脂心率的最高值不超过(220一年龄)×0.7,最低值不低于(220一年龄)×解得124.2≤p≤144.9.
15. a≤2或a≥6 [解析]
由①,得x>a;由②,得x∴不等式组的解集为a∵不等式组 的解集中任意一个x 的值均不在3≤x≤6的范围内,∴a+1≤3或a≥6,解得a≤2或a≥6,∴a的取值范围是a≤2或a≥6.
16.4[解析]令3x-1=x,解得
当 时，此时无输出值；当 时，数值越来越大，会有输出值；当 时，数值越来越小，不可能大于10，永远不会有输出值.综上所述，当 时，永远不会有输出值.
18.①③④
[解析]∵点P 在第四象限，
解得
(2)∵点 P 在第二、四象限的平分线上，∴m-1+2m+1=0,解得m=0.
20.(1)解关于x的方程3x+s=0,得 解方程4x-2=x+10,得x=4.
∵关于x的方程3x+s=0和方程4x-2=x+10是“活力方程” 解得s=6或-30.
(2)解关于x的不等式组，得
∵a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a,b(a>b)为“活力方程”的两个解,
21.(1)∵直线. 经过点A(-6,0),B(-1,5),
解得
∴直线 AB 对应的函数表达式为
(2)联立 解得
∴点M的坐标为(-3,3).
(3)把y=0代入y=-2x-3,可得-2x-3=0,解得 观察图象，可得关于 x 的不等式 kx+b>-2x-3≥0的解集为
22.(1)乙[解析]甲：分别求解不等式后直接相加，忽略了a和b的相关性，导致范围扩大，因此甲的解法错误；
乙：通过代数变形把2a+3b转化为关于b的式子，结合条件准确确定范围，因此乙的解法正确.
(2)∵a-b=m,∴b=a-m.
∵b≤-1,∴a-m≤-1,∴a≤m-1,
∴2≤a≤m-1(m≥3).
∵3a-b=3a-(a-m)=2a+m,
∴3a-b的最小值是2×2+m=4+m.
23.(1)由题意,得(-9)+2+8+(-7)=-6,故路线 A→B→C上所有数字的和为-6.
(2)由题意,得2×(-1)>3x+2(x-4),解得 ∴x的正整数解为 1.
24.(1)由5*x<8,得5+2x<8,解得
∵x为正整数,∴x=1.
(2)解不等式3x+4≤8-x,得x≤1,由x*a≤5,得x+2a≤5,解得x≤5-2a.
∵不等式3x+4≤8-x的解集和关于x 的不等式x*a≤5的解集相同,∴1=5-2a,解得a=2.
25.(1)设A,B 两种娃娃的进价分别为x元,y元.
根据题意，得 解得
故A，B两种娃娃的进价分别为20元，30元.
(2)设商店准备购进A种娃娃a 件，
根据题意，得 解得30≤a≤32.
当a=30时,利润为5×30+7×10=220(元),
当a=31时,利润为5×31+7×9=218(元),
当a=32时,利润为5×32+7×8=216(元).
故共有3种方案，当购进A 种娃娃30件，B种娃娃10 件时，获得最大利润220元.
26.(1)①∵θ(-1,1)=-2,θ(3,-1)=12,
解得
②由①,得θ(x,y)=4x+y+1.
解得
∵关于m的不等式组 恰好有2025个整数解，
∴2027<2p-3≤2028,解得1015∴实数 p的取值范围为 1015(2)θ(n-m,3m+2)+n=2a(n-m)-b(3m+2)+1+n=(2a+1)n-(2a+3b)m-2b+1.
∵不论m,n取何值,θ(n-m,3m+2)+n的值都是一个定值，
解得
,该定值为

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