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第二章 不等式与不等式组 单元测试卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·山西晋中左权期中)文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾.故人不可见，新知万里外.丹心照夙昔，鬓发日已改.我欲从灵均，三湘隔辽海.”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志，端午节是中国传统节日之一，据某县气象台发布2025年端午节的天气情况，这天的最高气温是33℃，最低气温是11℃.设当天某一时刻的气温为t(℃)，则t的变化范围是( ).
A. t>33 B. 11≤t≤33 C. 112.某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示.每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速(单位：km/h)，右侧数字代表该车道车型的最低通行车速(单位：km/h).王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为v km/h，则车速v的范围是( ).
A. 90≤v≤100 B. 80≤v≤100 C. 60≤v≤100 D. 60≤v≤80
3.(2025·河北石家庄长安区期末)如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
(1)将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；
(2)将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
(3)再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
已知一颗玻璃球的体积与a(mL)的水的体积相等，根据以上过程，可知a 的取值范围是( ).
A. 204.某不等式的解集是x≥-2，下列表述错误的是( ).
A.0是这个不等式的解 B.一3不是这个不等式的解
C.这个解集中的非正数解有两个，是-1和0 D.这个解集是不等式2x+1≥-3的解集
5.如图，一次函数y=-x+a的图象与y轴交于点(0，1)，则不等式-x+a≥-1的解集为( ).
A. x≤2 B. x≥2 C. x≤-2 D. x≥-2
6.关于x，y的方程组 的解中x与y的和不大于5，则k的取值范围为( ).
A. k≥2 B. k>2 C. k≤2 D. k<2
7.若不等式组 无解，则m的取值范围是( ).
A. m≤2 B. m<2 C. m≥2 D. m>2
8.(2025·辽宁葫芦岛连山区月考)关于x的不等式组 的解集是3≤x≤5,则a-b的值是( ).
A. 1 B. C. - 9 D. 9
9.(2025·山东临沂河东区期末)定义：[x]表示不大于x的最大整数，如[2.8]=2，[-2.8]=-3.我们把满足[x]=a(a为常数)的x的取值范围叫作x的核心范围,如[x]=4的x的核心范围为4≤x<5,[x]=-4的x的核心范围为-4≤x<-3.下列说法正确的有( ).
①[3.1]=3;
②若[x]=1,则x的核心范围是1≤x<2;
③若关于x的不等式组 无解,则a≤-3;
④若关于x的不等式组 有且只有三个整数解，则-1A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.(2025·河北唐山迁安期末)为进行豌豆种子发芽实验，现将240个豌豆分成4组，放在四个盘子中.每个盘子中，豌豆的数量都是奇数，其中一个盘子中豌豆的数量少，另外三个盘子中豌豆的数量多且数量相同.问：应该如何分 设豌豆数量多的三个盘子中均有x个，则正确的是( ).
A.依题意,得豌豆数量少的盘子中有(240-x)个 B.依题意,得240-3x≤x
C. x有最小值，也有最大值 D. x=61是正确解，也是唯一解
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·泸州中考)若点(1,a-2)在第一象限,则a 的取值范围是 .
12.当x”“<”或“=”).
13.已知关于x的不等式x-m>-3的解集如图所示，则m的值为 .
14.如图,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象相交于点 P(n,-4),则关于x的不等式组 的解集为 .
15.若对任意实数x，不等式 ax>b都成立，则a，b的取值范围为 .
16.(2025·内江中考)对于x,y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组 恰好有3个整数解，则实数 P 的取值范围是 .
17.为了满足生物实验考试需求，学校决定购买一批显微镜和光照培养箱.经市场调查，显微镜的价格为880元/台，光照培养箱的价格为600元/台.学校准备采购这两种器材共15台，且总费用不超过12000元，则最多可购买 台显微镜.
18.若关于x 的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于y的方程2y+1=a有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·河北中考)(1)解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集；
(2)解不等式3-x<5，并在如图所给的数轴上表示其解集；
(3)直接写出不等式组 的解集.
20.(6分)(2025·河南驻马店泌阳期末)同学们，你们喜欢玩跷跷板吗 下面这个问题就和跷跷板有关，请你来挑战一下吧！
(1)三个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为a，b，c，示意图如图(1)，试比较b 和c的大小关系，并说明依据；
(2)四个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为p，q，r，s，示意图如图(2)，试分析这四个小朋友体重的大小关系，并用“>”连接起来.
21.(8分)(2025·江西南昌期末)如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式.数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题.
例如，求|x|<3和|x|>3的解集问题，就可以利用数轴来探究：
根据绝对值的意义，
∵
∴|x|<3的解集为-3∵
∴|x|>3解集为x>3或x<-3.
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空:不等式|x|>1的解集为 ;
(2)解不等式:|x+2|≤6;
(3)求不等式|x-2|+|x+3|>7的解集.
22.(8分)(2024·湖南中考)某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价.
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵
23.(8分)如图，函数y=-2x+3与 的图象交于点P(n,-2).
(1)求m,n的值;
(2)直接写出不等式 的解集；
(3)求△ABP 的面积.
24.(8分)(2025·吉林长春期末)在学习“用加减消元法解二元一次方程组”时，我们知道，可以用两个方程的左边与左边相加减、右边与右边相加减，从而消去某个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解.
[迁移探究]某校数学兴趣小组基于教材的方法，开展了迁移探究的讨论，讨论问题为“对于不等号方向相同的不等式组，若也将左右两边分别相加减会怎样”.
(1)经过对“相加”的探究，得到结论；如果 那么a+c>b+d一定成立
请你证明上述结论.
(2)经过对“相减”的探究，得到结论；如果 那么a-c>b-d不一定成立.
例如：对于 请你举出一组反例，说明10-c不一定大于4-d.
[结论应用]
(3)应用1:已知 求x+y的取值范围.
(4)应用2:已知 直接写出3x-2y的取值范围.
25.(10分)[探究归纳]解下列不等式:(1)x-3<0;(2)x-5<0,总结发现不等式(1)的解都是不等式(2)的解，我们称不等式(1)的解集是不等式(2)的解集的“子集”.
[问题解决]
(1)x+3<-13的解集 x+3<-3的解集的“子集”;(填“是”或“不是”)
(2)若关于x的不等式2x-3≤a的解集是3x≤9的解集的“子集”，且a是正整数，求a的值.
26.(12分)某公司有A，B两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示.已知在20辆客车都坐满的情况下，共载客720人.
A 型号客车 B 型号客车
载客量/(人/辆) 45 30
租金/(元/辆) 600 450
(1)求 A，B两种型号的客车各有多少辆；
(2)某中学计划租用A，B两种型号的客车共8辆，送八年级师生到某教育基地参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过4600元，求最多能租用多少辆A 型号客车；
(3)在(2)的条件下，若八年级的师生共有295人，请写出所有可能的租车方案.
1. B 2. C
3. C[解析]∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满,∴4a+300<500,解得a<50.
∵再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出，
∴(4+1)a+300>500,解得a>40,∴404. C[解析]根据一元一次不等式的解的定义逐项分析判断如下：
∵某不等式的解集是x≥-2，
∴0是这个不等式的解，故 A 不符合题意；
∵某不等式的解集是x≥-2，
∴-3不是这个不等式的解，故 B不符合题意；
∵某不等式的解集是x≥-2，
∴大于等于-2的数都是这个不等式的解，非正整数解有三个，是-2，-1和0，故C符合题意；
∵不等式2x+1≥-3的解集是x≥-2,故 D不符合题意.故选 C.
5. A [解析]∵一次函数y=-x+a的图象与y轴交于点(0,1),∴1=-0+a,∴a=1,
∴-x+a≥-1即为-x+1≥-1,∴x≤2.故选 A.
6. C
7. A [解析]解不等式2x-4>0,得x>2.
∵不等式组 无解,∴m≤2.故选 A.
8. C [解析]解不等式x-a≥b,得x≥a+b;
解不等式2x-a≤2b+1,得
由题意，得 即a+2b=9,
联立 解得
∴a-b=-3-6=-9.故选 C.
9. D[解析]根据新定义逐项分析判断如下：
①[3.1]表示不大于3.1的最大整数,即[3.1]=3,正确;
②若[x]=1,则x的核心范围是1≤x<2,正确;
③计算[-2.5]=-3,不等式组为 若该不等式组无解,则a≤-3,正确;
④不等式组为 若该不等式组有且只有三个整数解,则它的整数解为-3,-2,-1,所以-110. C [解析]豌豆数量少的盘子中应有(240-3x)个,而非(240-x)个，所以选项 A错误，不符合题意；
依题意得240-3x60,而3x<240,即x<80,所以x的取值范围为61≤x≤79且x为奇数,所以x有最小值61和最大值79，所以选项B错误，不符合题意；选项C正确，符合题意；
选项D错误，不符合题意.故选C.
11. a>2 12.> 13.1
14.-2∵一次函数y=-x-2的图象与x轴的交点是(-2,0),∴关于x的不等式组 的解集为-215. a=0,b<0 [解析]∵如果a≠0,那么不论a大于0还是小于0，对任意实数x不等式 ax>b都成立是不可能的，∴a=0,则左边式子 ax=0,∴b<0一定成立,∴a,b的取值范围为a=0,b<0.
16.-17≤P<-7 [解析]∵G(x,y)=x+3y,∴关于a的不等式组 即为
解不等式①,得a≤1;解不等式②,得
∵不等式组恰好有3个整数解，∴整数解为-1，0，1，
解得-17≤P<-7.
17.10 [解析]设可购买x台显微镜，则购买(15-x)台光照培养箱,根据题意,得880x+600(15-x)≤12000,解得
∵x为正整数，∴x的最大值为10.
故最多可购买10台显微镜.
18.9 [解析]解 得
∵不等式组至少有2个整数解， 解得a≤6.
解关于 y的方程2y+1=a,得
∵关于 y的方程2y+1=a有非负整数解，
为非负整数，且a≤6，
∴a可以取1,3,5,∴1+3+5=9.
19.(1)解不等式2x≤6,得x≤3.
将解集在数轴上表示如图所示.
(2)解3-x<5,得x>-2.
将解集在数轴上表示如图所示.
(3)不等式组 的解集为-220.(1)b和c的大小关系为bb,c>a,∴b(2)由题图(2),得 解得
∴r>s>p>q.
21.(1)x>1或x<-1
(2)∵|x+2|≤6,∴-6≤x+2≤6,解得-8≤x≤4.
(3)|x-2|+|x+3|>7所表示的意义为数轴上表示数x的点，到表示数2，-3的点的距离之和大于7.
由数轴,可知不等式|x-2|+|x+3|>7的解集为x<-4或x>3.
22.(1)设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元.
根据题意，得 解得 故脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元.
(2)设可以购买脐橙树苗m 棵，则购买黄金贡柚树苗(1000-m)棵,
根据题意,得50m+30(1000—m)≤38000,解得m≤400.故最多可以购买脐橙树苗400棵.
23.(1)∵一次函数y=-2x+3的图象过点P(n,-2),
∴-2=-2n+3,解得
∵一次函数 的图象过点
解得
故 m 的值为 n的值为
(2)不等式 的解集为
(3)∵在.y=-2x+3中,当x=0时,y=3,∴A(0,3).
∵在 中，当.x=0时,
∴△ABP 的面积为
24.(1)∵a>b,∴a-b>0.①
∵c>d,∴c-d>0,②
①+②,得a-b+c-d>0,故a+c>b+d.
(2)如果 那么a-c>b-d 不一定成立.
例如：对于 令c=1,d=-5,则10-c=9,4-d=9,此时10-c=4-d,∴10-c不一定大于4-d.
(3)由题意,得-2+3(4)由题意,得-6<3x<6,-14<-2y<-6,∴-6-14<3x-2y<6-6,即-20<3x-2y<0.
25.(1)是 [解析]解不等式x+3<-13,得x<-16,解不等式x+3<-3,得x<-6,
∴x+3<-13的解集是x+3<-3的解集的“子集”.
(2)解不等式2x-3≤a,得
解不等式3x≤9,得x≤3.
∵不等式2x-3≤a的解集是3x≤9的解集的“子集”, 解得a≤3.
∵a是正整数，∴a的值为1或2或3.
26.(1)设A型号客车有x辆，B型号客车有y 辆.
由题意，得 解得
故 A 型号客车有8辆，B型号客车有 12辆.
(2)设租用m 辆A 型号客车,则租用(8-m)辆 B 型号客车.
由题意，得600m+450(8-m)≤4600,解得
∵m 是正整数，∴m的最大值是6.
故最多能租用6辆A型号客车.
(3)由题意,得(45m+30(8-m)≥295,解得
由(2),知
∵m为整数,∴m=4,5,6.
故所有可能的租车方案为：①租用4辆A型号客车，4辆B 型号客车；②租用5辆A 型号客车，3辆 B 型号客车；③租用6辆A 型号客车，2辆B 型号客车.

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