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2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第4章 因式分解单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
3．已知实数满足，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．5 D．
4．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（ ）
A．3， B．，4 C．20，4 D．20，
5．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
6．下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（ ）
分解因式：． 解：原式 =
A．①填 B．②填
C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法
7．下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
9．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤
10．对代数式任意添加两个不嵌套的括号括号内至少有两个字母并改变括号内的运算符号，然后进行去括号运算，称此为“括号相反操作”．例如：，…，下列说法：
①存在“括号相反操作”，使其运算结果相等；
②当运算结果为时，有2种不同的“括号相反操作”；
③所有的“括号相反操作”共有5种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．因式分解：______．
12．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____
13．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号）
①；②；③；④．
14．已知，均为正整数，且，．若，则的值为______．
15．已知，那么的值为________．
16．若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是____________．
（2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为____________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．因式分解：．
18．已知可以因式分解为，求的值．
19．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有．
像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添项法．
请用上述方法因式分解：
(1)；
(2)．
20．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：，
解：原式
②，利用配方法求的最小值：
解：
因为，所以．当时，有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____
(2)用配方法因式分解：
(3)若，求的最大值
21．阅读下面的材料，回答问题：
因式分解：．
解：原式
．
上述因式分解的方法称为配方法．
请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
22．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
．
(1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次；
(2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________；
(3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）；
(4)利用（3）中结论计算：．
23．阅读下列材料，然后解答问题：
问题：因式分解：
解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”．
(1)上述式子中 ， ；
(2)对于一元整式，必定有（ ）；
(3)请你用“试根法”分解因式：．
24．问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：．
(1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______．
(2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______．
(3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______．
(4)在（3）的条件下，若，求的值．
(5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和．2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第4章 因式分解单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B B D B B C
1．C
根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，对各选项逐一判断即可．
解：A选项右边是和的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误．
B选项右边是差的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误．
C选项左边多项式变形后为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确．
D选项变形是整式乘法，是将乘积化为和的形式，不是因式分解，错误．
2．B
本题考查了因式分解——提公因式法．确定多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，从而找出公因式．
解：∵，
∴应提取的公因式是，
故选：B．
3．C
本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确的计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解．
解：已知，
则，
那么
．
故选：C．
4．C
本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
解得，
故选：C．
5．B
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可．
解：由图可知：，
正方形边长为a，正方形边长为b，
，
，
，
，
，
将，代入得：
，
故选：B．
6．B
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
解：
，
故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法，
故选：B．
7．D
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键．先根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式，然后计算分解是否正确即可．
解：A、右边为乘积加2，不是乘积形式，不符合因式分解定义；
B、左边是乘积形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解；
C、右边是乘积的形式，但，原计算错误，不符合题意；
D、右边是乘积的形式，且 ，原计算正确，符合题意．
故选：D．
8．B
先利用平方差公式对和进行因式分解，再化简等式两边，最后解出的值并与选项比对．
解：首先，利用平方差公式分解：
．
代入原等式：．
化简左边得：．
两边同时约去，得：．
故选：B．
本题考查了平方差公式的应用和等式的化简，解题关键是利用平方差公式简化计算，避免直接计算大数平方，提高效率．
9．B
本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可．
解：①不能用公式法分解；
②，可以用公式法分解；
③不能用公式法分解；
④，可以用公式法分解；
⑤，可以用公式法分解；
综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤．
故选：B．
10．C
先根据题意列出所有符合要求的“括号相反操作”，计算每个操作的结果，再逐一判断三个说法的正误．
解：∵ 总共有5个字母，每个括号至少2个字母，
∴所有符合要求的括号组合共5种，分别计算结果如下：
，
，
，
，
，
①第1种操作和第3种操作的结果相同，故说法①正确，符合题意；
②第1种操作和第3种操作的结果都是，故说法②正确，符合题意；
③所有的“括号相反操作”共有4种不同运算结果，故说法③错误，不符合题意；
综上所述，正确的个数有2个．
11．
该题考查了因式分解，运用提公因式法分解因式，通过变形后提取公因式即可．
解：
．
故答案为：．
12．11
本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值．
由 ，
∴，，
∵、为整数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∵，
∴这样的的最大值是11．
故答案为：11．
13．③
本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
解：选项①是整式乘法，不是因式分解；
选项②右边不是积的形式，不是因式分解；
选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解；
选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解；
故答案为③．
14．或
本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，代数式求值，由题意得，则有，然后通过的正整数因数对为和，列出方程组，然后解方程组，再代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的正整数因数对为：和，
∴或，
解得：或，
综上所述，或，
故答案为：或．
15．
本题主要考查了代数式求值、去括号、添括号等知识点，将原式变形成是解题的关键．
先运用去括号、添括号将原式变形成，然后将已知等式代入计算即可．
解：∵，
∴
．
故答案为：．
16． 2（答案不唯一） 18
本题考查了用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据“完美数”的定义判断，并写出一个小于10的“完美数”即可说明；
（2）（3）先运用完全平方公式将进行变形得到，再根据“完美数”的定义可得，据此可得答案．
解：（1）∵，
∴2是“完美数”，
故答案为：2（答案不唯一）；
（2）解：
，
为“完美数”，
，
．
故答案为：18．
17．
本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是掌握提公因式法分解因式．
先提取公因式，再将第二个因式合并同类项即可．
解：原式
．
18．
本题考查了多项式乘多项式，代数式求值．
根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可.
解：因为可以因式分解为，
所以，
所以，
所以，
所以．
19．(1)；
(2)．
（）先添加凑成完全平方式， 然后减利用平方差公式进一步分解因式即可得到答案；
（）先把分成两项和，然后利用平方差公式进一步分解因式即可得到答案．
（1）
，
，
；
（2），
，
，
．
此题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
（1）根据完全平方公式，对于，，得，故常数项为；
（2）将凑成，再用平方差公式分解；
（3）将凑成，结合即可得到的最大值．
（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即，
即，
故添加一个常数为；
（2）解：
；
（3）解：
，
，
，，
即当时，取得最大值．
21．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
22．(1)提取公因式法，2
(2)2025，
(3)
(4)
本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次；
（2）仿照题意利用提公因式法求解即可；
（3）仿照题意利用提公因式法求解即可；
（4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可．
（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次；
（2）解：
，
分解，需应用上述方法2025次，结果是；
（3）解：
；
（4）解：
．
23．(1)，
(2)
(3)
本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系：
（1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可；
（2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可；
（3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解．
（1）解：
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为．
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：由（2）可得是多项式的一个因式，
∴可设，
∴
，
∴，
∴，
∴．
24．(1)
(2)；
(3)
(4)
(5)
（1）仿照题意用两种方法表示较大的正方形的面积即可得到答案；
（2）根据题意和（1）所求即可得到答案；
（3）用两种不同的方法表示最大的正方形的面积即可得到答案；
（4）根据求解即可；
（5）根据用含a、b的式子表示出，设，则，，据此求出的值即可得到答案．
（1）解：图3中，当时，较大的正方形的面积既可以用表示，也可以用最大的正方形的面积减去两个长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即可表示为，也就是说，
较大的正方形的面积为可以用等式表示为：．
（2）解：由题意得图2中有等式，
图3中有等式
（3）解：大正方形的边长为，其面积为，
大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上4个长为a，宽为b的长方形面积，其面积为，
∴；
（4）解：∵，
∴；
（5）解：
，
设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．(共5张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第4章 因式分解
单元测试·过关卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.95 判断是否是因式分解
2 0.85 公因式
3 0.65 已知式子的值，求代数式的值；提公因式法分解因式
4 0.85 已知因式分解的结果求参数
5 0.65 列代数式；完全平方公式分解因式
6 0.65 综合提公因式和公式法分解因式；平方差公式分解因式
7 0.65 判断是否是因式分解；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
8 0.65 平方差公式分解因式
9 0.65 判断能否用公式法分解因式
10 0.65 去括号；添括号
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 提公因式法分解因式
12 0.85 已知因式分解的结果求参数
13 0.85 判断是否是因式分解
14 0.65 已知式子的值，求代数式的值；加减消元法；平方差公式分解因式
15 0.65 已知式子的值，求代数式的值；去括号；添括号
16 0.85 完全平方公式分解因式
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 提公因式法分解因式
18 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；已知因式分解的结果求参数
19 0.65 综合运用公式法分解因式
20 0.73 运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；完全平方公式分解因式
21 0.75 平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
22 0.65 提公因式法分解因式
23 0.65 已知因式分解的结果求参数
24 0.5 单项式乘多项式的应用；通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用；提公因式法分解因式

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