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湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题
一、单选题
1．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列为递减的等比数列，且，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
3．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种
A．27 B．81 C．54 D．108
4．点P到点的距离比它到直线l：的距离大4，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不对
5．已知，是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．3
6．如图所示，点在上，向量所在直线与相切于点，向量．若已知下列选项给出的量，则可以得到的选项是（ ）

① ② ③半径 ④ ⑤
A．①④ B．①② C．③ D．⑤
7．近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（ ）（参考数据：）
A．305 B．483 C．717 D．879
8．已知函数（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线，则（ ）
A．若，则曲线表示圆，且半径为
B．若，则曲线表示双曲线，且渐近线为
C．若，，则曲线表示两条直线
D．若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆
10．函数在区间上的极值点为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（ ）
A．点的轨迹是一个圆 B．点的轨迹是一个圆
C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____.
13．设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为______；
14．设函数，则满足的的值是___________．
四、解答题
15．已知函数.
（1）求的最小正周期以及单调增区间；
（2）在中，若，，求周长的取值范围.
16．已知数列的前项和为，且满足，公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
17．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元（包含10万元和1000万元）的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于l万元，同时不超过投资收益的20%．
(1)写出满足的条件．
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：①；②．试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
18．已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求E的方程；
(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
19．已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”．
(1)已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值．
(2)证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”．
(3)已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围．
参考答案
1．B
2．C
3．B
4．D
5．C
6．D
7．C
8．B
9．AC
10．BC
11．ACD
12．10
13．/
14．或.
15．（1）
所以的最小正周期为.
令，，解得：，
所以的单调增区间，.
（2），因为，所以，
由正弦定理，，
所以，，，
，
因为，，
所以，所以，
所以周长.
16．（1）数列的前项和为，，当时，，
两式相减得，即，由，得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，；
由是与的等比中项，得，又，则，
整理得，又，解得，于是，
所以数列的通项公式分别为，.
（2）由（1）知，，
，
于是，
两式相减得，
所以.
17．（1）解：由题意，公司对奖励方案的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立．
（2）解：对于函数模型：
当时，是增函数，且，即恒成立，
若使函数在上恒成立，则在上恒成立．
又时，，所以在上不恒成立．
故该函数模型不符合公司的要求．
对于函数模型：
当时，是增函数，且，所以在上恒成立．
令，则，
∵当时，，
∴在上是减函数，
∴，即，
∴，
∴恒成立.
故该函数模型符合公司的要求．
综上，函数模型符合公司的要求.
18．（1）由题意可得，解得，
则E的方程
（2）与面积之比为定值，定值为2，理由如下：
设直线（），
联立可得，，
则
所以
所以，
设，同理可得
所以，
所以直线即
所以恒过定点，
设点到直线的距离分别是
则
19．（1）假设是的＂—陪伴函数＂，
则，
即，
则．
因为且，所以，则，
因此，因此是的＂－ 伴函数＂，且的最小值是．
（2）已知，
，
.
记，则．
记，则，
即，
因此是的＂M—陪伴函数＂，
即在同一给定闭区间上的函数是函数的＂M－陪伴函数＂．
（3）由题知，
即，不妨假设，
则，
则，且，
所以函数单调递增，函数单调递减，
所以，
则．又，
所以，
故．
令，则，
令，易知在上单调递减，
则，所以，
则在上单调递减，则，
因此．
令，则．
令，易知在上单调递减，且，
则，即．
当时，，即，则在上单调递增；
当时，，即，则在上单调递减．
所以．
由，得，则，
因此．
又，所以，
即实数的取值范围为．

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