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第18章 等腰三角形
18.3 等边三角形
年 级：七年级 学 科：数学
复习引入
等腰三角形
定义
判定
有两边相等的三角形叫作等腰三角形
等边对等角
等腰三角形三线合一
等角对等边
性质
等腰三角形
等边三角形
复习引入
等边三角形是一类特殊的等腰三角形
定义
判定
有两边相等的三角形叫作等腰三角形
等边对等角
等腰三角形三线合一
等角对等边
性质
定义
三边都相等的三角形叫作等边三角形
性质
？
判定
？
新知讲授
类比
猜想：
等边三角形的三个内角
都等于60°
∠A=∠B=∠C=60°
新知讲授
等边三角形的三个内角分别等于多少度？
如图，已知：在△ABC中，AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
分析
∠A+∠B+∠C=180°
猜想：
等边三角形的三个内角都等于60°
AB=AC
AC=BC
∠A=∠B=∠C
∠B=∠C
∠A=∠B
证明真命题的一般步骤：
（1）根据题意画出示意图；
（2）根据结论和条件，参照示意图，写出“已知”和“求证”；
（3）写出由条件推出结论的完整过程．
新知讲授
等边三角形的三个内角分别等于多少度？
如图，已知：在△ABC中，AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
证明 ∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）．
∵AC=BC，
∴∠A=∠B（等边对等角）．
∴∠A=∠B=∠C.
又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠A=∠B=∠C=60°．
等腰三角形的性质
三角形内角和定理
猜想：
等边三角形的三个内角都等于60°
新知讲授
由等腰三角形的性质，得到：
定理 等边三角形的每个内角都等于60°．
∵△ABC是等边三角形（或者AB=BC=AC），
∴∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形的每个内角都等于60°）．
符号语言
60°
60°
60°
新知讲授
？
类比
猜想：
三个内角都相等的三角形是等边三角形
证明真命题的一般步骤：
（1）根据题意画出示意图；
（2）根据结论和条件，参照示意图，写出“已知”和“求证”；
（3）写出由条件推出结论的完整过程．
如图，已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
新知讲授
分析
AC=BC
∠B=∠C
AB=AC
猜想：
三个内角都相等的三角形是等边三角形
一个三角形的内角满足什么条件时，
这个三角形是等边三角形？
△ABC是等边三角形
AB=AC=BC
∠A=∠B
如图，已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
新知讲授
证明 ∵∠A=∠B，
∴AC=BC（等角对等边）．
∵∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边），
∴AB=AC=BC．
∴△ABC是等边三角形
（三边相等的三角形是等边三角形）．
等腰三角形的判定
等边三角形的定义
猜想：
三个内角都相等的三角形是等边三角形
一个三角形的内角满足什么条件时，
这个三角形是等边三角形？
新知讲授
由等腰三角形的判定定理，得到：
定理 三个内角都相等的三角形是等边三角形．
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）．
符号语言
等腰三角形
？
新知讲授
三角形
从角的角度
新知讲授
添加角：底角和顶角相等
添加角：有一个内角等于60°
添加边：底边和腰相等
等腰三角形
等腰三角形
等腰三角形
猜想：
有一个内角等于60°的
等腰三角形是等边三角形
？
等边三角形的
定义和判定
（2）∠B=60°；
（1）∠A=60°；
例题讲解
证明：有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
分类讨论：
（顶角是60°)
（底角是60°）
证明真命题的一般步骤：
（1）根据题意画出示意图；
（2）根据结论和条件，参照示意图，写出“已知”和“求证”；
（3）写出由条件推出结论的完整过程．
如图，已知：在△ABC中，AB=AC．
分析
（3）∠C=60°．
（1）当∠A=60°时，求证：△ABC是等边三角形．
（2）当∠B=60°时，求证：△ABC是等边三角形．
如图，已知：在△ABC中，AB=AC．
（1）当∠A=60°时，求证：△ABC是等边三角形．
（2）当∠B=60°时，求证：△ABC是等边三角形．
例题讲解
60°
分析
∠B=∠C=∠A=60°
AB=AC
△ABC是等边三角形
∠C=∠B
∠A+∠B+∠C=180°
∠A=60°
例题讲解
证明 （1）∵AB=AC，
∴∠C=∠B（等边对等角）．
又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），
∠A=60°，
∴∠B=∠C=∠A=60°．
∴△ABC是等边三角形
（三个内角都相等的三角形是等边三角形)．
等腰三角形的性质
三角形内角和等于180°
等边三角形的判定
60°
如图，已知：在△ABC中，AB=AC．
（1）当∠A=60°时，求证：△ABC是等边三角形．
（2）当∠B=60°时，求证：△ABC是等边三角形．
△ABC是等边三角形
例题讲解
60°
分析
∠B=∠C=∠A=60°
∠C=∠B=60°
∠A+∠B+∠C=180°
如图，已知：在△ABC中，AB=AC．
（1）当∠A=60°时，求证：△ABC是等边三角形．
（2）当∠B=60°时，求证：△ABC是等边三角形．
∠B=60°
AB=AC
例题讲解
60°
证明 ∵AB=AC，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°（等边对等角）．
又∵∠A=180°－（∠B+∠C）=60°
（三角形的内角和等于180°），
∴∠A=∠B=∠C．
∴△ABC是等边三角形
（三个内角都相等的三角形是等边三角形）．
等腰三角形的性质
三角形内角和等于180°
等边三角形的判定
如图，已知：在△ABC中，AB=AC．
（1）当∠A=60°时，求证：△ABC是等边三角形．
（2）当∠B=60°时，求证：△ABC是等边三角形．
例题讲解
如图，已知：在等边三角形ABC的边BC 上任取一点D，
以CD为边向外作等边三角形CDE．连接AD，BE．
求证：BE=AD．
含AD边的三角形：△ABD与△ADC
证明两条线段相等常用的方法：
（1）等角对等边
（2）全等三角形的性质
（在一个三角形中）
（在两个三角形中）
含BE边的三角形：
△BDE与△BEC
分析
BE=AD
例题讲解
如图，已知：在等边三角形ABC的边BC 上任取一点D，
以CD为边向外作等边三角形CDE．连接AD，BE．
求证：BE=AD．
△BEC≌△ADC（SAS）
分析
60°
60°
BC=AC
∠BCE=∠ACD=60°
CE=CD
等边三角形ABC和等边三角形CDE
在△BEC和△ADC中，
∵
∴△BEC≌△ADC（SAS）．
例题讲解
如图，已知：在等边三角形ABC的边BC 上任取一点D，
以CD为边向外作等边三角形CDE．连接AD，BE．
求证：BE=AD．
证明
∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴CE=CD，BC=AC，∠BCE=∠ACD=60°
（等边三角形的每个内角都等于60°）．
等边三角形
的性质
全等三角形的
判定和性质
∴BE=AD．
60°
60°
在△BEC和△ADC中，
∵
∴△BEC≌△ADC（SAS）．
例题讲解
如图，已知：在等边三角形ABC的边BC 上任取一点D，
以CD为边向外作等边三角形CDE．连接AD，BE．
求证：BE=AD．
证明
∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴CE=CD，BC=AC，∠BCE=∠ACD=60°
（等边三角形的每个内角都等于60°）．
∴BE=AD．
例题讲解
1. 证明真命题的一般步骤：
（1）根据题意画出示意图；
（2）根据结论和条件，参照示意图，
写出“已知”和“求证”；
（3）写出由条件推出结论的完整过程．
2. 分类讨论．
1. 证明两条线段相等常用的方法：
（1）等角对等边（在一个三角形中）；
（2）全等三角形的性质（在两个三角形中）．
2. 图形的运动．
等边三角形的判定
边角关系
等边三角形的性质
边角关系
课堂练习
如图，已知：点B、C、D在同一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．
求证：△ACD≌△BCE．
练习1
课堂练习
练习1
如图，已知：点B、C、D在同一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．
求证：△ACD≌△BCE．
△ACD≌△BCE（SAS）
∠BCE=∠ACD
课堂练习
练习1
60°
60°
∠BCE=∠ACB+∠ACE
∠ACD=∠DCE+∠ACE
∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE
分析
BC=AC
∠ACB=∠DCE=60°
CE=CD
等边三角形ABC和等边三角形CDE
如图，已知：点B、C、D在同一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．
求证：△ACD≌△BCE．
∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴CE=CD，BC=AC，∠ACB=∠DCE=60°
（等边三角形的每个内角都等于60°）．
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD．
在△ACD和△BCE中，
∵
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
课堂练习
证明
60°
60°
课堂小结
图形的运动
分类讨论
类比
性质和判定
结束语
著名数学家开普勒曾说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师。”类比是数学思维的翅膀，借助已有学习经验，我们可以在新问题中尝试探索，将其转化到熟悉的领域中，拓宽数学视野，引导思维创新。

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