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湖南省岳阳市2026年初中数学学业水平考试适应性测试试卷
1．下列各数中，比-2小的数是（　　）
A．-π B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据正数大于0，0大于负数，可得，，故C、D错误；
，，，
，
，，故A正确，B错误．
故答案为：A
【分析】根据正数大于0，0大于负数，据此比较大小解答即可.
2．东洞庭湖国家级自然保护区是国际重要湿地保护区，湿地保护率达72%以上.2026年2月监测到越冬水鸟超过485000余羽，将485000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误；
B：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得 ，∴B正确；
C：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，可得 ，∴C错误；
D：根据完全平方公式展开，可得 ，∴D错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法，幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式的运算法则逐项判断即可解答．
4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式，
即，
解得．
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，据此解答即可．
5．中国象棋起源于5000多年前的黄帝时期.《广象戏格》记载：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也.故戏兵以象戏名之”.如图放置的中国象棋，关于它的三视图表述正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．三种视图都相同
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，均为矩形，
俯视图为圆，与左视图和主视图不相同．
故答案为：C.
【分析】根据几何体的三视图解答即可.
6．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，连接OB、OC.若∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（　　）
A．35° B．55° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理解答即可.
7．某农技站为了解几种新推广的猕猴桃树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的猕猴桃树中各采摘了20棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
32 32 36 36
s2 2.4 2 m 1.6
调查显示20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，丙品种平均产量相对较高且稳定，则m的值可能是（　　）
A．0 B．1.5 C．1.8 D．2.1
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵方差越小，数据波动越小，产量越稳定，
∴，
∵20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，
，
故符合要求的为1.5．
故答案为：B.
【分析】根据方差越小产量越稳定，求出m的取值范围解答即可．
8．在我们的生活中，不等关系随处可见.小明与妈妈今年分别是x岁与y岁.他们母子对话包含的数学依据是（　　）
A．若xC．若x【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据题意，，．
故答案为：
【分析】根据题中图示的不等关系解答即可．
9．如图，点C是反比例函数的图象上的一个动点，且CA⊥x轴于点A，AB∥OC交y轴于点B.则四边形ABOC的面积是（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积.
故答案为：C.
【分析】根据值的几何意义，得到，然后得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的面积公式计算解答即可.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（17，8），BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，以O为圆心、OA的长为半径画弧，交BC于点D；再分别以点A，D为圆心、大于AD的长为半径画弧，两弧交于点P，连接OP交AB于点E，则点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接，
点的坐标为，轴，轴，，
，，，．四边形是矩形
以为圆心、的长为半径画弧交于点，
．
在中，，
点的坐标为．
由作图可知，平分，即．
点在上，轴，
点的横坐标为，
设，则．
平分，
∴
又∵
，
，．
∴．
在：
，
解得．
点的坐标为．
故答案为：D.
【分析】连接，利用勾股定理求出CD长，根据题意得到点、的坐标，根据尺规作图得到平分， 设，则 ，根据SAS得到△OAE≌△ODE，即可得到，然后根据勾股定理求出y的值，即可解答．
11．函数的自变量x的取值范围是 　 　.
【答案】x≠2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵ 函数有意义，
∴x-2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式的分母不为0解答即可.
12．因式分解：=　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= ；
故答案为： .
【分析】利用平方差公式分解即可.
13．为吸引顾客，某超市推出购物抽奖活动.如图，抽奖时转动质地均匀的圆形转盘，转盘停止后，指针随机指向某一区域，顾客根据指针指向的区域领取对应奖票.若阴影部分的圆心角为210°，则指针指向白色区域的概率为　 　.
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意可得指针指向白色区域的概率为．
故答案为：.
【分析】根据几何概率的计算公式解答即可．
14．如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子AC与水平地面CD的夹角∠ACD为35°，绳子与人体AB的夹角∠BAC=40°，则人体的倾斜角∠ABD=　 　°.
【答案】75
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，
∴．
故答案为：75.
【分析】根据三角形外角等于与它不相邻的内角的和解答即可．
15．苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形.如图，AC与AD分别为正六边形ABCDEF的两条对角线，则=　 　.
【答案】
【知识点】正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：正六边形，
，，
，，
，
在直角三角形中，．
故答案为：.
【分析】先根据多边形的内角和定理得到正六边形的内角，然后求出和的度数，再根据正弦的定义解答即可．
16．如图，a，b，c分别为△ABC的三边，其中a≤b≤c，直线l是BC边的垂直平分线，顶点A到直线l的距离为d，我们将定义为△ABC的斜度，记作
（1）若△ABC的斜度ρ=0，则=　 　.
（2）若△ABC的三边满足关系式：则斜度ρ=　 　.
【答案】（1）1
（2）
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；求正弦值；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）因为，且为三角形边长，，
所以，即顶点在直线上，
因为直线是边的垂直平分线，
所以，即，
所以，
所以，
所以；
故答案为：1；
（2）由已知，
，即，
所以，
根据勾股定理的逆定理，是以为斜边的直角三角形，且，
所以，
因为直线是边的垂直平分线，
所以，且直线经过的中点，
所以，所以点到直线的距离等于平行线与之间的距离，
因为平分，
所以，
所以，
故答案为：.
【分析】（1）根据斜度定义得出顶点在直线上，根据垂直平分线的性质可得，然后根据正弦的定义解答即可；
（2）将已知等式化简，得到三角形为直角三角形，根据平行线间的距离得到，然后代入斜度公式解答即可．
17．计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算绝对值，零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类二次根式解答即可.
18．解不等式组，并将解集表示在数轴上.
【答案】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解两个不等式求出解集，然后再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，然后在数轴上表示出来即可.
19．为提高同学们学习数学的兴趣，某校开展了数学文化知识竞赛.该校九年级A、B两个班各有学生50人，九年级组计划从两个班中挑选一个班代表年级组参加学校的比赛，为了解这两个班学生对数学文化的关注程度，现对这两个班的学生进行相关测试，并各随机抽取10名学生的成绩（满分：100分）进行统计分析.
【数据收集】
九年级A班：90，55，70，95，55，80，70，80，65，70；
九年级B班：65，90，75，75，90，60，50，75，85，65.
【数据整理】
50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
九年级A班 2 1 3 2 b
九年级B班 1 3 a 1 2
【数据分析】
平均数 中位数 众数
九年级A班 73 70 d
九年级B班 73 c 75
【数据应用】
（1）表中a=　 　，b=　 　，c=　 　，d=　 　；
（2）学校规定测试成绩在80分以上的学生为优秀，请估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数；
（3）若在九年级选取一个班参加学校组织的比赛，根据统计数据，你建议选择A班还是B班，请说明理由.
【答案】（1）3；2；75；70
（2）解：A班10人中，成绩在80分及以上的学生有4人
∴（人）
答：估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数为20人；
（3）解：选B班，理由如下：
两班平均数相同，但B班的中位数和众数均高于A班，说明B班的成绩中等水平更好，因此选择B班．
【知识点】统计表；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：九年级A班成绩从小到大排序为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
的成绩为 ， 共 人，即；出现3次，次数最多，故众数为70，即；
九年级B班成绩从小到大排序为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
的成绩为75出现3次，故，
B班共10个数据，因此中位数是第5和第6个数的平均值，故；
故答案为：3；2；75；70；
【分析】（1）根据已知数据得到a，b的值，再利用中位数、众数的定义解答即可；
（2）运用A班人数乘以80分以上的学生占比解答即可；
（3）比较两班的中位数和众数解答即可．
20．如图，已知AB为⊙O的直径，BC是弦，点D为半径OC的延长线上一点，连接AD，∠B=∠D=30°.
（1）求证：AD是⊙O的切线.
（2）若求的长度（结果保留π）.
【答案】（1）证明：∵∠B=30°，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出∠DOA=60°，然后根据三角形的内角和定理求出∠DAB=90°，即可证明结论；
（2）根据正切的定义求出圆的半径，然后根据三角形的内角和求出圆心角∠BOC的度数，再根据弧长公式计算即可．
21．为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机.已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同.
（1）设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为　 　架（用含x的式子表示）；
（2）求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴，
所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可知租赁一架B型无人机元，
∴用4800元租赁B型无人机的数量为架；
故答案为：；
【分析】（1）先表示出B型无人机的租金，再用总金额除以租金解答即可可；
（2）根据题意列分式方程，求出x的值检验解答即可．
22．为防治白蚁，保护古树，如图所示，园艺技术人员在古树两侧的水平地面MN上，于B，D两处使用专业检测工具，精准定位古树根部区域的白蚁窝P，检测线AB与CD相交于白蚁窝P.已知BD=12.69m，检测线AB，CD与水平地面MN的夹角分别为∠ABM=30°，∠CDN=21°48'.
（1）两次检测定位时，两条检测线形成的夹角∠APC的度数是多少
（2）为了制定科学的除害方案，最大限度避免伤及古树根系，求白蚁窝P距离地面MN的深度.（结果保留整数，参考数据：）
【答案】（1）解：根据对顶角相等可得，，
；
（2）解：如图，过点作，
设，
在中，可得，
在中，可得，
根据，可得，
解得，
答：白蚁窝P距离地面的深度约为米．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的其他实际应用；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等求出，，再利用三角形的内角和定理解答即可；
（2）过点作，设，根据正切的定义表示出，，然后根据BD=BE+DE列方程求出x的值解答即可．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线交于点T（5，t）和点Q（6，1）.
（1）求证：点Q为抛物线L的顶点；
（2）将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（r>0）个单位，得到抛物线L1，若抛物线L1经过点且点D在抛物线L1的对称轴左侧，求抛物线L1的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线L1的对称轴为直线l，作点C（0，-2）关于直线l的对称点B，连接AB，在直线AB上是否存在点P，满足∠ADP=∠CAO 若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：把点代入，得，
，
把，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点；
（2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得或，
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意；
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意；
∴抛物线的解析式为；
（3）解：存在，
令，
解得，
，
，
∴直线l为直线，
作点关于直线l的对称点B，
，
如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
此时，
如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点，
根据翻折可得，
过点作于点，延长交于点，
根据翻折可得，，，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，，，
可得，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，代入可得
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
综上，点或时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点T的坐标代入一次函数得解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）表示出平移后的抛物线解析式，将代入求出r的值，再分两种情况，判断点D与对称轴的关系解答即可；
（3）先求出点A和B的坐标，过点作于点，过点作于点，作交于点，进而得到，进而得到，求得点的坐标，再将沿翻折得到，延长交与点，得到，即可得到2AN=QG，2QN=DG，然后求出Q点坐标，求出只爱你DQ的解析式，进而求出点P2的坐标解答．
24．【问题提出】
数学课上，李老师提出问题：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AB=AD，∠BAD=90°，∠ACD=∠ACB=45°.试探究：
①若∠ABC=α，用含有α的式子表示∠ADC；
②若BC，CD与AC满足关系式BC+CD=k·AC，求k的值.
【方法探究】
九（1）班的两个数学学习小组经过讨论，提出了下面两种添加辅助线的方法，如图1：
方法1：延长CD到点F，使DF=BC，连接AF，根据“边角边”容易证得△ADF≌△ABC；
方法2：将△ABC绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，点C的对应点为F，则△ADF≌△ABC.
（1）【问题解决】
用含有α的式子表示∠ADC=　 　，k=　 　；
（2）【应用提升】
借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BAD=2∠BCD=120°，BC=CD=2求线段CE的长.
（3）【拓展应用】
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，点P为△ABC内一点，分别连接PA，PB，PC.若且∠APC+∠BAC=180°.直接写出△BCP的面积.
【答案】（1）；
（2）解：，
，
，
四点共圆，
如图，作交于点，作交于点，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，，
，
，
平分，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】角平分线的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：，，
，
；
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，即；
故答案为：；；
（3）解：如图，延长，过点作交的延长线于点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
作交于点，
，，
．
故答案为：.
【分析】（1）根据四边形的内角和为360°求得；然后根据SAS证明△ABC≌△ADF，即可得到为等腰直角三角形，进而求得，解答即可；
（2）先得到点四点共圆，作交于点，作交于点，过点作交于点，过点作交于点，根据解直角三角形求出BM和CM 的长，再根据勾股定理求出，利用角平分线的性质和三角形的面积求得，即可求出BE长，再解30°的直角三角形求出AN长，利用勾股定理求出AE长，再证明△BAE∽△CAB，根据对应边成比例解答即可；
（3）延长，过点作交的延长线于点，连接，根据两边成比例且夹角相等得到，进而得到，再推理得到，作交于点，求出BE和CP长，根据三角形的面积公式计算即可．
1 / 1湖南省岳阳市2026年初中数学学业水平考试适应性测试试卷
1．下列各数中，比-2小的数是（　　）
A．-π B．-1 C．0 D．1
2．东洞庭湖国家级自然保护区是国际重要湿地保护区，湿地保护率达72%以上.2026年2月监测到越冬水鸟超过485000余羽，将485000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
5．中国象棋起源于5000多年前的黄帝时期.《广象戏格》记载：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也.故戏兵以象戏名之”.如图放置的中国象棋，关于它的三视图表述正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．三种视图都相同
6．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，连接OB、OC.若∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（　　）
A．35° B．55° C．60° D．70°
7．某农技站为了解几种新推广的猕猴桃树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的猕猴桃树中各采摘了20棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
32 32 36 36
s2 2.4 2 m 1.6
调查显示20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，丙品种平均产量相对较高且稳定，则m的值可能是（　　）
A．0 B．1.5 C．1.8 D．2.1
8．在我们的生活中，不等关系随处可见.小明与妈妈今年分别是x岁与y岁.他们母子对话包含的数学依据是（　　）
A．若xC．若x9．如图，点C是反比例函数的图象上的一个动点，且CA⊥x轴于点A，AB∥OC交y轴于点B.则四边形ABOC的面积是（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（17，8），BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，以O为圆心、OA的长为半径画弧，交BC于点D；再分别以点A，D为圆心、大于AD的长为半径画弧，两弧交于点P，连接OP交AB于点E，则点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．函数的自变量x的取值范围是 　 　.
12．因式分解：=　 　．
13．为吸引顾客，某超市推出购物抽奖活动.如图，抽奖时转动质地均匀的圆形转盘，转盘停止后，指针随机指向某一区域，顾客根据指针指向的区域领取对应奖票.若阴影部分的圆心角为210°，则指针指向白色区域的概率为　 　.
14．如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子AC与水平地面CD的夹角∠ACD为35°，绳子与人体AB的夹角∠BAC=40°，则人体的倾斜角∠ABD=　 　°.
15．苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形.如图，AC与AD分别为正六边形ABCDEF的两条对角线，则=　 　.
16．如图，a，b，c分别为△ABC的三边，其中a≤b≤c，直线l是BC边的垂直平分线，顶点A到直线l的距离为d，我们将定义为△ABC的斜度，记作
（1）若△ABC的斜度ρ=0，则=　 　.
（2）若△ABC的三边满足关系式：则斜度ρ=　 　.
17．计算：
18．解不等式组，并将解集表示在数轴上.
19．为提高同学们学习数学的兴趣，某校开展了数学文化知识竞赛.该校九年级A、B两个班各有学生50人，九年级组计划从两个班中挑选一个班代表年级组参加学校的比赛，为了解这两个班学生对数学文化的关注程度，现对这两个班的学生进行相关测试，并各随机抽取10名学生的成绩（满分：100分）进行统计分析.
【数据收集】
九年级A班：90，55，70，95，55，80，70，80，65，70；
九年级B班：65，90，75，75，90，60，50，75，85，65.
【数据整理】
50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
九年级A班 2 1 3 2 b
九年级B班 1 3 a 1 2
【数据分析】
平均数 中位数 众数
九年级A班 73 70 d
九年级B班 73 c 75
【数据应用】
（1）表中a=　 　，b=　 　，c=　 　，d=　 　；
（2）学校规定测试成绩在80分以上的学生为优秀，请估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数；
（3）若在九年级选取一个班参加学校组织的比赛，根据统计数据，你建议选择A班还是B班，请说明理由.
20．如图，已知AB为⊙O的直径，BC是弦，点D为半径OC的延长线上一点，连接AD，∠B=∠D=30°.
（1）求证：AD是⊙O的切线.
（2）若求的长度（结果保留π）.
21．为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机.已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同.
（1）设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为　 　架（用含x的式子表示）；
（2）求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元
22．为防治白蚁，保护古树，如图所示，园艺技术人员在古树两侧的水平地面MN上，于B，D两处使用专业检测工具，精准定位古树根部区域的白蚁窝P，检测线AB与CD相交于白蚁窝P.已知BD=12.69m，检测线AB，CD与水平地面MN的夹角分别为∠ABM=30°，∠CDN=21°48'.
（1）两次检测定位时，两条检测线形成的夹角∠APC的度数是多少
（2）为了制定科学的除害方案，最大限度避免伤及古树根系，求白蚁窝P距离地面MN的深度.（结果保留整数，参考数据：）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线交于点T（5，t）和点Q（6，1）.
（1）求证：点Q为抛物线L的顶点；
（2）将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（r>0）个单位，得到抛物线L1，若抛物线L1经过点且点D在抛物线L1的对称轴左侧，求抛物线L1的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线L1的对称轴为直线l，作点C（0，-2）关于直线l的对称点B，连接AB，在直线AB上是否存在点P，满足∠ADP=∠CAO 若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
24．【问题提出】
数学课上，李老师提出问题：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AB=AD，∠BAD=90°，∠ACD=∠ACB=45°.试探究：
①若∠ABC=α，用含有α的式子表示∠ADC；
②若BC，CD与AC满足关系式BC+CD=k·AC，求k的值.
【方法探究】
九（1）班的两个数学学习小组经过讨论，提出了下面两种添加辅助线的方法，如图1：
方法1：延长CD到点F，使DF=BC，连接AF，根据“边角边”容易证得△ADF≌△ABC；
方法2：将△ABC绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，点C的对应点为F，则△ADF≌△ABC.
（1）【问题解决】
用含有α的式子表示∠ADC=　 　，k=　 　；
（2）【应用提升】
借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BAD=2∠BCD=120°，BC=CD=2求线段CE的长.
（3）【拓展应用】
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，点P为△ABC内一点，分别连接PA，PB，PC.若且∠APC+∠BAC=180°.直接写出△BCP的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据正数大于0，0大于负数，可得，，故C、D错误；
，，，
，
，，故A正确，B错误．
故答案为：A
【分析】根据正数大于0，0大于负数，据此比较大小解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误；
B：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得 ，∴B正确；
C：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，可得 ，∴C错误；
D：根据完全平方公式展开，可得 ，∴D错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法，幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式的运算法则逐项判断即可解答．
4．【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式，
即，
解得．
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，据此解答即可．
5．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，均为矩形，
俯视图为圆，与左视图和主视图不相同．
故答案为：C.
【分析】根据几何体的三视图解答即可.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理解答即可.
7．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵方差越小，数据波动越小，产量越稳定，
∴，
∵20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，
，
故符合要求的为1.5．
故答案为：B.
【分析】根据方差越小产量越稳定，求出m的取值范围解答即可．
8．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据题意，，．
故答案为：
【分析】根据题中图示的不等关系解答即可．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积.
故答案为：C.
【分析】根据值的几何意义，得到，然后得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的面积公式计算解答即可.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接，
点的坐标为，轴，轴，，
，，，．四边形是矩形
以为圆心、的长为半径画弧交于点，
．
在中，，
点的坐标为．
由作图可知，平分，即．
点在上，轴，
点的横坐标为，
设，则．
平分，
∴
又∵
，
，．
∴．
在：
，
解得．
点的坐标为．
故答案为：D.
【分析】连接，利用勾股定理求出CD长，根据题意得到点、的坐标，根据尺规作图得到平分， 设，则 ，根据SAS得到△OAE≌△ODE，即可得到，然后根据勾股定理求出y的值，即可解答．
11．【答案】x≠2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵ 函数有意义，
∴x-2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式的分母不为0解答即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= ；
故答案为： .
【分析】利用平方差公式分解即可.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意可得指针指向白色区域的概率为．
故答案为：.
【分析】根据几何概率的计算公式解答即可．
14．【答案】75
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，
∴．
故答案为：75.
【分析】根据三角形外角等于与它不相邻的内角的和解答即可．
15．【答案】
【知识点】正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：正六边形，
，，
，，
，
在直角三角形中，．
故答案为：.
【分析】先根据多边形的内角和定理得到正六边形的内角，然后求出和的度数，再根据正弦的定义解答即可．
16．【答案】（1）1
（2）
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；求正弦值；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）因为，且为三角形边长，，
所以，即顶点在直线上，
因为直线是边的垂直平分线，
所以，即，
所以，
所以，
所以；
故答案为：1；
（2）由已知，
，即，
所以，
根据勾股定理的逆定理，是以为斜边的直角三角形，且，
所以，
因为直线是边的垂直平分线，
所以，且直线经过的中点，
所以，所以点到直线的距离等于平行线与之间的距离，
因为平分，
所以，
所以，
故答案为：.
【分析】（1）根据斜度定义得出顶点在直线上，根据垂直平分线的性质可得，然后根据正弦的定义解答即可；
（2）将已知等式化简，得到三角形为直角三角形，根据平行线间的距离得到，然后代入斜度公式解答即可．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算绝对值，零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类二次根式解答即可.
18．【答案】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解两个不等式求出解集，然后再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，然后在数轴上表示出来即可.
19．【答案】（1）3；2；75；70
（2）解：A班10人中，成绩在80分及以上的学生有4人
∴（人）
答：估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数为20人；
（3）解：选B班，理由如下：
两班平均数相同，但B班的中位数和众数均高于A班，说明B班的成绩中等水平更好，因此选择B班．
【知识点】统计表；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：九年级A班成绩从小到大排序为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
的成绩为 ， 共 人，即；出现3次，次数最多，故众数为70，即；
九年级B班成绩从小到大排序为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
的成绩为75出现3次，故，
B班共10个数据，因此中位数是第5和第6个数的平均值，故；
故答案为：3；2；75；70；
【分析】（1）根据已知数据得到a，b的值，再利用中位数、众数的定义解答即可；
（2）运用A班人数乘以80分以上的学生占比解答即可；
（3）比较两班的中位数和众数解答即可．
20．【答案】（1）证明：∵∠B=30°，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出∠DOA=60°，然后根据三角形的内角和定理求出∠DAB=90°，即可证明结论；
（2）根据正切的定义求出圆的半径，然后根据三角形的内角和求出圆心角∠BOC的度数，再根据弧长公式计算即可．
21．【答案】（1）
（2）解：根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴，
所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可知租赁一架B型无人机元，
∴用4800元租赁B型无人机的数量为架；
故答案为：；
【分析】（1）先表示出B型无人机的租金，再用总金额除以租金解答即可可；
（2）根据题意列分式方程，求出x的值检验解答即可．
22．【答案】（1）解：根据对顶角相等可得，，
；
（2）解：如图，过点作，
设，
在中，可得，
在中，可得，
根据，可得，
解得，
答：白蚁窝P距离地面的深度约为米．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的其他实际应用；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等求出，，再利用三角形的内角和定理解答即可；
（2）过点作，设，根据正切的定义表示出，，然后根据BD=BE+DE列方程求出x的值解答即可．
23．【答案】（1）证明：把点代入，得，
，
把，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点；
（2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得或，
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意；
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意；
∴抛物线的解析式为；
（3）解：存在，
令，
解得，
，
，
∴直线l为直线，
作点关于直线l的对称点B，
，
如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
此时，
如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点，
根据翻折可得，
过点作于点，延长交于点，
根据翻折可得，，，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，，，
可得，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，代入可得
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
综上，点或时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点T的坐标代入一次函数得解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）表示出平移后的抛物线解析式，将代入求出r的值，再分两种情况，判断点D与对称轴的关系解答即可；
（3）先求出点A和B的坐标，过点作于点，过点作于点，作交于点，进而得到，进而得到，求得点的坐标，再将沿翻折得到，延长交与点，得到，即可得到2AN=QG，2QN=DG，然后求出Q点坐标，求出只爱你DQ的解析式，进而求出点P2的坐标解答．
24．【答案】（1）；
（2）解：，
，
，
四点共圆，
如图，作交于点，作交于点，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，，
，
，
平分，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】角平分线的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：，，
，
；
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，即；
故答案为：；；
（3）解：如图，延长，过点作交的延长线于点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
作交于点，
，，
．
故答案为：.
【分析】（1）根据四边形的内角和为360°求得；然后根据SAS证明△ABC≌△ADF，即可得到为等腰直角三角形，进而求得，解答即可；
（2）先得到点四点共圆，作交于点，作交于点，过点作交于点，过点作交于点，根据解直角三角形求出BM和CM 的长，再根据勾股定理求出，利用角平分线的性质和三角形的面积求得，即可求出BE长，再解30°的直角三角形求出AN长，利用勾股定理求出AE长，再证明△BAE∽△CAB，根据对应边成比例解答即可；
（3）延长，过点作交的延长线于点，连接，根据两边成比例且夹角相等得到，进而得到，再推理得到，作交于点，求出BE和CP长，根据三角形的面积公式计算即可．
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