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贵州省毕节市2025-2026学年高一下学期期中考试数学自编模拟试卷（练习卷）
考试时间：120分钟；分值：150
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）已知是虚数单位，则复数（ ）
A． B．1 C． D．
2．（本题5分）在某校高一年级参加的一次质量检测中，共有1500名学生参加数学考试.为了解本次考试考生的数学成绩情况，本中抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，成绩均在内，按照的分组作出频率分布直方图（如图所示），据图中数据，则（ ）
A．该样本中学生成绩的中位数一定大于75
B．该样本中学生成绩的极差介于40至50之间
C．该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间
D．若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数不超过1300
3．（本题5分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（本题5分）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（本题5分）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点逆时针旋转90°后得到，若，则（ ）
A． B． C． D．1
6．（本题5分）要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的
A．平均数 B．方差 C．众数 D．频率分布
7．（本题5分）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A． B． C． D．或
8．（本题5分）在平行四边形中，是边靠近的四等分点，与交于点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（ ）
A． B．的周长为
C． D．椭圆的离心率为
10．（本题6分）如图，在菱形中，，、分别是，的中点，、相交于点，连接，.下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（本题6分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人” ．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：中位数为2，众数为3； 乙地：平均数为2，方差为3；
丙地：平均数为3，极差为5； 丁地：平均数为5，众数为6．
则一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）已知内接于单位圆，且，则面积的最大值是_____________.
13．（本题5分）已知向量、满足，，且，则与的夹角为________.
14．（本题5分）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________．
四、解答题（共77分）
15．（本题10分）已知复数满足.
(1)求复数和；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值.
16．（本题15分）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，．
17．（本题20分）如图，某景区有景点，经测量得，，.

(1)求景点之间的距离；
(2)现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值.
18．（本题10分）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值.
19．（本题22分）如图，在中，点在线段上，为等边三角形．

(1)若，求线段的长度；
(2)若，求线段的最大值；
(3)若，平分，求与内切圆半径之比的取值范围．
《贵州省毕节市2025-2026学年高一下学期期中考试数学自编模拟试卷（练习卷）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B B D D A ACD ABD
题号 11
答案 BC
1．B
【分析】运用完全平方和公式展开，再4次方即可求出.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．C
【分析】利用频率分布直方图结合各数字特征的意义逐项判断可确定选项.
【详解】由题意得，，解得.
对于选项A，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，故中位数在间，但样本成绩在间的可能均为74分，故中位数不一定大于75，所以选项A错误；
对于选项B，由极差的定义知，学生成绩的极差介于40至60之间，所以选项B错误；
对于选项C，由平均数的定义知，学生成绩的平均成绩为，介于70至80之间，所以选项C正确；
对于选项D，由于成绩不低于60分的频率为，所以成绩不低于60分的人数是，所以选项D错误.
故选：C.
3．C
【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得.
【详解】由余弦定理的推论，结合，
得，
整理得，所以.
所以.
因为，所以.
4．B
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以
5．B
【分析】写出向量的坐标，根据向量的线性运算可得答案.
【详解】设正方形的网格长度为1，则，
将绕着起点逆时针旋转90°后得到的向量为，
由，可得，即.
6．D
【详解】试题分析：频率分布直方图是用来显示样本在某一范围所占的比例大小，故要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的频率分布
考点：本题考查了频率分布直方图的意义和运用
点评：平均数是表示样本的平均水平，方差表示的是学生身高波动的大小，众数则表示哪一个身高的学生最多，只有频率分步直方图可以清晰地揭示各个身高的学生所占的比例．
7．D
【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小.
【详解】在中，因为，，，且，故，
由正弦定理可得，
又因为，故或.
故选：D.
8．A
【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得．
【详解】由，，
可得，
由题意，则，
则．
故选：A．
9．ACD
【分析】A利用面积得出，再结合相似可得；B结合椭圆的定义可得；C根据三线合一得出，再结合以及椭圆的定义可得；D在、中利用余弦定理可得.
【详解】A选项，因为，所以,
则，由相似可得，故A正确；
B选项，因为直线过点，
则由椭圆的定义可知，的周长为，
又，故B错误；
C选项，因为为线段的中点，平分，所以，
因为，所以可设，，
则由椭圆的定义可知，，
则，得，
故，故C正确；
D选项，由C选项可知，，
在、中利用余弦定理可得，
，
即，得，
故椭圆的离心率为，故D正确.
故选：ACD
10．ABD
【分析】对于A，由条件可判定，为等边三角形，可得出,求出的度数，即可求出的度数；对于B，由条件证明即可；对于C，在与中，由，即可；对于D，由等边三角形的面积可知.
【详解】在菱形中，，
∵，∴，
∴是等边三角形，是等边三角形，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，故A选项正确；
在和中，，
∴
∴，
∴，∴
∵，
∴，故B选项正确；
∵为直角三角形，
∴，∴，
∴与不全等，故C选项错误；
∵，，，
根据勾股定理，得，
∴，故D选项正确.
故选：ABD.
11．BC
【分析】A.举例判断；B. 假设出现一次大于7，设，利用方差运算判断；C. 假设出现了8人，则一定有出现3人情况判断；D.举例判断.
【详解】对于甲地，如0，0，1，1，1，3，3，3，3，8，故错误；
对于乙地，若出现一次大于7，设，
则，
，矛盾，故正确；
对于丙地，若出现了8人，则一定有出现3人情况，这样平均数就不可能是3，
∴丙地不可能有超过7人的情况，故正确．
对于丁地，无法判断是否有超过7人的情况，如2，2，3，5，6，6，6，6，6，8，平均数为5，众数为6，故错误；
故选：BC．
12．
【分析】根据两角和的正切公式，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】
，
因为，所以，
因为内接于单位圆，
所以由正弦定理可知
由余弦定理可知 ，
因为，当且仅当时，取等号，
所以有，
所以面积为
即，
所以当时，面积的最大值是.
13．
【分析】直接应用数量积的运算，求出与的夹角．
【详解】设向量、的夹角为；
∵，∴，
∵，∴.
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
14．1
【分析】根据纯虚数的概念，列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，解得.
故答案为：1.
15．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果；
（2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值.
【详解】（1）因为复数满足，
所以，
所以.
所以.
（2）因为复数是关于的方程的一个根，
由（1）知，所以
，
所以，
解得，.
16．，
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合方程组的思想求解即得.
【详解】由，得，而，
因此，解得，，
所以，.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求得的值，即可得解；
（2）设的外心为，连接交于点，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径，利用余弦定理求得的值，即可得解.
【详解】（1）在中由正弦定理可得，即，
解得，
，，为正三角形，
，即景点之间的距离为.
（2）设的外心为，连接交于点，设外接圆的半径为，
则，解得，
,，
的最小值为，
，，
，
，
，
，即，
的最小值为，即栈道长度的最小值为.

【点睛】关键点点睛：第二问关键是根据圆的性质转化为求，从而只需求出的值.
18．(1)；
(2)6.
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得；
（2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，
由题意可得，化简得，
解得，，所以.
（2）由（1）可知.
由，得，即，
即，解得或.
因为，所以n的最小值是6.
即使成立的n的最小值为6.
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由题设得，应用向量数量积的运算律求模长即可得；
（2）由，设，应用向量数量积的运算律、三角恒等变换及辅助角公式得，即可求最大值；
（3）设，，与内切圆半径，角平分线的性质得，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据的范围即可求出结果.
【详解】（1）由，
所以；
（2）由，
所以
，
令，则，
所以，，
当，最大；
（3）由角平分线的性质有，则，
设，，与内切圆半径，
由，即，得，
由，，则，
又，，
所以，则，
由，
，
所以，
令，则，而，则，
所以，则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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