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浙江省杭州市滨江区江南实验学校2025-2026学年上学期第二次月考九年级数学试卷
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1．二次函数 图象的顶点坐标是(　　)
A．(1， 1) B．(-1， 1)
C．(1， - 1) D．( - 1， - 1)
2．一个布袋里装有2个红球，3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
3． 如图， AB∥CD∥EF、AF与BE相交于点G(点G在CD， EF之间) ， 若AC=3， CG=2，GF=4， 则 的值为（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．以点C为圆心，4为半径画圆，则（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点B在圆上 D．点B在圆外
5． 在平面直角坐标系中， 函数v= (x+1) (x-3) 的图象经平移后得到y= (x+3) (x-1) 的图象，则这个平移可以是 （　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
6． 如图， △ABP是由△ACD 按顺时针方向旋转某一角度得到的， 若∠BAP=60°， ∠CAP=30°，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为 （　　）
A．P， 30° B．A， 30° C．P， 90° D．A， 90°
7．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数.若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 则密码的位数至少需要设（　　）
A．五位 B．四位 C．三位 D．二位
8． 如图，△ABC是⊙O的内接锐角三角形， AD 是⊙O的直径. 若∠CAD=α°， 和∠ABC=β°， 则α和β满足的关系式为（　　）
A．α=β B．α=2β C．α+β=90 D．α+2β=180
9． 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB 于点D，连接AO 并延长，交⊙O 于点 E，连接BE， DE.若∠A=∠ODE， AB=4 则OD长为(　　)
A．4 B． C． D．
10． 如图， D， E为锐角△ABC的边上的两点， BC=20， DE∥BC， DG⊥BC于G， EF⊥BC于 F。设DE=x，四边形DEFG的面积为S。如图，S关于x的函数图象为抛物线的一部分，其顶点坐标为(m，200) 。则下面两个结论：( ②点(5，150)在该函数图象上。判断正确的是(　　)
A．①对②锗 B．①错②对 C．两个都对 D．两个都错
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
11． 如图， 在Rt△ABC中， AC=4， BC=3， ∠C=90°， 则sinA 的值为 　 　。
12．一枚图钉从一定的高度落下，落地后有可能图钉尖着地，也有可能图钉尖不着地，部分试验结果如下表所示：
次数 n 100 400 600 800 1000
图钉尖着地次数 m 29 134 200 265 330
图钉尖着地的频率mn 0.290 0.350 0.333 0.331 0.330
由此表估计该图钉从相同高度落下后钉尖着地的概率是 　 　。(结果精确到0.01)
13．如图，正五边形ABCDE的边长为2，以点A 为圆心，AB长为半径作圆，则该圆在正五边形内部的BE的长为　 　。(结果保留π)
14． 如图， 在△ABC中， 点D为BC边上的一点， 且AD=AB=6. AD⊥AB于点A， 过点D作DE⊥AD， DE交AC 于点E， 若DE=2， 则△CDE 的面积为　 　。
15．如图，函数 与y= mx+n的图象交于A (-1， p) ， B (4， q) 两点， 则关于x的不等式 的解集是 　 　。
16．如图，矩形ABCD 中，E为边 BC上的动点，连结AE，B关于直线AE 的对称点为F，连结CF. 若AB=2， AD=3， 当( 时， BE的长为　 　。
三、解答题(共8小题，共72分)
17．计算：
18．如图， 在△ABC中， D为AC边上一点， ∠DBC=∠A。
（1） 求证： △BDC∽△ABC。
（2） 如果BC=3， AC=5， 求 CD 的长。
19．如图，是一个均匀的圆形转盘，阴影部分扇形圆心角为120°。
（1）转动转盘1次，求指针落在阴影部分(边界宽度忽略不计)的概率。
（2）转动转盘2次，求两次指针都落在阴影部分(边界宽度忽略不计)的概率。
20．如图， 在⊙O中， 过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A， B 两点。
（1） 求∠BOC 的度数。
（2） 若. 计算阴影部分的面积。
21．某商品的进价为每件20元，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，如果调整价格，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。
（1）求每天所得的销售利润w(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式，并写出x的取值范围。
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大 最大利润是多少
22．如图，在正方形ABCD中， 点E在边BC上(不与点B， C重合) ， 点F在边 CD的延长线上， 且DF=2BE， 连接EF交AD于点G，过点A 作AN⊥EF于点 M， 交边CD 于点N.
（1） 求证： △AND∽△FEC。
（2） 若DN=2CN。
①求tan∠FEC 的值。
②当BE=3时， 求GD的长。
23．已知二次函数y=a(x-1)(x+2a+1)(a≠0， 且为常数) 。
（1）若a=1，求该二次函数的图象的顶点坐标。
（2）若a<0，当x>2时，此二次函数y随着x的增大而减小，求a的取值范围。
（3） 当-a-1≤x≤a+1时， 该二次函数的最大值为m， 最小值为n'， 若m-n=9a， 求a的值。
24．我们知道：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心。
（1）如图1，尺规作图，求作△ABC的重心。
（2） 如图2， D为△ABC内一点， 连结AD， BD， CD。若
①求证： D为△ABC的重心。
②若∠BAC=30°， BC=4， 求 BD 的最大值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是(-1，1)，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的顶点坐标为(h，k)解答即可.
2．【答案】A
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：依题可得：
布袋中一共有球：2+3+5=10（个），
∴搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率P= .
故答案为：A.
【分析】结合题意求得布袋中球的总个数，再根据概率公式即可求得答案.
3．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
又·.
故选： A.
【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行线分析线段成比例定理，可得出 再结合各边的长度，即可得出 的值.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据勾股定理得BC=4，因此B在以C为圆心，4为半径的圆上；
故答案为：C.
【分析】点与圆的位置关系：d＞r，点在圆外；d=r，点在圆上；d＜r，点在圆内；题目中由勾股定理求出BC长，即可得到C与A、C与B的距离d，从判断A、B与圆的位置关系：A在圆内，B在圆上.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 顶点坐标是(-1，-4)，
顶点坐标是(1，-4)，
所以将抛物线y=(x+1)(x-3)向左平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-1)，
故选： A.
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律解答即可.
6．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由图可知点A的对应点为A，则点A为旋转中心，
又∵∠BAC=∠BAP+∠CAP=60°+30°=90°，
故旋转角为90°，
故答案为：D.
【分析】 根据对应点的垂直平分线过旋转中心，旋转角为对应点与旋转中心连线形成的夹角解答即可.
7．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵每一位密码上都可以设置0到9这10个数字，
∴设置n位密码则有 种结果数，
又∵一次就拨对密码的结果数为1，
∴一次就拨对密码的概率为
∴一次就拨对密码的概率小于 则密码的位数
至少需要设4位，
故选： B.
【分析】由于每一位密码上都可以设置0到9这10个数字，则设置n位密码则有 种结果数，根据概率公式可得一次就拨对密码的概率为 ，再由概率小于 即可得到答案.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴，
故选：C.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角为直角，得出∠ABD=90°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出 再根据角之间的数量关系，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，
∵OC⊥AB， AB=4 ，
∴AD=2，
∵∠A=∠ODE，∠AED=∠DEO，
∴△EOD∽△EDA，
∴，即，
解得DE=（负值舍去），，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理得到AD=2，设⊙O的半径为r，根据两角对应相等得到△EOD∽△EDA，即可根据对应边成比例解答即可.
10．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点A作AP⊥BC于点P，交 DE于点Q，
∵ DE∥BC， DG⊥BC， EF⊥BC，
∴∠DGC=∠EFG=∠GDE=90°，
∴DGFE是矩形，
∴DG=PQ，
∵BC=20，
∴x的取值范围为0∴由图象可得，对称轴为直线x=，即m=10，故①错误；
当m=10时，S=200，
∴PQ=DG=20，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得AP=40，
当x=5时，
根据得，
∴AQ=10，
∴PQ=DG=30，
∴S=DG×DE=30×5=150，故②正确；
故答案为：B.
【分析】过点A作AP⊥BC于点P，交 DE于点Q，先证明DEFG是矩形，然后根据二次函数的取值范围得到m的值判断①，同时求出AP的长，然后当x=5时，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求出DG长，进而得到四边形的面积判断②解答即可.
11．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】jie ：
故答案为：
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可.
12．【答案】0.33
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据大量实验得到图钉从相同高度落下后钉尖着地的频率大约是0.330，
∴ 该图钉从相同高度落下后钉尖着地的概率是0.33，
故答案为：0.33.
【分析】根据试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近解答即可.
13．【答案】
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∵正五边形ABCDE的边长为2，
∴弧BE的长
故答案为：
【分析】根据正五边形的性质求出五边形的内角的度数，即扇形圆心角度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可.
14．【答案】3
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解： 作CF⊥AD交AD的延长线于点 F，
∵AD=AB=6， AD⊥AB，
∴∠B=∠ADB=45°，
∵∠ADB=∠CDF， CF⊥AD，
∴∠CDF=45°， ∠CFD=90°，
∴∠DCF=∠CDF=45°，.
∴CF=DF，
∵AD⊥DE， AF⊥FC，
∴DE∥FC，
∴△ADE∽△AFC，
∵AD=6， DE=2， DF=CF，
解得， CF=3，
∴△CDE的面积是：
故答案为： 3.
【分析】根据AD=AB=6，AD⊥AB，可以得到△ABD是等腰直角三角形，作辅助线CF⊥AD交AD的延长线于点 F，再根据三角形相似可以求得CF的长，然后根据三角形面积公式即可求得△ADC的面积.
15．【答案】x<-4或x>1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵抛物线 与直线y=mx+n的图象交于A(-1，p)，B(4，q)两点，
抛物线 与直线y=-mx+n交于P(1，p)，Q(-4，q)两点.
观察函数图象可知：当x<-4或x>1时，直线y=-mx+n在抛物线 的下方，
∴不等式 的解集为x<-4或x>1.
故答案为：x<-4或x>1.
【分析】根据函数图象的对称性得到抛物线 与直线y=-mx+n交于P(1，p)，Q(-4，q)两点，然后借助图象得到直线y=-mx+n在抛物线 的下方时自变量x的取值范围即可.
16．【答案】或2
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：如图（1），过点CG⊥AH，交AH的延长线于点G，AG与BC交于点H，
∵ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，CD=AB=2，AD=BC=3，
∴，
由翻折可得AF=AB=2，
∴，即，
解得FG=1，CG=2=AB，
又∵∠B=∠G=90°，∠AHB=∠HGC，
∴△ABH≌△CGH，
∴BH=HG，
在Rt△CHG中，，即，
解得CH=，
∴，FH=，
在Rt△EFG中，，即，
解得BE=；
如图（2），过点CG⊥AH，则可知AG=3，CG=2，即点D和G重合，
这时CE=DF=1，
∴BE=2；
故答案为：或2.
【分析】分为两种情况：如图（1），过点CG⊥AH，交AH的延长线于点G，AG与BC交于点H，根据勾股定理求出CG和FG的长，然后证明△ABH≌△CGH，再根据勾股定理求出CH=，，FH=，再在Rt△EFG中利用勾股定理求出BE长，如图（2）得到点D和G重合，解答即可.
17．【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，然后计算即可.
18．【答案】（1）证明：
（2）解：
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据相似三角形的判定得出即可；
(2)根据相似得出比例式，代入求出即可.
19．【答案】（1）解： 指针落在阴影部分(边界宽度忽略不计)的概率为
（2）解：如图，将非阴影区域分成两等份，这样指向三个区域的可能性均等，
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
第1次 第2次 白1 白2 黑
白1 白1，白1 白2，白1 黑，白1
白2 白1，白2 白2，白2 黑，白2
黑 白1，黑 白2，黑 黑，黑
由表可知，共有9种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中两次指针都落在阴影区域的有1种，为“黑黑”
所以两次指针都落在阴影部分区域的概率为
故答案为：
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）利用即可概率的求法解答即可；
（2）列表得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可.
20．【答案】（1）解：连接BD，
∵ AB⊥OD ，OC=CD，
∴BD=OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOC=60°
（2）解：∵ AB⊥OD ，
∴，
在Rt△ABC中，，即，
解得OC=1，OB=2，
∴阴影部分的面积=
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)判断△OBD是等边三角形解答即可；
(2)先根据垂径定理求出BC长，然后根据勾股定理求出半径长，再根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积= 进行计算.
21．【答案】（1）解：由题意得，每件商品的利润为25-20+x=5+x(元)，销量为(250-10x)件，
则有w=(5+x)(250-10x)
（2）解：由(1)得：
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=10时，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据利润=(销售单价-进价)×销售量，列出函数关系式即可；
(2)根据(1)式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.
22．【答案】（1）证明：∵ABCD是正方形， AN⊥EF
∴∠ADC=∠BCD=∠FMN=90°，AD=DC，
又∵∠DAN+∠AND=∠F+∠AND=90°，
∴∠DAN=∠F，
∴△ADN∽△FEC
（2）解：①∵ DN=2CN ，
∴AD=DC=3CN，
∵△ADN∽△FEC，
∴∠FEC=∠AND，
∴tan∠FEC=tan∠AND=；
②∵BE=3，
∴DF=2BE=6
又∵AD∥CE，
∴tan∠FEC=tan∠FGD=，
∴DG=4
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用两角对应相等得到两三角形相似即可；
（2）①根据相似得到∠FEC=∠AND，然后根据tan∠FEC=tan∠AND解答即可；
②先求出DF的长，然后根据正切的定义解答即可.
23．【答案】（1）解：当a=1时， y=(x-1)(x+3)=(x+1)2-4，
∴ 二次函数的图象的顶点坐标(-1，-4)
（2）解：令y=0，则 a(x-1)(x+2a+1)=0，
解得x=1或x=-2a-1，
∴ 对称轴为直线x=，
又∵ a<0，当x>2时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴对称轴x=-a≤2，
解得-2≤a<0
（3）解：∵ 二次函数的最大值为m， 最小值为n， m-n=9a，
∴a>0，
即-a-1≤ -a≤a+1，
当x=-a时为最小值，最小值为n=a(-a-1)(a+1)，
又∵a+1离对称轴的距离比-a-1离对称轴的距离大，
∴当x=a+1时有最大值，最大值为m=a2(3a+2)，
∴m-n=a2(3a+2)-a(-a-1)(a+1)=9a，
解得：a=-2（舍去）或a=1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把a=1代入，配方为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）令y=0，求出与x轴的焦点横坐标，得到对称轴为直线x=-a，然后根据函数的增减性解答即可；
（3）由题意可得a>0，然后根据二次函数的对称轴的位置和增减性得到m和n的值，代入计算即可.
24．【答案】（1）解：如图，点D即为所作；
（2）①证明：延长AD交BC于点E，过点B作BN⊥AD与点N，过点M作CM⊥AE于点M，则∠N=∠CME=90°，
∵，，，
∴CM=BN，
又∵∠BEN=∠CEM，
∴△BNE≌△CME(AAS)，
∴BE=CE，
同理BD所在直线过AC的中点，
∴点D是△ABC的中心；
②解：设BD的延长线交AC于点Q，延长CD交AB于点K，
则AQ=CQ，AK=BK，
即
∴点A在以BC为弦的圆上，
即
∴点Q在以OC为直径的圆上运动，
设以OC为直径的圆的圆心为点G，设圆G交BC于点E，连接OE，过点G作 于点T，
则
∴当BQ过点G时，BQ最长，此时BD最长，
是等边三角形，
即BD的最大值为
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；三角形的重心及应用；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AB，BC边的中线交于点D，则点D即为所作；
（2）①延长AD交BC于点E，过点B作BN⊥AD与点N，过点M作CM⊥AE于点M，则∠N=∠CME=90°，根据三角形的面积得到CM=BN，然后利用AAS得到△BNE≌△CME，即可得到BE=CE，同理可得BD所在直线过AC的中点，证明结论；
②设BD的延长线交AC于点Q，延长CD交AB于点K， 则AQ=CQ， AK = BK， 可得△DKQ ∽△DCB，从而得到. 再由∠BAC =30°， BC = 4， 可得点A在以BC为弦的圆上， 设以BC为弦的圆的圆心为O，连接OQ，根据垂径定理可得∠OQC =90°，从而得到点Q在以OC为直径的圆上运动，设以OC为直径的圆的圆心为点G，设圆G交BC于点E，连接OE，过点G作GT⊥BC于点T，则∠OEC =∠CTG = 90°， 可得当BQ过点G时，BQ最长，此时BD最长，证明△COB是等边三角形，可得BO= OC = BC =4，从而得到 再根据OE∥GT， 可得 从而得到 进而得到 BQ长即可求解.
1 / 1浙江省杭州市滨江区江南实验学校2025-2026学年上学期第二次月考九年级数学试卷
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1．二次函数 图象的顶点坐标是(　　)
A．(1， 1) B．(-1， 1)
C．(1， - 1) D．( - 1， - 1)
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是(-1，1)，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的顶点坐标为(h，k)解答即可.
2．一个布袋里装有2个红球，3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：依题可得：
布袋中一共有球：2+3+5=10（个），
∴搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率P= .
故答案为：A.
【分析】结合题意求得布袋中球的总个数，再根据概率公式即可求得答案.
3． 如图， AB∥CD∥EF、AF与BE相交于点G(点G在CD， EF之间) ， 若AC=3， CG=2，GF=4， 则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
又·.
故选： A.
【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行线分析线段成比例定理，可得出 再结合各边的长度，即可得出 的值.
4．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．以点C为圆心，4为半径画圆，则（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点B在圆上 D．点B在圆外
【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据勾股定理得BC=4，因此B在以C为圆心，4为半径的圆上；
故答案为：C.
【分析】点与圆的位置关系：d＞r，点在圆外；d=r，点在圆上；d＜r，点在圆内；题目中由勾股定理求出BC长，即可得到C与A、C与B的距离d，从判断A、B与圆的位置关系：A在圆内，B在圆上.
5． 在平面直角坐标系中， 函数v= (x+1) (x-3) 的图象经平移后得到y= (x+3) (x-1) 的图象，则这个平移可以是 （　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 顶点坐标是(-1，-4)，
顶点坐标是(1，-4)，
所以将抛物线y=(x+1)(x-3)向左平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-1)，
故选： A.
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律解答即可.
6． 如图， △ABP是由△ACD 按顺时针方向旋转某一角度得到的， 若∠BAP=60°， ∠CAP=30°，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为 （　　）
A．P， 30° B．A， 30° C．P， 90° D．A， 90°
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由图可知点A的对应点为A，则点A为旋转中心，
又∵∠BAC=∠BAP+∠CAP=60°+30°=90°，
故旋转角为90°，
故答案为：D.
【分析】 根据对应点的垂直平分线过旋转中心，旋转角为对应点与旋转中心连线形成的夹角解答即可.
7．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数.若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 则密码的位数至少需要设（　　）
A．五位 B．四位 C．三位 D．二位
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵每一位密码上都可以设置0到9这10个数字，
∴设置n位密码则有 种结果数，
又∵一次就拨对密码的结果数为1，
∴一次就拨对密码的概率为
∴一次就拨对密码的概率小于 则密码的位数
至少需要设4位，
故选： B.
【分析】由于每一位密码上都可以设置0到9这10个数字，则设置n位密码则有 种结果数，根据概率公式可得一次就拨对密码的概率为 ，再由概率小于 即可得到答案.
8． 如图，△ABC是⊙O的内接锐角三角形， AD 是⊙O的直径. 若∠CAD=α°， 和∠ABC=β°， 则α和β满足的关系式为（　　）
A．α=β B．α=2β C．α+β=90 D．α+2β=180
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴，
故选：C.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角为直角，得出∠ABD=90°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出 再根据角之间的数量关系，即可得出答案.
9． 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB 于点D，连接AO 并延长，交⊙O 于点 E，连接BE， DE.若∠A=∠ODE， AB=4 则OD长为(　　)
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，
∵OC⊥AB， AB=4 ，
∴AD=2，
∵∠A=∠ODE，∠AED=∠DEO，
∴△EOD∽△EDA，
∴，即，
解得DE=（负值舍去），，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理得到AD=2，设⊙O的半径为r，根据两角对应相等得到△EOD∽△EDA，即可根据对应边成比例解答即可.
10． 如图， D， E为锐角△ABC的边上的两点， BC=20， DE∥BC， DG⊥BC于G， EF⊥BC于 F。设DE=x，四边形DEFG的面积为S。如图，S关于x的函数图象为抛物线的一部分，其顶点坐标为(m，200) 。则下面两个结论：( ②点(5，150)在该函数图象上。判断正确的是(　　)
A．①对②锗 B．①错②对 C．两个都对 D．两个都错
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点A作AP⊥BC于点P，交 DE于点Q，
∵ DE∥BC， DG⊥BC， EF⊥BC，
∴∠DGC=∠EFG=∠GDE=90°，
∴DGFE是矩形，
∴DG=PQ，
∵BC=20，
∴x的取值范围为0∴由图象可得，对称轴为直线x=，即m=10，故①错误；
当m=10时，S=200，
∴PQ=DG=20，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得AP=40，
当x=5时，
根据得，
∴AQ=10，
∴PQ=DG=30，
∴S=DG×DE=30×5=150，故②正确；
故答案为：B.
【分析】过点A作AP⊥BC于点P，交 DE于点Q，先证明DEFG是矩形，然后根据二次函数的取值范围得到m的值判断①，同时求出AP的长，然后当x=5时，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求出DG长，进而得到四边形的面积判断②解答即可.
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
11． 如图， 在Rt△ABC中， AC=4， BC=3， ∠C=90°， 则sinA 的值为 　 　。
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】jie ：
故答案为：
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可.
12．一枚图钉从一定的高度落下，落地后有可能图钉尖着地，也有可能图钉尖不着地，部分试验结果如下表所示：
次数 n 100 400 600 800 1000
图钉尖着地次数 m 29 134 200 265 330
图钉尖着地的频率mn 0.290 0.350 0.333 0.331 0.330
由此表估计该图钉从相同高度落下后钉尖着地的概率是 　 　。(结果精确到0.01)
【答案】0.33
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据大量实验得到图钉从相同高度落下后钉尖着地的频率大约是0.330，
∴ 该图钉从相同高度落下后钉尖着地的概率是0.33，
故答案为：0.33.
【分析】根据试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近解答即可.
13．如图，正五边形ABCDE的边长为2，以点A 为圆心，AB长为半径作圆，则该圆在正五边形内部的BE的长为　 　。(结果保留π)
【答案】
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∵正五边形ABCDE的边长为2，
∴弧BE的长
故答案为：
【分析】根据正五边形的性质求出五边形的内角的度数，即扇形圆心角度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可.
14． 如图， 在△ABC中， 点D为BC边上的一点， 且AD=AB=6. AD⊥AB于点A， 过点D作DE⊥AD， DE交AC 于点E， 若DE=2， 则△CDE 的面积为　 　。
【答案】3
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解： 作CF⊥AD交AD的延长线于点 F，
∵AD=AB=6， AD⊥AB，
∴∠B=∠ADB=45°，
∵∠ADB=∠CDF， CF⊥AD，
∴∠CDF=45°， ∠CFD=90°，
∴∠DCF=∠CDF=45°，.
∴CF=DF，
∵AD⊥DE， AF⊥FC，
∴DE∥FC，
∴△ADE∽△AFC，
∵AD=6， DE=2， DF=CF，
解得， CF=3，
∴△CDE的面积是：
故答案为： 3.
【分析】根据AD=AB=6，AD⊥AB，可以得到△ABD是等腰直角三角形，作辅助线CF⊥AD交AD的延长线于点 F，再根据三角形相似可以求得CF的长，然后根据三角形面积公式即可求得△ADC的面积.
15．如图，函数 与y= mx+n的图象交于A (-1， p) ， B (4， q) 两点， 则关于x的不等式 的解集是 　 　。
【答案】x<-4或x>1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵抛物线 与直线y=mx+n的图象交于A(-1，p)，B(4，q)两点，
抛物线 与直线y=-mx+n交于P(1，p)，Q(-4，q)两点.
观察函数图象可知：当x<-4或x>1时，直线y=-mx+n在抛物线 的下方，
∴不等式 的解集为x<-4或x>1.
故答案为：x<-4或x>1.
【分析】根据函数图象的对称性得到抛物线 与直线y=-mx+n交于P(1，p)，Q(-4，q)两点，然后借助图象得到直线y=-mx+n在抛物线 的下方时自变量x的取值范围即可.
16．如图，矩形ABCD 中，E为边 BC上的动点，连结AE，B关于直线AE 的对称点为F，连结CF. 若AB=2， AD=3， 当( 时， BE的长为　 　。
【答案】或2
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：如图（1），过点CG⊥AH，交AH的延长线于点G，AG与BC交于点H，
∵ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，CD=AB=2，AD=BC=3，
∴，
由翻折可得AF=AB=2，
∴，即，
解得FG=1，CG=2=AB，
又∵∠B=∠G=90°，∠AHB=∠HGC，
∴△ABH≌△CGH，
∴BH=HG，
在Rt△CHG中，，即，
解得CH=，
∴，FH=，
在Rt△EFG中，，即，
解得BE=；
如图（2），过点CG⊥AH，则可知AG=3，CG=2，即点D和G重合，
这时CE=DF=1，
∴BE=2；
故答案为：或2.
【分析】分为两种情况：如图（1），过点CG⊥AH，交AH的延长线于点G，AG与BC交于点H，根据勾股定理求出CG和FG的长，然后证明△ABH≌△CGH，再根据勾股定理求出CH=，，FH=，再在Rt△EFG中利用勾股定理求出BE长，如图（2）得到点D和G重合，解答即可.
三、解答题(共8小题，共72分)
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，然后计算即可.
18．如图， 在△ABC中， D为AC边上一点， ∠DBC=∠A。
（1） 求证： △BDC∽△ABC。
（2） 如果BC=3， AC=5， 求 CD 的长。
【答案】（1）证明：
（2）解：
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据相似三角形的判定得出即可；
(2)根据相似得出比例式，代入求出即可.
19．如图，是一个均匀的圆形转盘，阴影部分扇形圆心角为120°。
（1）转动转盘1次，求指针落在阴影部分(边界宽度忽略不计)的概率。
（2）转动转盘2次，求两次指针都落在阴影部分(边界宽度忽略不计)的概率。
【答案】（1）解： 指针落在阴影部分(边界宽度忽略不计)的概率为
（2）解：如图，将非阴影区域分成两等份，这样指向三个区域的可能性均等，
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
第1次 第2次 白1 白2 黑
白1 白1，白1 白2，白1 黑，白1
白2 白1，白2 白2，白2 黑，白2
黑 白1，黑 白2，黑 黑，黑
由表可知，共有9种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中两次指针都落在阴影区域的有1种，为“黑黑”
所以两次指针都落在阴影部分区域的概率为
故答案为：
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）利用即可概率的求法解答即可；
（2）列表得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可.
20．如图， 在⊙O中， 过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A， B 两点。
（1） 求∠BOC 的度数。
（2） 若. 计算阴影部分的面积。
【答案】（1）解：连接BD，
∵ AB⊥OD ，OC=CD，
∴BD=OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOC=60°
（2）解：∵ AB⊥OD ，
∴，
在Rt△ABC中，，即，
解得OC=1，OB=2，
∴阴影部分的面积=
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)判断△OBD是等边三角形解答即可；
(2)先根据垂径定理求出BC长，然后根据勾股定理求出半径长，再根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积= 进行计算.
21．某商品的进价为每件20元，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，如果调整价格，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。
（1）求每天所得的销售利润w(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式，并写出x的取值范围。
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：由题意得，每件商品的利润为25-20+x=5+x(元)，销量为(250-10x)件，
则有w=(5+x)(250-10x)
（2）解：由(1)得：
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=10时，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据利润=(销售单价-进价)×销售量，列出函数关系式即可；
(2)根据(1)式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.
22．如图，在正方形ABCD中， 点E在边BC上(不与点B， C重合) ， 点F在边 CD的延长线上， 且DF=2BE， 连接EF交AD于点G，过点A 作AN⊥EF于点 M， 交边CD 于点N.
（1） 求证： △AND∽△FEC。
（2） 若DN=2CN。
①求tan∠FEC 的值。
②当BE=3时， 求GD的长。
【答案】（1）证明：∵ABCD是正方形， AN⊥EF
∴∠ADC=∠BCD=∠FMN=90°，AD=DC，
又∵∠DAN+∠AND=∠F+∠AND=90°，
∴∠DAN=∠F，
∴△ADN∽△FEC
（2）解：①∵ DN=2CN ，
∴AD=DC=3CN，
∵△ADN∽△FEC，
∴∠FEC=∠AND，
∴tan∠FEC=tan∠AND=；
②∵BE=3，
∴DF=2BE=6
又∵AD∥CE，
∴tan∠FEC=tan∠FGD=，
∴DG=4
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用两角对应相等得到两三角形相似即可；
（2）①根据相似得到∠FEC=∠AND，然后根据tan∠FEC=tan∠AND解答即可；
②先求出DF的长，然后根据正切的定义解答即可.
23．已知二次函数y=a(x-1)(x+2a+1)(a≠0， 且为常数) 。
（1）若a=1，求该二次函数的图象的顶点坐标。
（2）若a<0，当x>2时，此二次函数y随着x的增大而减小，求a的取值范围。
（3） 当-a-1≤x≤a+1时， 该二次函数的最大值为m， 最小值为n'， 若m-n=9a， 求a的值。
【答案】（1）解：当a=1时， y=(x-1)(x+3)=(x+1)2-4，
∴ 二次函数的图象的顶点坐标(-1，-4)
（2）解：令y=0，则 a(x-1)(x+2a+1)=0，
解得x=1或x=-2a-1，
∴ 对称轴为直线x=，
又∵ a<0，当x>2时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴对称轴x=-a≤2，
解得-2≤a<0
（3）解：∵ 二次函数的最大值为m， 最小值为n， m-n=9a，
∴a>0，
即-a-1≤ -a≤a+1，
当x=-a时为最小值，最小值为n=a(-a-1)(a+1)，
又∵a+1离对称轴的距离比-a-1离对称轴的距离大，
∴当x=a+1时有最大值，最大值为m=a2(3a+2)，
∴m-n=a2(3a+2)-a(-a-1)(a+1)=9a，
解得：a=-2（舍去）或a=1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把a=1代入，配方为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）令y=0，求出与x轴的焦点横坐标，得到对称轴为直线x=-a，然后根据函数的增减性解答即可；
（3）由题意可得a>0，然后根据二次函数的对称轴的位置和增减性得到m和n的值，代入计算即可.
24．我们知道：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心。
（1）如图1，尺规作图，求作△ABC的重心。
（2） 如图2， D为△ABC内一点， 连结AD， BD， CD。若
①求证： D为△ABC的重心。
②若∠BAC=30°， BC=4， 求 BD 的最大值。
【答案】（1）解：如图，点D即为所作；
（2）①证明：延长AD交BC于点E，过点B作BN⊥AD与点N，过点M作CM⊥AE于点M，则∠N=∠CME=90°，
∵，，，
∴CM=BN，
又∵∠BEN=∠CEM，
∴△BNE≌△CME(AAS)，
∴BE=CE，
同理BD所在直线过AC的中点，
∴点D是△ABC的中心；
②解：设BD的延长线交AC于点Q，延长CD交AB于点K，
则AQ=CQ，AK=BK，
即
∴点A在以BC为弦的圆上，
即
∴点Q在以OC为直径的圆上运动，
设以OC为直径的圆的圆心为点G，设圆G交BC于点E，连接OE，过点G作 于点T，
则
∴当BQ过点G时，BQ最长，此时BD最长，
是等边三角形，
即BD的最大值为
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；三角形的重心及应用；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AB，BC边的中线交于点D，则点D即为所作；
（2）①延长AD交BC于点E，过点B作BN⊥AD与点N，过点M作CM⊥AE于点M，则∠N=∠CME=90°，根据三角形的面积得到CM=BN，然后利用AAS得到△BNE≌△CME，即可得到BE=CE，同理可得BD所在直线过AC的中点，证明结论；
②设BD的延长线交AC于点Q，延长CD交AB于点K， 则AQ=CQ， AK = BK， 可得△DKQ ∽△DCB，从而得到. 再由∠BAC =30°， BC = 4， 可得点A在以BC为弦的圆上， 设以BC为弦的圆的圆心为O，连接OQ，根据垂径定理可得∠OQC =90°，从而得到点Q在以OC为直径的圆上运动，设以OC为直径的圆的圆心为点G，设圆G交BC于点E，连接OE，过点G作GT⊥BC于点T，则∠OEC =∠CTG = 90°， 可得当BQ过点G时，BQ最长，此时BD最长，证明△COB是等边三角形，可得BO= OC = BC =4，从而得到 再根据OE∥GT， 可得 从而得到 进而得到 BQ长即可求解.
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