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天津市静海区第一中学2025-2026学年第二学期高一数学（3月）学生学业能力调研试卷
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
2．在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ）
A． B． C． D．或
3．在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角，，的对边分别是，，，，则角（ ）
A． B． C． D．
5．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
7．在中，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
8．下列结论正确的个数为（ ）
①在中，若，则；
②在锐角中，不等式恒成立；
③在中，若，，则为等腰直角三角形；
④在中，若，，面积，则外接圆半径为.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．已知向量，，，则实数的值为________
10．桂林日月塔又称金塔银塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度__________米.

11．如图，在中，，的夹角为，，，则______________
12．已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______．
13．在四边形中，，则四边形的面积为_____________．
三、解答题
14．平面内给定三个向量，，．
(1)求满足的实数，；
(2)若，求实数．
15．在锐角中，内角的对边分别为，已知．
(1)求A；
(2)若．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的面积．
16．设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线．
(1)求的值：
(2)若，
①求向量与的夹角的余弦值；
②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标．
17．（1）为圆O的一条弦，且，求的值.
（2）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点，求．
（3）如图，在平面四边形中，，，，，，，若点为边的动点，求的最小值
（4）求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法.
18．正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当中的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，若．
(1)求A；
(2)若，求的面积；
(3)设点P为的费马点，求．
参考答案
1．C
2．A
3．D
4．B
5．B
6．A
7．D
8．D
9．
10．
11．
12．
13．
14．（1），即，
，解得．
（2），，
，
，即，解得．
15．（1）因为，
所以由正弦定理可得，,
,又即，且，
所以可得，即，又，
所以.
（2）因为，，
所以由正弦定理可得,即,
即，又,
所以，
则，
，
所以
，
因为，，
所以由余弦定理可得，，
即，解得，（负舍）
所以的面积.
16．（1）由已知得，
因为三点共线，所以，即.
（2）由已知得，
；
②由平行四边形得，又，
所以，解得，即
17．（1）取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图.
因为，所以.
根据向量数量积的几何意义：
得.
（2）因为，，
因为正方形的边长为，所以，
所以
.
所以.
（3）以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意得，
又，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，故，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
因为，，故，
因为，，所以，
所以在中，，所以为等边三角形，
所以，所以，
设，由点为边的动点，设，
即，
解得，所以，
所以，
设，可得其对称轴为，且开口向上，
所以时，取得最小值，即的最小值为.
（4）常用的求数量积的方法有以下4种方法：
（1）定义法：利用数量积的定义计算；
（2）几何意义法：根据数量积的几何意义计算：如第（1）的计算；
（3）基底法：选择适当的基底向量，再将向量用基底表示并进行数量积的运算；
（4）坐标法：建立适当的平面直角坐标系，再将向量用坐标表示，通过坐标运算求数量积.
18．（1）由正弦定理得，即，
所以，
又，所以.
（2）因为，若，
则的面积为：.
（3）易知的三个角都小于，由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则.

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