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高二数学答案
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. D 11. 12. 13. 14.
15.解： 设 ，
、 的中点为 ，
，
将 代入射线 解析式得： ，
解得： ，
， ，
则直线 为 ，即 ．
当直线 斜率不存在时，则直线 的方程为 ，易知 ， ，所以 的中点显然
不在直线 上，不满足题意；
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
设 ， ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
的中点坐标为 ，
的中点在直线 上，
，
解得 ，
直线 的方程为： ．
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16.解： 如图，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角
坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，代入可得
令 ，则 ， ，所以 ，
故点 到平面 的距离为
点 在平面 内
因为 ，故 ，可得 ．
又 ，
所以 平面 ，或 平面 ，
又点 在平面 内，所以 平面 ，故 在平面 内
17.解： 为线段 的中点， ，
， ，
；
．
18.解： 直线 ： ，则直线 过定点 ，
当 ， 时，设 的方程为 ，
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点 在直线上，
所以 ，
若 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，
若 ，则 ， ，
所以直线 的方程为 ；
当 时，直线过原点，且过点 ，
所以直线 的方程为 ，
综上所述，所求直线 的方程为 或 或 ；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
直线 交 轴的正半轴于点 ，
交 轴的负半轴于点 ， ，
为坐标原点，设 的面积为 ，
则
，
当且仅当 时，即 时取等号，
故 的最小值为 ，此时 ，
直线 ： ．
19.解： 证明： 平面 ， ，
平面 ，又 平面 ，
．
在 中， ， 是 的中点， ．
又 ， ， 平面 ，
平面 ；
平面 ， ， 平面 ，
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， ，又 ，
， ， 两两垂直，
以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ， ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
平面 ， 平面 ， ．
又 ， ， ， 平面 ，
平面 又 ，
可取平面 的一个法向量为 ，
二面角 的余弦值为：
，解得 ，
又 ， ；
结论：存在且 ，理由如下：
设 ，
， ， ，
当 时， ， ，
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， ，
， ，
， ，
在线段 上存在点 ，使得 ，且 ．
第 1页，共 1页2025-2026 年度第一学期第一次素质检测
高二数学试卷
（考试时间 150 分钟，试卷满分 150 分,命题人：）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量 ， ， ，若 ， ， ， 四点共面，则实
数 的值为( )
A. B. C. D.
3.如果 ， ，那么直线 不通过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.在空间直角坐标系中，若三点 ， ， 满足 ，则实数 的
值为( )
A. B. C. D.
5.已知直线 ，若 ，则 ( )
A. 或 B. C. 或 D.
6.空间向量 在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.瑞士数学家欧拉在 三角形的几何学 一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条
直线被称为“欧拉线”已知 的顶点 ， ， ，则 的欧拉线方程为
A. B. C. D.
8.已知 ， ，则 ， 最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
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A.方程 与方程 可表示同一直线
B.直线 过点 ，倾斜角为 ，则其方程是
C.直线 过点 ，斜率不存在，则其方程是
D.所有的直线都有点斜式和截距式方程
10.已知空间中的三点 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. ，
11.在平面直角坐标系中，定义 为 ， 两点之间的“折线距
离”，则下列说法中正确的是( )
A.若 ， ， 是三角形的三个顶点，则有
B.若点 在线段 上，则有
C.到 ， 两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线
D.若 为坐标原点，点 在直线 上，则 的最小值为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.点 到直线 距离的最大值为 ．
13.若空间向量 和 的夹角为锐角，则 的取值范围是 ．
14.在棱长为 的正方体 中，点 为 的中点，点 为正方体表面上的一动点，且满
足 ，则 的轨迹的长度为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
在直角坐标系 中，已知射线 ， ，过点 作直
线分别交射线 ， 于点 ， ．
当线段 的中点为 时，求直线 的方程
当线段 的中点在直线 上时，求直线 的方程．
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16. 本小题 分
如图，在边长为 的正方体 中，点 ， ， 分别在 ， ， 上，且
， ． 求点 到平面 的距离 判断点 是否在平面 内，并证
明你的结论．
17. 本小题 分
如图，在三棱锥 中，点 为棱 上一点，且 ，点 为线段 的中点．
以 、 、 为一组基底表示向量 ；
若 ， ， ，求 ．
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18. 本小题 分
已知直线 ： 过定点 ．
求过点 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线 方程；
若直线 交 轴正半轴于点 ，交 轴负半轴于点 ， 的面积为 为坐标原点 ，求 的最小值
并求此时直线 的方程．
19. 本小题 分
如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，
， 是 的中点．
证明： 平面 ；
若二面角 的余弦值是 ，求 的值；
若 ，在线段 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
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