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长泰二中 2025-2026学年高一下学期月考（1）数学试卷答案
一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）
1、 C 2、B 3、B 4、C 5、A 6、D 7、D 8、A
二、多项选择题：（本大题共 3 小题，部分选对得部分分，选错得 0 分，每小题 6
分，共 18 分.）
9、 BCD 10、ABC 11、BCD
三、填空题：（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.把答案填写在答题卡的相应
位置）
12、 13、 14、
四、解答题：（本大题共 5 小题，共 77 分.）
15、解：（1）由 z是纯虚数，有 ，解得 ；
（2）当 时， ，所以 .
16、解：（1）由题意可得 ，
因为 ，所以 .
（2） ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即向量 与 的夹角的余弦值为 .
17、解：（1）由题知：在 中， ， ， .
可得： ， .
该几何体是绕直线 旋转一周所得旋转体,是一个以 为底面半径， 为高的圆锥，
设圆锥的侧面积为： ，底面积为： .
旋转体的表面积为 +
（2）该几何体是图中阴影部分绕直线 旋转一周所得旋转体，
是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球，由图知 ，则 ，
所以圆锥的底面半径 ，高为 ，
球的半径为：
所以圆锥的体积： ，球的体积： ，
阴影部分绕直线 旋转一周所得旋转体的体积为： .
故阴影部分绕直线 旋转半周得到的旋转体的体积为： .
18、法一： 【小问 1详解】因为 ，
根据正弦定理得 ，又由余弦定理： ，
故： .
【小问 2详解】法一：由（1） ，又 ，故 ，
而 ，得 ，
即 ，与 联立，解得 .
故 .
法二：由（1） ，又 ，故 ，
延长中线至点 ，使得 ，又 ， ，
所以 ，所以 ， ， ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，与 联立，解得 .
2
故 .
19、解：（1）连接 ，由题意可得， ， ，
因为 ， ，故 为等边三角形，
所以， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，故 ，
所以乙船的速度为 （海里/小时）；
（2）分别延长 、 交于点 ，
由（1）得 ，所以 .
故 ，则
，
所以 .
则在 中， ， ，
由正弦定理可得 ，故 ，
因为 ， ，
所以两船会相遇，且甲船从 到相遇所用时间为 小时.
3长泰二中 2025-2026 学年高一下学期月考（1）数学试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 化简： 等于（ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则复平面内复数 对应的点位于（ ）
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
3. 某种手持弹力球的半径是 ，则这种手持弹力球的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 等腰梯形 中， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
5. 正方形 的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是
（ ）
A B.
C. D.
6. 设 为虚数单位，则 （ ）
A. B. C. 5 D.
7. 已知平面向量 ， ， ， ，且 A，B，C三点共线，
则实数 （ ）
A. 2 B. C. D.
8. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. 45° B. C. D.
二 多选题（全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错误选项得 0 分，共 18 分）
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B. 有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C. 圆柱的母线与它的轴可以不平行
D 一个多面体至少有 4个侧面
10. 下面给出的关系式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，下列四个命题中，正确的命题为（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则这个三角形有两解。
三、填空题：（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.把答案填写在答题卡的相应
位置）
12. 若 ，则 ______
13. 在 中， 是 边上一点， ， ， ， ，则 _____.
14. 若 ，则 的最大值为_____．
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明,证明过程和演算步
骤）
15. （13分）已知复数 ，i为虚数单位．
（1）当 z是纯虚数时，求 m的值；
（2）当 时，求 z的模．
2
16. （15分）已知向量 ， ， ， ．
（1）当 时，求实数 的值；
（2）当 时，求向量 与 的夹角的余弦值．
17．（15分）如图所示，在 中， ， ， .
(1)将 绕直线 旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积；
(2)如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心 在边 上，半圆与 相交于 ，与 相切于点 ），
图中阴影部分绕直线 旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积.
3
18. （17分）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 a，b，c，且
（1）求角 ；
（2）若 ，且 边上的中线 ，求 的面积.
19.（17分） 如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，
当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里；当甲
船航行 分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里
.
（1）求乙船的速度；
（2）若乙船在 处的航行速度提高到每小时 海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两
船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从 处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由.
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长泰二中 2025-2026学年高一下学期月考（1）数学试卷答案
一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）
1、 C 2、B 3、B 4、C 5、A 6、D 7、D 8、A
二、多项选择题：（本大题共 3 小题，部分选对得部分分，选错得 0 分，每小题 6
分，共 18 分.）
9、 BCD 10、ABC 11、BCD
三、填空题：（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.把答案填写在答题卡的相应
位置）
12、 13、 14、
四、解答题：（本大题共 5 小题，共 77 分.）
15、解：（1）由 z是纯虚数，有 ，解得 ；
（2）当 时， ，所以 .
16、解：（1）由题意可得 ，
因为 ，所以 .
（2） ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即向量 与 的夹角的余弦值为 .
17、解：（1）由题知：在 中， ， ， .
可得： ， .
该几何体是绕直线 旋转一周所得旋转体,是一个以 为底面半径， 为高的圆锥，
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设圆锥的侧面积为： ，底面积为： .
旋转体的表面积为 +
（2）该几何体是图中阴影部分绕直线 旋转一周所得旋转体，
是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球，由图知 ，则 ，
所以圆锥的底面半径 ，高为 ，
球的半径为：
所以圆锥的体积： ，球的体积： ，
阴影部分绕直线 旋转一周所得旋转体的体积为： .
故阴影部分绕直线 旋转半周得到的旋转体的体积为： .
18、 分析：（1）利用正弦定理把角转化成边，再利用余弦定理可得答案；
（2）法一：把向量关系式 平方，联立余弦定理，解方程可得答案；
法二：延长中线至点 ，使得 ，解 可得答案；
法三：利用平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，以及余弦定理列方程，解方程
可得答案；
法四： 以及余弦定理，列方程，解方程可得答案.
【小问 1详解】因为 ，
根据正弦定理得 ，又由余弦定理： ，
故： .
【小问 2详解】法一：由（1） ，又 ，故 ，
而 ，得 ，
即 ，与 联立，解得 .
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故 .
法二：由（1） ，又 ，故 ，
延长中线至点 ，使得 ，又 ， ，
所以 ，所以 ， ， ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，与 联立，解得 .
故 .
法三：由余弦定理 ，
即 .
平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
即 ，即 .
与 联立，解得 . 故 .
法四：由余弦定理 ，即 .
由 ，
利用余弦定理得 ，
即 ，即 .
与 联立，解得 . 故 .
19、解：（1）连接 ，由题意可得， ， ，
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因为 ， ，故 为等边三角形，
所以， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，故 ，
所以乙船的速度为 （海里/小时）；
（2）分别延长 、 交于点 ，
由（1）得 ，所以 .
故 ，则
，
所以 .
则在 中， ， ，
由正弦定理可得 ，故 ，
因为 ， ，
所以两船会相遇，且甲船从 到相遇所用时间为 小时.
1、解： .故选 C.
2、解：因为 ，所以 ，其对应的点坐标为 ；
因此复数 z对应的点位于第三象限．故选：B.
3、解：由题意可得手持弹力球的半径是 ，故手持弹力球的体积为 .
故选：B.
4、解：由 ，可知， 且 ，过
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点 作 ，垂足为 ，则 ，
所以向量 在向量 上 投影向量为 .故选：C.
5、解：作出原图形如下图所示：
由斜二测画法知原图形是平行四边形 ，如图， ， ，
， ，
所以平行四边形 的周长是 ．
故选：A．
6、解： ,
故选：D.
7、解： ，
，
因为 A，B，C三点共线，所以设 ，
即 . 故选：D.
8、解：由余弦定理得： ，由已知 ，
， ， ，
代入得： ，又因为 ，故
.故选 A.
9、解：对于 A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故选项 A正确；
对于 B，满足条件的几何体可能是组合体，故 B错误；
对于 C：圆柱的母线与它的轴平行，故 C错误；
对于 D，三棱锥为多面体，但只有 3个侧面，所以 D错误. 故选：BCD.
9
10、解：零向量与任意向量 数量积为 ，故 A正确；
由平面向量数量积的交换律可知， ，故 B正确；
，故 C正确；
，故 D错误. 故选： ABC.
11、解：对于 A，因为 ，则
所以 ，故 A错误;
对于 B, 若 ，又 ，则 ， ，
则 ，故 B正确;
对于C，若 ，则 ，由正弦定理可得 （ 为 的外接圆半径）
所以 ，故 C正确;
对于 D, 由正弦定理得 ,所以 ,由 得 ,
所以 为锐角或钝角，有两解，故 D正确.故选: BCD.
12、解：因 ，所以 ，
所以 .
13、解：法一：在 中， ， ， ，
由互补角余弦值互为相反数得
由余弦定理得
即 ，故
10
法二：在 中， ，故
故
14、解：复数 在复平面对应的点满足 ，几何意义为：复平面内动点 的轨迹
是以 为圆心，半径 的圆；
的几何意义是动点 到原点 的距离。 计算原点到圆心的距离：
，
因此圆上点到原点的最大距离为 ，即 的最大值为 .
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