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四川省雅安市名山中学蒙山校区2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、单选题（每题3分，共36分）
1．四川省的三星堆迎址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其中出土文物是宝贵的人类文化遗产，在中国文物群体中，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一，如图四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如果 ，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的为(　　)
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个长度单位，再向下平移5个长度单位得到点B，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．将多项式分解因式正确的结果为（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法中，错误的是（　　）
A．三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等
B．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等
C．有一个角为的等腰三角形必定是等边三角形
D．每一个命题一定有逆命题，每一个定理一定有逆定理
7．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　）
A．17 B．22 C．13 D．17或22
8．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
9．如图，中，，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，3），不等式kx+b≤mx+n的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
11．如图是一个装饰连续旋转闪烁所形成的4个图案，照此规律闪烁，第2025次闪烁呈现出来的图案是（　　）
A． B．
C． D．
12．中，是高，E是的中点，且线段平分的周长，若，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．若关于的不等式的解集是，则的值为　 　．
14．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为　 　．
15．若多项式分解因式后的结果为，则的值为　 　．
16．如图：在中，，，，是的角平分线．若点是线段上的一个动点，从点以每秒的速度向运动，　 　秒钟后是直角三角形．
三、解答题（共52分）
17．计算：
（1）解不等式（组）：
①
②
（2）因式分解：
①
②
18．已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
19．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是12．
（1）求的长；
（2）若，，求的面积．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点顺时针旋转所得的；
（3）在（2）的条件下，求线段扫过图形的面积．
21．某工厂有甲种原料，乙种原料，现用两种原料生产处两种产品共30件，已知生产每件产品需甲种原料，乙种原料，且每件A产品可获得利润700元；生产每件B产品需甲种原料，乙种原料，且每件B产品可获利润900元，设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产两种产品的方案有哪几种；
（2）设生产这30件产品可获利y元，写出关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．
22．先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法解答下面的问题：
（1）因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1＝　 　；
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣2）+1；
（3）证明：若n为正整数，则式子n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方．
23．若是完全平方式，则的值是　 　．
24．如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为　 　．
25．如图1，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得线段，旋转角为，连接．
（1）若，则　 　；
（2）若，求的度数；
（3）如图2，当时，过点作于点E，与相交于点F，请探究线段与线段之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【分析】
根据中心对称图形的定义：即一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合 ，对选项逐个判断即可．
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A. ， ，不符合题意；
B. ， ，不符合题意；
C. ， ，不符合题意；
D. ， ，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可。
3．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
【分析】
先分别求解不等式组中两个不等式，得到各自的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后根据解集在数轴上的表示规则判断选项即可.
4．【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点先向右平移4个长度单位，再向下平移5个长度，
得到B点的坐标是，即，
故答案为：C.
【分析】将A（a，b）先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到对应点的坐标为（a+m，b-n），据此解答.
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】此题是关于字母x的二次三项式，由于二次项系数为1，常数-12=-2×6，一次项系数4=-2+6，从而利用十字相乘法分解即可．
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；逆命题
【解析】【解答】解：A、三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等，说法正确，不符合题意；
B、三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等，说法正确，不符合题意；
C、有一个角为的等腰三角形必定是等边三角形，说法正确，不符合题意；
D、每一个命题一定有逆命题，每一个定理不一定有逆定理，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】
需依次判断每个选项关于三角形性质、等边三角形判定及命题定理关系的说法是否正确，依据相关的几何概念和性质进行分析即可.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9；
∵4+4＜9，∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长=9+9+4=22．
故本题选B．
【分析】本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵分别是与的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
故选：C．
【分析】
利用角平分线的定义和平行线的性质可证明和sh是等腰三角形，从而得到MB=ME，NE=NC，然后利用等量代换可得的周长=AC+AB，进行计算即可解答.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
∵绕点C逆时针旋转到的位置，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
故选：D．
【分析】
根据题意可求出旋转角的度数，根据旋转的性质，得到AC=EC，=，从而确定为等腰三角形，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图所示，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，3），
所以，不等式kx+b≤mx+n的解集是x≤﹣2，
故选：D．
【分析】
利用数形结合的思想，将代数不等式转化为几何图象上的位置关系：寻找直线l1的图象位于直线l2的图象下方时，x的取值范围.
11．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，
∵，
即第2025次与第1次的图案相同．
故选：A．
【分析】
首先观察图案的旋转规律，确定周期为4，然后计算第2025次闪烁在周期中的位置，最后根据计算结果确定图案．
12．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，在边上截取，
是高，
，
，
是的中点，
，
线段平分的周长，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
利用直角三角形斜边中线定理得到DE=CE，再根据线段DE平分的周长推出AB=BC，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出结果即可.
13．【答案】2
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式3x-2＞2x-k，得：x＞2-k，
∴2-k=0，
∴k=2.
故第1空答案为：2.
【分析】先解不等式求得不等式的解集为x＞2-k，再根据解集为x＞0，可得：2-k=0，从而得出k的值。
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
的周长为．
故答案为：．
【分析】
由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，并利用线段垂直平分线的性质可得，将的周长转化为已知线段AC和BC的和即可．
15．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵；
而多项式分解因式后的结果为，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】
先将因式（2a-3b)(a+b)展开，再通过对比系数得出m，n的值，最后计算m+n的值即可.
16．【答案】6或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①当时，如图，
在中，，，，
，
，，是的角平分线，
，
在和中，
，
，
点点以每秒的速度向运动，
；
在中，，，
，即
，
；
②当时，如图，
，
，
，
又是的角平分线，
，
，
，
在中，，
由①可知，
，即，
，
点点以每秒的速度向运动，
．
故答案为：6或．
【分析】
首先分析运动情况由题目可求出AD的长度，分类讨论为直角三角形的情况：①当时，根据角平分线的性质可得，进而证得，，即可得到，②当时．可知，得到，结合是的角平分线，得到，推出，然后在中，，，利用勾股定理即可求得，得到.
17．【答案】（1）解：① ，
去分母得：，
移项：，
合并得：，
∴；
②，
由第一个不等式得：，
解得：，
由第二个不等式得：，
解得：，
∴原不等式组的解集为：
（2）解：①；
②
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
（1）①首先先去分母、再移项、合并同类项、最后将系数化为1可得；
②分别解出不等式组中的解集，再求公共部分即可．
（2）①首先提取公因式，然后再利用平方差公式分解最后计算结果即可；
②先提取公因式，然后再利用完全平方公式分解计算结果即可.
（1）解：① ，
去分母得：，
移项：，
合并得：，
∴；
②，
由第一个不等式得：，
解得：，
由第二个不等式得：，
解得：，
∴原不等式组的解集为：．
（2）解：①；
②.
18．【答案】解：设另一个因式为，根据题意有
，
∴，
，解之得， ．
∴另一个因式为，的值是．
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣待定系数法
【解析】【分析】通过设出另一个公因式，利用多项式乘法法则展开等式，再根据对应项系数相等来求解未知数即可．
19．【答案】（1）解：是边的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
；
（2）解：，
，
，，
，，
，
设，则．
，
，
，
，，，
的面积．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将BC的长度转化为的周长进行求解即可；
（2）先通过角度计算证明为直角三角形，再利用勾股定理建立方程求出直角边AE的长，最后根据三角形面积公式求解即可．
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；；
（2）解：如图所示，即为所求：
（3）解：∵，
∴由图形可知，线段扫过图形的面积扇形的面积．

【知识点】扇形面积的计算；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】
（1）在平面直角坐标系中，根据中心对称的特点作图即可；
（2）根据旋转的规律特点作图即可；
（3）首先根据两点间距离公式求出半径BC的长，再根据扇形面积公式求解即可．
21．【答案】解： （1）根据题意得：
解得18≤x≤20，
∵x是正整数，
∴x=18、19、20，
共有三种方案：
方案一：A产品18件，B产品12件，
方案二：A产品19件，B产品11件，
方案三：A产品20件，B产品10件；
（2）根据题意得：y=：700x+900（30﹣x）=﹣200x+27000，
∵﹣200＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x=18时，y有最大值，
y最大=﹣200×18+27000=23400元．
答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据甲、乙两种原料的限制条件列出不等式组，求解x的取值范围，再根据整数解确定生产方案；
（2）根据总利润等于两种产品的利润之和写出函数解析式，再根据一次函数的增减性求出最大利润及对应方案即可．
22．【答案】解：（1）（x﹣y+1）2
（2）将a+b看成整体，令a+b＝B，
则原式＝B（B﹣2）+1＝B2﹣2B+1＝（B﹣1）2，
再将B还原，得到原式＝（a+b﹣1）2，
（3）证明：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1，
将n2+3n看成整体，令n2+3n＝C，
则原式＝C2+2C+1＝（C+1）2，
再将C还原，得到原式＝（n2+3n+1）2，
n为正整数，n2+3n+1为整数，
故式子n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方．
【知识点】因式分解﹣公式法；整体思想
【解析】【解答】
（1）将x﹣y看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x﹣y+1）2；
【分析】
（1）将x﹣y看成整体，利用完全平方公式因式分解求解即可；
（2）将a+b看成整体，展开后利用完全平方公式因式分解求解；
（3）先对四个连续整数分组相乘，将乘积部分看作整体，利用完全平方公式变形，再证明结果为整数的平方即可．
23．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
∴，
，
故答案为：．
【分析】
首先明确完全平方式的形式，根据常数项求出平方项的底数，再计算中间项系数得到m的值即可．
24．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点作的垂线，垂足为，
∵，
∴，，
∴，，
设， 则，
在中，，即，
解得：，
∴，
过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
∵，
∴，，
∴，
设， 则，，，
则有，即，
解得：，
则，
∴
，
故答案为：．
【分析】
通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求出线段AE和BF的长度，最后利用面积割补法可得结果．
25．【答案】（1）45
（2）解：∵将线段绕点B逆时针旋转得线段，
∴，
∴，
，
∴；

（3）解：，理由如下：如图2，过点C作直线于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵将线段绕点B逆时针旋转得线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【分析】（1）根据题意可得到BD=AB，=60°，进而可得为等边三角形，即可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解；
（2）由旋转的性质和等腰三角形的性质可求解；
（3）通过作辅助线，过点C作直线于H和已知条件可得到为等腰三角形，再根据全等三角形的判定“”可证，进而可得，最后根据等腰直角三角形的性质可求解．
（1）解：∵将线段绕点B逆时针旋转得线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵将线段绕点B逆时针旋转得线段，
∴，
∴，
，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图2，过点C作直线于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
1 / 1四川省雅安市名山中学蒙山校区2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、单选题（每题3分，共36分）
1．四川省的三星堆迎址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其中出土文物是宝贵的人类文化遗产，在中国文物群体中，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一，如图四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【分析】
根据中心对称图形的定义：即一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合 ，对选项逐个判断即可．
2．如果 ，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A. ， ，不符合题意；
B. ， ，不符合题意；
C. ， ，不符合题意；
D. ， ，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可。
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
【分析】
先分别求解不等式组中两个不等式，得到各自的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后根据解集在数轴上的表示规则判断选项即可.
4．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个长度单位，再向下平移5个长度单位得到点B，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点先向右平移4个长度单位，再向下平移5个长度，
得到B点的坐标是，即，
故答案为：C.
【分析】将A（a，b）先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到对应点的坐标为（a+m，b-n），据此解答.
5．将多项式分解因式正确的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】此题是关于字母x的二次三项式，由于二次项系数为1，常数-12=-2×6，一次项系数4=-2+6，从而利用十字相乘法分解即可．
6．下列说法中，错误的是（　　）
A．三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等
B．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等
C．有一个角为的等腰三角形必定是等边三角形
D．每一个命题一定有逆命题，每一个定理一定有逆定理
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；逆命题
【解析】【解答】解：A、三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等，说法正确，不符合题意；
B、三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等，说法正确，不符合题意；
C、有一个角为的等腰三角形必定是等边三角形，说法正确，不符合题意；
D、每一个命题一定有逆命题，每一个定理不一定有逆定理，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】
需依次判断每个选项关于三角形性质、等边三角形判定及命题定理关系的说法是否正确，依据相关的几何概念和性质进行分析即可.
7．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　）
A．17 B．22 C．13 D．17或22
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9；
∵4+4＜9，∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长=9+9+4=22．
故本题选B．
【分析】本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长．
8．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵分别是与的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
故选：C．
【分析】
利用角平分线的定义和平行线的性质可证明和sh是等腰三角形，从而得到MB=ME，NE=NC，然后利用等量代换可得的周长=AC+AB，进行计算即可解答.
9．如图，中，，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
∵绕点C逆时针旋转到的位置，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
故选：D．
【分析】
根据题意可求出旋转角的度数，根据旋转的性质，得到AC=EC，=，从而确定为等腰三角形，即可求解.
10．如图所示，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，3），不等式kx+b≤mx+n的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图所示，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，3），
所以，不等式kx+b≤mx+n的解集是x≤﹣2，
故选：D．
【分析】
利用数形结合的思想，将代数不等式转化为几何图象上的位置关系：寻找直线l1的图象位于直线l2的图象下方时，x的取值范围.
11．如图是一个装饰连续旋转闪烁所形成的4个图案，照此规律闪烁，第2025次闪烁呈现出来的图案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，
∵，
即第2025次与第1次的图案相同．
故选：A．
【分析】
首先观察图案的旋转规律，确定周期为4，然后计算第2025次闪烁在周期中的位置，最后根据计算结果确定图案．
12．中，是高，E是的中点，且线段平分的周长，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，在边上截取，
是高，
，
，
是的中点，
，
线段平分的周长，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
利用直角三角形斜边中线定理得到DE=CE，再根据线段DE平分的周长推出AB=BC，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出结果即可.
二、填空题（每题3分，共12分）
13．若关于的不等式的解集是，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式3x-2＞2x-k，得：x＞2-k，
∴2-k=0，
∴k=2.
故第1空答案为：2.
【分析】先解不等式求得不等式的解集为x＞2-k，再根据解集为x＞0，可得：2-k=0，从而得出k的值。
14．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
的周长为．
故答案为：．
【分析】
由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，并利用线段垂直平分线的性质可得，将的周长转化为已知线段AC和BC的和即可．
15．若多项式分解因式后的结果为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵；
而多项式分解因式后的结果为，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】
先将因式（2a-3b)(a+b)展开，再通过对比系数得出m，n的值，最后计算m+n的值即可.
16．如图：在中，，，，是的角平分线．若点是线段上的一个动点，从点以每秒的速度向运动，　 　秒钟后是直角三角形．
【答案】6或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①当时，如图，
在中，，，，
，
，，是的角平分线，
，
在和中，
，
，
点点以每秒的速度向运动，
；
在中，，，
，即
，
；
②当时，如图，
，
，
，
又是的角平分线，
，
，
，
在中，，
由①可知，
，即，
，
点点以每秒的速度向运动，
．
故答案为：6或．
【分析】
首先分析运动情况由题目可求出AD的长度，分类讨论为直角三角形的情况：①当时，根据角平分线的性质可得，进而证得，，即可得到，②当时．可知，得到，结合是的角平分线，得到，推出，然后在中，，，利用勾股定理即可求得，得到.
三、解答题（共52分）
17．计算：
（1）解不等式（组）：
①
②
（2）因式分解：
①
②
【答案】（1）解：① ，
去分母得：，
移项：，
合并得：，
∴；
②，
由第一个不等式得：，
解得：，
由第二个不等式得：，
解得：，
∴原不等式组的解集为：
（2）解：①；
②
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
（1）①首先先去分母、再移项、合并同类项、最后将系数化为1可得；
②分别解出不等式组中的解集，再求公共部分即可．
（2）①首先提取公因式，然后再利用平方差公式分解最后计算结果即可；
②先提取公因式，然后再利用完全平方公式分解计算结果即可.
（1）解：① ，
去分母得：，
移项：，
合并得：，
∴；
②，
由第一个不等式得：，
解得：，
由第二个不等式得：，
解得：，
∴原不等式组的解集为：．
（2）解：①；
②.
18．已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
【答案】解：设另一个因式为，根据题意有
，
∴，
，解之得， ．
∴另一个因式为，的值是．
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣待定系数法
【解析】【分析】通过设出另一个公因式，利用多项式乘法法则展开等式，再根据对应项系数相等来求解未知数即可．
19．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是12．
（1）求的长；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：是边的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
；
（2）解：，
，
，，
，，
，
设，则．
，
，
，
，，，
的面积．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将BC的长度转化为的周长进行求解即可；
（2）先通过角度计算证明为直角三角形，再利用勾股定理建立方程求出直角边AE的长，最后根据三角形面积公式求解即可．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点顺时针旋转所得的；
（3）在（2）的条件下，求线段扫过图形的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；；
（2）解：如图所示，即为所求：
（3）解：∵，
∴由图形可知，线段扫过图形的面积扇形的面积．

【知识点】扇形面积的计算；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】
（1）在平面直角坐标系中，根据中心对称的特点作图即可；
（2）根据旋转的规律特点作图即可；
（3）首先根据两点间距离公式求出半径BC的长，再根据扇形面积公式求解即可．
21．某工厂有甲种原料，乙种原料，现用两种原料生产处两种产品共30件，已知生产每件产品需甲种原料，乙种原料，且每件A产品可获得利润700元；生产每件B产品需甲种原料，乙种原料，且每件B产品可获利润900元，设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产两种产品的方案有哪几种；
（2）设生产这30件产品可获利y元，写出关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．
【答案】解： （1）根据题意得：
解得18≤x≤20，
∵x是正整数，
∴x=18、19、20，
共有三种方案：
方案一：A产品18件，B产品12件，
方案二：A产品19件，B产品11件，
方案三：A产品20件，B产品10件；
（2）根据题意得：y=：700x+900（30﹣x）=﹣200x+27000，
∵﹣200＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x=18时，y有最大值，
y最大=﹣200×18+27000=23400元．
答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据甲、乙两种原料的限制条件列出不等式组，求解x的取值范围，再根据整数解确定生产方案；
（2）根据总利润等于两种产品的利润之和写出函数解析式，再根据一次函数的增减性求出最大利润及对应方案即可．
22．先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法解答下面的问题：
（1）因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1＝　 　；
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣2）+1；
（3）证明：若n为正整数，则式子n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方．
【答案】解：（1）（x﹣y+1）2
（2）将a+b看成整体，令a+b＝B，
则原式＝B（B﹣2）+1＝B2﹣2B+1＝（B﹣1）2，
再将B还原，得到原式＝（a+b﹣1）2，
（3）证明：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1，
将n2+3n看成整体，令n2+3n＝C，
则原式＝C2+2C+1＝（C+1）2，
再将C还原，得到原式＝（n2+3n+1）2，
n为正整数，n2+3n+1为整数，
故式子n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方．
【知识点】因式分解﹣公式法；整体思想
【解析】【解答】
（1）将x﹣y看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x﹣y+1）2；
【分析】
（1）将x﹣y看成整体，利用完全平方公式因式分解求解即可；
（2）将a+b看成整体，展开后利用完全平方公式因式分解求解；
（3）先对四个连续整数分组相乘，将乘积部分看作整体，利用完全平方公式变形，再证明结果为整数的平方即可．
23．若是完全平方式，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
∴，
，
故答案为：．
【分析】
首先明确完全平方式的形式，根据常数项求出平方项的底数，再计算中间项系数得到m的值即可．
24．如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点作的垂线，垂足为，
∵，
∴，，
∴，，
设， 则，
在中，，即，
解得：，
∴，
过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
∵，
∴，，
∴，
设， 则，，，
则有，即，
解得：，
则，
∴
，
故答案为：．
【分析】
通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求出线段AE和BF的长度，最后利用面积割补法可得结果．
25．如图1，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得线段，旋转角为，连接．
（1）若，则　 　；
（2）若，求的度数；
（3）如图2，当时，过点作于点E，与相交于点F，请探究线段与线段之间的数量关系．
【答案】（1）45
（2）解：∵将线段绕点B逆时针旋转得线段，
∴，
∴，
，
∴；

（3）解：，理由如下：如图2，过点C作直线于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵将线段绕点B逆时针旋转得线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【分析】（1）根据题意可得到BD=AB，=60°，进而可得为等边三角形，即可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解；
（2）由旋转的性质和等腰三角形的性质可求解；
（3）通过作辅助线，过点C作直线于H和已知条件可得到为等腰三角形，再根据全等三角形的判定“”可证，进而可得，最后根据等腰直角三角形的性质可求解．
（1）解：∵将线段绕点B逆时针旋转得线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵将线段绕点B逆时针旋转得线段，
∴，
∴，
，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图2，过点C作直线于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
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