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【全品作业本】浙教版数学九上教材核心母题13 圆与正多边形
一、教材母题 (九年级上册第 99页例2)
1．如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O 的内接正六边形.
二、变式训练
2． 如图所示，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，E 是 的中点，AE 交 BC 于点 F，则∠1=　 　°.
3． 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，过点O作OM⊥边 BC 于点M.若⊙O 的半径为4，则边心距OM 的长为　 　.
4．如图，六边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，记△ACE 的周长为C1，正六边形 ABCDEF 的周长为C2，则 的值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】解：作法：如图.
1.在⊙O 上任取一点 A.从点 A 开始，以⊙O 的半径为半径，在⊙O 上依次截取点B，C，D，E，F.
2.依次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA.
所得的六边形 ABCDEF 就是所求作的⊙O 的内接正六边形.
很明显，
∴点A，B，C，D，E，F 把⊙O六等分，即六边形ABCDEF 是圆内接正六边形.
【知识点】尺规作图-作圆的内接正多边形
【解析】【分析】圆的内接正六边形的每一边所对的中心角都等于60° ，可知正六边形的边长与它的半径相等，所以只要在圆上依次作出与半径相等的弦就可以将该圆六等分，从而作出圆内接正六边形.
2．【答案】67.5
【知识点】正多边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∵ E是 的中点，
故答案为： 67.5.
【分析】根据四边形ABCD是⊙O的内接正方形，得 根据 得 即可求出 的度数.
3．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图， 连接OB、OC.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
是等边三角形，
在 中，
故答案为：
【分析】连接OB、OC.先证明 是等边三角形，求出BC、BM，再根据勾股定理求出OM.
4．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，过点B作BG⊥AC于点G，
∵ABCDEF是正六边形，
∴AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠BAC=30°，AC=2AG，
∴AB=2BG，，
∴，
故答案为：.
【分析】过点B作BG⊥AC于点G，根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=120°，进而求出∠BAC=30°，AC=2AG，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到AB和AG的长，然后求出周长的比解答即可.
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一、教材母题 (九年级上册第 99页例2)
1．如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O 的内接正六边形.
【答案】解：作法：如图.
1.在⊙O 上任取一点 A.从点 A 开始，以⊙O 的半径为半径，在⊙O 上依次截取点B，C，D，E，F.
2.依次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA.
所得的六边形 ABCDEF 就是所求作的⊙O 的内接正六边形.
很明显，
∴点A，B，C，D，E，F 把⊙O六等分，即六边形ABCDEF 是圆内接正六边形.
【知识点】尺规作图-作圆的内接正多边形
【解析】【分析】圆的内接正六边形的每一边所对的中心角都等于60° ，可知正六边形的边长与它的半径相等，所以只要在圆上依次作出与半径相等的弦就可以将该圆六等分，从而作出圆内接正六边形.
二、变式训练
2． 如图所示，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，E 是 的中点，AE 交 BC 于点 F，则∠1=　 　°.
【答案】67.5
【知识点】正多边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∵ E是 的中点，
故答案为： 67.5.
【分析】根据四边形ABCD是⊙O的内接正方形，得 根据 得 即可求出 的度数.
3． 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，过点O作OM⊥边 BC 于点M.若⊙O 的半径为4，则边心距OM 的长为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图， 连接OB、OC.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
是等边三角形，
在 中，
故答案为：
【分析】连接OB、OC.先证明 是等边三角形，求出BC、BM，再根据勾股定理求出OM.
4．如图，六边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，记△ACE 的周长为C1，正六边形 ABCDEF 的周长为C2，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，过点B作BG⊥AC于点G，
∵ABCDEF是正六边形，
∴AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠BAC=30°，AC=2AG，
∴AB=2BG，，
∴，
故答案为：.
【分析】过点B作BG⊥AC于点G，根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=120°，进而求出∠BAC=30°，AC=2AG，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到AB和AG的长，然后求出周长的比解答即可.
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