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（缺题）浙江省温州市温州第一中学瓯海中学2025年11月九年级上学期数学提前招试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.
1．如果a，b，c是正数，且满足 那么 的值为(　　)
A．6 B．7 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵a， b， c是正数， 且满足a+b+c=9，
∴原式
=7，
故答案为：B .
【分析】先根据题意得出a=9-b-c，b=9-a-c，c=9-a-b，再代入原式进行计算即可.
2．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2 元，我的钱数将是你的 n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我 n 元，我的钱数将是你的 2 倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数.
由题设可得：
将x=n(y-2)-2代入②得：
消去x得：(2y-7)n=y+4，
即：
为正整数，
的值分别为1， 3， 5， 15，
∴y的值只能为4， 5， 6， 11.
∴n的值分别为8， 3， 2， 1； x的值分别为14， 7， 6， 7.
即n的可能值的有4个.
故答案为：D .
【分析】首先设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组，消去x可整理求得2n=1 由n为正整数分析求解，即可求得答案.
3．若质数 a，b 满足 则数据a，b，2，3的中位数是(　　)
A．4 B．7 C．4或7 D．4.5 或6.5
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；二元一次方程的解；中位数
【解析】【解答】解：根据题意，若 则有 即(a+2)(a-2)=9b，
由于b是质数，故9b的质因数只可能是1，3，9，b，3b， 9b，
注意到a是质数，故a≥2，则a+2≥4，故a+2可能的取值是9， b， 3b， 9b，
于是可能有以下情况：
解得
解得
无解；
无解.
当 时， 2， 3， 5， 7的中位数是
当 时， 2， 3， 11， 13的中位数是 7.
故答案为：C .
【分析】根据题意，将条件转化成(a+2)(a-2)=9b，对9b进行质因数分解，分析a+2可能的取值，从而得到a-2可能的取值，解出a，b后，根据中位数定义计算.
4．如图，用六根火柴棒搭成4个正三角形，现有一只虫子从点 A 出发爬行了5 根不同的火柴棒后，到了 C 点，则不同的爬行路径共有(　　)
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【答案】C
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，不同的爬行路径有：
①AB-BC-CA-AD-IOC；
②AB-BC-CD-DA-AC；
③AC-CB-BA-AD-DC；
④AC-CD-DA-
⑥AD-DC-CB-BA-AC.
共有6条.
故答案为：C.
【分析】分第一根火柴棒为AB，AC，AD三种情况讨论可得一只虫子从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点不同的爬行路径.
5．则 (　　)
A．- 32 B．0 C．32 D．64
【答案】A
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：因为 令x=0可得
令x=1可得
令x=-1可得
所以
则
故答案为：A .
【分析】利用赋值法计算可得.
6．如图，以点 M(-5，0)为圆心，4为半径的圆与x 轴交于A、B 两点，P 是⊙M 上异于 A、B 的一动点，直线 PA、PB 分别交y轴于点 C、D，以CD 为直径的⊙N 与x轴交于点E、F， 则 EF 的长为(　　)
A． B．
C．6 D．随P 点位置而变化
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接NE，
设圆N半径为r，ON
=x， 则OD=r-x
， OC=r+x，
∵以M(-5，0)为圆
心、4为半径的圆与x
轴交于A、B两点，
∴OA =4+5=9， OB=5-4=1，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠APB = 90°，
∵∠BOD=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°， ∠ODB+∠OBD=90°，
∵∠PBA=∠OBD，
∴∠PAB=∠ODB，
∵∠APB=∠BOD = 90°，
∴△OBD∽△OCA，
∴OC：OB=OA：OD，
即
(r+x)(r-x)=9，
由垂径定理得：
即OE=OF=3，
故答案为：C .
【分析】连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，证 ，推出OC：OB=OA：OD，求出 根据垂径定理和勾股定理即可求出答案.
7．若四个互不相等的正实数 a，b，c，d满足 则 的值为(　　)
A．- 2025 B．- 2024 C．2025 D．2024
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设 与 看作方程 2012的两个解，
方程整理得： 2012=0，
则
又
则
故答案为：A .
【分析】根据题意可将 与 看作方程 的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为把方程整理后，利用根与系数的关系表示出 ，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值.
8．如图，半径为 R 和r的⊙O1和⊙O2 外切于点 P，过⊙O1 上的一点 A (不同于点 P)作⊙O2 的切线，切点为 B，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系；圆的综合题；切割线定理模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长AP交于点C，分别连接 O2、CP、PO2
由圆与圆外切性质可知， P三点共线 A
∴设.AP=Rx，CP=rx
由切线长定理
故答案为：A .
【分析】延长AP交( 于点C，分别连接. CO2、CP、PO2构造 得到AP与PC之比，进而分别设出AP、AC，再由切割线定理，表示AB，即可求取得所求.
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分.
9．设下列三个一元二次方程： 至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 　 　.
【答案】或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，
则有
解得
故答案为： 或
【分析】本题研究的三个方程至少有一个有实根，此类题求解时通常转化为求其对立面，研究三个方程都没有实根时实数a的取值范围，其补集即是所求的实数a的取值范围。
10． 能使 成立的正整数 n的值的个数等于 　 　.
【答案】1024142
【知识点】解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：由n为正整数知
∴
∴，
∴
记1012=a.则
∴
∴
∴
∴
已知n为正整数，因此，
于是，符合条件的正整数n的个数等于 1，即1024142.
故答案为：1024142 .
【分析】首先要去掉绝对值符号，之后的处理可以按常规作，但是数据比较复杂，这里可采用字母代替数的方法，简化形式.
11． 如图， 四边形 ABCD 中， AB=BC=CD， ∠ABC=78°， ∠BCD=162°. 设AD， BC延长线交于 E， 则∠AEB=　 　.
【答案】21°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B点作BG∥CD， 并且与过D点与BC平行的直线交于G点，如图，
由作法得四边形BCDG为平行四边形，
∵BC=CD，
∴四边形BCDG为菱形，
∴BC=BG=GD，
∵∠BCD=162°，
∴∠1=180°-162°= 18°.
而∠ABC=78°，
∴∠2=78°-18°=60°，
又∵AB=BC，
∴BA=BG，
∴△ABG为等边三角形，
∴GA=GB，
∴GD=GA，
又∵∠BGD =∠BCD =162°，
而∠AGB=60°，
∴∠AGD =360°-162°-60°= 138°，
而GD∥BC，
∴∠AEB=∠4=21°.
故答案为21°.
【分析】过B点作BG∥CD，并且与过D点与BC平行的直线交于G点， 加上BC=CD，得到四边形BCDG为菱形，则BC=BG=GD， 得∠1 = =18°，得∠2= 60°， 于是有△ABG为等边三角形， 则GA=GB， 得到GD=GA， ∠4=∠5， 可以求出∠AGD =138°，即可得到∠4， 进而求出∠AEB的度数.
12．已知某几何体中的一条边长为 ，在该几何体的正视图和侧视图中，这条边的投影分别是长为 和 的线段，则在该几何体的俯视图中，这条边的投影长为　 　
【答案】2
【知识点】勾股定理；长方体的顶点、棱、面的特点
【解析】【解答】解：由题意，本题可以看做长方体的体对角线长是 两个面上的对角线长分别是 和
要求的俯视图的长相当于第三个面上的对角线长，设长度为x，长方体的棱长为a，b，c，如图：
则
由 得
由 得
故 即
所以
因为：x>0，所以x=2，
即在该几何体的俯视图中，这条边的投影长是2.
故答案为：2 .
【分析】棱长为a，b，c的长方体的体对角线长为 化为长方体的体对角线长是 ，两个面上的对角线长分别是 和 ，求第三个面的对角线长，设为x，设长方体的棱长为a，b，c，由条件构造关于a，b，c的方程组，解出再由 即可得解.
13．如图，边长为2 的等边△ABC 的顶点 A、B 分别在∠MON 的两边上滑动，当∠MON =45°时， 点O 与点 C 的最大距离是 　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接OC，当OC垂直平分AB时，OC最大，
此时
在直角 中，
在直角 中，
在EO上截取EF=EA=1，连接AF，则. 是等腰直角三角形，
故答案为：
【分析】连接OC，当OC垂直平分AB时，线段OC最长，在两个直角 和 中进行计算求出OC的长.
三、解答题：本题共 5 小题，共80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14．如果一个数能表示成 (x，y是整数)，我们称这个数为“好数”.
（1） 判断29 是否为“好数”
（2） 写出1， 2， 3， …， 20 中的“好数”.
（3） 如果m， n 都是“好数”， 求证： mn是“好数”.
【答案】（1）解：
特征：“好数”就是两个整数的平方和，而 故 29 是“好数”.
（2）解：1，2，4，5，8，9，10，13，16，17，18，20.
（3）解：设
则
令u+v=(x+y)(p+q)+ qy，v=q(x+y)-y(p+q).
那么
因为x，y，p，q均为整数， 所以(x+y)(p+q)+ qy，q(x+y)-y(p+q) 也为整数，所以u+v，v为整数， 故u，v为整数.
因此 mn为“好数”.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据 可以得到“好数”特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”；
(2)根据“好数”的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”；
(3)设 化简得到 令u+v=(x+y)(p+q)+qy，v=q(x+y)-y(p+q)，于是可以判断出 mn为“好数”.
15．如图， 已知等腰Rt△AOB， 其中∠AOB=90°， OA=OB=1， E、F 为斜边 AB 上的两个动点 (E 比 F 更靠近 A)， 满足∠EOF =45°.
（1） 求证： AF·BE=1.
（2）作 EM⊥OA 于 M， FN⊥OB 于 N， 求证：
（3）求线段 EF 长的最小值.
【答案】（1）证明：∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°.
∵∠AFO=∠B+∠BOF =45°+∠BOF，
又∵∠BOE =∠EOF +∠BOF =45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE.
∴△AOF∽△BEO.
∴AF·BE =4.
（2）证明：作斜边AB上的高OD， 并
记OM =a， ON =b.
则易得ME =2-a， OD
1)，
∵∠EMO=∠ODF=90°，
即
（3）解：
所以，当 时，EF取得最小值
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质，得∠A =∠B=45°；根据三角形的外角的性质，得∠AFO=∠B+∠BOF =45°+∠BOF， 结合∠BOE =∠EOF+∠BOF =45°+∠BOF， 证明∠AFO =∠BOE，从而根据两角对应相等，即可证明△AOF∽△BEO；根据相似三角形的性质，得 即AF·BE =4；
(2)作斜边AB上的高OD， 并记OM =a， ON = b.根据等腰直角三角形的性质，可以分别用a表示ME， DF， BN的长； 根据△MOE∽△DOF， 就可求得OM·ON的值；
(3)用a和b表示EF的长，从而分析EF的最小值.
16．如图，已知双曲线 抛物线 和直线l：y=kx+m.设直线l与双曲线C1的两个交点为 A、B，与抛物线 C2的两个交点为 C、D.
（1）若线段 AB 与线段CD 的中点重合，求证：
（2）是否存在直线l，使得A、B为线段CD 的三等分点 若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：将y=kx+m代入 得： mx-1=0，
将y=kx+m代入 得： (12+m)=0，
∵线段AB与线段CD的中点重合，
（2）解：∵A， B为线段CD的三等分点，
∴线段AB与线段CD的中点重合，
将y=kx 代入 得：
将 代入 得：
∵A，B为线段CD的三等分点，
解得：
经检验： 均为无理方程 的解，
∴存在直线l，使得A、B为线段CD的三等分点，直线l的解析式为y=x-1或 或
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数系数k的几何意义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)分别将直线l的解析式代入双曲线及抛物线解析式中，可得出关于x的一元二次方程，由根与系数的关系结合线段AB与线段CD的中点重合，即可得出- 进而可证出结论；
(2)重复(1)的过程，利用求根公式可得出xA，xB，xC，xD的值，由两点间的距离公式结合A、B为线段CD的三等分点，即可得出 解之即可得出结论.
17．定义下列操作规则：
规则 A：相邻两数 a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”.
规则 B：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”.
规则 C： 相邻四数a、b、c、d， 顺序颠倒为d、c、b、a， 称为一次“变换”.
将一行数1， 2， 3， …， 2025 经若干次变换变为 2025， 1， 2， …， 2023， 2024.
（1）只用规则 A 操作，目标能否实现
（2）只用规则 B 操作，目标能否实现
（3）只用规则 C 操作，目标能否实现
【答案】（1）解：能， 实行如下操作：
1，2，3，…，2023，2024，2025→1，2，3，…，2023，2025，2024→
1，2，3，…，2025，2023，2024→…→2025，1，2，3，…，2024；
（2）解：不能，
理由：从左到右，把数所占的位置编上号，按照规则B，
若数 m 在 k号位置，一次变换后可能是k-2，k，k+2号位置，所以操作过程中数 m所占位置的奇偶性不会改变.
而1，2，3，…，2024，2025 中1 在1号位，目标2025，1，2，…，2023，2024 中1 是 2号位，这不可能；
（3）解：能， 通过如下操作 (记为”*操作”)：
a，b，c，d，e→d，c，b，a，e→d，e，a，b，c→b，a，e，d，c→b，c，d，e，a→e，d，b，c，a→e，a，b，c，d，由”*操作”可以看成，将一个数往前提4 个位置，而其他各数的顺序不变，
将 2021，2022，2023，2024，2025 通过”* 操作”， 可以变为2025，2021，2022，2023，2024，再对 2017，2018，2019，2020，2025 施行”* 操作”， 变为2025，2017，2018，2019，2020， 如此反复，
1，2，3，...，2024，2025 可以变为 1，2，3，4，2025，5，6，...，2024，最后对1，2，3，4，2025 施行”* 操作”得到 2025，1，2，…，2023，2024.
【知识点】奇数与偶数及其应用；逻辑推理
【解析】【分析】(1)由规则A：直接可以得出结论；
(2)若数m在k号位置，一次变换后可能是k-2、k、k+2号位置，由此得出操作过程中数m所占位置的奇偶性不会改变，由此，可判断出结论；
(3)根据规则C找出“*操作”的规律，即可得出结论.
18．如图，AB 为半圆O 的直径，M为半圆内的一点，直线 AM 交半圆O 于点 C，直线 BM交半圆O 于点 D，直线 DC 与直线 AB 交于点 P，N 为直径 AB 上的一点，且满足 求证：MN⊥AB.
【答案】证明： 如图， 连接OD， OC， ND， NC， DA
∴O， D， C， N四点共圆；
∴BD平分角
又∵
∴AC平分角.
∴M为 的内心
∴M， N， A， D四点共圆
∵AB为半圆O的直径，
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】连接OD， OC， ND， NC， DA由 易证 利用对应角相等可得O， D， C， N四点共圆； 由BD平分角. 及M为 的内心，得出M，N，A，D四点共圆，再由AB为半圆O的直径，得出. 从而得出 即可得出结论
1 / 1（缺题）浙江省温州市温州第一中学瓯海中学2025年11月九年级上学期数学提前招试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.
1．如果a，b，c是正数，且满足 那么 的值为(　　)
A．6 B．7 C．9 D．10
2．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2 元，我的钱数将是你的 n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我 n 元，我的钱数将是你的 2 倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若质数 a，b 满足 则数据a，b，2，3的中位数是(　　)
A．4 B．7 C．4或7 D．4.5 或6.5
4．如图，用六根火柴棒搭成4个正三角形，现有一只虫子从点 A 出发爬行了5 根不同的火柴棒后，到了 C 点，则不同的爬行路径共有(　　)
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
5．则 (　　)
A．- 32 B．0 C．32 D．64
6．如图，以点 M(-5，0)为圆心，4为半径的圆与x 轴交于A、B 两点，P 是⊙M 上异于 A、B 的一动点，直线 PA、PB 分别交y轴于点 C、D，以CD 为直径的⊙N 与x轴交于点E、F， 则 EF 的长为(　　)
A． B．
C．6 D．随P 点位置而变化
7．若四个互不相等的正实数 a，b，c，d满足 则 的值为(　　)
A．- 2025 B．- 2024 C．2025 D．2024
8．如图，半径为 R 和r的⊙O1和⊙O2 外切于点 P，过⊙O1 上的一点 A (不同于点 P)作⊙O2 的切线，切点为 B，则 (　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分.
9．设下列三个一元二次方程： 至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 　 　.
10． 能使 成立的正整数 n的值的个数等于 　 　.
11． 如图， 四边形 ABCD 中， AB=BC=CD， ∠ABC=78°， ∠BCD=162°. 设AD， BC延长线交于 E， 则∠AEB=　 　.
12．已知某几何体中的一条边长为 ，在该几何体的正视图和侧视图中，这条边的投影分别是长为 和 的线段，则在该几何体的俯视图中，这条边的投影长为　 　
13．如图，边长为2 的等边△ABC 的顶点 A、B 分别在∠MON 的两边上滑动，当∠MON =45°时， 点O 与点 C 的最大距离是 　 　.
三、解答题：本题共 5 小题，共80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14．如果一个数能表示成 (x，y是整数)，我们称这个数为“好数”.
（1） 判断29 是否为“好数”
（2） 写出1， 2， 3， …， 20 中的“好数”.
（3） 如果m， n 都是“好数”， 求证： mn是“好数”.
15．如图， 已知等腰Rt△AOB， 其中∠AOB=90°， OA=OB=1， E、F 为斜边 AB 上的两个动点 (E 比 F 更靠近 A)， 满足∠EOF =45°.
（1） 求证： AF·BE=1.
（2）作 EM⊥OA 于 M， FN⊥OB 于 N， 求证：
（3）求线段 EF 长的最小值.
16．如图，已知双曲线 抛物线 和直线l：y=kx+m.设直线l与双曲线C1的两个交点为 A、B，与抛物线 C2的两个交点为 C、D.
（1）若线段 AB 与线段CD 的中点重合，求证：
（2）是否存在直线l，使得A、B为线段CD 的三等分点 若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由.
17．定义下列操作规则：
规则 A：相邻两数 a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”.
规则 B：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”.
规则 C： 相邻四数a、b、c、d， 顺序颠倒为d、c、b、a， 称为一次“变换”.
将一行数1， 2， 3， …， 2025 经若干次变换变为 2025， 1， 2， …， 2023， 2024.
（1）只用规则 A 操作，目标能否实现
（2）只用规则 B 操作，目标能否实现
（3）只用规则 C 操作，目标能否实现
18．如图，AB 为半圆O 的直径，M为半圆内的一点，直线 AM 交半圆O 于点 C，直线 BM交半圆O 于点 D，直线 DC 与直线 AB 交于点 P，N 为直径 AB 上的一点，且满足 求证：MN⊥AB.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵a， b， c是正数， 且满足a+b+c=9，
∴原式
=7，
故答案为：B .
【分析】先根据题意得出a=9-b-c，b=9-a-c，c=9-a-b，再代入原式进行计算即可.
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数.
由题设可得：
将x=n(y-2)-2代入②得：
消去x得：(2y-7)n=y+4，
即：
为正整数，
的值分别为1， 3， 5， 15，
∴y的值只能为4， 5， 6， 11.
∴n的值分别为8， 3， 2， 1； x的值分别为14， 7， 6， 7.
即n的可能值的有4个.
故答案为：D .
【分析】首先设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组，消去x可整理求得2n=1 由n为正整数分析求解，即可求得答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；二元一次方程的解；中位数
【解析】【解答】解：根据题意，若 则有 即(a+2)(a-2)=9b，
由于b是质数，故9b的质因数只可能是1，3，9，b，3b， 9b，
注意到a是质数，故a≥2，则a+2≥4，故a+2可能的取值是9， b， 3b， 9b，
于是可能有以下情况：
解得
解得
无解；
无解.
当 时， 2， 3， 5， 7的中位数是
当 时， 2， 3， 11， 13的中位数是 7.
故答案为：C .
【分析】根据题意，将条件转化成(a+2)(a-2)=9b，对9b进行质因数分解，分析a+2可能的取值，从而得到a-2可能的取值，解出a，b后，根据中位数定义计算.
4．【答案】C
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，不同的爬行路径有：
①AB-BC-CA-AD-IOC；
②AB-BC-CD-DA-AC；
③AC-CB-BA-AD-DC；
④AC-CD-DA-
⑥AD-DC-CB-BA-AC.
共有6条.
故答案为：C.
【分析】分第一根火柴棒为AB，AC，AD三种情况讨论可得一只虫子从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点不同的爬行路径.
5．【答案】A
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：因为 令x=0可得
令x=1可得
令x=-1可得
所以
则
故答案为：A .
【分析】利用赋值法计算可得.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接NE，
设圆N半径为r，ON
=x， 则OD=r-x
， OC=r+x，
∵以M(-5，0)为圆
心、4为半径的圆与x
轴交于A、B两点，
∴OA =4+5=9， OB=5-4=1，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠APB = 90°，
∵∠BOD=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°， ∠ODB+∠OBD=90°，
∵∠PBA=∠OBD，
∴∠PAB=∠ODB，
∵∠APB=∠BOD = 90°，
∴△OBD∽△OCA，
∴OC：OB=OA：OD，
即
(r+x)(r-x)=9，
由垂径定理得：
即OE=OF=3，
故答案为：C .
【分析】连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，证 ，推出OC：OB=OA：OD，求出 根据垂径定理和勾股定理即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设 与 看作方程 2012的两个解，
方程整理得： 2012=0，
则
又
则
故答案为：A .
【分析】根据题意可将 与 看作方程 的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为把方程整理后，利用根与系数的关系表示出 ，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值.
8．【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系；圆的综合题；切割线定理模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长AP交于点C，分别连接 O2、CP、PO2
由圆与圆外切性质可知， P三点共线 A
∴设.AP=Rx，CP=rx
由切线长定理
故答案为：A .
【分析】延长AP交( 于点C，分别连接. CO2、CP、PO2构造 得到AP与PC之比，进而分别设出AP、AC，再由切割线定理，表示AB，即可求取得所求.
9．【答案】或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，
则有
解得
故答案为： 或
【分析】本题研究的三个方程至少有一个有实根，此类题求解时通常转化为求其对立面，研究三个方程都没有实根时实数a的取值范围，其补集即是所求的实数a的取值范围。
10．【答案】1024142
【知识点】解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：由n为正整数知
∴
∴，
∴
记1012=a.则
∴
∴
∴
∴
已知n为正整数，因此，
于是，符合条件的正整数n的个数等于 1，即1024142.
故答案为：1024142 .
【分析】首先要去掉绝对值符号，之后的处理可以按常规作，但是数据比较复杂，这里可采用字母代替数的方法，简化形式.
11．【答案】21°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B点作BG∥CD， 并且与过D点与BC平行的直线交于G点，如图，
由作法得四边形BCDG为平行四边形，
∵BC=CD，
∴四边形BCDG为菱形，
∴BC=BG=GD，
∵∠BCD=162°，
∴∠1=180°-162°= 18°.
而∠ABC=78°，
∴∠2=78°-18°=60°，
又∵AB=BC，
∴BA=BG，
∴△ABG为等边三角形，
∴GA=GB，
∴GD=GA，
又∵∠BGD =∠BCD =162°，
而∠AGB=60°，
∴∠AGD =360°-162°-60°= 138°，
而GD∥BC，
∴∠AEB=∠4=21°.
故答案为21°.
【分析】过B点作BG∥CD，并且与过D点与BC平行的直线交于G点， 加上BC=CD，得到四边形BCDG为菱形，则BC=BG=GD， 得∠1 = =18°，得∠2= 60°， 于是有△ABG为等边三角形， 则GA=GB， 得到GD=GA， ∠4=∠5， 可以求出∠AGD =138°，即可得到∠4， 进而求出∠AEB的度数.
12．【答案】2
【知识点】勾股定理；长方体的顶点、棱、面的特点
【解析】【解答】解：由题意，本题可以看做长方体的体对角线长是 两个面上的对角线长分别是 和
要求的俯视图的长相当于第三个面上的对角线长，设长度为x，长方体的棱长为a，b，c，如图：
则
由 得
由 得
故 即
所以
因为：x>0，所以x=2，
即在该几何体的俯视图中，这条边的投影长是2.
故答案为：2 .
【分析】棱长为a，b，c的长方体的体对角线长为 化为长方体的体对角线长是 ，两个面上的对角线长分别是 和 ，求第三个面的对角线长，设为x，设长方体的棱长为a，b，c，由条件构造关于a，b，c的方程组，解出再由 即可得解.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接OC，当OC垂直平分AB时，OC最大，
此时
在直角 中，
在直角 中，
在EO上截取EF=EA=1，连接AF，则. 是等腰直角三角形，
故答案为：
【分析】连接OC，当OC垂直平分AB时，线段OC最长，在两个直角 和 中进行计算求出OC的长.
14．【答案】（1）解：
特征：“好数”就是两个整数的平方和，而 故 29 是“好数”.
（2）解：1，2，4，5，8，9，10，13，16，17，18，20.
（3）解：设
则
令u+v=(x+y)(p+q)+ qy，v=q(x+y)-y(p+q).
那么
因为x，y，p，q均为整数， 所以(x+y)(p+q)+ qy，q(x+y)-y(p+q) 也为整数，所以u+v，v为整数， 故u，v为整数.
因此 mn为“好数”.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据 可以得到“好数”特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”；
(2)根据“好数”的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”；
(3)设 化简得到 令u+v=(x+y)(p+q)+qy，v=q(x+y)-y(p+q)，于是可以判断出 mn为“好数”.
15．【答案】（1）证明：∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°.
∵∠AFO=∠B+∠BOF =45°+∠BOF，
又∵∠BOE =∠EOF +∠BOF =45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE.
∴△AOF∽△BEO.
∴AF·BE =4.
（2）证明：作斜边AB上的高OD， 并
记OM =a， ON =b.
则易得ME =2-a， OD
1)，
∵∠EMO=∠ODF=90°，
即
（3）解：
所以，当 时，EF取得最小值
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质，得∠A =∠B=45°；根据三角形的外角的性质，得∠AFO=∠B+∠BOF =45°+∠BOF， 结合∠BOE =∠EOF+∠BOF =45°+∠BOF， 证明∠AFO =∠BOE，从而根据两角对应相等，即可证明△AOF∽△BEO；根据相似三角形的性质，得 即AF·BE =4；
(2)作斜边AB上的高OD， 并记OM =a， ON = b.根据等腰直角三角形的性质，可以分别用a表示ME， DF， BN的长； 根据△MOE∽△DOF， 就可求得OM·ON的值；
(3)用a和b表示EF的长，从而分析EF的最小值.
16．【答案】（1）证明：将y=kx+m代入 得： mx-1=0，
将y=kx+m代入 得： (12+m)=0，
∵线段AB与线段CD的中点重合，
（2）解：∵A， B为线段CD的三等分点，
∴线段AB与线段CD的中点重合，
将y=kx 代入 得：
将 代入 得：
∵A，B为线段CD的三等分点，
解得：
经检验： 均为无理方程 的解，
∴存在直线l，使得A、B为线段CD的三等分点，直线l的解析式为y=x-1或 或
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数系数k的几何意义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)分别将直线l的解析式代入双曲线及抛物线解析式中，可得出关于x的一元二次方程，由根与系数的关系结合线段AB与线段CD的中点重合，即可得出- 进而可证出结论；
(2)重复(1)的过程，利用求根公式可得出xA，xB，xC，xD的值，由两点间的距离公式结合A、B为线段CD的三等分点，即可得出 解之即可得出结论.
17．【答案】（1）解：能， 实行如下操作：
1，2，3，…，2023，2024，2025→1，2，3，…，2023，2025，2024→
1，2，3，…，2025，2023，2024→…→2025，1，2，3，…，2024；
（2）解：不能，
理由：从左到右，把数所占的位置编上号，按照规则B，
若数 m 在 k号位置，一次变换后可能是k-2，k，k+2号位置，所以操作过程中数 m所占位置的奇偶性不会改变.
而1，2，3，…，2024，2025 中1 在1号位，目标2025，1，2，…，2023，2024 中1 是 2号位，这不可能；
（3）解：能， 通过如下操作 (记为”*操作”)：
a，b，c，d，e→d，c，b，a，e→d，e，a，b，c→b，a，e，d，c→b，c，d，e，a→e，d，b，c，a→e，a，b，c，d，由”*操作”可以看成，将一个数往前提4 个位置，而其他各数的顺序不变，
将 2021，2022，2023，2024，2025 通过”* 操作”， 可以变为2025，2021，2022，2023，2024，再对 2017，2018，2019，2020，2025 施行”* 操作”， 变为2025，2017，2018，2019，2020， 如此反复，
1，2，3，...，2024，2025 可以变为 1，2，3，4，2025，5，6，...，2024，最后对1，2，3，4，2025 施行”* 操作”得到 2025，1，2，…，2023，2024.
【知识点】奇数与偶数及其应用；逻辑推理
【解析】【分析】(1)由规则A：直接可以得出结论；
(2)若数m在k号位置，一次变换后可能是k-2、k、k+2号位置，由此得出操作过程中数m所占位置的奇偶性不会改变，由此，可判断出结论；
(3)根据规则C找出“*操作”的规律，即可得出结论.
18．【答案】证明： 如图， 连接OD， OC， ND， NC， DA
∴O， D， C， N四点共圆；
∴BD平分角
又∵
∴AC平分角.
∴M为 的内心
∴M， N， A， D四点共圆
∵AB为半圆O的直径，
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】连接OD， OC， ND， NC， DA由 易证 利用对应角相等可得O， D， C， N四点共圆； 由BD平分角. 及M为 的内心，得出M，N，A，D四点共圆，再由AB为半圆O的直径，得出. 从而得出 即可得出结论
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