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浙江省杭州市采荷中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．下列事件是不确定事件的是 （　　）
A．抛掷一枚硬币，硬币终将落下
B．打开电视，正在播放新闻
C．太阳从东边升起
D．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球是白球
2．已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（　　）
A．1cm B．2cm C．3em D．4cm
3．将抛物线. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=2 (x+1)2-2 B．y=2(x-2)2-1
C．y=2(x-1)2-2 D．y=2(x+2)2+1
4．如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC 相似的是 (　　)
A．CA 平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC
C． D．
5．对于 的性质，下列叙述正确的是 （　　）
A．顶点坐标为(-1， 2) B．当x≥1时，y随x增大而减小
C．当x=1时， y有最大值2人 D．对称轴为直线x=1
6． 如图， △OAB与△OMN是以点O为位似中心的位似图形， 若A (2， 1)， B(3， 0)， N(9， 0)， 则点 M的坐标为(　　)
A．(6， 3) B．(5， 4) C．(5， 3) D．(4， 2)
7． 如图， AB是直径， 点C， D在半圆AB 上， 若∠BAC=35°， 则∠ADC的度数是（　　）
A．115° B．125° C．135° D．145°
8．二次函数 的部分对应值如下表：
x - 1 0 1 2 3
y m -2 ~3 n
有以下结论： ④a<0；，②当0≤x≤1时， y随x增大而减小； ③m>n. 正确的是(　　)
A．① B．② C．③ D．②③
9． 如图， AB为半圆O的直径， AC， AD都是弦， 且AC平分∠BAD， BD与OC、AC分别交于点 E， F， 下列说法错误的是（　　）
A．OC⊥BD B．
C．若点F为AC中点， 则CE=2OE D．若AC=BD， 则CE=OE
10．如图，半圆O的直径AB=2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD=1， 延长AD、BC相交于点 E. 记∠E 的度数为x°，△EDC的面积为y.则以下结论正确的是（　　）
A．x随C，D 运动而变化，y随C，D 运动而变化
B．x不随C，D 运动而变化，y随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随 C，D 运动而变化
D．x不随C，D 运动而变化，y不随C，D运动而变化
二、填空题(本题有6题，每小题3分，共18分)
11．已知线段c是线段a、b的比例中项，如果a=2cm，b=8cm，则c= 　 　cm.
12． 把 化为顶点式，得　 　
13．如图是某同学的微信二维码，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为　 　.
14．用长为12m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的透光面积最大值为　 　。
15．如图，AB是⊙O 的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O 于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为　 　
16． 如图， 在矩形ABCD 中， AB=12， AD=25， P 是射线BA 上一动点， 把△PBC沿直线PC翻折，顶点B 的对应点为G，当线段 CG与AD相交时，设交点为E， 连接BE， 交 PC于点 F， 连接GF， 若 BE∥PG， 则EF 的长为 　 　。
三、解答题(本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明演算步骤或证明过程)
17．如图， 矩形ABCD中， M为BC上一点， F是AM的中点， EF交AD的于点E， 且BM·AE=AF·AM.
（1） 求证： △ABM∽△EFA；
（2） 若AB=8， BM=6， 求 EF的长.
18．已知二次函数y=a(x+1)(x-3) 的图象与y轴交点为(0， 3).
（1） 求a的值.
（2）求该二次函数图象的对称轴和y的最大值.
19．二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀.张涛收集了四张节气图案的卡片：A.小满，B.芒种，C.夏至，D.小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置.·
（1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.小满”的概率是 　 　；
（2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回 洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C.夏至”的概率.
20．如图， 锐角△ABC中， AB>AC，AD是BC边上的高线，在AB边上取点E， 使EC=EB， CE与AD交于点F.
（1） 求证： △CDF∽△BDA.
（2） 若F为AD的中点， △ACF的面积为1， 求 和 的面积.
21．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
22．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O，( 交AD的延长线于点 E， 连接AC、BD， CD平分.
（1） 若 求 的长；
（2） 求证CA=CB；
（3） 若点 B为CAD的中点， .DE=2，CE=6时，求AD 的长.
23．已知抛物线 (b为常数)经过点((-1，0).
（1） 求b的值.
（2） 若点A (m， y1)、B(m+1， y2) 都在该抛物线上， 求 的最小值.
（3） 当-5≤x≤n时， 二次函数. 的最大值与最小值的差为，n+9，求n的值.
24．如图， 矩形ABCD中，BC=8，点 F是AB边上一点(不与点B重合)，△BCF的外接圆交对角线 BD于点 E，连结CF交BD 于点G.
（1） 求证： ∠ECG=∠BDC.
（2）当AB=6时，在点 F的整个运动过程中，
①连结 EF， 若 时，求CE的长.
②当△CGE为等腰三角形时，求所有满足条件的 CG的长.
直接写出答案CG为 　 　
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A项硬币受重力作用必然落下，是确定性事件；
B项打开电视时，播放内容不确定，可能播放新闻也可能播放其他，为不确定事件；
C项地球自转方向固定使太阳必然从东边升起，是确定性事件；
D项袋中全为白球，摸出白球必然发生，是确定性事件；
故选：B．
【分析】根据不确定事件即随机事件，指可能发生也可能不发生的事件，然后问题可求解．
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ∵点A在半径为2cm的圆内，
∴点A到圆心的距离小于2cm，
故选：A．
【分析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可．
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为(1，﹣2)，
∴平移后抛物线解析式为y＝2(x﹣1)2﹣2.
故选：C.
【分析】原抛物线的顶点坐标为(0，0)，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为(1，﹣2)，根据抛物线的顶点式求解析式.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、 由平分可得，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
B、由，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
C、由，结合，不可以证明，故此选项符合题意；
D、由，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
故选C．
【分析】可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等或两组对角相等来证明两个三角形相似．
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数
顶点坐标为，当时，有最小值2，故选项A错误，故选项C错误．
对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故选项B错误，选项D正确．
故选D．
【分析】由二次函数顶点式可以知道抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴以及增减性．
6．【答案】A
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：与是以点O为位似中心的位似图形，，
，相似比为1：3，
，
点M的坐标为，即．
故选：A．
【分析】根据位似变换的性质得到，相似比为1：3，进而求出点M的坐标．
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
是直径，
，
又，
．
故选：B．
【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，相加即可求解．
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵由表可知，当时，当时，当时，
即该函数图象经过点，
代入得，解得，
∴该二次函数解析式为，
∴，故①错误，
∵，
∴该函数图象开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴左侧y随x的增大而增大，
又∵该函数图象的对称轴为，包含对称轴右侧，
∴y不是始终随x的增大而减小，故②错误；
当时，，即，
当时，，即，
∴，故③正确．
故选：C．
【分析】通过待定系数法求二次函数解析式，再判断各结论的正确性．
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定
【解析】【解答】
解：∵平分，
∴
∴
∴，故A正确；
∵
∴
∵
∴无法证明
∴
∴，故B错误；
如图所示，当点F为中点，
∴
∵为半圆O的直径，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，故C正确；
如图所示，若，
∴
∴
∴
∴，
∵
∴是等边三角形
∴，故D正确．
故选：B．
【分析】根据垂径定理的推理即可判断A；由无法证明，得到，即可判断B； 如图所示，当点F为中点，证明出，得到，推出，然后证明出，得到，即可判断C；如图所示，若，证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，利用三线合一即可判断D．
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：因为AB固定，
所以∠AEB固定，定弦定角，
故x不随C、D运动而变化；
∵CD为定长1，∠DEC为定角60°，
∴作以O'为圆心，CD为圆O'一条弦，使∠DO'C=120°，
此时E在圆O'上运动，如图，
由图可知：点E在圆O'上运动时，E到弦CD距离变化，
即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．
故选：B．
【分析】AB固定，∠AEB固定，定弦定角即可；作以O'为圆心，CD为圆O'一条弦，使∠DO'C=120°，此时E在圆O'上运动，由图可知：点E在圆O'上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题．
11．【答案】4
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：依题意
∵a=2cm，b=8cm
∴c=4cm
故填：4
【分析】根据比例中项定义可以找到a，b，c之间的等量关系，代入计算即可。
12．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：．
故答案为．
【分析】通过配方法将一般式化为顶点式即可．
13．【答案】1.6
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，
点落入黑色部分的概率为0.4，
边长为的正方形的面积为，
设黑色部分的面积为，
则，
解得.
估计黑色部分的总面积约为.
故答案为：1.6.
【分析】根据频率估计概率的知识可得点落入黑色部分的概率为0.4，然后结合几何概率公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设窗的高度为，宽为，
由矩形面积公式得：，
∵，
∴当时，最大值为．
故答案为：．
【分析】设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可．
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OE， OC， BC，
由旋转知.
即 为等腰直角三角形，
故答案为：
【分析】连接OE， OC， BC， 推出 是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可.
16．【答案】或7.5
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即
∴，
解得：或，
∴或，
∴当，时，根据勾股定理得：
；
当，时，同理可得，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则有：
当时，则，
∵，
∴，
解得：；
当时，则，
∵，
∴，
解得：；
综上所述：若，则的长为或7.5；
故答案为或7.5．
【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，则有，得出或，进而通过证明可分类进行求解．
17．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，即，
∴
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证；
（2）由勾股定理可得，则有，根据可得，然后问题可求解．
18．【答案】（1）解：函数图象与y轴交点为，
，
解得
（2）解：由（1）得，
配方得，
，
，
所以该二次函数图象的对称轴为，y的最大值为
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据题意，把点代入求值即可；
（2）由（1）得，再化为顶点式，根据顶点式得到对称轴及最值．
19．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种，
∴两人都没有抽到“C．夏至”的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．小满”的结果只有1种，
∴张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种，再由概率公式求解即可．
20．【答案】（1）证明：是边上的高线，
于点，
在边上取点，与交于点，
，
，
，
△△
（2）解：为的中点，△的面积为1，
，
，，
△△．
，
，
，
△的面积是6
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由是边上的高线，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△△．
（2）由为的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，则，求得．
21．【答案】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为：，
将P(-9，1.5）代入，得：a（-9+3）2+2=1.5，
解得：a=，
∴ 抛物线的解析式为.
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内，
理由：∵AB=24，
∴OB=OA=12
由（1）可知，抛物线的解析式为，
当x=0时， =＞1，
∴网球越过了球网，
∴当y=0时，=0，
解得：x=9或x=-15（不符合题意，舍去）
∵9＜12，
∴网球落在对方区域，
∴此次击球越过球网并落在对方区域内．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意设出抛物线的顶点式，再利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案；
（2）根据（1）的抛物线解析式分别求出当时，y的值和当y=0时，x的值，即可得出答案．
（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下：
∵，
当时，，
网球越过球网，
当时，，
网球落在对方区域；
此次击球越过球网并落在对方区域内．
22．【答案】（1）解：连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=6，
∴的长为；
（2）证明：四边形内接于，
，
平分，
，
，
，
，
（3）解：过点C作于H， ，
设， 则，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得 ，
，
解得，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB=60°，即可得到△OAB是等边三角形，求出OA=6，利用弧长公式计算即可；
（2）先由圆内接四边形性质得到，再由角平分线定义得到，然后由同弧所对的圆周角相等得到，等量代换确定，最后由等腰三角形的判定与性质即可得证；
（3）过点C作于H， ，设， 则，根据全等三角形的判定和性质得出，，，再结合弧与弦的关系确定，利用勾股定理求解即可．
23．【答案】（1）解：∵抛物线（为常数）经过点，
∴，
解得
（2）解：由（1）知，
∵点、都在该抛物线上，
∴，，
∴
，
∵，
∴，即，
则的最小值为
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，；
当时，；
分以下三种情况讨论：
当时，当时，随增大而减小，
当时，有最大值，
当时，有最小值，
∵最大值和最小值的差为，
∴，
解得或（舍去）；
当时， 当时，最小值，
当时，有最大值，
∵最大值和最小值的差为，
∴，
解得；
当时， 当时，最小值，
当时，有最大值
∵最大值和最小值的差为，
∴，
解得或（舍去），
综上所述，的值为或或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把代入计算即可；
（2）求出，，再计算即可；
（3）根据对称轴与的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，再计算即可．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABD=∠ECG
∴∠ECG=∠BDC．
∴∠ECG=∠BDC．
结论得证
（2）解：①如图，连接EF，则∠CEF=∠BCD=90°，矩形ABCD中，AB=DC=6，BC=AD=8，则对角线BD=，∵∠EFC=∠CBD，∴△EFC∽△CBD，∴∵BC=8，BF=，∴利用勾股定理，得CF=，∴CE=，②GC为5或6或
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（2）②解：当EG=CG时，∠GEC=∠GCE=∠ABD=∠BDC，
又∵∠DCE+∠CDB=∠BEC，
∴∠DCE=0°，
∴E与D重合，GC=GD，G为BD的中点，
∴根据矩形的性质有：GC=0.5BD=5，
II当GE=CE时，
∴∠EGC=∠ECG=∠ABD=∠GDC，
∴CG=CD=6，
III当CG=CE时，
则有∠GEC=∠EGC=∠BFC=∠GCD，
∴CD=GD=6，
∴GB=4=BF，
∴FC=，
∴△FBG∽△CDG，GC=，
即GC为5或6或．
【分析】（1）根据，得∠ABD=∠BDC，根据圆周角定理有∠ABD=∠ECG即可证得∠ECG=∠BDC；
（2）①连接EF，利用矩形的性质即可求出对角线BD，在证得△EFC∽△CBD，即有，利用勾股定理可求出得CF=，即CE可求；
②根据等腰三角形的性质分EG=CG、GE=CE和CG=CE三种情况讨论，分类讨论中注重利用圆周角定理寻找相关的角的等量关系即可求解．
1 / 1浙江省杭州市采荷中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．下列事件是不确定事件的是 （　　）
A．抛掷一枚硬币，硬币终将落下
B．打开电视，正在播放新闻
C．太阳从东边升起
D．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球是白球
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A项硬币受重力作用必然落下，是确定性事件；
B项打开电视时，播放内容不确定，可能播放新闻也可能播放其他，为不确定事件；
C项地球自转方向固定使太阳必然从东边升起，是确定性事件；
D项袋中全为白球，摸出白球必然发生，是确定性事件；
故选：B．
【分析】根据不确定事件即随机事件，指可能发生也可能不发生的事件，然后问题可求解．
2．已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（　　）
A．1cm B．2cm C．3em D．4cm
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ∵点A在半径为2cm的圆内，
∴点A到圆心的距离小于2cm，
故选：A．
【分析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可．
3．将抛物线. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=2 (x+1)2-2 B．y=2(x-2)2-1
C．y=2(x-1)2-2 D．y=2(x+2)2+1
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为(1，﹣2)，
∴平移后抛物线解析式为y＝2(x﹣1)2﹣2.
故选：C.
【分析】原抛物线的顶点坐标为(0，0)，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为(1，﹣2)，根据抛物线的顶点式求解析式.
4．如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC 相似的是 (　　)
A．CA 平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、 由平分可得，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
B、由，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
C、由，结合，不可以证明，故此选项符合题意；
D、由，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
故选C．
【分析】可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等或两组对角相等来证明两个三角形相似．
5．对于 的性质，下列叙述正确的是 （　　）
A．顶点坐标为(-1， 2) B．当x≥1时，y随x增大而减小
C．当x=1时， y有最大值2人 D．对称轴为直线x=1
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数
顶点坐标为，当时，有最小值2，故选项A错误，故选项C错误．
对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故选项B错误，选项D正确．
故选D．
【分析】由二次函数顶点式可以知道抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴以及增减性．
6． 如图， △OAB与△OMN是以点O为位似中心的位似图形， 若A (2， 1)， B(3， 0)， N(9， 0)， 则点 M的坐标为(　　)
A．(6， 3) B．(5， 4) C．(5， 3) D．(4， 2)
【答案】A
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：与是以点O为位似中心的位似图形，，
，相似比为1：3，
，
点M的坐标为，即．
故选：A．
【分析】根据位似变换的性质得到，相似比为1：3，进而求出点M的坐标．
7． 如图， AB是直径， 点C， D在半圆AB 上， 若∠BAC=35°， 则∠ADC的度数是（　　）
A．115° B．125° C．135° D．145°
【答案】B
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
是直径，
，
又，
．
故选：B．
【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，相加即可求解．
8．二次函数 的部分对应值如下表：
x - 1 0 1 2 3
y m -2 ~3 n
有以下结论： ④a<0；，②当0≤x≤1时， y随x增大而减小； ③m>n. 正确的是(　　)
A．① B．② C．③ D．②③
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵由表可知，当时，当时，当时，
即该函数图象经过点，
代入得，解得，
∴该二次函数解析式为，
∴，故①错误，
∵，
∴该函数图象开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴左侧y随x的增大而增大，
又∵该函数图象的对称轴为，包含对称轴右侧，
∴y不是始终随x的增大而减小，故②错误；
当时，，即，
当时，，即，
∴，故③正确．
故选：C．
【分析】通过待定系数法求二次函数解析式，再判断各结论的正确性．
9． 如图， AB为半圆O的直径， AC， AD都是弦， 且AC平分∠BAD， BD与OC、AC分别交于点 E， F， 下列说法错误的是（　　）
A．OC⊥BD B．
C．若点F为AC中点， 则CE=2OE D．若AC=BD， 则CE=OE
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定
【解析】【解答】
解：∵平分，
∴
∴
∴，故A正确；
∵
∴
∵
∴无法证明
∴
∴，故B错误；
如图所示，当点F为中点，
∴
∵为半圆O的直径，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，故C正确；
如图所示，若，
∴
∴
∴
∴，
∵
∴是等边三角形
∴，故D正确．
故选：B．
【分析】根据垂径定理的推理即可判断A；由无法证明，得到，即可判断B； 如图所示，当点F为中点，证明出，得到，推出，然后证明出，得到，即可判断C；如图所示，若，证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，利用三线合一即可判断D．
10．如图，半圆O的直径AB=2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD=1， 延长AD、BC相交于点 E. 记∠E 的度数为x°，△EDC的面积为y.则以下结论正确的是（　　）
A．x随C，D 运动而变化，y随C，D 运动而变化
B．x不随C，D 运动而变化，y随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随 C，D 运动而变化
D．x不随C，D 运动而变化，y不随C，D运动而变化
【答案】B
【知识点】圆周角定理；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：因为AB固定，
所以∠AEB固定，定弦定角，
故x不随C、D运动而变化；
∵CD为定长1，∠DEC为定角60°，
∴作以O'为圆心，CD为圆O'一条弦，使∠DO'C=120°，
此时E在圆O'上运动，如图，
由图可知：点E在圆O'上运动时，E到弦CD距离变化，
即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．
故选：B．
【分析】AB固定，∠AEB固定，定弦定角即可；作以O'为圆心，CD为圆O'一条弦，使∠DO'C=120°，此时E在圆O'上运动，由图可知：点E在圆O'上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题．
二、填空题(本题有6题，每小题3分，共18分)
11．已知线段c是线段a、b的比例中项，如果a=2cm，b=8cm，则c= 　 　cm.
【答案】4
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：依题意
∵a=2cm，b=8cm
∴c=4cm
故填：4
【分析】根据比例中项定义可以找到a，b，c之间的等量关系，代入计算即可。
12． 把 化为顶点式，得　 　
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：．
故答案为．
【分析】通过配方法将一般式化为顶点式即可．
13．如图是某同学的微信二维码，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为　 　.
【答案】1.6
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，
点落入黑色部分的概率为0.4，
边长为的正方形的面积为，
设黑色部分的面积为，
则，
解得.
估计黑色部分的总面积约为.
故答案为：1.6.
【分析】根据频率估计概率的知识可得点落入黑色部分的概率为0.4，然后结合几何概率公式计算即可.
14．用长为12m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的透光面积最大值为　 　。
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设窗的高度为，宽为，
由矩形面积公式得：，
∵，
∴当时，最大值为．
故答案为：．
【分析】设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可．
15．如图，AB是⊙O 的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O 于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为　 　
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OE， OC， BC，
由旋转知.
即 为等腰直角三角形，
故答案为：
【分析】连接OE， OC， BC， 推出 是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可.
16． 如图， 在矩形ABCD 中， AB=12， AD=25， P 是射线BA 上一动点， 把△PBC沿直线PC翻折，顶点B 的对应点为G，当线段 CG与AD相交时，设交点为E， 连接BE， 交 PC于点 F， 连接GF， 若 BE∥PG， 则EF 的长为 　 　。
【答案】或7.5
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即
∴，
解得：或，
∴或，
∴当，时，根据勾股定理得：
；
当，时，同理可得，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则有：
当时，则，
∵，
∴，
解得：；
当时，则，
∵，
∴，
解得：；
综上所述：若，则的长为或7.5；
故答案为或7.5．
【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，则有，得出或，进而通过证明可分类进行求解．
三、解答题(本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明演算步骤或证明过程)
17．如图， 矩形ABCD中， M为BC上一点， F是AM的中点， EF交AD的于点E， 且BM·AE=AF·AM.
（1） 求证： △ABM∽△EFA；
（2） 若AB=8， BM=6， 求 EF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，即，
∴
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证；
（2）由勾股定理可得，则有，根据可得，然后问题可求解．
18．已知二次函数y=a(x+1)(x-3) 的图象与y轴交点为(0， 3).
（1） 求a的值.
（2）求该二次函数图象的对称轴和y的最大值.
【答案】（1）解：函数图象与y轴交点为，
，
解得
（2）解：由（1）得，
配方得，
，
，
所以该二次函数图象的对称轴为，y的最大值为
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据题意，把点代入求值即可；
（2）由（1）得，再化为顶点式，根据顶点式得到对称轴及最值．
19．二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀.张涛收集了四张节气图案的卡片：A.小满，B.芒种，C.夏至，D.小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置.·
（1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.小满”的概率是 　 　；
（2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回 洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C.夏至”的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种，
∴两人都没有抽到“C．夏至”的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．小满”的结果只有1种，
∴张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种，再由概率公式求解即可．
20．如图， 锐角△ABC中， AB>AC，AD是BC边上的高线，在AB边上取点E， 使EC=EB， CE与AD交于点F.
（1） 求证： △CDF∽△BDA.
（2） 若F为AD的中点， △ACF的面积为1， 求 和 的面积.
【答案】（1）证明：是边上的高线，
于点，
在边上取点，与交于点，
，
，
，
△△
（2）解：为的中点，△的面积为1，
，
，，
△△．
，
，
，
△的面积是6
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由是边上的高线，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△△．
（2）由为的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，则，求得．
21．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
【答案】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为：，
将P(-9，1.5）代入，得：a（-9+3）2+2=1.5，
解得：a=，
∴ 抛物线的解析式为.
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内，
理由：∵AB=24，
∴OB=OA=12
由（1）可知，抛物线的解析式为，
当x=0时， =＞1，
∴网球越过了球网，
∴当y=0时，=0，
解得：x=9或x=-15（不符合题意，舍去）
∵9＜12，
∴网球落在对方区域，
∴此次击球越过球网并落在对方区域内．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意设出抛物线的顶点式，再利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案；
（2）根据（1）的抛物线解析式分别求出当时，y的值和当y=0时，x的值，即可得出答案．
（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下：
∵，
当时，，
网球越过球网，
当时，，
网球落在对方区域；
此次击球越过球网并落在对方区域内．
22．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O，( 交AD的延长线于点 E， 连接AC、BD， CD平分.
（1） 若 求 的长；
（2） 求证CA=CB；
（3） 若点 B为CAD的中点， .DE=2，CE=6时，求AD 的长.
【答案】（1）解：连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=6，
∴的长为；
（2）证明：四边形内接于，
，
平分，
，
，
，
，
（3）解：过点C作于H， ，
设， 则，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得 ，
，
解得，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB=60°，即可得到△OAB是等边三角形，求出OA=6，利用弧长公式计算即可；
（2）先由圆内接四边形性质得到，再由角平分线定义得到，然后由同弧所对的圆周角相等得到，等量代换确定，最后由等腰三角形的判定与性质即可得证；
（3）过点C作于H， ，设， 则，根据全等三角形的判定和性质得出，，，再结合弧与弦的关系确定，利用勾股定理求解即可．
23．已知抛物线 (b为常数)经过点((-1，0).
（1） 求b的值.
（2） 若点A (m， y1)、B(m+1， y2) 都在该抛物线上， 求 的最小值.
（3） 当-5≤x≤n时， 二次函数. 的最大值与最小值的差为，n+9，求n的值.
【答案】（1）解：∵抛物线（为常数）经过点，
∴，
解得
（2）解：由（1）知，
∵点、都在该抛物线上，
∴，，
∴
，
∵，
∴，即，
则的最小值为
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，；
当时，；
分以下三种情况讨论：
当时，当时，随增大而减小，
当时，有最大值，
当时，有最小值，
∵最大值和最小值的差为，
∴，
解得或（舍去）；
当时， 当时，最小值，
当时，有最大值，
∵最大值和最小值的差为，
∴，
解得；
当时， 当时，最小值，
当时，有最大值
∵最大值和最小值的差为，
∴，
解得或（舍去），
综上所述，的值为或或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把代入计算即可；
（2）求出，，再计算即可；
（3）根据对称轴与的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，再计算即可．
24．如图， 矩形ABCD中，BC=8，点 F是AB边上一点(不与点B重合)，△BCF的外接圆交对角线 BD于点 E，连结CF交BD 于点G.
（1） 求证： ∠ECG=∠BDC.
（2）当AB=6时，在点 F的整个运动过程中，
①连结 EF， 若 时，求CE的长.
②当△CGE为等腰三角形时，求所有满足条件的 CG的长.
直接写出答案CG为 　 　
【答案】（1）证明：∵，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABD=∠ECG
∴∠ECG=∠BDC．
∴∠ECG=∠BDC．
结论得证
（2）解：①如图，连接EF，则∠CEF=∠BCD=90°，矩形ABCD中，AB=DC=6，BC=AD=8，则对角线BD=，∵∠EFC=∠CBD，∴△EFC∽△CBD，∴∵BC=8，BF=，∴利用勾股定理，得CF=，∴CE=，②GC为5或6或
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（2）②解：当EG=CG时，∠GEC=∠GCE=∠ABD=∠BDC，
又∵∠DCE+∠CDB=∠BEC，
∴∠DCE=0°，
∴E与D重合，GC=GD，G为BD的中点，
∴根据矩形的性质有：GC=0.5BD=5，
II当GE=CE时，
∴∠EGC=∠ECG=∠ABD=∠GDC，
∴CG=CD=6，
III当CG=CE时，
则有∠GEC=∠EGC=∠BFC=∠GCD，
∴CD=GD=6，
∴GB=4=BF，
∴FC=，
∴△FBG∽△CDG，GC=，
即GC为5或6或．
【分析】（1）根据，得∠ABD=∠BDC，根据圆周角定理有∠ABD=∠ECG即可证得∠ECG=∠BDC；
（2）①连接EF，利用矩形的性质即可求出对角线BD，在证得△EFC∽△CBD，即有，利用勾股定理可求出得CF=，即CE可求；
②根据等腰三角形的性质分EG=CG、GE=CE和CG=CE三种情况讨论，分类讨论中注重利用圆周角定理寻找相关的角的等量关系即可求解．
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