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贵州省黔西南州2021年中考数学真题试卷
一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）
1．实数，，0，中，最小的数是
A． B． C．0 D．
2．如图是一个正方体的展开图，把它折叠成正方体后，有“学”字一面的相对面上的字是（　　）
A．雷 B．锋 C．精 D．神
3．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行．从2012年开始，经过七年多的精准扶贫，特别是四年多的脱贫攻坚战，全国现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，数9899万用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为　　
A． B． C． D．
5．小明在体育训练期间，参加了五次测试成绩（单位：分）分别是：85，98，88，98，95．则这组数据的众数和中位数分别是　　
A．88，98 B．98，88 C．95，98 D．98，95
6．下列运算中，结果正确的是　　
A． B．
C． D．
7．高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为，依题意，下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
8．图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则的长为　　
A． B． C． D．
9．对于反比例函数，下列说法错误的是　　
A．图象经过点 B．图象位于第二、第四象限
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大增大
10．如图，在正方形中，，分别是，的中点，，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题10小题，每小题3分，共30分）
11．已知，则　 　．
12．正八边形一个内角的度数为　 　
13．计算：　 　．
14．如图，△与是位似图形，点为位似中心，若，则△与的面积比为 　 　．
15．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货 　 　．
16．三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为 　 　.
17．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部处看一栋楼顶部的俯角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球处与地面距离为，则这栋楼的高度是 　 　．
18．小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系为，则足球距地面的最大高度是 　 　．
19．如图，在中，，，，作正方形，使顶点，分别在，上，边在上；类似地，在△中，作正方形；在△中，作正方形；；依次作下去，则第个正方形的边长是 　 　．
20．如图，在矩形纸片中，，，是上的点，且，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是 　 　．
三、解答题（本题6小题，共80分）
21．
（1）计算：；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
22．为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了　 　名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率.
23．如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
24．甲、乙两家水果商店，平时以同样的价格出售品质相同的樱桃．春节期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，甲商店的樱桃价格为60元；乙商店的樱桃价格为65元．若一次购买以上，超过部分的樱桃价格打8折．
（1）设购买樱桃，，（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额，求，关于的函数解析式；
（2）春节期间，如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱？
25．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
26．如图，直线与抛物线相交于点，．
（1）填空：　 　，　 　，抛物线的解析式为 　 　．
（2）将直线向下移个单位长度后，直线与抛物线仍有公共点，求的取值范围．
（3）是抛物线上的一个动点，是否存在以为直径的圆与轴相切于点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴﹣3＜﹣2＜0＜，
∴最小的数是﹣3，
故答案为：A.
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
2．【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的表面展开图的特征可知：“学”的对面是“神”，
故选：D．
【分析】根据正方体展开图的特征即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：9899万，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，本题解题时需要先将9899万变为，再进行解题．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据按从小到大的顺序排列为：85，88，95，98，98，
98出现了2次，次数最多，所以众数是98，
一共5个数，处于中间位置的一个数是95，所以这组数据的中位数为95，
故答案为：D.
【分析】根据众数和中位数的求解方法求解即可．
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项不能合并，故A不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意．
故答案为：.
【分析】直接利用合并同类项运算法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算，幂的法则乘方运算法则分别计算得出答案．
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为3xkm/h，
高铁列车所用的时间为：，
普通列车的时间为：，
所列方程为：，
故答案为：B.
【分析】设列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为3xkm/h，总路程为360km，可求出高铁列出和普通列车所用的时间，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h，即可列出方程．
8．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：的长为，贴纸部分的宽为，
∴，
又∵和的夹角为，
的长为：．
故答案为：B.
【分析】由题意易得，然后根据弧长计算公式可进行求解．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数y=-，
A、当x=1时，y=-=-5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k=-5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
在与中，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
，
如图，延长交的延长线于，
∵AD//BC，
∴∠AHE=∠BCE，
点是的中点，
，
，，，
，
，
是斜边的中线，
，
，
，，
．故③正确；
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质得到 AB=BC=CD=AD， ∠B＝∠BCD＝90°，得到，，根据全等三角形的性质得到 ∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到 CE⊥ DF，故②正确；延长CE交DA的延长线 于H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根 据全等三角形的性质得到BC=AH=AD，由AG是斜边的中线，得到， 求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到 ∠AGE＝∠CDF，故③正确．
11．【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2a﹣5b＝3，
∴2+4a﹣10b
＝2+2（2a﹣5b）
＝2+2×3
＝8，
故答案为：8．
【分析】先变形得出2+4a﹣10b＝2+2（2a﹣5b），再代入求出答案即可．
12．【答案】135°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为 ×1080°=135°．
故答案为：135°．
【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2） 180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
13．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；同分母分数加法和减法
【解析】【解答】解：原式
=
=
故答案为：．
【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：，
，
与是位似图形，
与的相似比为，
，
即与的面积比为，
故答案为：．
【分析】先求出相似比为，再根据位似图形的性质即可得．
15．【答案】17
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，
由题意，得：，
解得：，
则，
即3辆大货车与2辆小货车一次可以运货，
故答案为：17．
【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，由题意：2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，列出方程组，解方程组，即可求解．
16．【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵第三边的长是方程 的根，解得x=3或5
当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形；
当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形；
故该三角形三边长分别为2，5，5，则周长为2＋5＋5=12.
故答案为：12.
【分析】首先利用因式分解法求出一元二次方程的解，然后根据三角形的三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
17．【答案】100
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作于点D，如图所示：
则，，米，
在中， （米），
在中， （米），
∴（米）．
故答案为：．
【分析】首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案．
18．【答案】7.2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵h=-5t2+12t，
∴a=-5，b=12，c=0，
∴足球距地面的最大高度是：=7.2m，
故答案为：7.2．
【分析】a=-5开口方向向下，最大值为顶点y值，由公式可得答案．
19．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；探索规律-图形的递变规律；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：法1：过作，交于点，交于点，如图所示：
，
，
为斜边为1的等腰直角三角形，
，
又△为等腰直角三角形，
，
，
第1个正方形的边长，
同理第2个正方形的边长，
则第个正方形的边长；
法2：由题意得：，
，，
，
同理可得：，
依此类推．
故答案为：．
【分析】法一：过作，通过做辅助线并结合等腰直角三角形性质找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为，依次类推可得第n个正方形的边长．
法二：直接利用等腰直角三角形的性质，找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为，依次类推可得第n个正方形的边长．
20．【答案】4
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接PM，如图所示：
，，，
，
由折叠性质得，，，，
在和△中，
，
，
，
．
设，则，
在中，，
即，
解得，
的长是4．
故答案为：4．
【分析】要求AN的长，可放在中，利用勾股定理求解，所以还需算出AP，PN的长．PN可根据折叠的性质求解，而求解PA，需先求解PB，连接PM可证，同时利用折叠性质，可求得PB的长，最后可求出AN的长．
21．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为，
用数轴表示为：
【知识点】零指数幂；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据乘方、二次根式、零指数幂的运算法则以及绝对值的意义进行计算即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后再得出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
22．【答案】（1）40；108°
（2）解：把条形统计图补充完整如下；
（3）解： （名），
估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀；
（4）解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为 .
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为： （名），
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为： （名），
∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为： ，
故答案为：40，108°；
【分析】（1）利用“良好”的人数除以所占的比例可得总人数，进而根据各个等级的人数之和等于总人数求出“一般”的人数，然后除以总人数，再乘以360°可得一般的扇形圆心角的度数；
（2）根据“一般”的人数即可补全条形统计图；
（3）利用“优秀”的人数除以总人数，然后乘以1400即可；
（4）此题是抽取不放回类型，画出树状图，找出总情况数以及恰好选中甲乙的情况数，然后利用概率公式进行计算.
23．【答案】（1）证明：连接，
为的切线，
，
，
，
．
又，
，
，
即；
（2）解：连接，
为的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
的半径为6．
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，由切线的性质和平行的性质可得，再根据圆的性质可得OC=OA即，进而得到即可证明；
（2）如图：连接，先根据圆周角定理并结合题意可得，然后根据三角函数求得，运用勾股定理可得；再说明；设，，然后根据，进而求得AB即可．
24．【答案】（1）解：由题意可得：，
当时，，
当时，，
（2）解：当时，即时，到甲商店购买樱桃更省钱；
当时，即时，到甲、乙两家商店购买樱桃花费相同；
当，即时，到乙商店购买樱桃更省钱．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据两个商店的樱桃价格列出对应的关系式即可；
（2）根据（1）所求函数关系式，列出不等式或方程求解即可．
25．【答案】（1）证明：如图1，线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
（2）解：，
又，
，
，
过作，的垂线段分别交于点，，
又，，
由面积相等可得，
在和中，
，
，
，
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=60°，结合已知条件可得∠BAC=∠DAE，进而证明△ABD≌△ACE，即可证明BD=CE；
（2）过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，△ABD≌△ACE，BD=CE，由面积相等可得AM=AN，证明Rt△AFM≌Rt△AFN，进而证明∠BFC=∠AFB=∠AFE=60°
26．【答案】（1）1；3；
（2）解：由题意可得，
联立，
，
直线与抛物线仍有公共点，
△，
，
（3）解：存在以为直径的圆与轴相切，理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
当轴时，以为直径的圆与轴相切，
；
如图，令，则，
解得，
设抛物线与轴的交点，，
轴，
轴，
，
设，
，，，，
，
解得（舍或，
，；
综上所述：以为直径的圆与轴相切时，点坐标为，或．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）将，代入，
可得，，
，，
再将，代入得，
，
可得，
，
故答案为：1，3，；
【分析】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y=2x+1，可求m、n的值，再将A（0，1），B（3，7）代入y=2x2+bx+c，可求函数解析式；
（2）由题意可得y=2x+1-a，联立，得到2x2-6x+a=0，再由判别式Δ≥0即可求a是取值范围；
（3）设Q（t，s），则，半径，再由AQ2=t2+（s-1）2=（s+1）2，即可求t的值．
1 / 1贵州省黔西南州2021年中考数学真题试卷
一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）
1．实数，，0，中，最小的数是
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴﹣3＜﹣2＜0＜，
∴最小的数是﹣3，
故答案为：A.
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
2．如图是一个正方体的展开图，把它折叠成正方体后，有“学”字一面的相对面上的字是（　　）
A．雷 B．锋 C．精 D．神
【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的表面展开图的特征可知：“学”的对面是“神”，
故选：D．
【分析】根据正方体展开图的特征即可求出答案.
3．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行．从2012年开始，经过七年多的精准扶贫，特别是四年多的脱贫攻坚战，全国现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，数9899万用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：9899万，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，本题解题时需要先将9899万变为，再进行解题．
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
5．小明在体育训练期间，参加了五次测试成绩（单位：分）分别是：85，98，88，98，95．则这组数据的众数和中位数分别是　　
A．88，98 B．98，88 C．95，98 D．98，95
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据按从小到大的顺序排列为：85，88，95，98，98，
98出现了2次，次数最多，所以众数是98，
一共5个数，处于中间位置的一个数是95，所以这组数据的中位数为95，
故答案为：D.
【分析】根据众数和中位数的求解方法求解即可．
6．下列运算中，结果正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项不能合并，故A不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意．
故答案为：.
【分析】直接利用合并同类项运算法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算，幂的法则乘方运算法则分别计算得出答案．
7．高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为，依题意，下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为3xkm/h，
高铁列车所用的时间为：，
普通列车的时间为：，
所列方程为：，
故答案为：B.
【分析】设列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为3xkm/h，总路程为360km，可求出高铁列出和普通列车所用的时间，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h，即可列出方程．
8．图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：的长为，贴纸部分的宽为，
∴，
又∵和的夹角为，
的长为：．
故答案为：B.
【分析】由题意易得，然后根据弧长计算公式可进行求解．
9．对于反比例函数，下列说法错误的是　　
A．图象经过点 B．图象位于第二、第四象限
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大增大
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数y=-，
A、当x=1时，y=-=-5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k=-5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
10．如图，在正方形中，，分别是，的中点，，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
在与中，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
，
如图，延长交的延长线于，
∵AD//BC，
∴∠AHE=∠BCE，
点是的中点，
，
，，，
，
，
是斜边的中线，
，
，
，，
．故③正确；
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质得到 AB=BC=CD=AD， ∠B＝∠BCD＝90°，得到，，根据全等三角形的性质得到 ∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到 CE⊥ DF，故②正确；延长CE交DA的延长线 于H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根 据全等三角形的性质得到BC=AH=AD，由AG是斜边的中线，得到， 求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到 ∠AGE＝∠CDF，故③正确．
二、填空题（本题10小题，每小题3分，共30分）
11．已知，则　 　．
【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2a﹣5b＝3，
∴2+4a﹣10b
＝2+2（2a﹣5b）
＝2+2×3
＝8，
故答案为：8．
【分析】先变形得出2+4a﹣10b＝2+2（2a﹣5b），再代入求出答案即可．
12．正八边形一个内角的度数为　 　
【答案】135°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为 ×1080°=135°．
故答案为：135°．
【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2） 180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
13．计算：　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；同分母分数加法和减法
【解析】【解答】解：原式
=
=
故答案为：．
【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简即可求出答案.
14．如图，△与是位似图形，点为位似中心，若，则△与的面积比为 　 　．
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：，
，
与是位似图形，
与的相似比为，
，
即与的面积比为，
故答案为：．
【分析】先求出相似比为，再根据位似图形的性质即可得．
15．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货 　 　．
【答案】17
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，
由题意，得：，
解得：，
则，
即3辆大货车与2辆小货车一次可以运货，
故答案为：17．
【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，由题意：2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，列出方程组，解方程组，即可求解．
16．三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为 　 　.
【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵第三边的长是方程 的根，解得x=3或5
当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形；
当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形；
故该三角形三边长分别为2，5，5，则周长为2＋5＋5=12.
故答案为：12.
【分析】首先利用因式分解法求出一元二次方程的解，然后根据三角形的三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
17．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部处看一栋楼顶部的俯角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球处与地面距离为，则这栋楼的高度是 　 　．
【答案】100
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作于点D，如图所示：
则，，米，
在中， （米），
在中， （米），
∴（米）．
故答案为：．
【分析】首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案．
18．小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系为，则足球距地面的最大高度是 　 　．
【答案】7.2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵h=-5t2+12t，
∴a=-5，b=12，c=0，
∴足球距地面的最大高度是：=7.2m，
故答案为：7.2．
【分析】a=-5开口方向向下，最大值为顶点y值，由公式可得答案．
19．如图，在中，，，，作正方形，使顶点，分别在，上，边在上；类似地，在△中，作正方形；在△中，作正方形；；依次作下去，则第个正方形的边长是 　 　．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；探索规律-图形的递变规律；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：法1：过作，交于点，交于点，如图所示：
，
，
为斜边为1的等腰直角三角形，
，
又△为等腰直角三角形，
，
，
第1个正方形的边长，
同理第2个正方形的边长，
则第个正方形的边长；
法2：由题意得：，
，，
，
同理可得：，
依此类推．
故答案为：．
【分析】法一：过作，通过做辅助线并结合等腰直角三角形性质找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为，依次类推可得第n个正方形的边长．
法二：直接利用等腰直角三角形的性质，找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为，依次类推可得第n个正方形的边长．
20．如图，在矩形纸片中，，，是上的点，且，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是 　 　．
【答案】4
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接PM，如图所示：
，，，
，
由折叠性质得，，，，
在和△中，
，
，
，
．
设，则，
在中，，
即，
解得，
的长是4．
故答案为：4．
【分析】要求AN的长，可放在中，利用勾股定理求解，所以还需算出AP，PN的长．PN可根据折叠的性质求解，而求解PA，需先求解PB，连接PM可证，同时利用折叠性质，可求得PB的长，最后可求出AN的长．
三、解答题（本题6小题，共80分）
21．
（1）计算：；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为，
用数轴表示为：
【知识点】零指数幂；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据乘方、二次根式、零指数幂的运算法则以及绝对值的意义进行计算即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后再得出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
22．为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了　 　名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率.
【答案】（1）40；108°
（2）解：把条形统计图补充完整如下；
（3）解： （名），
估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀；
（4）解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为 .
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为： （名），
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为： （名），
∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为： ，
故答案为：40，108°；
【分析】（1）利用“良好”的人数除以所占的比例可得总人数，进而根据各个等级的人数之和等于总人数求出“一般”的人数，然后除以总人数，再乘以360°可得一般的扇形圆心角的度数；
（2）根据“一般”的人数即可补全条形统计图；
（3）利用“优秀”的人数除以总人数，然后乘以1400即可；
（4）此题是抽取不放回类型，画出树状图，找出总情况数以及恰好选中甲乙的情况数，然后利用概率公式进行计算.
23．如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
为的切线，
，
，
，
．
又，
，
，
即；
（2）解：连接，
为的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
的半径为6．
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，由切线的性质和平行的性质可得，再根据圆的性质可得OC=OA即，进而得到即可证明；
（2）如图：连接，先根据圆周角定理并结合题意可得，然后根据三角函数求得，运用勾股定理可得；再说明；设，，然后根据，进而求得AB即可．
24．甲、乙两家水果商店，平时以同样的价格出售品质相同的樱桃．春节期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，甲商店的樱桃价格为60元；乙商店的樱桃价格为65元．若一次购买以上，超过部分的樱桃价格打8折．
（1）设购买樱桃，，（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额，求，关于的函数解析式；
（2）春节期间，如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱？
【答案】（1）解：由题意可得：，
当时，，
当时，，
（2）解：当时，即时，到甲商店购买樱桃更省钱；
当时，即时，到甲、乙两家商店购买樱桃花费相同；
当，即时，到乙商店购买樱桃更省钱．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据两个商店的樱桃价格列出对应的关系式即可；
（2）根据（1）所求函数关系式，列出不等式或方程求解即可．
25．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
（2）解：，
又，
，
，
过作，的垂线段分别交于点，，
又，，
由面积相等可得，
在和中，
，
，
，
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=60°，结合已知条件可得∠BAC=∠DAE，进而证明△ABD≌△ACE，即可证明BD=CE；
（2）过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，△ABD≌△ACE，BD=CE，由面积相等可得AM=AN，证明Rt△AFM≌Rt△AFN，进而证明∠BFC=∠AFB=∠AFE=60°
26．如图，直线与抛物线相交于点，．
（1）填空：　 　，　 　，抛物线的解析式为 　 　．
（2）将直线向下移个单位长度后，直线与抛物线仍有公共点，求的取值范围．
（3）是抛物线上的一个动点，是否存在以为直径的圆与轴相切于点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1；3；
（2）解：由题意可得，
联立，
，
直线与抛物线仍有公共点，
△，
，
（3）解：存在以为直径的圆与轴相切，理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
当轴时，以为直径的圆与轴相切，
；
如图，令，则，
解得，
设抛物线与轴的交点，，
轴，
轴，
，
设，
，，，，
，
解得（舍或，
，；
综上所述：以为直径的圆与轴相切时，点坐标为，或．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）将，代入，
可得，，
，，
再将，代入得，
，
可得，
，
故答案为：1，3，；
【分析】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y=2x+1，可求m、n的值，再将A（0，1），B（3，7）代入y=2x2+bx+c，可求函数解析式；
（2）由题意可得y=2x+1-a，联立，得到2x2-6x+a=0，再由判别式Δ≥0即可求a是取值范围；
（3）设Q（t，s），则，半径，再由AQ2=t2+（s-1）2=（s+1）2，即可求t的值．
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