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浙江省绍兴市越城区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．抛物线y=x2的顶点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1）
2．在同一平面内，⊙O的半径为5，点A是⊙O内一点，则OA的长度可能为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．在一个装着白球和红球的袋中摸球，摸出红球
B．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
C．2026年除夕当天，绍兴的最高气温超过10℃
D．用长度为4cm，5cm，17cm的三根木棒作为三边搭一个三角形
4．两个大小一样的矩形如图摆放，∠为，∠，已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数y=（x+1）（x-3）+k（k为常数）的对称轴为直线（　　）
A．x=-1 B．x=0 C．x=1 D．x=3
6．如图，是的外接圆，，，点是上一动点（不与点，重合），则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7． 凸透镜成像的原理如图所示，若蜡烛（）到焦点（）的距离与焦点（）到凸透镜的中心线的距离之比为2：5，蜡烛的高度为6cm，则放大的实像（）的高度为（　　）
A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm
8． 如图，为的半径，分别以点 ，为圆心，大于长为半径作弧，两段弧相交于点，，作直线交于，两点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9． 如图，在中，点是中点，连结并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连结，若的面积为2，则四边形的面积为（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
10．如图1，在中，，，，点在上，，点，分别在边，上（不与端点重合），且设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为，且经过和两点．下列选项正确的是（　　）
A．
B．
C．的面积的最大值为0.96
D．点（0.3，0.52）在该函数图象上
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若，则　 　．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　 　．
13．如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为　 　．
14．实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为y=a（x-4）2+4，那么该男生本次投掷可得　 　分．（参考数据：≈1.41）
越城区体育中考评分标准（实心球男）
掷实心（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80
分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
注：掷实心球距离为a（m），当a≥10.0，得10分，当9.60≤a<10，得9分，当9.20≤a<9.60，得8分……依次类推，当a<6.8时，得0分．
15．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的数字“5”的图案，连结AB，交DE于点C，则tan∠ACE的值为　 　．
16．如图，已知为半圆的直径，，，为上一点，绕点顺时针旋转得到，射线交于点，则的最大值为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：3tan 30°-2sin 60°+cos2 45°
18． 请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（说明：图中点，，，均在格点上）
（1）在图中，作点关于的对称点，并连结，
（2）在图中，以为位似中心，作四边形的位似图形，并把四边形的边长扩大到原来的倍.
19．截止2025年底，中国的高铁里程数已突破5万公里，位居世界第一，随着智能化高铁的出现，越来越多的人愿意选择高铁出行．元旦假期，越越和兴兴乘坐高铁外出游玩，由于一等座余票不多，售票系统将随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．下图所示的是在一等座同一排座位，，，的排列示意图．求下列事件发生的概率：
（1）越越被分配到靠窗的座位．
（2）越越和兴兴被分配到相邻的座位（过道两侧座位不算相邻）．
20．在一些中国古代文献中记载了一种传统作画工具——界尺，它在界画绘制时用以作出平行线．图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构．受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具，（，，，的宽度忽略不计），已知连杆，，在某次绘制时，测得．求：
（1）这次绘制的两条平行线与间的距离（结果精确到）．
（2）连结，若，求的长度（结果精确到）．
（参考数据：，，，，
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是AC上一点，连结AD，FD，OD，且OD平分∠ADF，
（1）求证：AD＝FD.
（2）若，CD＝8，求⊙O的半径.
22．化归思想（亦称转化思想）是将待解决的未知问题，通过构造等价或有效的转化路径，归结为已掌握的结论或方法，它能帮助我们将复杂情境清晰化、陌生问题熟悉化，从而简化求解过程，运用这一思想不仅能增添学习数学的乐趣，更能让我们亲历知识“再创造”过程.越越在学习了《相似三角形》一章后提出了以下问题，请你帮助解决：
（1）[探究发现]
如图1，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE∥BC，AF交DE于点G，若G为DE中点，求证：BF＝CF.
（2）[拓展应用]
如图2，由四个全等的直角三角形（△ABF，△DAE，△BCG，△CDH）和小正方形EFGH拼成大正方形ABCD，连结DF交CH于点N，延长CH交AD于点M.若MH＝1， HN＝2，求大正方形ABCD的边长.
23．已知抛物线y=x2－2bx+c（b，c为常数）．
（1）当b＝2，c＝5时，
①求该抛物线的顶点坐标.
②将该抛物线向下平移h（h＞0）个单位得到的新抛物线过点（n，0），且－1≤n≤3，请求出h的取值范围.
（2）当x≤－1时，y的最小值为6；当x＞－1时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式.
24．已知为的直径，，为上两点，且=，连结，，，并延长，交于点
（1）如图，求证：=
（2）如图，过点作的垂线，分别交，，于点，，，
①若的半径为，=，求的长度.
②若=+，求cos的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解： 抛物线y=x2的顶点坐标是(0，0)，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y=ax2的顶点坐标是(0，0)解答即可.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵ 点A是⊙O内一点，⊙O的半径为5，
∴0≤OA<5，
符合条件的为4，
故答案为：A.
【分析】根据点在圆内，则0≤d3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A：在一个装着白球和红球的袋中摸球，摸出红球，是随机事件；
B：在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件；
C：2026年除夕当天，绍兴的最高气温超过10℃，是随机事件；
D：用长度为4cm，5cm，17cm的三根木棒作为三边搭一个三角形，是不可能事件；
故选：D.
【分析】根据不可能事件的定义“在一定条件下一定不发生的时间是不可能事件”逐项判断解答即可.
4．【答案】B
【知识点】已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据正弦的定义解答即可.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为 y=（x+1）（x-3）+k
∴当y=k时，x=-1或x=3，
∴抛物线过点(-1，k)和(3，k)，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
故答案为：C.
【分析】先求出抛物线过点(-1，k)和(3，k)，然后根据对称性求出对称轴解答即可.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠ACB=，
∴∠D=∠B=62°，
故答案为：B.
【分析】先根据等弧所对的圆周角相等和三角形的内角和定理求出∠B=62°，即可得到∠D的度数解答即可.
7．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵BC∥OG，OB⊥l，CG⊥l，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OB=CG，
又∵AH⊥l，OB⊥l，
∴∠AHO=∠BOH，
又∵∠AF1H=∠OF1B，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴，即，
解得CH=OB=15cm，
故答案为：D.
【分析】先证明四边形OBCG是矩形，得到OB=CG，然后根据两角对应相等得到△AHF1∽△BOF1，根据对应边成比例求出OB长解答即可.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，OE，DA，
根据作图可得BC垂直平分OA，
∴OD=AD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
由∵OD=OE，
∴∠DOE=120°，
∴的长为，
故答案为：C.
【分析】连接OD，OE，DA，证明△OAD是等边三角形，即可得到∠AOD=60°，然后根据等腰三角形的三线合一得到∠DOE=120°，然后根据弧长公式计算即可.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接AC，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，
∴△ADE∽△FCE，
∴，即AD=CF=BC，AE=EF，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故选：A.
【分析】连接AC，根据平行四边形的性质得到△ADE∽△FCE，即可得到AD=CF=BC，AE=EF，然后根据中线分出的三角形的面积相等求出，，再根据，求出，然后根据计算即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵BC=2，AC=4，
过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥AC于点H，则四边形DGCH是矩形，
∴DG∥AC，DG=CH，DH∥BC，DH=CG，
∴△DBG∽△BAC，
∴，即，
解得，，
∴，
又∵∠DGE=∠DHF=∠GDH=∠EDF=90°，
∴∠EDE=∠HDF，
∴△DGE∽△DHF，
∴，即，解得，
∴CF=，
∴，
∴p=，故A错误，
令y=0.84，则，解得m=0.3，n=1.4，故B正确；
的面积的最大值为，故C错误；
当x=0.3时，y=0.85，故D错误；
故选：D.
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥AC于点H，则四边形DGCH是矩形，得到△DBG∽△BAC，求出，，然后推理得到△DGE∽△DHF，即可得到，进而求出CF长，根据三角形的面积公式求出y关于x的函数，逐项判断解答即可.
11．【答案】3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=2a，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据比例的性质得到b=2a，然后代入分式计算即可.
12．【答案】x1=1，x2=-3
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图可知抛物线与x轴一个交点(1，0)，对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点(-3，0)，
∴ 关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1=1，x2=-3，
故答案为：x1=1，x2=-3.
【分析】根据图象可得抛物线与x轴一个交点(1，0)，对称轴为直线x=-1，利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点(-3，0)，再根据二次函数与一元二方程的关系解答即可.
13．【答案】24°
【知识点】正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵为正五边形，为正六边形，
∴BC=AB=BF，∠ABC=，∠ABF=，
∴∠CBF=360°-∠ABC-∠ABF=360°-108°-120°=132°，
∴∠BCF=∠BFC=，
故答案为：24°.
【分析】根据正多边形的定义求出BC=AB=BF，∠ABC=108°，∠ABF=120°，然后求出∠CBF的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可.
14．【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把 A（0，2）代入 y=a（x-4）2+4可得16a+4=2，
解得a=，
∴抛物线的解析式为 y=（x-4）2+4，
当y=0时，（x-4）2+4=0，
解得（舍去），，
∴该同学的的得分为9分，
故答案为：9.
【分析】先把A点坐标代入求出解析式，然后求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据表格数据得到得分即可.
15．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
根据图1可得BF=FL=LE=，∠KEA=∠FEL=45°，AE∥BL，EL∥AH，EF=，
∴∠HEF=90°，
∵AE∥BL，
∴△AEK∽△BFK，△AEC∽△BFC，
∴，，
∴EK=KL=，，
又∵EL∥AH，
∴△EKG∽△HAG，
∴，
∴，
∴ tan∠AC=，
故答案为：.
【分析】根据图1可得BF=FL=LE=，∠HEF=90°，EF=，然后根据相似三角形的性质求出，，然后根据正切的定义解答即可.
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】
解：如图，
设O'E交⊙O于W， 连接OW，作于
是以O为圆心， 为半径的圆的切线，当
EO'与该圆相切于G点时，FG最大，
作 于H， 连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴设AH=4x，AG=5x，则GH=3x，
在中，由勾股定理得，
(舍去) ，
故答案为：
【分析】设O'E交⊙O于W，连接OW， 作 于V，可求得 从而得出.EO'是以O为圆心， 为半径的圆的切线，当EO'与该圆相切于G点时，FG最大，解 得出AG，进而得出FG的最大值.
17．【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，再运算乘方和乘除，最后合并解答即可.
18．【答案】（1）解：如图所示，点C即为所作；
（2）解：如图，四边形 即为所作；
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）取格点C，连接BC和CD，得到四边形ABCD即可；
（2）根据位似性质得到点A，B，C，D的对应点的位置，然后依次连接得到四边形 即可.
19．【答案】（1）解：分配这一排的座位，共有4种等可能的结果，其中靠窗座位的结果有2种，
∴P (越越被分配到靠窗座位)
（2）解：画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，其中越越和兴兴邻座的结果有4种，
∴P (越越和兴兴被分配到相邻座位)
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】(1)根据一步概率问题的求解方法，直接利用概率公式求解即可得到答案；
(2)根据两步概率问题的求解方法，用画树状图的方法结合概率公式求解即可得到答案.
20．【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CDE中，，
∴，
答： 这次绘制的两条平行线与间的距离为10.7cm
（2）解：在Rt△CDE中，，
∴，
在Rt△BDE中，，
∴，
∴BC=CE+BE=11.84+26.75≈38.6cm，
答：的长度为38.6cm
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据正弦的定义解答即可；
（2）先在在Rt△CDE中，根据余弦求出CE长，然后在Rt△BDE中，根据正切求出BE长，利用线段的和差解答即可.
21．【答案】（1）证明：连接OF，
∵OA=OD=OF，
∴∠OAD=∠ODA，∠OFD=∠ODF，
又∵OD平分∠ADF，
∴ ∠OAD=∠ODA=∠OFD=∠ODF，
∴∠AOD=∠DOF，
∴AD=DF
（2）解：∵，AD=DF，
∴，
∵AB⊥CD，
∴DE=CE=4，
∴，
设圆的半径为r，则OE=8-r，
在Rt△ODE中，，即，
解得r=5，即圆的半径为5
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OF，根据等边对等角得到∠OAD=∠ODA，∠OFD=∠ODF，再根据角平分线得到∠ODA=∠ODF，然后得到∠AOD=∠DOF，根据弧，弦，圆心角的关系证明即可；
（2）根据垂径定理得到DE=CE=4，然后根据勾股定理求出AE长，然后在Rt△ODE中根据勾股定理求出圆的半径即可.
22．【答案】（1）证明：∵ G为DE中点，
∴GD=GE，
又∵DE∥CB，
∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，
∴，，
∴，
∴BF=CF
（2）解：根据（1）中结论可得EF=2AE，
根据 △ABF，△DAE，△BCG，△CDH 可得AE=DH=BF，
即EH=2DH，即DE=3DH，
∴AE=3MH=3，EF=3HN=6，
∴AF=9，BF=3，
∴
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据中点可得GD=GE，然后根据平行得到△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，然后根据对应边成比例证明即可；
（2）由（1）的结论可得EF=2AE，再根据全等性质得到DE=3DH，即可求出AF，BF的长，再根据勾股定理解答即可.
23．【答案】（1）解：① 当b＝2，c＝5时， 抛物线解析式为y=x2-4x+5=(x-2)2+1，
∴顶点坐标为(2，1)，
②将抛物线向下平移h个单位得到的新抛物的解析式为y=(x-2)2+1-h，
则抛物线的对称轴为直线x=2，开口向上，
∵抛物线与x轴有交点，
∴1-h≤0，解得h≥1，
又∵x=-1离对称轴远，
∴当x=-1时y≥0，即9+1-h≥0，
解得h≤10，
故 h的取值范围为1≤h≤10
（2）解：∵ 抛物线的解析式为y=x2－2bx+c ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=
又∵ 当x≤－1时，y的最小值为6；当x＞－1时，y的最小值为2，
∴对称轴x=b>-1，且抛物线过(-1，6），且最小值为2，
设抛物线的对称轴为直线y=(x-b)2+2，
把(-1，6)代入得b=1或b=-3，
又∵b>-1，
∴b=1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）①把抛物线的解析式配方得到顶点式，即可得到顶点坐标即可；
②设平移后的解析式为y=(x-2)2+1-h，然后根据与x轴有交点得到1-h≤0，然后根据x=-1离对称轴远，则需满足x=-1时y≥0，求出h的取值范围即可；
（2）先得到抛物线的开口向上，对称轴x=b，根据题意得到b>-1，抛物线过(-1，6），且最小值为2，然后根据待定系数法求出二次函数的解析式即可.
24．【答案】（1）证明：∵=，
∴∠PAC=∠BAC，
又∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠P=∠ABC，
∴AP=AB
（2）解：①∵AP=AB，
∴AP=AB=10，
又∵PG=8，
∴，
∴BG=AB-AG=A=10-6=4，
∵∠PGA=∠PGB=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠AFG=∠CAB+∠B=90°，
∴ ∠AFG =∠B，
∴△AGF∽△PGB，
∴，即，
解得GF=3；
②延长AG交圆O于点H，连接AH，
∵AB⊥EH，
∴GH=EG，
∴FH=GF+GH=GF+GE=AF，
∴∠FAH=∠H，
又∵∠H=∠B，∠AFG =∠B，
∴∠FAH=∠H=∠AFG=60°，
∴ cos=cos60°=
【知识点】垂径定理；求余弦值；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得到∠PAC=∠BAC，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，即可得到∠P=∠ABC，再根据等角对等边证明即可；
（2）①根据勾股定理求出AG长即可求出BG长，然后根据两角相等得到△AGF∽△PGB，根据对应边成比例解答即可；
②延长AG交圆O于点H，连接AH，根据垂径定理得到GH=EG，即可得到∠FAH=∠H，然后根据同弧所对的圆周角相等和等量代换得到∠FAH=∠H=∠AFG=60°，即可解答.
1 / 1浙江省绍兴市越城区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．抛物线y=x2的顶点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1）
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解： 抛物线y=x2的顶点坐标是(0，0)，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y=ax2的顶点坐标是(0，0)解答即可.
2．在同一平面内，⊙O的半径为5，点A是⊙O内一点，则OA的长度可能为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵ 点A是⊙O内一点，⊙O的半径为5，
∴0≤OA<5，
符合条件的为4，
故答案为：A.
【分析】根据点在圆内，则0≤d3．下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．在一个装着白球和红球的袋中摸球，摸出红球
B．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
C．2026年除夕当天，绍兴的最高气温超过10℃
D．用长度为4cm，5cm，17cm的三根木棒作为三边搭一个三角形
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A：在一个装着白球和红球的袋中摸球，摸出红球，是随机事件；
B：在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件；
C：2026年除夕当天，绍兴的最高气温超过10℃，是随机事件；
D：用长度为4cm，5cm，17cm的三根木棒作为三边搭一个三角形，是不可能事件；
故选：D.
【分析】根据不可能事件的定义“在一定条件下一定不发生的时间是不可能事件”逐项判断解答即可.
4．两个大小一样的矩形如图摆放，∠为，∠，已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据正弦的定义解答即可.
5．二次函数y=（x+1）（x-3）+k（k为常数）的对称轴为直线（　　）
A．x=-1 B．x=0 C．x=1 D．x=3
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为 y=（x+1）（x-3）+k
∴当y=k时，x=-1或x=3，
∴抛物线过点(-1，k)和(3，k)，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
故答案为：C.
【分析】先求出抛物线过点(-1，k)和(3，k)，然后根据对称性求出对称轴解答即可.
6．如图，是的外接圆，，，点是上一动点（不与点，重合），则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠ACB=，
∴∠D=∠B=62°，
故答案为：B.
【分析】先根据等弧所对的圆周角相等和三角形的内角和定理求出∠B=62°，即可得到∠D的度数解答即可.
7． 凸透镜成像的原理如图所示，若蜡烛（）到焦点（）的距离与焦点（）到凸透镜的中心线的距离之比为2：5，蜡烛的高度为6cm，则放大的实像（）的高度为（　　）
A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵BC∥OG，OB⊥l，CG⊥l，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OB=CG，
又∵AH⊥l，OB⊥l，
∴∠AHO=∠BOH，
又∵∠AF1H=∠OF1B，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴，即，
解得CH=OB=15cm，
故答案为：D.
【分析】先证明四边形OBCG是矩形，得到OB=CG，然后根据两角对应相等得到△AHF1∽△BOF1，根据对应边成比例求出OB长解答即可.
8． 如图，为的半径，分别以点 ，为圆心，大于长为半径作弧，两段弧相交于点，，作直线交于，两点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，OE，DA，
根据作图可得BC垂直平分OA，
∴OD=AD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
由∵OD=OE，
∴∠DOE=120°，
∴的长为，
故答案为：C.
【分析】连接OD，OE，DA，证明△OAD是等边三角形，即可得到∠AOD=60°，然后根据等腰三角形的三线合一得到∠DOE=120°，然后根据弧长公式计算即可.
9． 如图，在中，点是中点，连结并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连结，若的面积为2，则四边形的面积为（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接AC，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，
∴△ADE∽△FCE，
∴，即AD=CF=BC，AE=EF，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故选：A.
【分析】连接AC，根据平行四边形的性质得到△ADE∽△FCE，即可得到AD=CF=BC，AE=EF，然后根据中线分出的三角形的面积相等求出，，再根据，求出，然后根据计算即可.
10．如图1，在中，，，，点在上，，点，分别在边，上（不与端点重合），且设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为，且经过和两点．下列选项正确的是（　　）
A．
B．
C．的面积的最大值为0.96
D．点（0.3，0.52）在该函数图象上
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵BC=2，AC=4，
过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥AC于点H，则四边形DGCH是矩形，
∴DG∥AC，DG=CH，DH∥BC，DH=CG，
∴△DBG∽△BAC，
∴，即，
解得，，
∴，
又∵∠DGE=∠DHF=∠GDH=∠EDF=90°，
∴∠EDE=∠HDF，
∴△DGE∽△DHF，
∴，即，解得，
∴CF=，
∴，
∴p=，故A错误，
令y=0.84，则，解得m=0.3，n=1.4，故B正确；
的面积的最大值为，故C错误；
当x=0.3时，y=0.85，故D错误；
故选：D.
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥AC于点H，则四边形DGCH是矩形，得到△DBG∽△BAC，求出，，然后推理得到△DGE∽△DHF，即可得到，进而求出CF长，根据三角形的面积公式求出y关于x的函数，逐项判断解答即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若，则　 　．
【答案】3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=2a，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据比例的性质得到b=2a，然后代入分式计算即可.
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　 　．
【答案】x1=1，x2=-3
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图可知抛物线与x轴一个交点(1，0)，对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点(-3，0)，
∴ 关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1=1，x2=-3，
故答案为：x1=1，x2=-3.
【分析】根据图象可得抛物线与x轴一个交点(1，0)，对称轴为直线x=-1，利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点(-3，0)，再根据二次函数与一元二方程的关系解答即可.
13．如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为　 　．
【答案】24°
【知识点】正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵为正五边形，为正六边形，
∴BC=AB=BF，∠ABC=，∠ABF=，
∴∠CBF=360°-∠ABC-∠ABF=360°-108°-120°=132°，
∴∠BCF=∠BFC=，
故答案为：24°.
【分析】根据正多边形的定义求出BC=AB=BF，∠ABC=108°，∠ABF=120°，然后求出∠CBF的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可.
14．实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为y=a（x-4）2+4，那么该男生本次投掷可得　 　分．（参考数据：≈1.41）
越城区体育中考评分标准（实心球男）
掷实心（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80
分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
注：掷实心球距离为a（m），当a≥10.0，得10分，当9.60≤a<10，得9分，当9.20≤a<9.60，得8分……依次类推，当a<6.8时，得0分．
【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把 A（0，2）代入 y=a（x-4）2+4可得16a+4=2，
解得a=，
∴抛物线的解析式为 y=（x-4）2+4，
当y=0时，（x-4）2+4=0，
解得（舍去），，
∴该同学的的得分为9分，
故答案为：9.
【分析】先把A点坐标代入求出解析式，然后求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据表格数据得到得分即可.
15．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的数字“5”的图案，连结AB，交DE于点C，则tan∠ACE的值为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
根据图1可得BF=FL=LE=，∠KEA=∠FEL=45°，AE∥BL，EL∥AH，EF=，
∴∠HEF=90°，
∵AE∥BL，
∴△AEK∽△BFK，△AEC∽△BFC，
∴，，
∴EK=KL=，，
又∵EL∥AH，
∴△EKG∽△HAG，
∴，
∴，
∴ tan∠AC=，
故答案为：.
【分析】根据图1可得BF=FL=LE=，∠HEF=90°，EF=，然后根据相似三角形的性质求出，，然后根据正切的定义解答即可.
16．如图，已知为半圆的直径，，，为上一点，绕点顺时针旋转得到，射线交于点，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】
解：如图，
设O'E交⊙O于W， 连接OW，作于
是以O为圆心， 为半径的圆的切线，当
EO'与该圆相切于G点时，FG最大，
作 于H， 连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴设AH=4x，AG=5x，则GH=3x，
在中，由勾股定理得，
(舍去) ，
故答案为：
【分析】设O'E交⊙O于W，连接OW， 作 于V，可求得 从而得出.EO'是以O为圆心， 为半径的圆的切线，当EO'与该圆相切于G点时，FG最大，解 得出AG，进而得出FG的最大值.
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：3tan 30°-2sin 60°+cos2 45°
【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，再运算乘方和乘除，最后合并解答即可.
18． 请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（说明：图中点，，，均在格点上）
（1）在图中，作点关于的对称点，并连结，
（2）在图中，以为位似中心，作四边形的位似图形，并把四边形的边长扩大到原来的倍.
【答案】（1）解：如图所示，点C即为所作；
（2）解：如图，四边形 即为所作；
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）取格点C，连接BC和CD，得到四边形ABCD即可；
（2）根据位似性质得到点A，B，C，D的对应点的位置，然后依次连接得到四边形 即可.
19．截止2025年底，中国的高铁里程数已突破5万公里，位居世界第一，随着智能化高铁的出现，越来越多的人愿意选择高铁出行．元旦假期，越越和兴兴乘坐高铁外出游玩，由于一等座余票不多，售票系统将随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．下图所示的是在一等座同一排座位，，，的排列示意图．求下列事件发生的概率：
（1）越越被分配到靠窗的座位．
（2）越越和兴兴被分配到相邻的座位（过道两侧座位不算相邻）．
【答案】（1）解：分配这一排的座位，共有4种等可能的结果，其中靠窗座位的结果有2种，
∴P (越越被分配到靠窗座位)
（2）解：画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，其中越越和兴兴邻座的结果有4种，
∴P (越越和兴兴被分配到相邻座位)
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】(1)根据一步概率问题的求解方法，直接利用概率公式求解即可得到答案；
(2)根据两步概率问题的求解方法，用画树状图的方法结合概率公式求解即可得到答案.
20．在一些中国古代文献中记载了一种传统作画工具——界尺，它在界画绘制时用以作出平行线．图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构．受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具，（，，，的宽度忽略不计），已知连杆，，在某次绘制时，测得．求：
（1）这次绘制的两条平行线与间的距离（结果精确到）．
（2）连结，若，求的长度（结果精确到）．
（参考数据：，，，，
【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CDE中，，
∴，
答： 这次绘制的两条平行线与间的距离为10.7cm
（2）解：在Rt△CDE中，，
∴，
在Rt△BDE中，，
∴，
∴BC=CE+BE=11.84+26.75≈38.6cm，
答：的长度为38.6cm
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据正弦的定义解答即可；
（2）先在在Rt△CDE中，根据余弦求出CE长，然后在Rt△BDE中，根据正切求出BE长，利用线段的和差解答即可.
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是AC上一点，连结AD，FD，OD，且OD平分∠ADF，
（1）求证：AD＝FD.
（2）若，CD＝8，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OF，
∵OA=OD=OF，
∴∠OAD=∠ODA，∠OFD=∠ODF，
又∵OD平分∠ADF，
∴ ∠OAD=∠ODA=∠OFD=∠ODF，
∴∠AOD=∠DOF，
∴AD=DF
（2）解：∵，AD=DF，
∴，
∵AB⊥CD，
∴DE=CE=4，
∴，
设圆的半径为r，则OE=8-r，
在Rt△ODE中，，即，
解得r=5，即圆的半径为5
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OF，根据等边对等角得到∠OAD=∠ODA，∠OFD=∠ODF，再根据角平分线得到∠ODA=∠ODF，然后得到∠AOD=∠DOF，根据弧，弦，圆心角的关系证明即可；
（2）根据垂径定理得到DE=CE=4，然后根据勾股定理求出AE长，然后在Rt△ODE中根据勾股定理求出圆的半径即可.
22．化归思想（亦称转化思想）是将待解决的未知问题，通过构造等价或有效的转化路径，归结为已掌握的结论或方法，它能帮助我们将复杂情境清晰化、陌生问题熟悉化，从而简化求解过程，运用这一思想不仅能增添学习数学的乐趣，更能让我们亲历知识“再创造”过程.越越在学习了《相似三角形》一章后提出了以下问题，请你帮助解决：
（1）[探究发现]
如图1，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE∥BC，AF交DE于点G，若G为DE中点，求证：BF＝CF.
（2）[拓展应用]
如图2，由四个全等的直角三角形（△ABF，△DAE，△BCG，△CDH）和小正方形EFGH拼成大正方形ABCD，连结DF交CH于点N，延长CH交AD于点M.若MH＝1， HN＝2，求大正方形ABCD的边长.
【答案】（1）证明：∵ G为DE中点，
∴GD=GE，
又∵DE∥CB，
∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，
∴，，
∴，
∴BF=CF
（2）解：根据（1）中结论可得EF=2AE，
根据 △ABF，△DAE，△BCG，△CDH 可得AE=DH=BF，
即EH=2DH，即DE=3DH，
∴AE=3MH=3，EF=3HN=6，
∴AF=9，BF=3，
∴
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据中点可得GD=GE，然后根据平行得到△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，然后根据对应边成比例证明即可；
（2）由（1）的结论可得EF=2AE，再根据全等性质得到DE=3DH，即可求出AF，BF的长，再根据勾股定理解答即可.
23．已知抛物线y=x2－2bx+c（b，c为常数）．
（1）当b＝2，c＝5时，
①求该抛物线的顶点坐标.
②将该抛物线向下平移h（h＞0）个单位得到的新抛物线过点（n，0），且－1≤n≤3，请求出h的取值范围.
（2）当x≤－1时，y的最小值为6；当x＞－1时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式.
【答案】（1）解：① 当b＝2，c＝5时， 抛物线解析式为y=x2-4x+5=(x-2)2+1，
∴顶点坐标为(2，1)，
②将抛物线向下平移h个单位得到的新抛物的解析式为y=(x-2)2+1-h，
则抛物线的对称轴为直线x=2，开口向上，
∵抛物线与x轴有交点，
∴1-h≤0，解得h≥1，
又∵x=-1离对称轴远，
∴当x=-1时y≥0，即9+1-h≥0，
解得h≤10，
故 h的取值范围为1≤h≤10
（2）解：∵ 抛物线的解析式为y=x2－2bx+c ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=
又∵ 当x≤－1时，y的最小值为6；当x＞－1时，y的最小值为2，
∴对称轴x=b>-1，且抛物线过(-1，6），且最小值为2，
设抛物线的对称轴为直线y=(x-b)2+2，
把(-1，6)代入得b=1或b=-3，
又∵b>-1，
∴b=1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）①把抛物线的解析式配方得到顶点式，即可得到顶点坐标即可；
②设平移后的解析式为y=(x-2)2+1-h，然后根据与x轴有交点得到1-h≤0，然后根据x=-1离对称轴远，则需满足x=-1时y≥0，求出h的取值范围即可；
（2）先得到抛物线的开口向上，对称轴x=b，根据题意得到b>-1，抛物线过(-1，6），且最小值为2，然后根据待定系数法求出二次函数的解析式即可.
24．已知为的直径，，为上两点，且=，连结，，，并延长，交于点
（1）如图，求证：=
（2）如图，过点作的垂线，分别交，，于点，，，
①若的半径为，=，求的长度.
②若=+，求cos的值.
【答案】（1）证明：∵=，
∴∠PAC=∠BAC，
又∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠P=∠ABC，
∴AP=AB
（2）解：①∵AP=AB，
∴AP=AB=10，
又∵PG=8，
∴，
∴BG=AB-AG=A=10-6=4，
∵∠PGA=∠PGB=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠AFG=∠CAB+∠B=90°，
∴ ∠AFG =∠B，
∴△AGF∽△PGB，
∴，即，
解得GF=3；
②延长AG交圆O于点H，连接AH，
∵AB⊥EH，
∴GH=EG，
∴FH=GF+GH=GF+GE=AF，
∴∠FAH=∠H，
又∵∠H=∠B，∠AFG =∠B，
∴∠FAH=∠H=∠AFG=60°，
∴ cos=cos60°=
【知识点】垂径定理；求余弦值；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得到∠PAC=∠BAC，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，即可得到∠P=∠ABC，再根据等角对等边证明即可；
（2）①根据勾股定理求出AG长即可求出BG长，然后根据两角相等得到△AGF∽△PGB，根据对应边成比例解答即可；
②延长AG交圆O于点H，连接AH，根据垂径定理得到GH=EG，即可得到∠FAH=∠H，然后根据同弧所对的圆周角相等和等量代换得到∠FAH=∠H=∠AFG=60°，即可解答.
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