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浙江省台州市临海市杜桥镇2025-2026学年八年级下学期第一次月考数学试题
1．式子 有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x>3 B．x<3 C．x≥3 D．x≤3
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，得到不等式，进而即可求解．
2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
3．不等式组 的解集在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得：x＞1，
由②得：x≤2，
所以不等式组的解为：1数轴上表示：
故选A
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式，进而即可得到答案
4．在下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： A．方程含有两个未知数，故不是一元二次方程；
B．符合一元二次方程的定义；
C．不是整式方程，故不是 一元二次方程 ；
D．化简后，二次项系数为0，故不是 一元二次方程 ．
故选B．
【分析】 本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，据此逐一判断即可
5．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A：不是同类二次根式，不能合并；
B：，原选项正确；
C：，原选项错误；
D：，原想选错误；
故选B
【分析】本题考查二次根式的四则运算以及性质，根据二次根式的四则运算法则逐一判断选项即可
6．如图，在△ABC中， AB=8， BC=6，以A，C为圆心、大于 的长为半径画圆弧，两弧相交于点 M，N，过M，N作直线与AB相交于点D，则△BCD的周长为(　　)
A．7 B．10 C．11 D．14
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：MN为AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵AB=8，BC=6，
∴△BCD的周长为：BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=8+6=14，
故选：D．
【分析】本题考查垂直平分线性质，根据题意可知MN为AC的垂直平分线，继而可得AD=DC，进而即可求出本题答案．
7．关于x的不等式组 的解集为x<-6，那么a的取值范围为(　　)
A．a=2 B．a≥-6 C．a<2 D．a>-6
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】 解：，
由①得，x＜-6，
∵已知不等式组的解集为x＜-6
∴a≥-6．
故选B．
【分析】先求出不等式①的解，再与已知不等式组的解集为x＜-6相比较即可得出a的取值范围．
8．将方程 配方后，原方程变形为(　　)
A．(x-3)2=8 B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x=-1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣6x+9=-1+9，
即（x﹣3）2=8．
故选B．
【分析】本题考查一元二次方程的配方，通过移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得到答案
9．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆.设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C．1000(1+2x) =1210 D．1210(1-2x) =1000
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意可列方程为：1000(1+x)2=1210
故选B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可．
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC， BD交于点O， AB=2， BC=4， ∠ABC=60°，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG， △DCF的周长等于6，下列说法正确的个数为(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵△DCF的周长等于6，
∴CD+CF+DF=6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=2，BO=DO，AO=CO，AB∥CD，AD∥BC，
∴CD+BC=2+4=6，
即CD+CF+BF=6，
∴CD+CF+DF=CD+CF+BF，
∴DF=BF，
∴△BDF为等腰三角形，
∵BO=DO，
∴FO⊥BD，
即EF⊥BD，
∴∠EOD=90°，故①正确；
过点O作MN⊥BC于M，交AD与N，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△OAE和△OCF中，
∠OEA=∠OFC∠OAE=∠OCFAO=CO，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴AE=CF，
同理可得，ON=OM，
∴MN=2ON，
∵S△DFC=CF MN，S△AEO=AE ON，
∴S△DFC=2S△AEO，故②正确；
过点G作HK⊥AB于H，交CD于K，
AI
∵AB∥CD，
∴HK⊥CD，
∴S△ABG+S△DGC=AB GH+CD GK=AB(GH+GK)=AB HK，
∵S ABCD=AB HK，
∴S△ABG+S△DGC=S ABCD，故③正确；
过点D作DP⊥BC的延长线于点P，则∠DPC=90°，
∵∠ABC=60°，AB∥CD，
∴∠DCP=∠ABC=60°，
∴∠CDP=90° 60°=30°，
∴CP=CD=×2=1，
∴，
设DF=BF=x，则CF=4 x，
∴FP=4 x+1=5 x，
在Rt△DPF中，FP2+DP2=DF2，
∴(5 x)2+()2=x2，
解得x=，
∴CF=4 =，
∵AE=CF，
∴AE=，故④正确；
∴说法正确的个数有4个，
故选：D．
【分析】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理． 由△DCF的周长等于6，可得CD+CF+DF=CD+CF+BF，即得到DF=BF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥BD，即可判断①；过点O作MN⊥BC，交AD与N，证明△OAE≌△OCF，得到AE=CF，同理可得，ON=OM，MN=2ON，再由三角形的面积即可判断②；过点GHK⊥AB于H，交CD于K，可得S△ABG+S△DGC=AB HK，即可判断③；过点D作DP⊥BC的延长线于点P，由平行线可得∠DCP=∠ABC=60°，进而可得∠CDP=30°，得到CP=1，由勾股定理可得DP=，设DF=BF=x，则CF=4 x，在Rt△DPF中，由勾股定理可得(5 x)2+()2=x2，求出x进而可得AE的长，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键．
11．当x=1时，则二次根式 　 　．
【答案】1
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解： 当x=1时 ， ，
故答案为：1
【分析】本题考查二次根式的求值，直接把x=1代入二次根式求值即可
12．若m是方程 的一个解，则 的值为　 　.
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根；整体思想
【解析】【解答】 解：将x=m带入方程可得：，则，
∴原式，
故答案为：-4
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义，可得，然后整体代入求值即可
13．已知(x1，y1)， (x2，y2)为直线y=x-1上的两个点，且 则 　 　（填 “<”或“>”）．
【答案】>
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵y=x 1是一次函数，k=1>0，
∵y1>y2，
∴x1>x2．
故答案为：>
【分析】本题考查一次函数的性质，先确定一次函数一次项系数的符号，判断函数的增减性，再根据y1>y2比较x1与x2的大小．
14．一元二次方程 有实数根，则a的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解： 根据题意可得：且，
解得：且.
故答案为：且.
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式， 根据一元而次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，点P、Q分别为AD、AC上的动点，则CP+PQ的最小值=　 　．
【答案】4.8
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；转化思想
【解析】【解答】解：连接，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为点B，
∴CP=BP，
∴CP+PQ=BP+PQ．
当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，BP+PQ取最小值，即最小值为BQ的长．
在Rt△ABD中，AB=5，BD=BC=3，
由勾股定理得：．
∵S△ABC=×BC×AD=×AC×BQ，
∴×6×4=×5×BQ，
解得：BQ=
故答案为：4.8．
【分析】由AB=AC、D是BC中点可知AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为B，故CP=BP；根据垂线段最短，当B、P、Q共线且BQ⊥AC时，BP+PQ最小（即最小值为BQ)；利用△ABC的面积，分别以BC、AC为底计算，结合勾股定理求出的AD，可解得BQ．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠AOD=135°，则 ABCD的面积为　 　.
【答案】2+2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，
∴OA=AC=，BD=2OB，
过点A作AE⊥BD，如图：
∵∠AOD=135°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE为等腰直角三角形，
∴AE=OE=OA=1，
∵∠ABD=30°，
∴AB=2AE=2，
∴BE=AE=，
∴OB=OE+BE=1+，
∴BD=2OB=2+2，
∴ ABCD的面积=2S△ABD=2× BD AE=2+2．
故答案为：2+2．
【分析】 本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，过点A作AE⊥BD，易得△AOE为等腰直角三角形，△AEB为含30度角的直角三角形，进而求出OB，AE的长，得到BD的长，进而求出△ABD的面积，根据 ABCD的面积为△ABD的面积的2倍，即可得出结果．
17．计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算；
（1）先化简二次根式、计算二次根式的乘法，再算加减法即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式求解即可
18．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1） 解：，
，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再提公因式分解因式，继而解出；
（2）先移项，再配方，然后解出方程即可．
（1）解：，
移项：，
提公因式：，
即：或，
解得：；
（2）解：，
移项：，
配方得：，
整理得：，
直接开方：，
解得：．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，2)，B(-1，3)，C(2，1).
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1(点A、B、C的对应点分别为点 )；
（2） 点A1的坐标是　 　， 点C1的坐标是　 　；
（3） 求△ABC的面积.
【答案】（1）解：作图如下
（2）(-3，-2)；(2，-1)
（3）解：S△ABC=5×2-×5×1-×2×1-
×2×3=3.5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）根据点A1的位置可知： 点A1的坐标是 (-3，-2)；
根据点 C1 的位置可知： 点 C1 的坐标是 (2，-1)
【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1） 根据网格结构，找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，再顺次连接即可；
（2）根据图形中中点的位置写出坐标即可；
（3） 根据网格结构写出A1的坐标，利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式进行计算即可得解．
20．如图，在△ABD中， AC是BD边上的高， 点E在AC上，AC=BC，CE=CD，连接BE并延长，交AD于点 F.
（1） 求证： BE = AD：
（2） 若BF平分∠ABD， AF = 2， 求BE的长.
【答案】（1）证明：∵AC是BD边上的高，
∴∠BCE=∠ACD=90°，
在△BCE和△ACD中，
CE=CD，∠BCE=∠ACD，BC=AC，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD；
（2）解：由（1）知△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∴∠CBE+∠D=90°，
∴∠BFD=∠BFA=90°，
∵BF平分∠ABD，
∴∠DBF=∠ABF，
在△DBF和△ABF中，
∠DBF=∠ABF，BF=BF，∠BFD=∠BFA，
∴△DBF≌△ABF(ASA)，
∴DF=AF，
∵AF=2，
∴DF=2，
∴AD=AF+DF=4，
由（1）知BE=AD，
∴BE=4．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义．
（1）利用SAS证得△BCE≌△ACD即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论证得∠BFD=∠BFA=90°，再根据ASA证△DBF≌△ABF，即可得出DF=AF=2，从而求出AD的长，即可得出BE的长．
21．在四边形ABCD中， 已知AD∥BC， ∠B=∠D，AE⊥BC于点E， 于点F.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；
（2） 若AF=2AE，BC=6，求CD的长.
【答案】（1）证明：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB//CD，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3
【知识点】平行四边形的判定与性质；等积变换
【解析】【分析】 本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用．
（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形．
（2）利用等面积法求出CD长．
22．定义：如果关于x的一元二次方程 满足b=a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”.
（1）判断一元二次方程 是否为“有爱方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程 为“有爱方程”，证明：x=-1为“有爱方程”的根；
（3）已知 是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值．
【答案】（1）解：(2x+1)2=1是“有爱方程”．理由如下：
∵(2x+1)2=1，
∴4x2+4x+1=1，
∴4x2+4x=0，
∵a=4，b=4，c=0，
∴b=a+c，
∴一元二次方程(2x+1)2=1是“有爱方程”．
（2）证明：∵ax2+bx+c=0(a≠0)为关于x的“有爱方程”，
∴b=a+c，
∴ax2+(a+c)x+c=0，
∴(x+1)(ax+c)=0，
∴x= 1为“有爱方程”的根．
（3）∵3x2 ax+b=0是关于x的“有爱方程”，
∴ a=3+b，
∴3x2 ax (a+3)=0，
∵a是该“有爱方程”的一个根，
∴3a2 a2 (a+3)=0，
∴(a+1)(2a 3)=0，
∴a= 1或．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将一元二次方程(2x+1)2=1化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可；
（2）根据“有爱方程”的定义得到a、b、c的数量关系，将b用含a和c的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可；
（3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含a的代数式表示出来并代入原方程，并把x=a代入，得到关于a的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可．
23．根据提供的材料解决问题．
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
【答案】解：任务一：设直线函数解析式为
由题意可得：，
直线函数解析式为
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为，甲葡萄的进货量为
乙葡萄的利润
甲葡萄的利润
因为
时，利润最大
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤
总成本（元）
让利给购买者后的利润（元）
总销售额为：（元）
销售价 =19100÷2000=9.55（元/斤）
即销售价应定为：9.55（元/斤）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查了根据待定系数法求函数解析式，利用函数图象点的坐标求解函数. 需要根据给出的两点M(50，600)和N(100，1100)代入一次函数通式y=kx+b（k≠0），构造二元一次方程组，求解即可求出函数解析式；
（2）本题考考查了一次函数的实际应用-销售问题及一次函数图象的性质.一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.本题解题的关键是根据题意列出400≤x≤1000，再根据题目中数量关系表示出总利润w的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出w的最大值.
（3）根据（1）、（2）的结论，计算出总成本和让利后的总利润，再求出总销售额.最后用总销售额除以总重量即可求出混合销售价格.
24．如图1， 在平行四边形ABCD中， 为钝角，BE，BF分别为边AD，CD上的高，交边AD， CD于点E，F、连结 EF，BF=EF.
（1） 求证： ；
（2） 求证： ；
（3）如图2，若 以点B为原点建立平面直角坐标系．点C坐标为，点P 为直线CE 上一动点，当 时，直接写出点 P 的坐标.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BE，BF分别为边AD，CD上的高，
∴AD⊥BE，∠BFC=90°，
∴BE⊥BC，
∴∠EBC=90°=∠BFC，
∴∠EBF+∠CBF=90°=∠C+∠CBF，
∴∠EBF=∠C；
（2）证明：如图，延长EF，BC交于点H，
∵BF=EF，
∴∠FEB=∠FBE，
∵∠EBC=90°，
∴∠FEB+∠H=∠FBE+∠FBC=90°
∴∠FBH=∠FHB，
∴BF=FH，
∴EF=FH，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，
在△EDF和△HCF中，
∠ADC=∠DCH，∠DFE=∠CFH，EF=FH，
∴△EDF≌△HCF(AAS)，
∴DF=CF；
（3）解：分两种情况：
①如图，点P在x轴的上方，过点P作PG⊥x轴于G，
∵点C坐标为(，0)，
∴BC=，
∵BF⊥CD，DF=CF，
∴BD=BC=，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BE=DE=1，
∴S△BED=×1×1=，
∵S△BCP=S△BDE，
∴ PG=，
∴PG=，
∵E(0，1)，C(，0)，
设直线CE的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：k=，b=1，
∴直线CE的解析式为：y=x+1，
当y=时，x+1=，
∴x= 1，
∴点P的坐标为( 1，)；
如图，P在x轴的下方，过点P作PG⊥x轴于G，
由①可知：PG=，直线CE的解析式为：y= x+1，
当y= 时， x+1= ，
∴x=+1，
∴点P的坐标为(+1， )；
综上，点P的坐标为(-1，)或(+1， )．
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由∠EBF+∠CBF=90°=∠C+∠CBF，根据同角的余角相等可求解；
（2）由“AAS”可证△EDF≌△HCF，可得结论；
（3）分两种情况：P在x轴的上方和下方，先计算△BED的面积，根据S△BCP=S△BDE时，可得△BCP的面积，如图3，过点P作PG⊥x轴于G，从而得PG的长，利用待定系数法可得CE的解析式，则可求得点P的坐标．
1 / 1浙江省台州市临海市杜桥镇2025-2026学年八年级下学期第一次月考数学试题
1．式子 有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x>3 B．x<3 C．x≥3 D．x≤3
2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．不等式组 的解集在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
4．在下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中， AB=8， BC=6，以A，C为圆心、大于 的长为半径画圆弧，两弧相交于点 M，N，过M，N作直线与AB相交于点D，则△BCD的周长为(　　)
A．7 B．10 C．11 D．14
7．关于x的不等式组 的解集为x<-6，那么a的取值范围为(　　)
A．a=2 B．a≥-6 C．a<2 D．a>-6
8．将方程 配方后，原方程变形为(　　)
A．(x-3)2=8 B． C． D．
9．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆.设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C．1000(1+2x) =1210 D．1210(1-2x) =1000
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC， BD交于点O， AB=2， BC=4， ∠ABC=60°，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG， △DCF的周长等于6，下列说法正确的个数为(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．当x=1时，则二次根式 　 　．
12．若m是方程 的一个解，则 的值为　 　.
13．已知(x1，y1)， (x2，y2)为直线y=x-1上的两个点，且 则 　 　（填 “<”或“>”）．
14．一元二次方程 有实数根，则a的取值范围是　 　．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，点P、Q分别为AD、AC上的动点，则CP+PQ的最小值=　 　．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠AOD=135°，则 ABCD的面积为　 　.
17．计算
（1）
（2）
18．解下列方程：
（1）；
（2）．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，2)，B(-1，3)，C(2，1).
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1(点A、B、C的对应点分别为点 )；
（2） 点A1的坐标是　 　， 点C1的坐标是　 　；
（3） 求△ABC的面积.
20．如图，在△ABD中， AC是BD边上的高， 点E在AC上，AC=BC，CE=CD，连接BE并延长，交AD于点 F.
（1） 求证： BE = AD：
（2） 若BF平分∠ABD， AF = 2， 求BE的长.
21．在四边形ABCD中， 已知AD∥BC， ∠B=∠D，AE⊥BC于点E， 于点F.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；
（2） 若AF=2AE，BC=6，求CD的长.
22．定义：如果关于x的一元二次方程 满足b=a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”.
（1）判断一元二次方程 是否为“有爱方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程 为“有爱方程”，证明：x=-1为“有爱方程”的根；
（3）已知 是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值．
23．根据提供的材料解决问题．
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
24．如图1， 在平行四边形ABCD中， 为钝角，BE，BF分别为边AD，CD上的高，交边AD， CD于点E，F、连结 EF，BF=EF.
（1） 求证： ；
（2） 求证： ；
（3）如图2，若 以点B为原点建立平面直角坐标系．点C坐标为，点P 为直线CE 上一动点，当 时，直接写出点 P 的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，得到不等式，进而即可求解．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
3．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得：x＞1，
由②得：x≤2，
所以不等式组的解为：1数轴上表示：
故选A
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式，进而即可得到答案
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： A．方程含有两个未知数，故不是一元二次方程；
B．符合一元二次方程的定义；
C．不是整式方程，故不是 一元二次方程 ；
D．化简后，二次项系数为0，故不是 一元二次方程 ．
故选B．
【分析】 本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，据此逐一判断即可
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A：不是同类二次根式，不能合并；
B：，原选项正确；
C：，原选项错误；
D：，原想选错误；
故选B
【分析】本题考查二次根式的四则运算以及性质，根据二次根式的四则运算法则逐一判断选项即可
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：MN为AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵AB=8，BC=6，
∴△BCD的周长为：BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=8+6=14，
故选：D．
【分析】本题考查垂直平分线性质，根据题意可知MN为AC的垂直平分线，继而可得AD=DC，进而即可求出本题答案．
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】 解：，
由①得，x＜-6，
∵已知不等式组的解集为x＜-6
∴a≥-6．
故选B．
【分析】先求出不等式①的解，再与已知不等式组的解集为x＜-6相比较即可得出a的取值范围．
8．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x=-1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣6x+9=-1+9，
即（x﹣3）2=8．
故选B．
【分析】本题考查一元二次方程的配方，通过移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得到答案
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意可列方程为：1000(1+x)2=1210
故选B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵△DCF的周长等于6，
∴CD+CF+DF=6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=2，BO=DO，AO=CO，AB∥CD，AD∥BC，
∴CD+BC=2+4=6，
即CD+CF+BF=6，
∴CD+CF+DF=CD+CF+BF，
∴DF=BF，
∴△BDF为等腰三角形，
∵BO=DO，
∴FO⊥BD，
即EF⊥BD，
∴∠EOD=90°，故①正确；
过点O作MN⊥BC于M，交AD与N，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△OAE和△OCF中，
∠OEA=∠OFC∠OAE=∠OCFAO=CO，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴AE=CF，
同理可得，ON=OM，
∴MN=2ON，
∵S△DFC=CF MN，S△AEO=AE ON，
∴S△DFC=2S△AEO，故②正确；
过点G作HK⊥AB于H，交CD于K，
AI
∵AB∥CD，
∴HK⊥CD，
∴S△ABG+S△DGC=AB GH+CD GK=AB(GH+GK)=AB HK，
∵S ABCD=AB HK，
∴S△ABG+S△DGC=S ABCD，故③正确；
过点D作DP⊥BC的延长线于点P，则∠DPC=90°，
∵∠ABC=60°，AB∥CD，
∴∠DCP=∠ABC=60°，
∴∠CDP=90° 60°=30°，
∴CP=CD=×2=1，
∴，
设DF=BF=x，则CF=4 x，
∴FP=4 x+1=5 x，
在Rt△DPF中，FP2+DP2=DF2，
∴(5 x)2+()2=x2，
解得x=，
∴CF=4 =，
∵AE=CF，
∴AE=，故④正确；
∴说法正确的个数有4个，
故选：D．
【分析】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理． 由△DCF的周长等于6，可得CD+CF+DF=CD+CF+BF，即得到DF=BF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥BD，即可判断①；过点O作MN⊥BC，交AD与N，证明△OAE≌△OCF，得到AE=CF，同理可得，ON=OM，MN=2ON，再由三角形的面积即可判断②；过点GHK⊥AB于H，交CD于K，可得S△ABG+S△DGC=AB HK，即可判断③；过点D作DP⊥BC的延长线于点P，由平行线可得∠DCP=∠ABC=60°，进而可得∠CDP=30°，得到CP=1，由勾股定理可得DP=，设DF=BF=x，则CF=4 x，在Rt△DPF中，由勾股定理可得(5 x)2+()2=x2，求出x进而可得AE的长，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键．
11．【答案】1
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解： 当x=1时 ， ，
故答案为：1
【分析】本题考查二次根式的求值，直接把x=1代入二次根式求值即可
12．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根；整体思想
【解析】【解答】 解：将x=m带入方程可得：，则，
∴原式，
故答案为：-4
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义，可得，然后整体代入求值即可
13．【答案】>
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵y=x 1是一次函数，k=1>0，
∵y1>y2，
∴x1>x2．
故答案为：>
【分析】本题考查一次函数的性质，先确定一次函数一次项系数的符号，判断函数的增减性，再根据y1>y2比较x1与x2的大小．
14．【答案】且
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解： 根据题意可得：且，
解得：且.
故答案为：且.
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式， 根据一元而次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
15．【答案】4.8
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；转化思想
【解析】【解答】解：连接，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为点B，
∴CP=BP，
∴CP+PQ=BP+PQ．
当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，BP+PQ取最小值，即最小值为BQ的长．
在Rt△ABD中，AB=5，BD=BC=3，
由勾股定理得：．
∵S△ABC=×BC×AD=×AC×BQ，
∴×6×4=×5×BQ，
解得：BQ=
故答案为：4.8．
【分析】由AB=AC、D是BC中点可知AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为B，故CP=BP；根据垂线段最短，当B、P、Q共线且BQ⊥AC时，BP+PQ最小（即最小值为BQ)；利用△ABC的面积，分别以BC、AC为底计算，结合勾股定理求出的AD，可解得BQ．
16．【答案】2+2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，
∴OA=AC=，BD=2OB，
过点A作AE⊥BD，如图：
∵∠AOD=135°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE为等腰直角三角形，
∴AE=OE=OA=1，
∵∠ABD=30°，
∴AB=2AE=2，
∴BE=AE=，
∴OB=OE+BE=1+，
∴BD=2OB=2+2，
∴ ABCD的面积=2S△ABD=2× BD AE=2+2．
故答案为：2+2．
【分析】 本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，过点A作AE⊥BD，易得△AOE为等腰直角三角形，△AEB为含30度角的直角三角形，进而求出OB，AE的长，得到BD的长，进而求出△ABD的面积，根据 ABCD的面积为△ABD的面积的2倍，即可得出结果．
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算；
（1）先化简二次根式、计算二次根式的乘法，再算加减法即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式求解即可
18．【答案】（1） 解：，
，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再提公因式分解因式，继而解出；
（2）先移项，再配方，然后解出方程即可．
（1）解：，
移项：，
提公因式：，
即：或，
解得：；
（2）解：，
移项：，
配方得：，
整理得：，
直接开方：，
解得：．
19．【答案】（1）解：作图如下
（2）(-3，-2)；(2，-1)
（3）解：S△ABC=5×2-×5×1-×2×1-
×2×3=3.5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）根据点A1的位置可知： 点A1的坐标是 (-3，-2)；
根据点 C1 的位置可知： 点 C1 的坐标是 (2，-1)
【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1） 根据网格结构，找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，再顺次连接即可；
（2）根据图形中中点的位置写出坐标即可；
（3） 根据网格结构写出A1的坐标，利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式进行计算即可得解．
20．【答案】（1）证明：∵AC是BD边上的高，
∴∠BCE=∠ACD=90°，
在△BCE和△ACD中，
CE=CD，∠BCE=∠ACD，BC=AC，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD；
（2）解：由（1）知△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∴∠CBE+∠D=90°，
∴∠BFD=∠BFA=90°，
∵BF平分∠ABD，
∴∠DBF=∠ABF，
在△DBF和△ABF中，
∠DBF=∠ABF，BF=BF，∠BFD=∠BFA，
∴△DBF≌△ABF(ASA)，
∴DF=AF，
∵AF=2，
∴DF=2，
∴AD=AF+DF=4，
由（1）知BE=AD，
∴BE=4．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义．
（1）利用SAS证得△BCE≌△ACD即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论证得∠BFD=∠BFA=90°，再根据ASA证△DBF≌△ABF，即可得出DF=AF=2，从而求出AD的长，即可得出BE的长．
21．【答案】（1）证明：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB//CD，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3
【知识点】平行四边形的判定与性质；等积变换
【解析】【分析】 本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用．
（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形．
（2）利用等面积法求出CD长．
22．【答案】（1）解：(2x+1)2=1是“有爱方程”．理由如下：
∵(2x+1)2=1，
∴4x2+4x+1=1，
∴4x2+4x=0，
∵a=4，b=4，c=0，
∴b=a+c，
∴一元二次方程(2x+1)2=1是“有爱方程”．
（2）证明：∵ax2+bx+c=0(a≠0)为关于x的“有爱方程”，
∴b=a+c，
∴ax2+(a+c)x+c=0，
∴(x+1)(ax+c)=0，
∴x= 1为“有爱方程”的根．
（3）∵3x2 ax+b=0是关于x的“有爱方程”，
∴ a=3+b，
∴3x2 ax (a+3)=0，
∵a是该“有爱方程”的一个根，
∴3a2 a2 (a+3)=0，
∴(a+1)(2a 3)=0，
∴a= 1或．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将一元二次方程(2x+1)2=1化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可；
（2）根据“有爱方程”的定义得到a、b、c的数量关系，将b用含a和c的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可；
（3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含a的代数式表示出来并代入原方程，并把x=a代入，得到关于a的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可．
23．【答案】解：任务一：设直线函数解析式为
由题意可得：，
直线函数解析式为
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为，甲葡萄的进货量为
乙葡萄的利润
甲葡萄的利润
因为
时，利润最大
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤
总成本（元）
让利给购买者后的利润（元）
总销售额为：（元）
销售价 =19100÷2000=9.55（元/斤）
即销售价应定为：9.55（元/斤）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查了根据待定系数法求函数解析式，利用函数图象点的坐标求解函数. 需要根据给出的两点M(50，600)和N(100，1100)代入一次函数通式y=kx+b（k≠0），构造二元一次方程组，求解即可求出函数解析式；
（2）本题考考查了一次函数的实际应用-销售问题及一次函数图象的性质.一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.本题解题的关键是根据题意列出400≤x≤1000，再根据题目中数量关系表示出总利润w的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出w的最大值.
（3）根据（1）、（2）的结论，计算出总成本和让利后的总利润，再求出总销售额.最后用总销售额除以总重量即可求出混合销售价格.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BE，BF分别为边AD，CD上的高，
∴AD⊥BE，∠BFC=90°，
∴BE⊥BC，
∴∠EBC=90°=∠BFC，
∴∠EBF+∠CBF=90°=∠C+∠CBF，
∴∠EBF=∠C；
（2）证明：如图，延长EF，BC交于点H，
∵BF=EF，
∴∠FEB=∠FBE，
∵∠EBC=90°，
∴∠FEB+∠H=∠FBE+∠FBC=90°
∴∠FBH=∠FHB，
∴BF=FH，
∴EF=FH，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，
在△EDF和△HCF中，
∠ADC=∠DCH，∠DFE=∠CFH，EF=FH，
∴△EDF≌△HCF(AAS)，
∴DF=CF；
（3）解：分两种情况：
①如图，点P在x轴的上方，过点P作PG⊥x轴于G，
∵点C坐标为(，0)，
∴BC=，
∵BF⊥CD，DF=CF，
∴BD=BC=，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BE=DE=1，
∴S△BED=×1×1=，
∵S△BCP=S△BDE，
∴ PG=，
∴PG=，
∵E(0，1)，C(，0)，
设直线CE的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：k=，b=1，
∴直线CE的解析式为：y=x+1，
当y=时，x+1=，
∴x= 1，
∴点P的坐标为( 1，)；
如图，P在x轴的下方，过点P作PG⊥x轴于G，
由①可知：PG=，直线CE的解析式为：y= x+1，
当y= 时， x+1= ，
∴x=+1，
∴点P的坐标为(+1， )；
综上，点P的坐标为(-1，)或(+1， )．
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由∠EBF+∠CBF=90°=∠C+∠CBF，根据同角的余角相等可求解；
（2）由“AAS”可证△EDF≌△HCF，可得结论；
（3）分两种情况：P在x轴的上方和下方，先计算△BED的面积，根据S△BCP=S△BDE时，可得△BCP的面积，如图3，过点P作PG⊥x轴于G，从而得PG的长，利用待定系数法可得CE的解析式，则可求得点P的坐标．
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