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河南省2025-2026学年高二下学期期中
数学试卷
一、单选题
1．下列各项表示数列的是（ ）
A．△，○，☆，□ B．
C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D．
2．数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．<< B．<<
C．<< D．<<
4．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设等差数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为（ ）
A．8 B．13 C．14 D．15
6．若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设数列满足，，则数列的通项公式等于（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正实数a，b满足和，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知等比数列 ，=1， ，则（ ）.
A．数列 是等比数列
B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列
D．数列 是递增数列
10．下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．
C．在R上是增函数
D．在处的切线斜率是
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且曲线的对称中心为，则
B．若，函数在上单调递增，则
C．若，且，则存在实数，使得
D．若，，且函数有两个极值点、，则
三、填空题
12．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________．
13．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____.
14．已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为________.
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为．
16．设函数，．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
17．已知函数．
(1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式；
(2)当时，求的最大值；
(3)判断函数在的零点个数，并说明理由．
18．已知，直线与曲线和都相切．
(1)求的值；
(2)若，其中．
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：．
19．已知数列满足．
(1)证明：求的值，并证明数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求证：．
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．B
5．C
6．A
7．D
8．A
9．ACD
10．BCD
11．ACD
12．
13．/
14．
15．（1）设等差数列的公差为，
则由等差数列求和公式得：，
又因为，所以可得，
即数列的通项公式为；
（2）由，
所以.
16．（1）因为，则，解得，故，
所以，所以，
此时，曲线在处的切线方程为，即.
（2）因为，则，
当时，则，
即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间；
当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
17．（1）由题意得，；
（2）由题意得，，，令，解得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为；
（3）令，则，整理得，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点.
当时，，，两个不等式等号无法同时成立，
，此时函数无零点，
综上所述，在上存在唯一零点，
即函数在上的零点个数为．
18．（1）．
设与的切点为，
则，解得，所以．
由与相切，同理得，
所以．
（2）（i）由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点，
由（1）知，，，
在上单调递减，在上单调递增；
，，
在上单调递减，在上单调递增，
又，且；
，且，
作出函数和的图象，
由图象知的取值范围为．
（ii）不妨设，
由（i）知，，
显然，且，所以，
同理，．
要证，只需证，
只需证．
又，只需证．
令函数，则，
所以函数在（0，1）上单调递增，
由得，所以显然成立，
综上，．
19．（1）当时，可得，
当时，可得，
因为，，
所以 ，
所以数列为首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，
则，
所以 ，
所以，
则，
所以
，
即；
（3）因为
，
所以
，即命题得证.

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