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河南许昌市建安区第二高级中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测高二数学试卷
一、单选题
1．已知，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）
A．6 B．8 C．28 D．56
5．在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（ ）
A．156 B．180 C．194 D．672
6．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值
10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成的角为
D．点与平面的距离为
11．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．若.则
B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种
C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种
D．西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种
三、填空题
12．设A，B为两个随机事件，已知，，，则__________.
13．已知数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列前项和________．
14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______.
四、解答题
15．在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为．
(1)求n的值；
(2)求展开式中含的项的二项式系数．
16．已知数列的前项和为，且，.
（1）证明数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
17．有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求：
(1)位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？
(2)位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？
(3)将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？
18．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)当点为弦的中点时，求直线的方程；
(3)求的最小值．
19．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅲ）求证：当时，对任意的且，有．
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．C
5．C
6．C
7．A
8．D
9．AD
10．ABD
11．ACD
12．/
13．
14．
15．（1）第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为．
又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，
，，，故的值为；
（2）因，
由解得，
故展开式中含的项的二项式系数为.
16．（1）由，，则，
∴两式相减可得：，
，，又，
，
是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知：，
，
，
.
17（1）因为甲、戊相邻，故把甲、戊捆绑，与其余人全排列，
所以有种不同的排法；
（2）首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有种排法，
此时，共有3个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法，
所以共有种不同的排法．
（3）分步进行分析：
将位同学分成组，
若分成、、的三组，有种分法，
若分成、、的三组，有种分法，
则一共有种分组方法；
将分好的三组对应三个班，有种情况，
则一共有种不同的分配方法．
18．（1）∵抛物线的焦点为，∴，即.
∴抛物线的方程为.
（2）设，显然直线斜率存在.
设的方程为，
联立方程，消去，整理得，，
因为点是的中点，由，解得.
所以直线AB的方程为．即．
（3）由抛物线定义可知
所以，
由（2）知，
∴，
所以
所以当时，取得最小值为．
19．（I）定义域为，当时，，
∴当时，时，即在上递减，在上递增.
∴在时取得最小值为.
（Ⅱ）∵，
∴（1）当时，
若时，为增函数；
若时，为减函数；
若时，为增函数．
（2）当时，
若时，为增函数；
若时为减函数；
若时为增函数．
（3）当时，在恒成立，即在为增函数
（Ⅲ）不妨设，要证明，即证．
当时，则，令，
所以，即在上是增函数，
所以，对任意，都有，即，
所以，得证.

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