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浙江省杭州市锦绣教育集团2024-2025学年下学期八年级数学期中检测卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)
A． B． C． D．
3．若代数式有意义，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
4．李老师准备选一名同学代表班级参加数学竞赛，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的数学测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准选拔，则应选择的同学是（　　）
类别 甲 乙 丙 丁
平均分
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，应该假设（　　）
A．三角形的三个内角都大于或等于
B．三角形的三个内角都小于
C．三角形的三个内角都小于或等于
D．三角形中至多有一个内角大于或等于
6．下列命题正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7．如图，在中，连结，过点作，垂足为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．某公司今年一月的营业额为万元，按计划第一季度的总营业额要达到万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
10．如图，在中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若的周长为14，，则的周长为（　　）
A．24 B．28 C．38 D．40
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．在中，，则　 　．
12．某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价．由单价为每千克元的甲种糖果千克，单价为每千克元的乙种糖果千克，单价为每千克元的丙种糖果千克混合成的什锦糖的单价应定为每千克　 　元．
13．如图，为了测量池塘，两地的距离，圆圆在池塘外取点，得到线段，，并分别取，的中点，，连接．若测得的长为米，则池塘，两地的距离为　 　米．
14．已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为　 　．
15．如图，在中，以点A为圆心，为半径画圆弧交于点E，再分别以点B，E为圆心，大于长为半径 画圆弧交于点F，连接并延长交于点G．若，， 则的长为　 　．
16．如图，在矩形中，，，点E在对角线上（不与点A，C重合），连接．若，则的长为　 　．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解下列方程：
（1）；
（2）．
19．如图，在网格中，每个小正方形的边长都是，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画一个以为边，且面积为的平行四边形．
（2）如图2，画一个以为对角线，且面积为的平行四边形．
20．为了解八年级各班男生引体向上情况，随机抽取八（）班、八（）班各名男生进行测试，其有效次数分别为：八（）班：，，，，；八（）班：，，，，．现从平均数、众数、中位数、方差四个统计量对两个班男生的测试数据做如下分析：
组别 平均数 众数 中位数 方差
八（）班
八（）班
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请直接写出，，，的值．
（2）从方差的角度看，你认为八（）、八（）两班各5名男生引体向上的成绩哪个波动小．
（3）如果男生引体向上有效次数次的成绩为满分，不考虑其他因素，请以这名同学的成绩为样本，估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数．
21．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题．
（1）分别求出，的值．
（2）分别求出，的值．
22．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F．
（1）求证：．
（2）若，求证：四边形是矩形．
23．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有一个根是，求的值．
（2）若该方程有两个实数根，求的取值范围．
（3）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
24．如图，在正方形中，，点是边的中点，点是正方形内的一个动点，连结，，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，．
（1）按照题意补全图形．
（2）求证：．
（3）连结，若，求线段的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不项符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，不是等式，不符合题意；
B、，是一元二次方程，符合题意；
C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、 ，不是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程，根据定义逐一判断即可．
3．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴且，
解得：且，
故选：D
【分析】直接利用分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，列出不等式，进而得出答案．
4．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由表知四位同学中甲、乙的平均成绩相同且较好，
又因为甲的方差小于乙，
所以甲的成绩好且稳定，
故选：A．
【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，
即假设三角形的三个内角都小于．
故选B
【分析】根据反证法的意义及步骤，假设结论的反面成立，直接选择即可．
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形；
C、矩形的中点四边形是菱形；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】先由等边对等角可得，再根据直角三角形的性质可得，最后由角的和与差可求的度数．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，
由题意得：，
即．
故选：A．
【分析】设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，则二月份公司的营业额为万元，三月份公司的营业额为万元，根据第一季度的总营业额包括一月、二月、三月的营业额总和，进而可列方程．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接交于点，
∵菱形中，，，
∴，，
∴
∴，
∵
∴菱形的面积为
∴，
故选：B．
【分析】连接交于点，根据勾股定理求得，进而得，由菱形的面积公式列出算式，即可求解．
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得，
∵四边形为平行四边形，
，
，，，
∵的周长为14，
，
∵，
∴，
∴的周长为．
故选：C．
【分析】由翻折可得，进而可得，结合的周长为，可得，进一步即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】平行四边形的对角相等、邻角互补．
12．【答案】19
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（元/千克），
混合成的什锦糖的单价应定为每千克元．
故答案为：．
【分析】由加权平均数的计算公式列出算式进行计算即可．
13．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，的中点，，
∴是的中位线，
又∵的长为米，
∴米；
故答案为：．
【分析】直接利用三角形中位线定理即可．
14．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据配方法的步骤进行配方，再根据的形式 进行比较，得到m，n的值，进而即可求解．
15．【答案】16
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】证明：连接，设交于点，
由作图可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
∴，
，
，
；
由作图可知：，
∴，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，
．
故答案为：16．
【分析】先证明是等腰三角形，再证明四边形是菱形，利用勾股定理求出，进而即可求解．
16．【答案】11
【知识点】三角形外角的概念及性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作于点F，连接交于O，
∵在矩形中，，，，
，
∴，，
由等面积法得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】作于点F，连接交于O；由矩形的性质得∠ABC=90°，OB=OA=OC，由勾股定理算出AC，从而利用三角形等面积法求得BF的长，在Rt△BOF中，利用勾股定理算出OF的长；由等边对等角及三角形外角性质推出∠BOE=2∠BCE，结合已知推出∠BEC=∠BOE，由等角对等边得出BO=BE，再根据等腰三角形的三线合一得出EF=OF，最后根据AE=AO-OF-EF可算出答案.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再算加减法即可求解；
（2）先将二次根式化简为最简形式后合并同类项，即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：，
，
或，
，．
（2）解：，
，
，即，
或，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先把方程化为，再进一步解一元二次方程，即可作答．
（2）先把方程化为，再进一步解一元二次方程，即可作答．
（1）解：，
∴，
∴，或，
∴，．
（2）解：，
∴，
∴，即，
∴，或，
∴，．
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）作一个以AB为边，作一个底边长为2，高为3的平行四边形即可；
（2）作一个以为对角线，底边长为2，高为3的平行四边形即可．
（1）解：如图四边形即为所求
（2）解：如图四边形即为所求
20．【答案】（1）解：由八（）班：，，，，，
∴，
∵八（）班：，，，，，从小到大排序为：，，，，，
∴，
由八（）班：，，，，，从小到大排序为：，，，，，
∵出现次，次数最多，
∴，
∴，
综上可得：，，，；
（2）解：从方差的角度看，八（）班名男生引体向上的成绩波动小；
（3）解：估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数为：（人），
答：估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数有人．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（）根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法分别计算结果，得出答案；
（）根据方差的值越小，成绩波动越小，解答即可；
（）用总人数乘以样本中甲、乙班男生引体向上成绩达到满分的人数所占比例即可求解．
（1）解：由八（）班：，，，，，
∴，
∵出现次，次数最多，
∴，
由八（）班：，，，，，从小到大排序为：，，，，，
∵出现次，次数最多，
∴，
∴，
综上可得：，，，；
（2）解：∵从方差的角度看，，
∴八（）班名男生引体向上的成绩波动小；
（3）解：估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数为：（人），
答：估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数有人．
21．【答案】（1）解：∵，，
∴．
．
（2） 解：∵，，
∴．
．
【知识点】分式的加减法；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【分析】（1）代入，的值直接代入，再利用平方差公式进行计算即可；
（2）由题意得，，再把m，n的值代入计算即可．
（1）解：∵，，
∴．
．
（2）解：∵，，
∴．
．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，，
∴，
∵平分，平分，
，，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，，
∴，
∴四边形是矩形．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可证明，，再由角平分线的定义可得，最后利用证明；
（2）先证明四边形是平行四边形，再由三线合一得到，即可证明四边形是矩形．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
同理可得，
∵平分，平分，
，，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，平分，
∴，
∴四边形是矩形．
23．【答案】（1）解：∵方程有一个根是，
∴，
∴，
解得或；
（2）解：由题意得，
解得；
（3）解：∵方程的两个实数根，，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
由（）可知，，
所以的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（）将代入方程得到关于k的方程，然后解一元二次方程即可；
（）由题意得，然后解不等式即可；
（）由题意可得，，从而得到关于k的方程，解得，， 再结合即可求出的值．
注意：一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；一元二次方程的两个根为，，则，．
（1）解：∵该方程有一个根是，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵该方程有两个实数根，
∴，
解得．
即的取值范围是；
（3）解：∵该方程的两个实数根，，
∴，，
∴，
化简得，
解得，，
由（）可知，，
所以的值为．
24．【答案】（1）解：如所示．
（2）证明：四边形是正方形，
．，
又，
，
．
，
．
．
（3） 解：连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，，．
，
．
又，，
．
．
点是边的中点，
，．
在中，，
．
即线段的最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；作图﹣旋转；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据题目的意思画出图形即可；
（2）先利用SAS证明，即可得出；
（3）连结，，，．利用SAS证明，得出．根据三角形的三边长关系得出PE的最小值．
（1）解：如图即为所求图形．
（2）证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
，
．
．
（3）连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，，．
，
．
又，，
．
．
点是边的中点，
，．
在中，，
．
即线段的最小值为．
1 / 1浙江省杭州市锦绣教育集团2024-2025学年下学期八年级数学期中检测卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不项符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行逐一判断即可．
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，不是等式，不符合题意；
B、，是一元二次方程，符合题意；
C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、 ，不是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程，根据定义逐一判断即可．
3．若代数式有意义，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴且，
解得：且，
故选：D
【分析】直接利用分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，列出不等式，进而得出答案．
4．李老师准备选一名同学代表班级参加数学竞赛，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的数学测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准选拔，则应选择的同学是（　　）
类别 甲 乙 丙 丁
平均分
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由表知四位同学中甲、乙的平均成绩相同且较好，
又因为甲的方差小于乙，
所以甲的成绩好且稳定，
故选：A．
【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，应该假设（　　）
A．三角形的三个内角都大于或等于
B．三角形的三个内角都小于
C．三角形的三个内角都小于或等于
D．三角形中至多有一个内角大于或等于
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，
即假设三角形的三个内角都小于．
故选B
【分析】根据反证法的意义及步骤，假设结论的反面成立，直接选择即可．
6．下列命题正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形；
C、矩形的中点四边形是菱形；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
7．如图，在中，连结，过点作，垂足为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】先由等边对等角可得，再根据直角三角形的性质可得，最后由角的和与差可求的度数．
8．某公司今年一月的营业额为万元，按计划第一季度的总营业额要达到万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，
由题意得：，
即．
故选：A．
【分析】设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，则二月份公司的营业额为万元，三月份公司的营业额为万元，根据第一季度的总营业额包括一月、二月、三月的营业额总和，进而可列方程．
9．如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接交于点，
∵菱形中，，，
∴，，
∴
∴，
∵
∴菱形的面积为
∴，
故选：B．
【分析】连接交于点，根据勾股定理求得，进而得，由菱形的面积公式列出算式，即可求解．
10．如图，在中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若的周长为14，，则的周长为（　　）
A．24 B．28 C．38 D．40
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得，
∵四边形为平行四边形，
，
，，，
∵的周长为14，
，
∵，
∴，
∴的周长为．
故选：C．
【分析】由翻折可得，进而可得，结合的周长为，可得，进一步即可得出答案．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．在中，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】平行四边形的对角相等、邻角互补．
12．某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价．由单价为每千克元的甲种糖果千克，单价为每千克元的乙种糖果千克，单价为每千克元的丙种糖果千克混合成的什锦糖的单价应定为每千克　 　元．
【答案】19
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（元/千克），
混合成的什锦糖的单价应定为每千克元．
故答案为：．
【分析】由加权平均数的计算公式列出算式进行计算即可．
13．如图，为了测量池塘，两地的距离，圆圆在池塘外取点，得到线段，，并分别取，的中点，，连接．若测得的长为米，则池塘，两地的距离为　 　米．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，的中点，，
∴是的中位线，
又∵的长为米，
∴米；
故答案为：．
【分析】直接利用三角形中位线定理即可．
14．已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据配方法的步骤进行配方，再根据的形式 进行比较，得到m，n的值，进而即可求解．
15．如图，在中，以点A为圆心，为半径画圆弧交于点E，再分别以点B，E为圆心，大于长为半径 画圆弧交于点F，连接并延长交于点G．若，， 则的长为　 　．
【答案】16
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】证明：连接，设交于点，
由作图可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
∴，
，
，
；
由作图可知：，
∴，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，
．
故答案为：16．
【分析】先证明是等腰三角形，再证明四边形是菱形，利用勾股定理求出，进而即可求解．
16．如图，在矩形中，，，点E在对角线上（不与点A，C重合），连接．若，则的长为　 　．
【答案】11
【知识点】三角形外角的概念及性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作于点F，连接交于O，
∵在矩形中，，，，
，
∴，，
由等面积法得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】作于点F，连接交于O；由矩形的性质得∠ABC=90°，OB=OA=OC，由勾股定理算出AC，从而利用三角形等面积法求得BF的长，在Rt△BOF中，利用勾股定理算出OF的长；由等边对等角及三角形外角性质推出∠BOE=2∠BCE，结合已知推出∠BEC=∠BOE，由等角对等边得出BO=BE，再根据等腰三角形的三线合一得出EF=OF，最后根据AE=AO-OF-EF可算出答案.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再算加减法即可求解；
（2）先将二次根式化简为最简形式后合并同类项，即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
或，
，．
（2）解：，
，
，即，
或，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先把方程化为，再进一步解一元二次方程，即可作答．
（2）先把方程化为，再进一步解一元二次方程，即可作答．
（1）解：，
∴，
∴，或，
∴，．
（2）解：，
∴，
∴，即，
∴，或，
∴，．
19．如图，在网格中，每个小正方形的边长都是，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画一个以为边，且面积为的平行四边形．
（2）如图2，画一个以为对角线，且面积为的平行四边形．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）作一个以AB为边，作一个底边长为2，高为3的平行四边形即可；
（2）作一个以为对角线，底边长为2，高为3的平行四边形即可．
（1）解：如图四边形即为所求
（2）解：如图四边形即为所求
20．为了解八年级各班男生引体向上情况，随机抽取八（）班、八（）班各名男生进行测试，其有效次数分别为：八（）班：，，，，；八（）班：，，，，．现从平均数、众数、中位数、方差四个统计量对两个班男生的测试数据做如下分析：
组别 平均数 众数 中位数 方差
八（）班
八（）班
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请直接写出，，，的值．
（2）从方差的角度看，你认为八（）、八（）两班各5名男生引体向上的成绩哪个波动小．
（3）如果男生引体向上有效次数次的成绩为满分，不考虑其他因素，请以这名同学的成绩为样本，估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数．
【答案】（1）解：由八（）班：，，，，，
∴，
∵八（）班：，，，，，从小到大排序为：，，，，，
∴，
由八（）班：，，，，，从小到大排序为：，，，，，
∵出现次，次数最多，
∴，
∴，
综上可得：，，，；
（2）解：从方差的角度看，八（）班名男生引体向上的成绩波动小；
（3）解：估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数为：（人），
答：估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数有人．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（）根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法分别计算结果，得出答案；
（）根据方差的值越小，成绩波动越小，解答即可；
（）用总人数乘以样本中甲、乙班男生引体向上成绩达到满分的人数所占比例即可求解．
（1）解：由八（）班：，，，，，
∴，
∵出现次，次数最多，
∴，
由八（）班：，，，，，从小到大排序为：，，，，，
∵出现次，次数最多，
∴，
∴，
综上可得：，，，；
（2）解：∵从方差的角度看，，
∴八（）班名男生引体向上的成绩波动小；
（3）解：估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数为：（人），
答：估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数有人．
21．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题．
（1）分别求出，的值．
（2）分别求出，的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴．
．
（2） 解：∵，，
∴．
．
【知识点】分式的加减法；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【分析】（1）代入，的值直接代入，再利用平方差公式进行计算即可；
（2）由题意得，，再把m，n的值代入计算即可．
（1）解：∵，，
∴．
．
（2）解：∵，，
∴．
．
22．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F．
（1）求证：．
（2）若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，，
∴，
∵平分，平分，
，，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，，
∴，
∴四边形是矩形．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可证明，，再由角平分线的定义可得，最后利用证明；
（2）先证明四边形是平行四边形，再由三线合一得到，即可证明四边形是矩形．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
同理可得，
∵平分，平分，
，，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，平分，
∴，
∴四边形是矩形．
23．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有一个根是，求的值．
（2）若该方程有两个实数根，求的取值范围．
（3）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）解：∵方程有一个根是，
∴，
∴，
解得或；
（2）解：由题意得，
解得；
（3）解：∵方程的两个实数根，，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
由（）可知，，
所以的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（）将代入方程得到关于k的方程，然后解一元二次方程即可；
（）由题意得，然后解不等式即可；
（）由题意可得，，从而得到关于k的方程，解得，， 再结合即可求出的值．
注意：一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；一元二次方程的两个根为，，则，．
（1）解：∵该方程有一个根是，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵该方程有两个实数根，
∴，
解得．
即的取值范围是；
（3）解：∵该方程的两个实数根，，
∴，，
∴，
化简得，
解得，，
由（）可知，，
所以的值为．
24．如图，在正方形中，，点是边的中点，点是正方形内的一个动点，连结，，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，．
（1）按照题意补全图形．
（2）求证：．
（3）连结，若，求线段的最小值．
【答案】（1）解：如所示．
（2）证明：四边形是正方形，
．，
又，
，
．
，
．
．
（3） 解：连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，，．
，
．
又，，
．
．
点是边的中点，
，．
在中，，
．
即线段的最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；作图﹣旋转；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据题目的意思画出图形即可；
（2）先利用SAS证明，即可得出；
（3）连结，，，．利用SAS证明，得出．根据三角形的三边长关系得出PE的最小值．
（1）解：如图即为所求图形．
（2）证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
，
．
．
（3）连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，，．
，
．
又，，
．
．
点是边的中点，
，．
在中，，
．
即线段的最小值为．
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