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浙江省湖州市第五中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题3分，共 30 分．）
1．下列是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四幅图中，和是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列各多项式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．方程组 的解为 ，则被遮盖的前后两个数分别为（　　）
A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4
7．如图，一副三角板放置在两条平行线之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意惠是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有x人，y辆车，根据题意列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，将两张长为，宽为n的长方形纸片按图，图2两种方式放置在正方形中，未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，若，图和图中阴影部分的面积分别记为和．则值的是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共 6 小题，每小题3分，共18分．）
11．已知，用含x的代数式表示　 　．
12．分解因式： 　 　．
13．若多项式是完全平方式，则　 　．
14．已知，，则　 　.
15．如图，长方形纸片中，E为边上一点，F为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部），在点E、F的变化过程中，当平分时，若，则　 　度．
16．定义：将满足二元一次方程的解记为点，这些点叫做该方程的有效点．
（1）已知，两点是方程的有效点，，两点是方程的有效点，则它们的公共有效点是　 　．
（2）若，，三点都是二元一次方程的有效点，则，， ，的数量关系是　 　．
三、解答题（本大题共 8 小题，共72 分．）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．解下列方程组：
（1）
（2）
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图：在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在网格顶点处．现将三角形平移得到三角形，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E．
（1）请画出平移后的三角形，若连接，，则这两条线段之间的关系是________．
（2）求三角形的面积．
21．如图，AC//EF，∠1+∠3=180°．
（1）判断AF与DC平行吗？请说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4=80°，求∠BCD的度数．
22．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ．
（2）请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ．
23．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，_______米．
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入39块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值．
（3）若厂家已有160块甲型玻璃片，再购入n（）块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是________．（写出满足条件的n的值）
24．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图中，有．
（1）如图，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
（2）如图，一束光线射在双面镜上的点，生成反射光线，，另一束光线从点射出，，光线绕点以度秒速度顺时针转动，设时间为秒，在光线转动一周的时间内，
当反射光线与平行时，求出所有满足条件的时间．
当光线同时绕点以度秒速度顺时针转动，反射光线与平行时，直接写出所有满足条件的时间．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是二元一次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【分析】
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程，再逐一分析选项即可解答．
2．【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角的定义，与有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，只有B选项符合题意，
故选：B．
【分析】本题主要考查同位角的概念。要判断两个角是否为同位角，需要满足以下条件：在两条直线被第三条直线所截形成的"三线八角"图中，这两个角必须同时位于截线的同一侧，并且位于被截直线的同一方位。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.，原计算正确，故此选项符合题意；
C.，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.，原计算错误，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的除法运算法则进行计算，从而判断A，根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算，从而判断B，根据完全平方公式进行计算，从而判断C，根据平方差公式进行计算，从而判断D．
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、，提公因式错误，故此选项错误，不符合题意；
B、等号左边是三项，而等号右边是两项，两边不相等，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、 根据完全平方公式分解，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断因式分解是否正确，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】根据 ，把x=2代入x+y=3.解得y=1.
把x=2，y=1代入二元一次方程组中2x+y=5
故被遮盖的两个数分别为5和1.
故答案为：C.
【分析】把x=2代入x+y=3求出y，再将x，y代入2x+y即可求解.
7．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解；如图所示，过点C作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得 ，进而可求得∠DCE，再根据两直线平行，内错角相等可求得 .
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可列方程组为，
故答案为：D．
【分析】设有人，辆车，根据“每3人共乘一车，空2辆车”可将车的总辆数表示为，结合车的总辆数为y列出方程=y；根据“每2人共乘一车，9人无车可乘”可将总人数表示出为2y+9，结合总人数为x可列出方程2y+9=x，联立两方程即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：变形为
由题意得：，
解得：
故选：D
【分析】本题主要考查方程组解的性质及整体代换思想的应用，整体代换是解题的核心思路。
10．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】 解：设正方形的边长为，∵长方形的长为，宽为，
∴，
，
∴
∵，
∴，
故选：．
【分析】本题考查完全平方公式和多项式乘法在几何图形面积计算中的运用，解题关键在于熟练掌握完全平方公式的应用。
通过分别计算阴影部分面积并求其差值，利用完全平方公式进行化简整理，最后代入已知代数式的数值即可得出结果。
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，，
故答案为：．
【分析】将2x从方程的左边移到方程的右边即可得出答案.
12．【答案】2(a+1)(a-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（a2-1）= 2(a+1)(a-1) .
故答案为： 2(a+1)(a-1) 。
【分析】先利用提公因式法分解因式，然后再用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
13．【答案】16
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式是完全平方式，∴，
故答案为：16．
【分析】根据完全平方式的结构特点进行解答即可．
14．【答案】72
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：72.
【分析】原式化为，然后整体代入解答即可.
15．【答案】或10
【知识点】翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，当在的左侧时，
∵，
∴，
由折叠可得，
∵平分，
∴，
∴，
由折叠可得，
∵在长方形纸片中，，
∴，
即，
∴，
∴．
当在的右侧时，
∵，
∴，
由折叠可得，
∵平分，
∴，
∴，
由折叠可得，
∵在长方形纸片中，，
∴，
即，
∴，
∴．
综上所述，或．
故答案为：或10
【分析】本题考查轴对称的性质及角的和差关系。设，需分两种情况讨论：1. 当点位于左侧时；
2. 当点位于右侧时。
利用角的和差关系，结合已知条件，即可求解。
16．【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（）由题意得，，解得：，
∴它们的公共有效点是，
故答案为：；
（）将，，分别代入二元一次方程得，
，
由得，
∴，
把分别代入和得，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考察二元一次方程组的解法及其解的性质，掌握相关知识点是解题关键。
（）将给定方程联立，构建关于和的二元一次方程组，通过消元法或代入法求解即可；
（）将点坐标、和分别代入方程，建立关系式后可推导出、、、之间的数量关系
17．【答案】（1解：（）原式
；
（）原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；整数指数幂的运算
【解析】【分析】本题主要考查实数与整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键。
（1）分别计算负整数指数幂、零指数幂和有理数的乘方运算；最后将所有结果合并即可得到最终答案。（2）先进行多项式除以单项式的运算；再进行积的乘方运算；最终合并各项结果即可。
18．【答案】（1）解：，把①代入②中得，，解得，
把代入①中得，，
∴该方程组的解为：；
（2），得：，
将代入①，得：，解得：，
∴该方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法，重点考查代入消元法和加减消元法的应用。（1）使用代入消元法求解给定的方程组；
（2）使用加减消元法求解给定的方程组。
（1）解：，
把①代入②中得，，解得，
把代入①中得，，
∴该方程组的解为：；
（2），
得：，
将代入①，得：，解得：，
∴该方程组的解为：．
19．【答案】解：
，
当时，原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查整式的运算，具体为化简求值。解题关键在于熟练掌握相关计算法则，确保运算准确。解答时需先对原式进行去括号处理，再合并同类项，最后将给定的值代入化简后的表达式进行计算。
20．【答案】（1）解：如图，△DEF就是所求的三角形，

平行且相等
（2）解：.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，，则与平行且相等，
故答案为：平行且相等
【分析】（1）利用方格纸的特点，观察发现D点是由A点先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到的，据此作出点B、C先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到的对应点E、F，再顺次连接点D、E、F即可得到所求的△DEF；根据“平移前后对应点的连线平行（或同一直线上）且相等”可得AD与CF的关系；
（2）利用方格纸的特点及割补法，由△DEF外接正方形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可算出△DEF的面积.
21．【答案】（1）解：AF∥CD；理由如下：
证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴AF∥CD；
（2）解：∵AC平分∠FAB，
∴∠2＝∠CAD，
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CAD，
又∵∠4＝∠3+∠CAD，
∴80°＝2∠3，
∴∠3＝40°，
∵EF⊥BE，EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣40°＝50°．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质及角之间的关系得∠2＝∠3，即可判断两直线平行；
（2）根据角平分线概念及（1）中条件，等量代换得∠3＝∠CAD，进而得∠3度数，再根据题意得∠FEC的度数和∠ACB的度数，即可得出∠BCD的度数．
22．【答案】（1）
，，．
（2）解：如图，
由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即，
∴可将因式分解为．
故答案为：
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；数形结合
【解析】【解答】解：（1）图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式．
故答案为：，，．
【分析】本题考查几何背景下的整式乘法与因式分解，解题关键是运用数形结合思想。
（1）图2可视为边长为的正方形，也可分解为四个组成部分。通过分别计算这两类表示方式的面积并建立等式关系，即可得出答案；
（2）拼合大长方形需要：2张A型纸片、1张B型纸片、3张C型纸片。根据此配置完成作图后，利用面积关系即可求解。
（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式．
故答案为：，，．
（2）解：如图，
由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即，
∴可将因式分解为．
故答案为：
23．【答案】（1）．
（2）解：根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，
由题意可得：，解得：．
（3）65或78．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由方案一可知：(米)，
方案一、二可得乙和丙的宽相等，则(米)．
故答案为：．
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有块按方案二切割，根据有160块甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于160片，∴，即，
∵丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，
∴，解得：（其中，且a，n都是正整数），
∴当时，；当时，．
综上所述，n的值是65或78．
故答案为：65或78．
【分析】本题综合考查了二元一次方程组、二元一次方程的实际应用以及列式计算等知识点。解题关键在于理解题意、分析图形特征、找出等量关系，并正确列出方程组或不等式。
（1）根据方案一的切割方式可求出AE的长度，再结合方案一和方案二的对比，可得出乙种和丙种玻璃片的宽度相等，从而求出AF的长度。
（2）通过观察窗户结构图发现，丙种玻璃片数量是乙种玻璃片的2倍。根据题目条件建立二元一次方程组，解这个方程组即可得到答案。
（3）设按方案一切割的大玻璃片数量为a块。首先确定a的取值范围要满足能与原有甲种玻璃搭配成完整窗户的条件，再根据"丙种玻璃片数量是乙种玻璃片的2倍"这一关系建立方程，求出符合条件的整数解。
（1）解：由方案一可知：(米)，
方案一、二可得乙和丙的宽相等，则(米)．
故答案为：．
（2）解：根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，
由题意可得：，解得：．
（3）解：设有a块大玻璃片按方案一切割，则有块按方案二切割，根据有160块甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于160片，
∴，即，
∵丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，
∴，解得：（其中，且a，n都是正整数），
∴当时，；当时，．
综上所述，n的值是65或78．
故答案为：65或78．
24．【答案】（1）解：，理由如下：由题意得，，，
∵镜子与镜子互相平行，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）.当与在同侧，如图
，
∵，
∴，
由反射可得，
∴，
∴；
.当与在异侧，如图，
∵，
∴AN，
∴，
由反射可得，
∴，
∴，
∴或；
由，
.如图，
由反射可得，
∴，
∴，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
综上可知：或或或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角度和差关系以及一元一次方程的应用，掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键。
（1）根据平行线性质可得：，，进而推导出。通过角度和差关系可得，从而完成证明。
（2）①需要分两种情况讨论：
当AC与DE在MN同侧时的情况分析；
当AC与DE在MN异侧时的情况分析。
②针对不同情况，通过建立并求解一元一次方程来得到最终结果。
（1）解：，理由如下：
由题意得，，，
∵镜子与镜子互相平行，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）.当与在同侧，如图，
∵，
∴，
由反射可得，
∴，
∴；
.当与在异侧，如图，
∵，
∴AN，
∴，
由反射可得，
∴，
∴，
∴或；
由，
.如图，
由反射可得，
∴，
∴，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
综上可知：或或或．
1 / 1浙江省湖州市第五中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题3分，共 30 分．）
1．下列是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是二元一次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【分析】
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程，再逐一分析选项即可解答．
2．下列四幅图中，和是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角的定义，与有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，只有B选项符合题意，
故选：B．
【分析】本题主要考查同位角的概念。要判断两个角是否为同位角，需要满足以下条件：在两条直线被第三条直线所截形成的"三线八角"图中，这两个角必须同时位于截线的同一侧，并且位于被截直线的同一方位。
3．随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.，原计算正确，故此选项符合题意；
C.，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.，原计算错误，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的除法运算法则进行计算，从而判断A，根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算，从而判断B，根据完全平方公式进行计算，从而判断C，根据平方差公式进行计算，从而判断D．
5．下列各多项式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、，提公因式错误，故此选项错误，不符合题意；
B、等号左边是三项，而等号右边是两项，两边不相等，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、 根据完全平方公式分解，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断因式分解是否正确，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
6．方程组 的解为 ，则被遮盖的前后两个数分别为（　　）
A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】根据 ，把x=2代入x+y=3.解得y=1.
把x=2，y=1代入二元一次方程组中2x+y=5
故被遮盖的两个数分别为5和1.
故答案为：C.
【分析】把x=2代入x+y=3求出y，再将x，y代入2x+y即可求解.
7．如图，一副三角板放置在两条平行线之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解；如图所示，过点C作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得 ，进而可求得∠DCE，再根据两直线平行，内错角相等可求得 .
8．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意惠是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有x人，y辆车，根据题意列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可列方程组为，
故答案为：D．
【分析】设有人，辆车，根据“每3人共乘一车，空2辆车”可将车的总辆数表示为，结合车的总辆数为y列出方程=y；根据“每2人共乘一车，9人无车可乘”可将总人数表示出为2y+9，结合总人数为x可列出方程2y+9=x，联立两方程即可得出答案.
9．已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：变形为
由题意得：，
解得：
故选：D
【分析】本题主要考查方程组解的性质及整体代换思想的应用，整体代换是解题的核心思路。
10．如图，将两张长为，宽为n的长方形纸片按图，图2两种方式放置在正方形中，未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，若，图和图中阴影部分的面积分别记为和．则值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】 解：设正方形的边长为，∵长方形的长为，宽为，
∴，
，
∴
∵，
∴，
故选：．
【分析】本题考查完全平方公式和多项式乘法在几何图形面积计算中的运用，解题关键在于熟练掌握完全平方公式的应用。
通过分别计算阴影部分面积并求其差值，利用完全平方公式进行化简整理，最后代入已知代数式的数值即可得出结果。
二、选择题（本大题共 6 小题，每小题3分，共18分．）
11．已知，用含x的代数式表示　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，，
故答案为：．
【分析】将2x从方程的左边移到方程的右边即可得出答案.
12．分解因式： 　 　．
【答案】2(a+1)(a-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（a2-1）= 2(a+1)(a-1) .
故答案为： 2(a+1)(a-1) 。
【分析】先利用提公因式法分解因式，然后再用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
13．若多项式是完全平方式，则　 　．
【答案】16
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式是完全平方式，∴，
故答案为：16．
【分析】根据完全平方式的结构特点进行解答即可．
14．已知，，则　 　.
【答案】72
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：72.
【分析】原式化为，然后整体代入解答即可.
15．如图，长方形纸片中，E为边上一点，F为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部），在点E、F的变化过程中，当平分时，若，则　 　度．
【答案】或10
【知识点】翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，当在的左侧时，
∵，
∴，
由折叠可得，
∵平分，
∴，
∴，
由折叠可得，
∵在长方形纸片中，，
∴，
即，
∴，
∴．
当在的右侧时，
∵，
∴，
由折叠可得，
∵平分，
∴，
∴，
由折叠可得，
∵在长方形纸片中，，
∴，
即，
∴，
∴．
综上所述，或．
故答案为：或10
【分析】本题考查轴对称的性质及角的和差关系。设，需分两种情况讨论：1. 当点位于左侧时；
2. 当点位于右侧时。
利用角的和差关系，结合已知条件，即可求解。
16．定义：将满足二元一次方程的解记为点，这些点叫做该方程的有效点．
（1）已知，两点是方程的有效点，，两点是方程的有效点，则它们的公共有效点是　 　．
（2）若，，三点都是二元一次方程的有效点，则，， ，的数量关系是　 　．
【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（）由题意得，，解得：，
∴它们的公共有效点是，
故答案为：；
（）将，，分别代入二元一次方程得，
，
由得，
∴，
把分别代入和得，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考察二元一次方程组的解法及其解的性质，掌握相关知识点是解题关键。
（）将给定方程联立，构建关于和的二元一次方程组，通过消元法或代入法求解即可；
（）将点坐标、和分别代入方程，建立关系式后可推导出、、、之间的数量关系
三、解答题（本大题共 8 小题，共72 分．）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1解：（）原式
；
（）原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；整数指数幂的运算
【解析】【分析】本题主要考查实数与整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键。
（1）分别计算负整数指数幂、零指数幂和有理数的乘方运算；最后将所有结果合并即可得到最终答案。（2）先进行多项式除以单项式的运算；再进行积的乘方运算；最终合并各项结果即可。
18．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，把①代入②中得，，解得，
把代入①中得，，
∴该方程组的解为：；
（2），得：，
将代入①，得：，解得：，
∴该方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法，重点考查代入消元法和加减消元法的应用。（1）使用代入消元法求解给定的方程组；
（2）使用加减消元法求解给定的方程组。
（1）解：，
把①代入②中得，，解得，
把代入①中得，，
∴该方程组的解为：；
（2），
得：，
将代入①，得：，解得：，
∴该方程组的解为：．
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查整式的运算，具体为化简求值。解题关键在于熟练掌握相关计算法则，确保运算准确。解答时需先对原式进行去括号处理，再合并同类项，最后将给定的值代入化简后的表达式进行计算。
20．如图：在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在网格顶点处．现将三角形平移得到三角形，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E．
（1）请画出平移后的三角形，若连接，，则这两条线段之间的关系是________．
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）解：如图，△DEF就是所求的三角形，

平行且相等
（2）解：.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，，则与平行且相等，
故答案为：平行且相等
【分析】（1）利用方格纸的特点，观察发现D点是由A点先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到的，据此作出点B、C先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到的对应点E、F，再顺次连接点D、E、F即可得到所求的△DEF；根据“平移前后对应点的连线平行（或同一直线上）且相等”可得AD与CF的关系；
（2）利用方格纸的特点及割补法，由△DEF外接正方形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可算出△DEF的面积.
21．如图，AC//EF，∠1+∠3=180°．
（1）判断AF与DC平行吗？请说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4=80°，求∠BCD的度数．
【答案】（1）解：AF∥CD；理由如下：
证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴AF∥CD；
（2）解：∵AC平分∠FAB，
∴∠2＝∠CAD，
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CAD，
又∵∠4＝∠3+∠CAD，
∴80°＝2∠3，
∴∠3＝40°，
∵EF⊥BE，EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣40°＝50°．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质及角之间的关系得∠2＝∠3，即可判断两直线平行；
（2）根据角平分线概念及（1）中条件，等量代换得∠3＝∠CAD，进而得∠3度数，再根据题意得∠FEC的度数和∠ACB的度数，即可得出∠BCD的度数．
22．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ．
（2）请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ．
【答案】（1）
，，．
（2）解：如图，
由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即，
∴可将因式分解为．
故答案为：
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；数形结合
【解析】【解答】解：（1）图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式．
故答案为：，，．
【分析】本题考查几何背景下的整式乘法与因式分解，解题关键是运用数形结合思想。
（1）图2可视为边长为的正方形，也可分解为四个组成部分。通过分别计算这两类表示方式的面积并建立等式关系，即可得出答案；
（2）拼合大长方形需要：2张A型纸片、1张B型纸片、3张C型纸片。根据此配置完成作图后，利用面积关系即可求解。
（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式．
故答案为：，，．
（2）解：如图，
由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即，
∴可将因式分解为．
故答案为：
23．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，_______米．
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入39块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值．
（3）若厂家已有160块甲型玻璃片，再购入n（）块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是________．（写出满足条件的n的值）
【答案】（1）．
（2）解：根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，
由题意可得：，解得：．
（3）65或78．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由方案一可知：(米)，
方案一、二可得乙和丙的宽相等，则(米)．
故答案为：．
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有块按方案二切割，根据有160块甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于160片，∴，即，
∵丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，
∴，解得：（其中，且a，n都是正整数），
∴当时，；当时，．
综上所述，n的值是65或78．
故答案为：65或78．
【分析】本题综合考查了二元一次方程组、二元一次方程的实际应用以及列式计算等知识点。解题关键在于理解题意、分析图形特征、找出等量关系，并正确列出方程组或不等式。
（1）根据方案一的切割方式可求出AE的长度，再结合方案一和方案二的对比，可得出乙种和丙种玻璃片的宽度相等，从而求出AF的长度。
（2）通过观察窗户结构图发现，丙种玻璃片数量是乙种玻璃片的2倍。根据题目条件建立二元一次方程组，解这个方程组即可得到答案。
（3）设按方案一切割的大玻璃片数量为a块。首先确定a的取值范围要满足能与原有甲种玻璃搭配成完整窗户的条件，再根据"丙种玻璃片数量是乙种玻璃片的2倍"这一关系建立方程，求出符合条件的整数解。
（1）解：由方案一可知：(米)，
方案一、二可得乙和丙的宽相等，则(米)．
故答案为：．
（2）解：根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，
由题意可得：，解得：．
（3）解：设有a块大玻璃片按方案一切割，则有块按方案二切割，根据有160块甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于160片，
∴，即，
∵丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，
∴，解得：（其中，且a，n都是正整数），
∴当时，；当时，．
综上所述，n的值是65或78．
故答案为：65或78．
24．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图中，有．
（1）如图，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
（2）如图，一束光线射在双面镜上的点，生成反射光线，，另一束光线从点射出，，光线绕点以度秒速度顺时针转动，设时间为秒，在光线转动一周的时间内，
当反射光线与平行时，求出所有满足条件的时间．
当光线同时绕点以度秒速度顺时针转动，反射光线与平行时，直接写出所有满足条件的时间．
【答案】（1）解：，理由如下：由题意得，，，
∵镜子与镜子互相平行，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）.当与在同侧，如图
，
∵，
∴，
由反射可得，
∴，
∴；
.当与在异侧，如图，
∵，
∴AN，
∴，
由反射可得，
∴，
∴，
∴或；
由，
.如图，
由反射可得，
∴，
∴，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
综上可知：或或或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角度和差关系以及一元一次方程的应用，掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键。
（1）根据平行线性质可得：，，进而推导出。通过角度和差关系可得，从而完成证明。
（2）①需要分两种情况讨论：
当AC与DE在MN同侧时的情况分析；
当AC与DE在MN异侧时的情况分析。
②针对不同情况，通过建立并求解一元一次方程来得到最终结果。
（1）解：，理由如下：
由题意得，，，
∵镜子与镜子互相平行，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）.当与在同侧，如图，
∵，
∴，
由反射可得，
∴，
∴；
.当与在异侧，如图，
∵，
∴AN，
∴，
由反射可得，
∴，
∴，
∴或；
由，
.如图，
由反射可得，
∴，
∴，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
.如图，
同理可得：，解得：；
综上可知：或或或．
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