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浙江省温州市苍南县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．纹样是中华文化的重要组成部分，人们常常使用纹样来装饰、美化我们的生活与环境．下列纹样中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．七边形的内角和是（　　）
A．720 B．900 C．1080 D．1260
4．点在反比例函数的图象上，则该函数图象还经过点（　　）
A． B． C． D．
5．杜鹃花是苍南县的县花，品种多样，“春鹃”是其中的一种．某兴趣小组对7株“春鹃”的花径进行测量，记录所得数据为（单位：）：5.5，5.7，5.5，5.6，5.8，5.7，5.8，则这7株“春鹃”花径的中位数为（　　）
A． B． C． D．
6．用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，的平分线交的延长线于点，若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在菱形中，与交于点，点在上，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．第二十四届国际数学家大会会徽取自1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　）
A． B． C．1 D．4
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．当时，二次根式的值为　 　．
12．反比例函数的图象在第　 　象限．
13．参加“党史知识”竞赛前，小明和小林在班级中进行赛前训练的次成绩如图所示，根据图中的信息，他们成绩方差的大小关系为：　 　（填“”“”或“”）．
14．在中，，则　 　度．
15．AI技术的应用越来越广泛，某AI应用软件2025年2月其点击率达到5.25亿次，2025年4月其点击率达到7.56亿次，设点击率从2月到4月的月平均增长率为x，则可列方程为　 　.
16．若关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为　 　（写出一个即可）.
17．如图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为1，现将它剪拼成一个“天平”造型放入一个矩形框架中（如图2），天平的上下两侧以及左右两侧均与框架重合，则该矩形框架的周长为　 　．
18．如图1，在菱形中，为边上一动点，于点，设．当点从点运动到点时，关于的函数图象如图2所示，则关于的函数表达式为　 　．
三、解答题（本题有6小题，共46分）
19．（1）计算：．
（2）解方程：．
20．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的四边形称为格点四边形．在的正方形方格纸中，点均为格点（如图所示），按下列要求画格点四边形．
（1）请在图甲中画一个平行四边形，使点在它的一边上，且不与顶点重合．
（2）请在图乙中画一个平行四边形，使点在它的对角线上．
（注：图甲、图乙在答题纸上）
21．端午节是中国的传统节日．某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩（单位：分）绘制统计图表，信息如下：
某校七年级名学生活动成绩统计表
成绩（分）
人数（名）
（1）请根据以上统计图表，完善下列表格信息．
某校七、八年级名学生活动成绩分析表
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分
七年级 _________ ______
八年级 ______
（2）你认为哪个年级的活动成绩较优秀，请根据表格中的统计量说明理由．
22．一组关于近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的对应数据如下表：
近视眼镜的度数（度） 200 500 800 1000
镜片焦距（米） 0.50 0.20 0.125 0.10
（1）根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式．
（2）小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片的焦距为0.25米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？
23．某商店六一期间购进800个儿童玩具，进价为每个6元．第一天以每个10元的价格售出了200个；第二天商店为了适当增加销量，决定降价销售，已知单价每降低1元，可多售出40个；设第二天玩具销售单价降低元，请解决以下问题：
（1）第二天玩具的销售单价为___________元，第二天的销售量为___________个．（用含的代数式表示）
（2）若第二天的销售额为2240元，求第二天玩具的销售单价．
（3）若第三天商店对剩余玩具作清仓处理，以每个3元的价格全部售出，则当___________元时，这800个玩具的销售总利润最高，为___________元．
24．如图1，在矩形中，，，对角线，交于点O，E为上一点（不与点，C重合），延长到点，使，交边于点，连结．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
（3）如图2，连结，当等于的某个内角时，求所有符合条件的四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解∵二次根式有意义，
∴，解得：．
故选：D．
【分析】
二次根式的被开方数是非负数．
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用多边形的内角和公式即可解决问题．
【解答】根据多边形的内角和公式可得：（7-2) 180°=900°．故选B．
【点评】本题比较容易，考查了多边形的内角和公式．
4．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在上，
，
只有D选项，符合题意；
故选：D．
【分析】
反比例函数图象上点的坐标特征，即．
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将7个数据从小到大排列为：5.5，5.5，5.6，5.7，5.7，5.8，5.8，
数据个数为奇数，中位数为第4个数，
第4个数为5.7，因此中位数为，
故选：C．
【分析】
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：B．
【分析】
配方法解一元二次方程，若二次项系数为1，则先把常数项移到等号的右边，再给两同时加上一次项系数一半的平方，从而把方程转化成结果为一个常数的完全平方式的形式．
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵的平分线交的延长线于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
由解平分线的概念得，由平行四边形的对边平行得，则等量代换由等角对等边得，再借助平行四边形的对边相等即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
，
设，则，
四边形是菱形，
，，
即，
，
解得，
即，，
，
故选：D．
【分析】
由等边对等角结合三角形外角的性质可得，再由已知等量代换得，再由直角三角形两锐角互余可得，则可得，再由菱形的性质结合直角三角形两锐角互余可得，再利用角的和差关系即可．
9．【答案】D
【知识点】二次根式的实际应用；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质以及代数运算，通过“设未知数”将线段长度转化为代数式表达式，再利用勾股建立关系是关键.首先由正方形ABCD和EFGH的性质，得，，又，故，根据等腰三线合一得到求得，设，则，由勾股定理得到，，因此可以进一步求得结果．
10．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：方程的解为和，
方程的解为（需），
因为两方程解完全相同，故根的和与积相等：
∴，
解得：，
，
代入得：，
解得，
故选：B．
【分析】
先利用因式分解法求出第一个方程的两个解，再利用开平方法求出第二个方程的两个解，则由题意可利用两根的和相等得关于m的方程并求解，再利用两根的积相等得关于c的方程并求解即可．
11．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：把x=1代入得：，
所以当时，二次根式的值为2.
故答案为：2.
【分析】直接将x=1代入中进行计算并结合二次根式的性质化简即可.
12．【答案】二、四
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵k=-1＜0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限.
【分析】对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限；反之，在第二、四象限.
13．【答案】
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由图可以看出，小林的成绩波动较大，
，
故答案为：．
【分析】
方差衡量一组数据波动程度的量，数据波动越大，则方差越大，反之数据越稳定则方差越小．
14．【答案】135
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：135．
【分析】根据平行四边形的性质得，即可得到，求得解答即可．
15．【答案】5.25(1+x)2=7.56
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 设点击率从2月到4月的月平均增长率为x ，
∴3月点击率为5.25(1+x)，
∴4月点击率为5.25(1+x)(1+x)=5.25(1+x)2=7.56，
故答案为：5.25(1+x)2=7.56.
【分析】根据已知条件可知点击率是复合增长，建立方程，即可列出方程.
16．【答案】1（答案不唯一，k<）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根 ，
∴△=b2-4ac=(-5)2-4k×5=25-20k<0，
∴k<，
∵1<，
∴k=1，
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，这样可以知道一元二次方程判别式的值△=b2-4ac>0，这样可以求出k的取值范围，即可判断k的值.
17．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴矩形框架的周长为．
故答案为：．
【分析】
如图，由勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一知BC＝MN＝4，再由线段的和差关系求出的长即可．
18．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；菱形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点G，连接AC、BD、CE，设AC交BD于点O.
∵四边形是菱形，
∴，
由题意得，当点E与点A重合时，CF垂直AD，显然，即AD＝CD＝6，
当点E与点B重合时，CF垂直BD，即点F与点O也重合，则AC＝2CF＝8，
∴中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
观察图象知，当CD垂直AD时CF有最大值6，即菱形的边长为6；当CF垂直BD时点F与对角线交点O重合，则CF的最小值为OC＝4，再由菱形的对角线互相垂直平分，则利用勾股定理可得OD的长，即对角线AC、BD可得，则菱形的面积可得；由于点E在AB上运动，则由同底等高两三角形面积相等可得菱形ABCD的面积总等于三角形DEC面积的2倍，即的乘积是定值，则y是关于x的反比例函数，再写出函数的解析式即可．
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：将原方程的左边分解因式，得，
∴或
解得．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先计算二次根式乘法，即二次根式和积等于积的二次根式，再对结果进行化简，最后再合并同类二次根式即可；
（2）直接利用因式分解法求解一元二次方程即可．
20．【答案】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等．
（2）解：画法不唯一，如图3或图4或图5或图6等．

【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据点O在边上或在边上，作图即可；
（2）根据点O在边上或在边上作图即可．
（1）解：画法不唯一，如图1或图2等．
（2）解：画法不唯一，如图3或图4或图5或图6等．
21．【答案】（1），，
（2）解：八年级活动成绩较优秀，理由如下：
两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级的，且方差低于七年级的，所以八年级活动成绩较优秀．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
（1）
解：由统计表得，七年级平均数为分，七年级中位数为分，
由扇形统计图可知，八年级名学生中分的人数最多，
∴八年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，，；
【分析】
（）先利用加权平均数公式求出平均值，由于七年级成绩的数据已按照从小到大的顺序排列且数据总个数为偶，则取最中间两个数据的平均值即可得中位数，由于八年级成绩为9分的数据个数最多，即可得众数；
（）由两个年级平均数相同，但八年级的中位数、众数都较大且方差较小，故八年级成绩更优秀.
（1）解：由统计表得，七年级平均数为分，七年级中位数为分，
由扇形统计图可知，八年级名学生中分的人数最多，
∴八年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，，；
（2）解：八年级活动成绩较优秀，理由如下：
两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级的，且方差低于七年级的，所以八年级活动成绩较优秀．
22．【答案】（1）解：观察表格数据可知，每组与的乘积都相等，
则猜想函数模型是反比例函数．
设关于的函数表达式为，
将点代入得：，
所以关于的函数表达式为．
（2）解：当时，，
当时，，
因为（度），
所以小苍同学的眼镜度数是上升了，上升了150度．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】
（1）观察表格知，y是关于x的反比例函数，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先利用双曲线上点的坐标特征分别求出当和当时对应的函数值，再对结果进行比较即可．
（1）解：观察表格数据可知，每组与的乘积都相等，
则猜想函数模型是反比例函数．
设关于的函数表达式为，
将点代入得：，
所以关于的函数表达式为．
（2）解：当时，，
当时，，
因为（度），
所以小苍同学的眼镜度数是上升了，上升了150度．
23．【答案】（1）；
（2）解：根据题意，得，
解得，，
∴或7，
答：第二天玩具的销售单价为8元或7元；
（3）1；440
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意，得第二天玩具的销售单价为元，第二天的销售量为个，
故答案为：，
（3）
解：设总利润为y元，
根据题意，得
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值为440，
即当元时，这800个玩具的销售总利润最高，为440元，
故答案为：1，440．
【分析】
（1）根据题意分别列代数式即可；
（2）由题意知第二天售价为元，销量为件，再由销售额列方程并求解即可；
（3）设总利润为y元，由题意知，第三天销量为件，则第三天的营业额可得，再利用三天的总营业额与成本的差可得y是关于x的二次函数，且二次项系数为负，即总利润的最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
（1）解：根据题意，得第二天玩具的销售单价为元，第二天的销售量为个，
故答案为：，
（2）解：根据题意，得，
解得，，
∴或7，
答：第二天玩具的销售单价为8元或7元；
（3）解：设总利润为y元，
根据题意，得
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值为440，
即当元时，这800个玩具的销售总利润最高，为440元，
故答案为：1，440．
24．【答案】（1）证：在矩形中，
，
又，
是的中位线，
，
即；
（2）解：由（1）可得，，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
；
（3）解： 由已知条件可知，的内角分别为，，，
①当时，
可得，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
且，
是菱形，
，
；
②当时，
，
，
，
在中，
，
，
，
；
③当时，此时点与点重合，不符合题意，
综上所述，四边形的面积为或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由矩形的对角线互相平分结合已知BE＝EF可得OE是三角形BDF的中位线，则DF平行OE，故结论成立；
（2）由中位线定理可得结合已知可得DF＝CE，再利用平行线的性质可利用ASA证明，则由全等的性质可得PE＝PF，又BE＝FE，即可得PB与BF的数量比为3比4，再利用矩形的性质结合勾股定理求出PB即可；
（3）由矩形的性质结合勾股定理可得为等边三角形，则三角形ABC的三个角、、；连接CF，由题意知的度数不可能是直角，即只有两种可能，分别是30度或60度，当时，则由平行线的性质结合角平分线的概念可得四边形DOCF是菱形，则其面积等于矩形ABCD面积的一半；当时，则由题意可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理可依次得CF、DF的长，则三角形DCF面积可得，又三角形DOC面积等于矩形ABCD面积的四分之一，再利用割补法即可得四边形COCF面积．
（1）证：在矩形中，
，
又，
是的中位线，
，
即；
（2）由（1）可得，，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
；
（3）由已知条件可知，的内角分别为，，，
①当时，
可得，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
且，
是菱形，
，
；
②当时，
，
，
，
在中，
，
，
，
；
③当时，此时点与点重合，不符合题意，
综上所述，四边形的面积为或．
1 / 1浙江省温州市苍南县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．纹样是中华文化的重要组成部分，人们常常使用纹样来装饰、美化我们的生活与环境．下列纹样中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解∵二次根式有意义，
∴，解得：．
故选：D．
【分析】
二次根式的被开方数是非负数．
3．七边形的内角和是（　　）
A．720 B．900 C．1080 D．1260
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用多边形的内角和公式即可解决问题．
【解答】根据多边形的内角和公式可得：（7-2) 180°=900°．故选B．
【点评】本题比较容易，考查了多边形的内角和公式．
4．点在反比例函数的图象上，则该函数图象还经过点（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在上，
，
只有D选项，符合题意；
故选：D．
【分析】
反比例函数图象上点的坐标特征，即．
5．杜鹃花是苍南县的县花，品种多样，“春鹃”是其中的一种．某兴趣小组对7株“春鹃”的花径进行测量，记录所得数据为（单位：）：5.5，5.7，5.5，5.6，5.8，5.7，5.8，则这7株“春鹃”花径的中位数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将7个数据从小到大排列为：5.5，5.5，5.6，5.7，5.7，5.8，5.8，
数据个数为奇数，中位数为第4个数，
第4个数为5.7，因此中位数为，
故选：C．
【分析】
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：B．
【分析】
配方法解一元二次方程，若二次项系数为1，则先把常数项移到等号的右边，再给两同时加上一次项系数一半的平方，从而把方程转化成结果为一个常数的完全平方式的形式．
7．如图，在中，的平分线交的延长线于点，若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵的平分线交的延长线于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
由解平分线的概念得，由平行四边形的对边平行得，则等量代换由等角对等边得，再借助平行四边形的对边相等即可．
8．如图，在菱形中，与交于点，点在上，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
，
设，则，
四边形是菱形，
，，
即，
，
解得，
即，，
，
故选：D．
【分析】
由等边对等角结合三角形外角的性质可得，再由已知等量代换得，再由直角三角形两锐角互余可得，则可得，再由菱形的性质结合直角三角形两锐角互余可得，再利用角的和差关系即可．
9．第二十四届国际数学家大会会徽取自1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的实际应用；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质以及代数运算，通过“设未知数”将线段长度转化为代数式表达式，再利用勾股建立关系是关键.首先由正方形ABCD和EFGH的性质，得，，又，故，根据等腰三线合一得到求得，设，则，由勾股定理得到，，因此可以进一步求得结果．
10．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：方程的解为和，
方程的解为（需），
因为两方程解完全相同，故根的和与积相等：
∴，
解得：，
，
代入得：，
解得，
故选：B．
【分析】
先利用因式分解法求出第一个方程的两个解，再利用开平方法求出第二个方程的两个解，则由题意可利用两根的和相等得关于m的方程并求解，再利用两根的积相等得关于c的方程并求解即可．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．当时，二次根式的值为　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：把x=1代入得：，
所以当时，二次根式的值为2.
故答案为：2.
【分析】直接将x=1代入中进行计算并结合二次根式的性质化简即可.
12．反比例函数的图象在第　 　象限．
【答案】二、四
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵k=-1＜0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限.
【分析】对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限；反之，在第二、四象限.
13．参加“党史知识”竞赛前，小明和小林在班级中进行赛前训练的次成绩如图所示，根据图中的信息，他们成绩方差的大小关系为：　 　（填“”“”或“”）．
【答案】
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由图可以看出，小林的成绩波动较大，
，
故答案为：．
【分析】
方差衡量一组数据波动程度的量，数据波动越大，则方差越大，反之数据越稳定则方差越小．
14．在中，，则　 　度．
【答案】135
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：135．
【分析】根据平行四边形的性质得，即可得到，求得解答即可．
15．AI技术的应用越来越广泛，某AI应用软件2025年2月其点击率达到5.25亿次，2025年4月其点击率达到7.56亿次，设点击率从2月到4月的月平均增长率为x，则可列方程为　 　.
【答案】5.25(1+x)2=7.56
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 设点击率从2月到4月的月平均增长率为x ，
∴3月点击率为5.25(1+x)，
∴4月点击率为5.25(1+x)(1+x)=5.25(1+x)2=7.56，
故答案为：5.25(1+x)2=7.56.
【分析】根据已知条件可知点击率是复合增长，建立方程，即可列出方程.
16．若关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为　 　（写出一个即可）.
【答案】1（答案不唯一，k<）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根 ，
∴△=b2-4ac=(-5)2-4k×5=25-20k<0，
∴k<，
∵1<，
∴k=1，
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，这样可以知道一元二次方程判别式的值△=b2-4ac>0，这样可以求出k的取值范围，即可判断k的值.
17．如图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为1，现将它剪拼成一个“天平”造型放入一个矩形框架中（如图2），天平的上下两侧以及左右两侧均与框架重合，则该矩形框架的周长为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴矩形框架的周长为．
故答案为：．
【分析】
如图，由勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一知BC＝MN＝4，再由线段的和差关系求出的长即可．
18．如图1，在菱形中，为边上一动点，于点，设．当点从点运动到点时，关于的函数图象如图2所示，则关于的函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；菱形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点G，连接AC、BD、CE，设AC交BD于点O.
∵四边形是菱形，
∴，
由题意得，当点E与点A重合时，CF垂直AD，显然，即AD＝CD＝6，
当点E与点B重合时，CF垂直BD，即点F与点O也重合，则AC＝2CF＝8，
∴中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
观察图象知，当CD垂直AD时CF有最大值6，即菱形的边长为6；当CF垂直BD时点F与对角线交点O重合，则CF的最小值为OC＝4，再由菱形的对角线互相垂直平分，则利用勾股定理可得OD的长，即对角线AC、BD可得，则菱形的面积可得；由于点E在AB上运动，则由同底等高两三角形面积相等可得菱形ABCD的面积总等于三角形DEC面积的2倍，即的乘积是定值，则y是关于x的反比例函数，再写出函数的解析式即可．
三、解答题（本题有6小题，共46分）
19．（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：将原方程的左边分解因式，得，
∴或
解得．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先计算二次根式乘法，即二次根式和积等于积的二次根式，再对结果进行化简，最后再合并同类二次根式即可；
（2）直接利用因式分解法求解一元二次方程即可．
20．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的四边形称为格点四边形．在的正方形方格纸中，点均为格点（如图所示），按下列要求画格点四边形．
（1）请在图甲中画一个平行四边形，使点在它的一边上，且不与顶点重合．
（2）请在图乙中画一个平行四边形，使点在它的对角线上．
（注：图甲、图乙在答题纸上）
【答案】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等．
（2）解：画法不唯一，如图3或图4或图5或图6等．

【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据点O在边上或在边上，作图即可；
（2）根据点O在边上或在边上作图即可．
（1）解：画法不唯一，如图1或图2等．
（2）解：画法不唯一，如图3或图4或图5或图6等．
21．端午节是中国的传统节日．某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩（单位：分）绘制统计图表，信息如下：
某校七年级名学生活动成绩统计表
成绩（分）
人数（名）
（1）请根据以上统计图表，完善下列表格信息．
某校七、八年级名学生活动成绩分析表
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分
七年级 _________ ______
八年级 ______
（2）你认为哪个年级的活动成绩较优秀，请根据表格中的统计量说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：八年级活动成绩较优秀，理由如下：
两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级的，且方差低于七年级的，所以八年级活动成绩较优秀．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
（1）
解：由统计表得，七年级平均数为分，七年级中位数为分，
由扇形统计图可知，八年级名学生中分的人数最多，
∴八年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，，；
【分析】
（）先利用加权平均数公式求出平均值，由于七年级成绩的数据已按照从小到大的顺序排列且数据总个数为偶，则取最中间两个数据的平均值即可得中位数，由于八年级成绩为9分的数据个数最多，即可得众数；
（）由两个年级平均数相同，但八年级的中位数、众数都较大且方差较小，故八年级成绩更优秀.
（1）解：由统计表得，七年级平均数为分，七年级中位数为分，
由扇形统计图可知，八年级名学生中分的人数最多，
∴八年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，，；
（2）解：八年级活动成绩较优秀，理由如下：
两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级的，且方差低于七年级的，所以八年级活动成绩较优秀．
22．一组关于近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的对应数据如下表：
近视眼镜的度数（度） 200 500 800 1000
镜片焦距（米） 0.50 0.20 0.125 0.10
（1）根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式．
（2）小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片的焦距为0.25米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？
【答案】（1）解：观察表格数据可知，每组与的乘积都相等，
则猜想函数模型是反比例函数．
设关于的函数表达式为，
将点代入得：，
所以关于的函数表达式为．
（2）解：当时，，
当时，，
因为（度），
所以小苍同学的眼镜度数是上升了，上升了150度．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】
（1）观察表格知，y是关于x的反比例函数，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先利用双曲线上点的坐标特征分别求出当和当时对应的函数值，再对结果进行比较即可．
（1）解：观察表格数据可知，每组与的乘积都相等，
则猜想函数模型是反比例函数．
设关于的函数表达式为，
将点代入得：，
所以关于的函数表达式为．
（2）解：当时，，
当时，，
因为（度），
所以小苍同学的眼镜度数是上升了，上升了150度．
23．某商店六一期间购进800个儿童玩具，进价为每个6元．第一天以每个10元的价格售出了200个；第二天商店为了适当增加销量，决定降价销售，已知单价每降低1元，可多售出40个；设第二天玩具销售单价降低元，请解决以下问题：
（1）第二天玩具的销售单价为___________元，第二天的销售量为___________个．（用含的代数式表示）
（2）若第二天的销售额为2240元，求第二天玩具的销售单价．
（3）若第三天商店对剩余玩具作清仓处理，以每个3元的价格全部售出，则当___________元时，这800个玩具的销售总利润最高，为___________元．
【答案】（1）；
（2）解：根据题意，得，
解得，，
∴或7，
答：第二天玩具的销售单价为8元或7元；
（3）1；440
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意，得第二天玩具的销售单价为元，第二天的销售量为个，
故答案为：，
（3）
解：设总利润为y元，
根据题意，得
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值为440，
即当元时，这800个玩具的销售总利润最高，为440元，
故答案为：1，440．
【分析】
（1）根据题意分别列代数式即可；
（2）由题意知第二天售价为元，销量为件，再由销售额列方程并求解即可；
（3）设总利润为y元，由题意知，第三天销量为件，则第三天的营业额可得，再利用三天的总营业额与成本的差可得y是关于x的二次函数，且二次项系数为负，即总利润的最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
（1）解：根据题意，得第二天玩具的销售单价为元，第二天的销售量为个，
故答案为：，
（2）解：根据题意，得，
解得，，
∴或7，
答：第二天玩具的销售单价为8元或7元；
（3）解：设总利润为y元，
根据题意，得
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值为440，
即当元时，这800个玩具的销售总利润最高，为440元，
故答案为：1，440．
24．如图1，在矩形中，，，对角线，交于点O，E为上一点（不与点，C重合），延长到点，使，交边于点，连结．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
（3）如图2，连结，当等于的某个内角时，求所有符合条件的四边形的面积．
【答案】（1）证：在矩形中，
，
又，
是的中位线，
，
即；
（2）解：由（1）可得，，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
；
（3）解： 由已知条件可知，的内角分别为，，，
①当时，
可得，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
且，
是菱形，
，
；
②当时，
，
，
，
在中，
，
，
，
；
③当时，此时点与点重合，不符合题意，
综上所述，四边形的面积为或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由矩形的对角线互相平分结合已知BE＝EF可得OE是三角形BDF的中位线，则DF平行OE，故结论成立；
（2）由中位线定理可得结合已知可得DF＝CE，再利用平行线的性质可利用ASA证明，则由全等的性质可得PE＝PF，又BE＝FE，即可得PB与BF的数量比为3比4，再利用矩形的性质结合勾股定理求出PB即可；
（3）由矩形的性质结合勾股定理可得为等边三角形，则三角形ABC的三个角、、；连接CF，由题意知的度数不可能是直角，即只有两种可能，分别是30度或60度，当时，则由平行线的性质结合角平分线的概念可得四边形DOCF是菱形，则其面积等于矩形ABCD面积的一半；当时，则由题意可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理可依次得CF、DF的长，则三角形DCF面积可得，又三角形DOC面积等于矩形ABCD面积的四分之一，再利用割补法即可得四边形COCF面积．
（1）证：在矩形中，
，
又，
是的中位线，
，
即；
（2）由（1）可得，，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
；
（3）由已知条件可知，的内角分别为，，，
①当时，
可得，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
且，
是菱形，
，
；
②当时，
，
，
，
在中，
，
，
，
；
③当时，此时点与点重合，不符合题意，
综上所述，四边形的面积为或．
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