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2026年湖南衡阳市耒阳市童星实验学校一模数学试题
一、单选题（3×10＝30分）
1．中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深远．下列四个选项中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．2026年2月5日上午，省十四届人大四次会议举行第二场“厅长通道”集体采访活动．省教育厅党组书记、厅长高山表示，今年将支持各地通过挖潜扩容、职普融通、建设综合高中等多种形式，扩充优质高中学位8万个.8万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
8．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（3×6＝18分）
11．如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是　 　．
12．从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是，方差分别是，，，你认为适合参加决赛的选手是　 　．
13．如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为　 　．
14．如图，是的外接圆，，若点O到的距离为2，则的长为　 　．
15．如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为　 　．
16．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有　 　个．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：其中，满足．
19．在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接．
（1）求证：
（2）若，试判断四边形的形状，并说明理由．
20．湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
一分钟跳绳成绩的频数统计表
组别 跳绳次数分段 频数
70
76
34
一分钟跳绳成绩的扇形统计图
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ．
（2）求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别；
（3）现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？
21．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为两点的距离为．无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）．（点在同一平面内，参考数据：，，，）
22．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．
（1）求、两种型号智能机器人的单价．
（2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．
23．如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
24．我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题：
（1）①点的“3倍位似点”为 （填坐标）；
②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）；
（2）函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值；
（3）函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得：B、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有A选项；
故选：A．
【分析】
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：8万．
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项原运算错误；
B、，故B选项原运算错误；
C、，故C选项原运算正确；
D、二次根式加法中，只有同类二次根式才能合并，，故D选项原运算错误．
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：
；
故答案为：A．
【分析】设买甜果x个，苦果y个，根据题意列二元一次方程组即可．
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、，原因式分解不彻底，故不符合要求；
B、，原因式分解不彻底，故不符合要求；
C、，原变形不是因式分解，故不符合要求；
D、，原因式分解正确，故符合要求.
故答案为：D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断是否是因式分解，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同旁内角互补可求出∠BGP与∠DGP的度数，然后根据角的构成，由∠EGF=∠BGP+∠DGP计算可得答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、，
，方程无实数根；
B、，
，方程有两个相等的实数根；
C：，
，方程有两个不相等的实数根；
D：，方程没有实数根；
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出各个选项所给方程根的判别式的值，即可判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为 ，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴其顶点也向右平移2个单位，再向上平移3个单位.
根据根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.
∴平移后，新图象的顶点坐标是 .
∴所得抛物线的表达式为 .
故答案为：B.
【分析】先求出函数y=x2的图象的顶点坐标为 ，再根据点的坐标平移规律找出平移后新图象的顶点坐标， 由于二次函数的平移不改变二次项系数，所以平移后的二次函数二次项系数a=1，将它们代入顶点式解析式即可。
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；偶次方的非负性；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】中系数，得到 或 时随的增大而减小，得到，得．
故选D．
【分析】
由偶次方的非负性可知，即该双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内y都随x的增大而减小，则．
10．【答案】B
【知识点】点的坐标；等腰直角三角形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：每一个等腰直角三角形有3个顶点，设这三个顶点的序号依次为A2k-1，A2k，A2k+1（k为三角形序号），
观察发现：奇数序号点（如a1、a3、a5……）是斜边端点，在x轴上（纵坐标为0），偶数序号点（如a2、a4、a6……）是直角顶点（纵坐标非0），
∵2025是奇数，
∴设2025=2k-1（k为三角形序号）
解得k=1013，
∴A2025是第1013个三角形的第一个端点（A2k-1），
∵当k为奇数时，第一个端点（A2k-1）的横坐标为k+1，（方向向右），当k为偶数时，第一个端点（A2k-1）的横坐标为-k-2，（方向向左），
∴当k=1013时，点的横坐标为1013+1=1014，纵坐标为0，即点A2025的坐标为（1014，0）.
故答案为：B.
【分析】每一个等腰直角三角形有3个顶点，设这三个顶点的序号依次为A2k-1，A2k，A2k+1（k为三角形序号），观察发现：奇数序号点（如a1、a3、a5……）是斜边端点，在x轴上（纵坐标为0），偶数序号点（如a2、a4、a6……）是直角顶点（纵坐标非0），故弄清楚对应三角形序号，进而根据当k为奇数时，第一个端点（A2k-1）的横坐标为k+1，（方向向右），当k为偶数时，第一个端点（A2k-1）的横坐标为-k-2，（方向向左），即可解答.
11．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题可得：、为、的中点，
是的中位线，
，
，
．
【分析】本题以测量校园内两点距离为背景，考查三角形中位线定理的应用。由题意，点 D、E 分别为 AC、BC 的中点，则 DE 是 △ ABC 的中位线。根据三角形中位线定理，中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即 DE = AB。已知 DE = 6m，代入得 AB = 12。解题关键在于识别中位线结构并直接应用定理。
12．【答案】乙
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：根据题意得：，，，
由于，
则乙的方差最小，乙的成绩最稳定，
因此，适合参加决赛的选手是乙．
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断即可.
13．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4.
【分析】由作图过程可知AG平分∠BAD，由角平分线的定义及二直线平行，内错角相等可推出∠BAG=∠BGA，由等角对等边得出AB=BG=6，最后根据CG=BC-BG可算出答案.
14．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接、，过点O作于点M，
∴BC=2MC，∠BOC=2∠A=120°，
∵点O到的距离为2，
∴OM=2，
∵，，
∴，
∴在中，
∴即，
解之：，
∴，
故答案为：．
【分析】连接、，过点O作于点M，利用垂径定理和圆周角定理可证得BC=2MC，同时求出∠BOC的度数，利用等腰三角形的性质可求出∠COM的度数；再利用解直角三角形求出MC的长，可得到BC的长.
15．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，
∴图2中的阴影部分的面积为．
故答案为：100π.
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，结合扇形面积计算公式“”列式计算即可.
16．【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，
∴代入(-2，0)、(1，0)得：，
解得：，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④，
故答案为：3．
【分析】
①由抛物线的开口向下可得，由对称轴可得，再由抛物线与y轴的交点可得，即；
②由于抛物线与x轴有两个交点，则；
③由抛物线的对称性知抛物线交x正半轴于点，则由抛物线上点的坐标特征知；
④由于抛物线开口向下，则该二次函数有最大值，即当时的对应函数值，则对于任意实数m，都有，即；
⑤ 由于抛物线开口向下，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则当时．
17．【答案】解
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂法则“”及二次根式性质分别计算，然后计算二次根式乘法，最后合并同类二次根式及进行有理数的加法运算即可.
18．【答案】解：原式
；
∵，
∴，
∴，
∴原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简；根据绝对值及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出x、y的值，然后将x、y的值代入化简后的式子根据有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算即可.
19．【答案】（1）证明：，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
，
∴DE=DF=EF，
又BD=CD
四边形是平行四边形，
∵DE=BC，DE=EF
∴BC=EF
是矩形
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠ECD=∠FBD，由中点定义得BD=CD，结合对顶角相等，利用“ASA”证明△BDF≌△CDE；
（2）四边形BFCE是矩形，理由如下：由全等三角形的对应边相等得DE=DF，从而根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出四边形BFCE是平行四边形；结合已知易得BC=EF，从而根据对角线相等的平行四边形是矩形可得结论.
（1）证明：，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
和是边的中点，
，
和是等腰三角形，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形．
20．【答案】（1）200；20；
（2）解：∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为200人，A组是20人，B组为70人，，而C组是76人，，
∴中位数应该是第100个数和第101个数的平均数，
∴中位数在C组，
即抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别C组
（3）解：根据题意列表
男1 男2 女1 女2
男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1
男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2
女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1
女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2
由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种，
所以，恰好分组是一男一女的概率
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；中位数
【解析】【解答】（1）解：由统计表知C组的频数为76，由扇形统计图知C组所占的频率为，
本次接受随机抽样调查的学生人数为：（人），
，
扇形统计图中B组的圆心角度数为：；
即本次接受随机抽样调查的学生人数为200人，统计表中的的值是20，扇形统计图中B组所对的圆心角是．
故答案为：200；20；126°；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用C组的频数除以其占的百分比即可求出本次接受随机抽样调查的学生人数 ，再将总数减去A、C、D三组的频数即可求出n，用360°乘B组人数所占的百分比即可求出扇形统计图中B组所对的圆心角度数；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计表提供的信息解答即可；
（3）此题是抽取不放回类型，通过列表得出所有等可能情况，由表可知，共有12种等可能情况数，其中是一男一女的有8种等可能情况数，从而根据概率公式计算即可.
（1）解：由统计表知C组的频数为76，由扇形统计图知C组所占的频率为，
本次接受随机抽样调查的学生人数为：（人），
，
扇形统计图中B组的圆心角度数为：；
即本次接受随机抽样调查的学生人数为200人，统计表中的的值是20，扇形统计图中B组所对的圆心角是．
（2）解：∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为200人，A组是20人，B组为70人，，而C组是76人，，
∴中位数应该是第100个数和第101个数的平均数，
∴中位数在C组，
即抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别C组；
（3）根据题意列表
男1 男2 女1 女2
男1
男2，男1 女1，男1 女2，男1
男2 男1，男2
女1，男2 女2，男2
女1 男1，女1 男2，女1
女2，女1
女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2
由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种，
所以，恰好分组是一男一女的概率．
21．【答案】解：由题意得：，，，．
在中，，，
，，
在中，，
，
答：无人机从A点到B点的上升高度为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在Rt△AOC中，由含30°角直角三角形性质得出AO=AC=12，然后利用勾股定理算出OC；在Rt△BOC中，由∠BCO的正切函数求出BO，最后根据AB=BO-AO可算出答案.
22．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：，
解得：．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
（2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：，
∵a、b为正整数，
∴此方程的解为：，，．
答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据单价乘以数量等于总价及“ 买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元 ”列出方程组，求解即可；
（2）设购买A型机器人a台，B型机器人b台，根据单价乘以数量等于总价及“购买a台A型机器人的费用+购买b台B型机器人的费用=960万元”列出关于字母a、b的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得出结论.
（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：，解得：．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：，
∵a、b为正整数，
∴此方程的解为：，，．
答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台．
23．【答案】解：（1）∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图：延长交于点G，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠DAG+∠BAG=∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠DAG=∠ABE，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设正方形的边长为a，则，
如图：延长交于点G，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠BAD=90°，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠DAF+∠AEB=90°，进而根据三角形内角和定理得出∠AOE=90°，从而根据垂直定义可得结论；
（2）延长交于点G，由矩形性质得AB∥CD，∠BAD=∠ADG=90°，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AFB∽△GFD，由相似三角形对应边成比例可求出DG=AB=1；由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得出∠ABE=∠DAG，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△ABE∽△DAG，由相似三角形对应边成比例求出AE=DG=，进而根据DE=AD-AE可算出答案；
（3）设正方形的边长为a，延长交于点G，由正方形性质得AB∥CD，∠BAD=∠ADG=90°，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AFB∽△GFD，由相似三角形对应边成比例可求出DG=AB，FG=AF，在Rt△ADG中，利用勾股定理表示出AG，进而即可表示出AF，从而即可求出AF与AD的比值.
24．【答案】（1）①；②
（2）解：由题可知点为函数图象上一点，
∴点A 的“2倍位似点”为
∴函数的“2倍位似函数”图象为，
联立，
整理得，
∵两个函数图象只有一个公共点，
∴，
∴，
∴
（3）解：在函数图象上任取一点，则点的“2倍位似点”为，
即，
消去m得：，
联立，
整理得：，
解得：，
令，，
∴
，
联立，
整理得，
解得：，
令，，
∴
，
联立 ，
整理得，
解得：，
令，，
∴
，
由题意知：，，或，，，
设，，这三条线段组成的直角三角形面积为S，
①当时，
解得，
即，
∴
，
∵，
∴当时，S最小，且最小值为；
②当时，
，
解得，
即，
∴
，
∵，
∴当时，S最小，且最小值为；
③当时，
，
解得：，此时，舍去．
综上所述：直角三角形面积的最小值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（1）解：①点的“3倍位似点”为；
故答案为：（-3，9）；
②∵点的“3倍位似点”为，
又∵点在函数的图象上，
∴函数的“3 倍位似函数”为；
故答案为：y=-x+6；
【分析】（1）①根据题干给出的“t倍位似点”定义求解即可；
②先根据题干给出的“t倍位似点”定义，求出点的“3倍位似点”，然后根据“t倍位似函数”定义得出函数的“3 倍位似函数”即可；
（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特点设点为函数图象上一点，然后根据“t倍位似点”定义得出点A 的“2倍位似点”为，根据反比例函数图象上点的坐标特点求出函数的“2倍位似函数”关系式为，然后联立此函数解析式及直线y=-kx+n，由两个函数图象只有一个公共点可得，求解用含k的式子表示出n，从而即可求出n与k的比值；
（3）设为上任一点，由“t倍位似点”定义得A的“2倍位似点”为然后根据“t倍位似函数”定义得出函数Q的解析式；联立函数P与直线y=bx+a求解得出C、D坐标，根据两点间距离公式表示出CD；联立直线y=bx+a与函数Q的解析式，求出点E与F的坐标，由两点间距离公式表示出EF；联立函数P与Q求出点M与N的坐标，根据两点间距离公式表示出MN，然后分①当时，②当时，③当时三种情况，分别求出三角形面积的最小值，再比较得出答案．
（1）解：①点的“3倍位似点”为；
②∵点的“3倍位似点”为，
又∵点在函数的图象上，
∴函数的“3 倍位似函数”为；
（2）解：由题可知点为函数图象上一点，
∴点A 的“2倍位似点”为即 ，
消去m得，
联立，
整理得，
∵两个函数图象只有一个公共点，
∴，
∴，
∴．
（3）解：在函数图象上任取一点，
则点的“2倍位似点”为，
即，
消去m得：，
联立，
整理得：，
解得：，
令，，
∴
，
联立，
整理得，
解得：，
令，，
∴
，
联立 ，
整理得，
解得：，
令，，
∴
，
由题意知：，，或，，，
设，，这三条线段组成的直角三角形面积为S，
①当时，
解得，
即，
∴
，
∵，
∴当时，S最小，且最小值为；
②当时，
，
解得，
即，
∴
，
∵，
∴当时，S最小，且最小值为；
③当时，
，
解得：，此时，舍去．
综上所述：直角三角形面积的最小值为．
1 / 12026年湖南衡阳市耒阳市童星实验学校一模数学试题
一、单选题（3×10＝30分）
1．中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深远．下列四个选项中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得：B、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有A选项；
故选：A．
【分析】
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．2026年2月5日上午，省十四届人大四次会议举行第二场“厅长通道”集体采访活动．省教育厅党组书记、厅长高山表示，今年将支持各地通过挖潜扩容、职普融通、建设综合高中等多种形式，扩充优质高中学位8万个.8万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：8万．
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项原运算错误；
B、，故B选项原运算错误；
C、，故C选项原运算正确；
D、二次根式加法中，只有同类二次根式才能合并，，故D选项原运算错误．
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断D选项.
4．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：
；
故答案为：A．
【分析】设买甜果x个，苦果y个，根据题意列二元一次方程组即可．
5．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、，原因式分解不彻底，故不符合要求；
B、，原因式分解不彻底，故不符合要求；
C、，原变形不是因式分解，故不符合要求；
D、，原因式分解正确，故符合要求.
故答案为：D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断是否是因式分解，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
6．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同旁内角互补可求出∠BGP与∠DGP的度数，然后根据角的构成，由∠EGF=∠BGP+∠DGP计算可得答案.
7．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、，
，方程无实数根；
B、，
，方程有两个相等的实数根；
C：，
，方程有两个不相等的实数根；
D：，方程没有实数根；
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出各个选项所给方程根的判别式的值，即可判断得出答案.
8．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为 ，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴其顶点也向右平移2个单位，再向上平移3个单位.
根据根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.
∴平移后，新图象的顶点坐标是 .
∴所得抛物线的表达式为 .
故答案为：B.
【分析】先求出函数y=x2的图象的顶点坐标为 ，再根据点的坐标平移规律找出平移后新图象的顶点坐标， 由于二次函数的平移不改变二次项系数，所以平移后的二次函数二次项系数a=1，将它们代入顶点式解析式即可。
9．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；偶次方的非负性；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】中系数，得到 或 时随的增大而减小，得到，得．
故选D．
【分析】
由偶次方的非负性可知，即该双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内y都随x的增大而减小，则．
10．如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；等腰直角三角形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：每一个等腰直角三角形有3个顶点，设这三个顶点的序号依次为A2k-1，A2k，A2k+1（k为三角形序号），
观察发现：奇数序号点（如a1、a3、a5……）是斜边端点，在x轴上（纵坐标为0），偶数序号点（如a2、a4、a6……）是直角顶点（纵坐标非0），
∵2025是奇数，
∴设2025=2k-1（k为三角形序号）
解得k=1013，
∴A2025是第1013个三角形的第一个端点（A2k-1），
∵当k为奇数时，第一个端点（A2k-1）的横坐标为k+1，（方向向右），当k为偶数时，第一个端点（A2k-1）的横坐标为-k-2，（方向向左），
∴当k=1013时，点的横坐标为1013+1=1014，纵坐标为0，即点A2025的坐标为（1014，0）.
故答案为：B.
【分析】每一个等腰直角三角形有3个顶点，设这三个顶点的序号依次为A2k-1，A2k，A2k+1（k为三角形序号），观察发现：奇数序号点（如a1、a3、a5……）是斜边端点，在x轴上（纵坐标为0），偶数序号点（如a2、a4、a6……）是直角顶点（纵坐标非0），故弄清楚对应三角形序号，进而根据当k为奇数时，第一个端点（A2k-1）的横坐标为k+1，（方向向右），当k为偶数时，第一个端点（A2k-1）的横坐标为-k-2，（方向向左），即可解答.
二、填空题（3×6＝18分）
11．如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题可得：、为、的中点，
是的中位线，
，
，
．
【分析】本题以测量校园内两点距离为背景，考查三角形中位线定理的应用。由题意，点 D、E 分别为 AC、BC 的中点，则 DE 是 △ ABC 的中位线。根据三角形中位线定理，中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即 DE = AB。已知 DE = 6m，代入得 AB = 12。解题关键在于识别中位线结构并直接应用定理。
12．从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是，方差分别是，，，你认为适合参加决赛的选手是　 　．
【答案】乙
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：根据题意得：，，，
由于，
则乙的方差最小，乙的成绩最稳定，
因此，适合参加决赛的选手是乙．
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断即可.
13．如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4.
【分析】由作图过程可知AG平分∠BAD，由角平分线的定义及二直线平行，内错角相等可推出∠BAG=∠BGA，由等角对等边得出AB=BG=6，最后根据CG=BC-BG可算出答案.
14．如图，是的外接圆，，若点O到的距离为2，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接、，过点O作于点M，
∴BC=2MC，∠BOC=2∠A=120°，
∵点O到的距离为2，
∴OM=2，
∵，，
∴，
∴在中，
∴即，
解之：，
∴，
故答案为：．
【分析】连接、，过点O作于点M，利用垂径定理和圆周角定理可证得BC=2MC，同时求出∠BOC的度数，利用等腰三角形的性质可求出∠COM的度数；再利用解直角三角形求出MC的长，可得到BC的长.
15．如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，
∴图2中的阴影部分的面积为．
故答案为：100π.
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，结合扇形面积计算公式“”列式计算即可.
16．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有　 　个．
【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，
∴代入(-2，0)、(1，0)得：，
解得：，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④，
故答案为：3．
【分析】
①由抛物线的开口向下可得，由对称轴可得，再由抛物线与y轴的交点可得，即；
②由于抛物线与x轴有两个交点，则；
③由抛物线的对称性知抛物线交x正半轴于点，则由抛物线上点的坐标特征知；
④由于抛物线开口向下，则该二次函数有最大值，即当时的对应函数值，则对于任意实数m，都有，即；
⑤ 由于抛物线开口向下，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则当时．
三、解答题
17．计算：．
【答案】解
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂法则“”及二次根式性质分别计算，然后计算二次根式乘法，最后合并同类二次根式及进行有理数的加法运算即可.
18．先化简，再求值：其中，满足．
【答案】解：原式
；
∵，
∴，
∴，
∴原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简；根据绝对值及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出x、y的值，然后将x、y的值代入化简后的式子根据有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算即可.
19．在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接．
（1）求证：
（2）若，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
，
∴DE=DF=EF，
又BD=CD
四边形是平行四边形，
∵DE=BC，DE=EF
∴BC=EF
是矩形
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠ECD=∠FBD，由中点定义得BD=CD，结合对顶角相等，利用“ASA”证明△BDF≌△CDE；
（2）四边形BFCE是矩形，理由如下：由全等三角形的对应边相等得DE=DF，从而根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出四边形BFCE是平行四边形；结合已知易得BC=EF，从而根据对角线相等的平行四边形是矩形可得结论.
（1）证明：，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
和是边的中点，
，
和是等腰三角形，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形．
20．湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
一分钟跳绳成绩的频数统计表
组别 跳绳次数分段 频数
70
76
34
一分钟跳绳成绩的扇形统计图
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ．
（2）求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别；
（3）现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？
【答案】（1）200；20；
（2）解：∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为200人，A组是20人，B组为70人，，而C组是76人，，
∴中位数应该是第100个数和第101个数的平均数，
∴中位数在C组，
即抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别C组
（3）解：根据题意列表
男1 男2 女1 女2
男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1
男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2
女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1
女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2
由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种，
所以，恰好分组是一男一女的概率
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；中位数
【解析】【解答】（1）解：由统计表知C组的频数为76，由扇形统计图知C组所占的频率为，
本次接受随机抽样调查的学生人数为：（人），
，
扇形统计图中B组的圆心角度数为：；
即本次接受随机抽样调查的学生人数为200人，统计表中的的值是20，扇形统计图中B组所对的圆心角是．
故答案为：200；20；126°；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用C组的频数除以其占的百分比即可求出本次接受随机抽样调查的学生人数 ，再将总数减去A、C、D三组的频数即可求出n，用360°乘B组人数所占的百分比即可求出扇形统计图中B组所对的圆心角度数；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计表提供的信息解答即可；
（3）此题是抽取不放回类型，通过列表得出所有等可能情况，由表可知，共有12种等可能情况数，其中是一男一女的有8种等可能情况数，从而根据概率公式计算即可.
（1）解：由统计表知C组的频数为76，由扇形统计图知C组所占的频率为，
本次接受随机抽样调查的学生人数为：（人），
，
扇形统计图中B组的圆心角度数为：；
即本次接受随机抽样调查的学生人数为200人，统计表中的的值是20，扇形统计图中B组所对的圆心角是．
（2）解：∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为200人，A组是20人，B组为70人，，而C组是76人，，
∴中位数应该是第100个数和第101个数的平均数，
∴中位数在C组，
即抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别C组；
（3）根据题意列表
男1 男2 女1 女2
男1
男2，男1 女1，男1 女2，男1
男2 男1，男2
女1，男2 女2，男2
女1 男1，女1 男2，女1
女2，女1
女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2
由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种，
所以，恰好分组是一男一女的概率．
21．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为两点的距离为．无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）．（点在同一平面内，参考数据：，，，）
【答案】解：由题意得：，，，．
在中，，，
，，
在中，，
，
答：无人机从A点到B点的上升高度为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在Rt△AOC中，由含30°角直角三角形性质得出AO=AC=12，然后利用勾股定理算出OC；在Rt△BOC中，由∠BCO的正切函数求出BO，最后根据AB=BO-AO可算出答案.
22．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．
（1）求、两种型号智能机器人的单价．
（2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．
【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：，
解得：．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
（2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：，
∵a、b为正整数，
∴此方程的解为：，，．
答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据单价乘以数量等于总价及“ 买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元 ”列出方程组，求解即可；
（2）设购买A型机器人a台，B型机器人b台，根据单价乘以数量等于总价及“购买a台A型机器人的费用+购买b台B型机器人的费用=960万元”列出关于字母a、b的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得出结论.
（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：，解得：．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：，
∵a、b为正整数，
∴此方程的解为：，，．
答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台．
23．如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
【答案】解：（1）∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图：延长交于点G，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠DAG+∠BAG=∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠DAG=∠ABE，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设正方形的边长为a，则，
如图：延长交于点G，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠BAD=90°，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠DAF+∠AEB=90°，进而根据三角形内角和定理得出∠AOE=90°，从而根据垂直定义可得结论；
（2）延长交于点G，由矩形性质得AB∥CD，∠BAD=∠ADG=90°，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AFB∽△GFD，由相似三角形对应边成比例可求出DG=AB=1；由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得出∠ABE=∠DAG，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△ABE∽△DAG，由相似三角形对应边成比例求出AE=DG=，进而根据DE=AD-AE可算出答案；
（3）设正方形的边长为a，延长交于点G，由正方形性质得AB∥CD，∠BAD=∠ADG=90°，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AFB∽△GFD，由相似三角形对应边成比例可求出DG=AB，FG=AF，在Rt△ADG中，利用勾股定理表示出AG，进而即可表示出AF，从而即可求出AF与AD的比值.
24．我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题：
（1）①点的“3倍位似点”为 （填坐标）；
②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）；
（2）函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值；
（3）函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）解：由题可知点为函数图象上一点，
∴点A 的“2倍位似点”为
∴函数的“2倍位似函数”图象为，
联立，
整理得，
∵两个函数图象只有一个公共点，
∴，
∴，
∴
（3）解：在函数图象上任取一点，则点的“2倍位似点”为，
即，
消去m得：，
联立，
整理得：，
解得：，
令，，
∴
，
联立，
整理得，
解得：，
令，，
∴
，
联立 ，
整理得，
解得：，
令，，
∴
，
由题意知：，，或，，，
设，，这三条线段组成的直角三角形面积为S，
①当时，
解得，
即，
∴
，
∵，
∴当时，S最小，且最小值为；
②当时，
，
解得，
即，
∴
，
∵，
∴当时，S最小，且最小值为；
③当时，
，
解得：，此时，舍去．
综上所述：直角三角形面积的最小值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（1）解：①点的“3倍位似点”为；
故答案为：（-3，9）；
②∵点的“3倍位似点”为，
又∵点在函数的图象上，
∴函数的“3 倍位似函数”为；
故答案为：y=-x+6；
【分析】（1）①根据题干给出的“t倍位似点”定义求解即可；
②先根据题干给出的“t倍位似点”定义，求出点的“3倍位似点”，然后根据“t倍位似函数”定义得出函数的“3 倍位似函数”即可；
（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特点设点为函数图象上一点，然后根据“t倍位似点”定义得出点A 的“2倍位似点”为，根据反比例函数图象上点的坐标特点求出函数的“2倍位似函数”关系式为，然后联立此函数解析式及直线y=-kx+n，由两个函数图象只有一个公共点可得，求解用含k的式子表示出n，从而即可求出n与k的比值；
（3）设为上任一点，由“t倍位似点”定义得A的“2倍位似点”为然后根据“t倍位似函数”定义得出函数Q的解析式；联立函数P与直线y=bx+a求解得出C、D坐标，根据两点间距离公式表示出CD；联立直线y=bx+a与函数Q的解析式，求出点E与F的坐标，由两点间距离公式表示出EF；联立函数P与Q求出点M与N的坐标，根据两点间距离公式表示出MN，然后分①当时，②当时，③当时三种情况，分别求出三角形面积的最小值，再比较得出答案．
（1）解：①点的“3倍位似点”为；
②∵点的“3倍位似点”为，
又∵点在函数的图象上，
∴函数的“3 倍位似函数”为；
（2）解：由题可知点为函数图象上一点，
∴点A 的“2倍位似点”为即 ，
消去m得，
联立，
整理得，
∵两个函数图象只有一个公共点，
∴，
∴，
∴．
（3）解：在函数图象上任取一点，
则点的“2倍位似点”为，
即，
消去m得：，
联立，
整理得：，
解得：，
令，，
∴
，
联立，
整理得，
解得：，
令，，
∴
，
联立 ，
整理得，
解得：，
令，，
∴
，
由题意知：，，或，，，
设，，这三条线段组成的直角三角形面积为S，
①当时，
解得，
即，
∴
，
∵，
∴当时，S最小，且最小值为；
②当时，
，
解得，
即，
∴
，
∵，
∴当时，S最小，且最小值为；
③当时，
，
解得：，此时，舍去．
综上所述：直角三角形面积的最小值为．
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