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浙江省杭州市萧山城区8校联考2025-2026学年九年级下学期数学3月月考试卷
1．纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2． 2025年经济时政新闻显示，1-9月全国规模以上工业企业营收总额达138.6万亿元.将“138.6万亿元”用科学记数法表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C．2a+2b=2ab D．
4．米斗是古代粮仓必备的粮食量器.如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度），如图2所示，则其俯视图的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表：
阅读时间（h） 6 7 8 9 10 11 12
人数（人） 5 6 9 10 6 3 1
九年（1）班学生阅读时间的中位数和众数是（　　）
A．8，9 B．8.5，9 C．8.5，10 D．8，10
6．如图，小明沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B.若AB=200米，则这名滑雪运动员下降的高度为（　　）
A．200sinα米 B．200cosα米 C．200tanα米 D．米
7．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y=（b+c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　）
A．BC//B'C'
B．OB'：BB'=3：5
C．△A'B'C'与△ABC的周长比是3：5
D．△A'B'C'与△ABC的面积比是9：25
9．如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（　　）
A． B．CD=2AE C． D．CD=1.5AE
10．已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有a的取值范围是（　　）
A． B．a≥3 C．1≤a≤2 D．a≤1或a≥2
11．把多项式分解因式的结果是　 　.
12．使得函数有意义的x的取值范围是　 　.
13．已知一个扇形的圆心角为120°，面积为12π，则此扇形的弧长为　 　.
14．一个不透明的口袋里有4颗球，除颜色以外完全相同，其中2颗红球，2颗白球，从口袋中随机摸出两颗球，则恰好摸出1颗红球1颗白球的概率是　 　.
15．某函数满足当自变量x=1时，函数值y=2，当自变量x=-2时，函数值y=-1，写出一个满足条件的函数表达式　 　.
16．如图，已知矩形ABCD中点E，F分别是BC，AD上的点，其中AB=2BE=2，将△ABE沿AE折叠，△CDF沿CF折叠，点B和点D恰好落在同一点P上，求DF=　 　.
17．计算：
18．解不等式组
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是直径AB上方半圆上两点，且OD//AC，OD与BC交于点E.
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若AC=6，DE=2，求BC.
20．萧山区某校为积极备战中考，引入AI赋能的体育打卡平台，为全校学生打造良好的运动氛围.现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长t（单位：小时），结果分为六组：第1组（0≤t<0.5），第2组（0.5≤t<1），第3组（1≤t<1.5），第4组（1.5≤t<2），第5组（2≤t<2.5），第6组（t≥3），老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，解答下列问题
（1）分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第5组的学生人数；
（2）抽查的每天运动打卡时长的众数在第　 　组；
（3）若该校有2000名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数.
21．如图，在直角坐标系中，已知M（3，2），点N（-1，6）.
（1）若点M'与M关于x轴对称，在直角坐标系中作出点M'，并写出点M'的坐标.
（2）点P为x轴上一动点，求NP-MP的最大值，并直接写出点P的坐标.
22．如图，过点A，C分别作，交CD，AB的延长线于点F，E.
（1）求证：四边形AECF为矩形.
（2）连接AC，BD交于点O，若求矩形AECF的周长.
23．在二次函数中，
（1）已知该函数图象经过（2，0）求这个二次函数的表达式.
（2）当0（3）如果A（m，a-1）.B（n，b）在该二次函数图象上，且a-b<1，求mn的范围.
24．如图，内接于⊙O，，作直径BD，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连接AE.
（1）求证：AB=AE.
（2）若
①求⊙O的半径长.
②在⊙O上取一点F，使得BF=BC，连接AF，求线段AF的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形和轴对称定义逐项分析判断如下：
A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，A符合题意；
B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，B不符合题意；
C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，C不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】先根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析各选项图形是否同时满足两个条件，进而确定正确选项。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：138.6万亿=138600000000000=1.386×10 4
故答案为：B
【分析】先将“138.6万亿元”转换为以“元”为单位的数，再根据科学记数法的定义(a×10”，其中1≤a|<10，n为整数)确定a和n的值。
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，A错误；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D正确.
故答案为：D
【分析】根据完全平方公式、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的知识，对每个选项逐一进行分析判断。
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，可得图形如下
故答案为：A
【分析】明确俯视图的定义（从物体正上方观察所得的投影），并结合几何体“无盖”、“上大下小”的结构特征，判断可见轮廓线（实线）与不可见轮廓线（虚线）。
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可知，一周阅读时间是9小时的人数最多，是10人，因此众数为10.
5+6+9+10+6+3+1=40（人）
阅读时间按从小到大排列，第20个是8小时，第21个是9小时
∴（8+9）÷2=8.5（小时）
即中位数是8.5.
故答案为：B
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可。
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB·sinα= 200sinα（米） 。
故答案为：A
【分析】先确定滑雪运动员高度下降的距离为直角三角形的直角边，再利用正弦函数的定义计算该直角边的长度。
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上可知a>0；
∵
∴b<0；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c<0，
即b+c<0，ab<0
∴反比例函数 图象在二、四象限，正比例函数y = (b + c)x图象在二、四象限。
故答案为：D
【分析】首先根据二次函数的图象判断参数a，b，c的符号，进而判断b+c，ab的符号，作为正比例函数和反比例函数的比例系数，它们的符号直接决定图象的特征，从而求解。
8．【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，
∴△A'B'C'△ABC，AC//A'C'，BC//B'C'，
∴△A'B'C'与△ABC周长比为3：5，S△A'B'C'
S△ABC=9：25，
∴OB'：OB=3：5，
∴OB'：BB'=3：2，
故A、C、D正确，不符合题意，B错误。
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质和相似三角形的性质逐一分析各选项即可。
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠EBC=45°
∴∠C=90°-45°=45°
过点D作DG⊥AC于点G
∴∠DGC=90°
在Rt△DGC中，
∵∠C=45°
∴△DGC是等腰直角三角形
∴CD=DG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（AAS）
∴AE=DG
∴CD=AE
故答案为：C
【分析】通过作辅助线（垂线）构造等腰直角三角形△DGC，得到线段CD，DG的关系，再利用AAS判定证明△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可证明AE=DG，从而得到CD与AE的长度关系。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对于二次函数=，
∴该抛物线的顶点坐标为(，-5)
∵(，-5)在一次函数y2=ax+ab-5的图象上
∴-5=+ab-5，
化简得ab=
∵当 时，都有
即x2-ax+a2-5
将ab=代入上式得x2-ax+a2-5
∴x2-2ax+a2<0
即(x-a)(x-a)<0
f(x)=(x-a)(x-a)的开口向上
要使它在某区间内小于0，
f(1)≤0，
1-2a+a2≤0.
f()≤0.
()2≤2a()+a2≤0
即-3a+a2≤0
同时满足和1≤a≤2
∴1≤a≤2.
故答案为：C
【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，将顶点代入一次函数得到a与b的关系，再根据y111．【答案】3（a+3）（a-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2-27=3(a2-9)=3(a+3)(a-3)
故答案为：3(a+3)(a-3).
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解。
12．【答案】x≥0且x≠1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x≥0且x-1≠0，
解得x≥0且x≠1
∴自变量x的取值范围是x≥0且x≠1.
故答案为：x≥0且x≠1.
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可确定自变量的取值范围。
13．【答案】4π
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：令扇形的半径和弧长分别为R和l，
∵
∴R=6
∴
∴扇形的弧长为4π.
故答案为：4π
【分析】首先通过扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算即可。
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：依题意画树状图如下
共有12个等可能的结果，恰好摸出1颗红球1颗白球的结果有8个
∴恰好摸出1颗红球1颗白球的概率为
故答案为：
【分析】利用树状图求解即可。
15．【答案】y=x+1(答案不唯一)
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵x=1时，函数值y=2，当自变量x=-2时，函数值y=-1，
k+b=2-2k+b=-1
k = 1解得b = 1
∴函数表达式为y=x+1
故答案为：y=x+1
【分析】题目未指定函数的具体类型，可假设其为一次函数，利用待定系数法求解即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB，PM⊥BC，则PN⊥AD，
∴∠BQA=∠BGP=∠PME=90°，
∴四边形BGPM是矩形，
由折叠性质得∠APE=90°，CP=CD=2，∠CPF=90°，AP=AB=2，EP=EB=1，
在△ABE中，AB=2，BE=1，则AE=
设∠BAE=，则sin=，cos=
∴BP=2BQ=2×=，BQ=ABsin=
∵∠BPG=∠BAE=α，
∴PM=GB=BPsin=×=
GP=BPcos=×=
设AD=BC=a，由CP=2得
()2+(a-)2=22
解得a=
设FP=FD=x，
∵PN=2-=，FP=FD=x
∴()2+[(a-x)-]2=x2
代入a=得
解得
∴
故答案为：
【分析】首先构造矩形BGPM，由折叠的性质得到相关线段的长度、相关角的度数，在Rt△ABE中，利用勾股定理以及解直角三角形等知识可分别求出BP，BQ的长度，再等角代换得到PM，GP的长，在Rt△PMG中，利用勾股定理求出AD，BC的长，在Rt△PMG中，再次利用勾股定理即可求出 DF 。
17．【答案】原式=1+1-2
=0
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根
【解析】【分析】本题考查二次根式、零指数幂以及负整数指数幂等知识点，熟记公式即可求解。
18．【答案】解：
解不等式①，得
解不等式②，得x≤0，
∴该不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，找出它们公共的解集即可。
19．【答案】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BE=CE，
∴E为BC的中点
（2）解：∵E为BC的中点，O为AB的中点
∴OD=5即OB=5
根据勾股定理BE=4
∴BC=8
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理得到∠C=90°，结合平行线的性质可证明OD⊥BC，由垂径定理可知E为BC的中点；
(2)由三角形中位线定理可求OE，进而求出圆的半径为5，再利用勾股定理即可求出BC的长度。
20．【答案】（1）50÷25%=200（名），
第5组的学生人数为：200-10-30-60-50-20=30（人）
（2）3
（3）（名）
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；众数
【解析】【解答】解：(2)∵打卡时长最多的是第3组
∴众数在第3组
【分析】(1)根据扇形统计图中第4组所占百分比以及条形统计图中第4组有50人求解；
(2)根据众数的定义求解即可；
(3)先计算样本中“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生占比，再用全校学生人数乘以这个比值即可。
21．【答案】（1）M'（3，-2），画图如下：
（2）解：由三角形三边关系可知
∴ NP-MP的最大值 为MN=
P（5，0）
【知识点】三角形三边关系；关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：(2)此时点P在直线NM上。
连接NM并延长，交x轴与点P。
设直线NM的解析式为，则
解得k=-1，b=5
∴直线NM的解析式为
令y=0得-x+5=0
解得x=5
∴P（5，0）
【分析】(1)关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而可知点 M' 的坐标并描点；
(2)利用三角形三边关系以及勾股定理可求 NP-MP的最大值，求出直线NM的解析式，结合此时N，M，P三点共线及可求出点P坐标。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE//CF
∵AF⊥CD，CE⊥AB
∴∠E=∠F=90°
∴∠EAF=∠FCE=90°
∴四边形AECF是矩形
（2）∵ ABCD，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
设AB=x
根据勾股定理：
x=5
∴CE=4
∴四边形AECF的周长是24
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)首先利用平行四边形的性质证明AE//CF，进而可知四边形 AECF 的四个内角都是直角，从而说明四边形AECF为矩形；
(2)先证明四边形ABCD是菱形，再设未知数表示AB的长度，利用勾股定理建立方程求解，进而可求 矩形AECF的周长.
23．【答案】（1）∵二次函数y=ax2-2ax+a-1的图象经过(2，0)，
∴0=4a- 4a+a-1，
解得a=1，
∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x；
（2）∵y = ax2 - 2ax + a - 1 = a(x - 1)2-1，
∴顶点坐标为(1，-1)，恒在x轴下方，
∵当0∴开口向上，即a>0，
需满足：
当x=0时，y=a-1≤0
解得a≤1；
当x=4时，y=9a-1>0
解得a>
综上所述，a的范围为（3）∵A(m，a-1)在该二次函数y=ax2-2ax+a-1的图象上
∴a-1=a(m-1)2-1，
∵a≠0
解得m=0或m=2
∵B(n，b)在该二次函数y=ax2-2ax+a-1的图象上
∴b=a(n-1)2-1，
∵a-b<1
∴
∴a[1-(n-1)2]<0，
当a>0时，则1-(n-1)2<0，
∴ (n – 1)2>1
解得n<0或n>2，
当m=0时，则mn=0；
当m=2时，则mn<0或mn>4；
当a<0时，则1-(n-1)2>0，
∴(n-1)2<1，
解得0<2，
当m=0时，则mn=0；
当m=2时，则0<4；
综上所述，当a>0时，mn≤0或mn>4；当a<0时，.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】(1)将点（2，0）代入函数解析式就能求出a的值，从而可得该二次函数解析式；
(2)将二次函数配方为顶点式可知其顶点坐标和图像位置，进而判断抛物线开口方向并确定a的符号，结合图象在 0(3)分别将A，B坐标代入二次函数解析式，逐一分析各参数的特征，分情况讨论m，n各种可能的组合，进而得出答案。
24．【答案】（1）如图，连接CE.
∵∠ABC=90°，
∴AC为直径，
∴∠AEC=90°.
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO.
∵DE∥AC，
∴∠CAE=∠AED.
又∵∠ABO=∠AED，
∴∠BAO=∠CAE.
在△ABC和△AEC中，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB=AE.
（2）①∵∠AED=∠ABD=∠BAC，tan∠AED=，
∴tan∠BAC=
∵AE=AB=8，
∴BC=ABtan∠BAC=6.
在RtΔABC中，
②延长AF，CB交于点G.
∵BF=BC，
∴∠GAB=∠CAB.
在△ABG和△ABC中，
∴△ABG≌△ABC(ASA)，
∴AG=AC=10，BG=BC=BF=6.
∴∠GCA=∠G=∠GFB
在△FBG和△CAG中，
∴△FBG~△CAG，
∵FB=BC=6，
∴FG=CG·BC=7.2，
∴AF=AG-FG=2.8.
【知识点】三角形全等的判定；圆的综合题；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)易证∠AEC=90°，利用等腰三角形的性质可知∠ABO=∠BAO，由平行线的性质可得∠CAE=∠AED，结合圆周角定理的推论可证明∠BAO=∠CAE，再证明△ABC≌△AEC即可得到结论；
(2)①解直角三角形ΔABC可得BC的长度，再利用勾股定理可求直径AC的长度，从而可知半径；
②添加辅助线构造全等三角形△ABG和△ABC，从而可求出AG，BG，BF的长度，同时得到∠G=∠GFB，故可证明△FBG~△CAG，利用相似三角形的性质可求出FB的长度，进而可求 AF的长.
1 / 1浙江省杭州市萧山城区8校联考2025-2026学年九年级下学期数学3月月考试卷
1．纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形和轴对称定义逐项分析判断如下：
A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，A符合题意；
B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，B不符合题意；
C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，C不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】先根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析各选项图形是否同时满足两个条件，进而确定正确选项。
2． 2025年经济时政新闻显示，1-9月全国规模以上工业企业营收总额达138.6万亿元.将“138.6万亿元”用科学记数法表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：138.6万亿=138600000000000=1.386×10 4
故答案为：B
【分析】先将“138.6万亿元”转换为以“元”为单位的数，再根据科学记数法的定义(a×10”，其中1≤a|<10，n为整数)确定a和n的值。
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C．2a+2b=2ab D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，A错误；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D正确.
故答案为：D
【分析】根据完全平方公式、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的知识，对每个选项逐一进行分析判断。
4．米斗是古代粮仓必备的粮食量器.如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度），如图2所示，则其俯视图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，可得图形如下
故答案为：A
【分析】明确俯视图的定义（从物体正上方观察所得的投影），并结合几何体“无盖”、“上大下小”的结构特征，判断可见轮廓线（实线）与不可见轮廓线（虚线）。
5．某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表：
阅读时间（h） 6 7 8 9 10 11 12
人数（人） 5 6 9 10 6 3 1
九年（1）班学生阅读时间的中位数和众数是（　　）
A．8，9 B．8.5，9 C．8.5，10 D．8，10
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可知，一周阅读时间是9小时的人数最多，是10人，因此众数为10.
5+6+9+10+6+3+1=40（人）
阅读时间按从小到大排列，第20个是8小时，第21个是9小时
∴（8+9）÷2=8.5（小时）
即中位数是8.5.
故答案为：B
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可。
6．如图，小明沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B.若AB=200米，则这名滑雪运动员下降的高度为（　　）
A．200sinα米 B．200cosα米 C．200tanα米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB·sinα= 200sinα（米） 。
故答案为：A
【分析】先确定滑雪运动员高度下降的距离为直角三角形的直角边，再利用正弦函数的定义计算该直角边的长度。
7．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y=（b+c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上可知a>0；
∵
∴b<0；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c<0，
即b+c<0，ab<0
∴反比例函数 图象在二、四象限，正比例函数y = (b + c)x图象在二、四象限。
故答案为：D
【分析】首先根据二次函数的图象判断参数a，b，c的符号，进而判断b+c，ab的符号，作为正比例函数和反比例函数的比例系数，它们的符号直接决定图象的特征，从而求解。
8．如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　）
A．BC//B'C'
B．OB'：BB'=3：5
C．△A'B'C'与△ABC的周长比是3：5
D．△A'B'C'与△ABC的面积比是9：25
【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，
∴△A'B'C'△ABC，AC//A'C'，BC//B'C'，
∴△A'B'C'与△ABC周长比为3：5，S△A'B'C'
S△ABC=9：25，
∴OB'：OB=3：5，
∴OB'：BB'=3：2，
故A、C、D正确，不符合题意，B错误。
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质和相似三角形的性质逐一分析各选项即可。
9．如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（　　）
A． B．CD=2AE C． D．CD=1.5AE
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠EBC=45°
∴∠C=90°-45°=45°
过点D作DG⊥AC于点G
∴∠DGC=90°
在Rt△DGC中，
∵∠C=45°
∴△DGC是等腰直角三角形
∴CD=DG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（AAS）
∴AE=DG
∴CD=AE
故答案为：C
【分析】通过作辅助线（垂线）构造等腰直角三角形△DGC，得到线段CD，DG的关系，再利用AAS判定证明△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可证明AE=DG，从而得到CD与AE的长度关系。
10．已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有a的取值范围是（　　）
A． B．a≥3 C．1≤a≤2 D．a≤1或a≥2
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对于二次函数=，
∴该抛物线的顶点坐标为(，-5)
∵(，-5)在一次函数y2=ax+ab-5的图象上
∴-5=+ab-5，
化简得ab=
∵当 时，都有
即x2-ax+a2-5
将ab=代入上式得x2-ax+a2-5
∴x2-2ax+a2<0
即(x-a)(x-a)<0
f(x)=(x-a)(x-a)的开口向上
要使它在某区间内小于0，
f(1)≤0，
1-2a+a2≤0.
f()≤0.
()2≤2a()+a2≤0
即-3a+a2≤0
同时满足和1≤a≤2
∴1≤a≤2.
故答案为：C
【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，将顶点代入一次函数得到a与b的关系，再根据y111．把多项式分解因式的结果是　 　.
【答案】3（a+3）（a-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2-27=3(a2-9)=3(a+3)(a-3)
故答案为：3(a+3)(a-3).
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解。
12．使得函数有意义的x的取值范围是　 　.
【答案】x≥0且x≠1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x≥0且x-1≠0，
解得x≥0且x≠1
∴自变量x的取值范围是x≥0且x≠1.
故答案为：x≥0且x≠1.
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可确定自变量的取值范围。
13．已知一个扇形的圆心角为120°，面积为12π，则此扇形的弧长为　 　.
【答案】4π
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：令扇形的半径和弧长分别为R和l，
∵
∴R=6
∴
∴扇形的弧长为4π.
故答案为：4π
【分析】首先通过扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算即可。
14．一个不透明的口袋里有4颗球，除颜色以外完全相同，其中2颗红球，2颗白球，从口袋中随机摸出两颗球，则恰好摸出1颗红球1颗白球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：依题意画树状图如下
共有12个等可能的结果，恰好摸出1颗红球1颗白球的结果有8个
∴恰好摸出1颗红球1颗白球的概率为
故答案为：
【分析】利用树状图求解即可。
15．某函数满足当自变量x=1时，函数值y=2，当自变量x=-2时，函数值y=-1，写出一个满足条件的函数表达式　 　.
【答案】y=x+1(答案不唯一)
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵x=1时，函数值y=2，当自变量x=-2时，函数值y=-1，
k+b=2-2k+b=-1
k = 1解得b = 1
∴函数表达式为y=x+1
故答案为：y=x+1
【分析】题目未指定函数的具体类型，可假设其为一次函数，利用待定系数法求解即可。
16．如图，已知矩形ABCD中点E，F分别是BC，AD上的点，其中AB=2BE=2，将△ABE沿AE折叠，△CDF沿CF折叠，点B和点D恰好落在同一点P上，求DF=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB，PM⊥BC，则PN⊥AD，
∴∠BQA=∠BGP=∠PME=90°，
∴四边形BGPM是矩形，
由折叠性质得∠APE=90°，CP=CD=2，∠CPF=90°，AP=AB=2，EP=EB=1，
在△ABE中，AB=2，BE=1，则AE=
设∠BAE=，则sin=，cos=
∴BP=2BQ=2×=，BQ=ABsin=
∵∠BPG=∠BAE=α，
∴PM=GB=BPsin=×=
GP=BPcos=×=
设AD=BC=a，由CP=2得
()2+(a-)2=22
解得a=
设FP=FD=x，
∵PN=2-=，FP=FD=x
∴()2+[(a-x)-]2=x2
代入a=得
解得
∴
故答案为：
【分析】首先构造矩形BGPM，由折叠的性质得到相关线段的长度、相关角的度数，在Rt△ABE中，利用勾股定理以及解直角三角形等知识可分别求出BP，BQ的长度，再等角代换得到PM，GP的长，在Rt△PMG中，利用勾股定理求出AD，BC的长，在Rt△PMG中，再次利用勾股定理即可求出 DF 。
17．计算：
【答案】原式=1+1-2
=0
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根
【解析】【分析】本题考查二次根式、零指数幂以及负整数指数幂等知识点，熟记公式即可求解。
18．解不等式组
【答案】解：
解不等式①，得
解不等式②，得x≤0，
∴该不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，找出它们公共的解集即可。
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是直径AB上方半圆上两点，且OD//AC，OD与BC交于点E.
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若AC=6，DE=2，求BC.
【答案】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BE=CE，
∴E为BC的中点
（2）解：∵E为BC的中点，O为AB的中点
∴OD=5即OB=5
根据勾股定理BE=4
∴BC=8
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理得到∠C=90°，结合平行线的性质可证明OD⊥BC，由垂径定理可知E为BC的中点；
(2)由三角形中位线定理可求OE，进而求出圆的半径为5，再利用勾股定理即可求出BC的长度。
20．萧山区某校为积极备战中考，引入AI赋能的体育打卡平台，为全校学生打造良好的运动氛围.现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长t（单位：小时），结果分为六组：第1组（0≤t<0.5），第2组（0.5≤t<1），第3组（1≤t<1.5），第4组（1.5≤t<2），第5组（2≤t<2.5），第6组（t≥3），老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，解答下列问题
（1）分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第5组的学生人数；
（2）抽查的每天运动打卡时长的众数在第　 　组；
（3）若该校有2000名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数.
【答案】（1）50÷25%=200（名），
第5组的学生人数为：200-10-30-60-50-20=30（人）
（2）3
（3）（名）
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；众数
【解析】【解答】解：(2)∵打卡时长最多的是第3组
∴众数在第3组
【分析】(1)根据扇形统计图中第4组所占百分比以及条形统计图中第4组有50人求解；
(2)根据众数的定义求解即可；
(3)先计算样本中“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生占比，再用全校学生人数乘以这个比值即可。
21．如图，在直角坐标系中，已知M（3，2），点N（-1，6）.
（1）若点M'与M关于x轴对称，在直角坐标系中作出点M'，并写出点M'的坐标.
（2）点P为x轴上一动点，求NP-MP的最大值，并直接写出点P的坐标.
【答案】（1）M'（3，-2），画图如下：
（2）解：由三角形三边关系可知
∴ NP-MP的最大值 为MN=
P（5，0）
【知识点】三角形三边关系；关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：(2)此时点P在直线NM上。
连接NM并延长，交x轴与点P。
设直线NM的解析式为，则
解得k=-1，b=5
∴直线NM的解析式为
令y=0得-x+5=0
解得x=5
∴P（5，0）
【分析】(1)关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而可知点 M' 的坐标并描点；
(2)利用三角形三边关系以及勾股定理可求 NP-MP的最大值，求出直线NM的解析式，结合此时N，M，P三点共线及可求出点P坐标。
22．如图，过点A，C分别作，交CD，AB的延长线于点F，E.
（1）求证：四边形AECF为矩形.
（2）连接AC，BD交于点O，若求矩形AECF的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE//CF
∵AF⊥CD，CE⊥AB
∴∠E=∠F=90°
∴∠EAF=∠FCE=90°
∴四边形AECF是矩形
（2）∵ ABCD，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
设AB=x
根据勾股定理：
x=5
∴CE=4
∴四边形AECF的周长是24
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)首先利用平行四边形的性质证明AE//CF，进而可知四边形 AECF 的四个内角都是直角，从而说明四边形AECF为矩形；
(2)先证明四边形ABCD是菱形，再设未知数表示AB的长度，利用勾股定理建立方程求解，进而可求 矩形AECF的周长.
23．在二次函数中，
（1）已知该函数图象经过（2，0）求这个二次函数的表达式.
（2）当0（3）如果A（m，a-1）.B（n，b）在该二次函数图象上，且a-b<1，求mn的范围.
【答案】（1）∵二次函数y=ax2-2ax+a-1的图象经过(2，0)，
∴0=4a- 4a+a-1，
解得a=1，
∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x；
（2）∵y = ax2 - 2ax + a - 1 = a(x - 1)2-1，
∴顶点坐标为(1，-1)，恒在x轴下方，
∵当0∴开口向上，即a>0，
需满足：
当x=0时，y=a-1≤0
解得a≤1；
当x=4时，y=9a-1>0
解得a>
综上所述，a的范围为（3）∵A(m，a-1)在该二次函数y=ax2-2ax+a-1的图象上
∴a-1=a(m-1)2-1，
∵a≠0
解得m=0或m=2
∵B(n，b)在该二次函数y=ax2-2ax+a-1的图象上
∴b=a(n-1)2-1，
∵a-b<1
∴
∴a[1-(n-1)2]<0，
当a>0时，则1-(n-1)2<0，
∴ (n – 1)2>1
解得n<0或n>2，
当m=0时，则mn=0；
当m=2时，则mn<0或mn>4；
当a<0时，则1-(n-1)2>0，
∴(n-1)2<1，
解得0<2，
当m=0时，则mn=0；
当m=2时，则0<4；
综上所述，当a>0时，mn≤0或mn>4；当a<0时，.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】(1)将点（2，0）代入函数解析式就能求出a的值，从而可得该二次函数解析式；
(2)将二次函数配方为顶点式可知其顶点坐标和图像位置，进而判断抛物线开口方向并确定a的符号，结合图象在 0(3)分别将A，B坐标代入二次函数解析式，逐一分析各参数的特征，分情况讨论m，n各种可能的组合，进而得出答案。
24．如图，内接于⊙O，，作直径BD，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连接AE.
（1）求证：AB=AE.
（2）若
①求⊙O的半径长.
②在⊙O上取一点F，使得BF=BC，连接AF，求线段AF的长.
【答案】（1）如图，连接CE.
∵∠ABC=90°，
∴AC为直径，
∴∠AEC=90°.
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO.
∵DE∥AC，
∴∠CAE=∠AED.
又∵∠ABO=∠AED，
∴∠BAO=∠CAE.
在△ABC和△AEC中，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB=AE.
（2）①∵∠AED=∠ABD=∠BAC，tan∠AED=，
∴tan∠BAC=
∵AE=AB=8，
∴BC=ABtan∠BAC=6.
在RtΔABC中，
②延长AF，CB交于点G.
∵BF=BC，
∴∠GAB=∠CAB.
在△ABG和△ABC中，
∴△ABG≌△ABC(ASA)，
∴AG=AC=10，BG=BC=BF=6.
∴∠GCA=∠G=∠GFB
在△FBG和△CAG中，
∴△FBG~△CAG，
∵FB=BC=6，
∴FG=CG·BC=7.2，
∴AF=AG-FG=2.8.
【知识点】三角形全等的判定；圆的综合题；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)易证∠AEC=90°，利用等腰三角形的性质可知∠ABO=∠BAO，由平行线的性质可得∠CAE=∠AED，结合圆周角定理的推论可证明∠BAO=∠CAE，再证明△ABC≌△AEC即可得到结论；
(2)①解直角三角形ΔABC可得BC的长度，再利用勾股定理可求直径AC的长度，从而可知半径；
②添加辅助线构造全等三角形△ABG和△ABC，从而可求出AG，BG，BF的长度，同时得到∠G=∠GFB，故可证明△FBG~△CAG，利用相似三角形的性质可求出FB的长度，进而可求 AF的长.
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