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四川省泸州市702教育集团2025年中考三模冲刺数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列各数中，无理数是（　　）
A．0 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是有理数，∴此选项不符合题意；
B、，是无理数，
∴此选项符合题意；
C、，是有理数，
∴此选项不符合题意；
D、，是有理数，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、根据无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”可判断求解；
B、由题意，用平方差公式分解因式，再根据实数的运算法则计算，然后根据无理数的定义可判断求解；
C、由题意，逆用幂的乘方法则计算原式，然后根据无理数的定义可判断求解；
D、同选项B计算，然后根据无理数的定义可判断求解.
2．将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合各选项即可求解.
3．以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（　　）
A．3 B．7 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：∵正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，
∴可以以之为面数构成正多面体的是12．
故答案为：C．
【分析】根据正多面体只有个即可求解．
4．以下各数中，与的值相等的是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵
∴．
故答案为：B．
【分析】根据互余两角三角函数的关系""即可求解．
5．下列运算一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的约分；零指数幂
【解析】【解答】解：A、，，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴选项符合题意；
D、，
∴选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可判断求解；
B、根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”可判断求解；
C、同B可判断求解；
D、根据完全平方公式“a2+2ab+b2=(a+b)2”并结合分式的约分可判断求解.
6．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，那么以下说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
∴此选项不符合题意；
B、由A可得：，
当时，则，
当时，则的大小关系不能明确判断，
∴不正确，
∴此选项不符合题意；
C、∵，
由A可得：，
∴，
∴，
∵，
则
∴此选项符合题意；
D、∵
∴
∴
∵的值与0的关系不知道
∴这个说法不正确，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、由一元二次方程的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解；
B、由题意，分两种情况：当时，当时，并结合A的结论即可判断求解；
C、由幂的乘方的运算，并结合A的结论和不等式的性质即可判断求解；
D、结合A的结论和不等式的性质即可判断求解.
7．不等式的解集为（　　）
A．或
B．或
C．或或
D．或
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵
∴
则
∴
令，
当时，则
则，
∵，
∴函数开口向下，
∴当时，，
当或时，，
令，
当，则，
∴或或，
∴当时，则，
此时，
∴当时，则，
此时，
∴当时，则，
此时，
∴当时，则，
此时，
∴当时，则
当，此时或且，
即或；
或当时，则或且或
即，
故答案为：C．
【分析】先整理式子得，分别对分子和分母进行分析，则令，则函数开口向下，且运用公式法算出函数与x轴的交点坐标，结合图象性质可得：当时，；当或时，，再令，当，则，求出或或，然后分类讨论，即可求解．
8．若一次函数的图像经过第一，二，三象限，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图像经过第一，二，三象限，
∴函数图象与y轴相交于y轴正半轴，
即当x=0时，y=b>0，
故答案为： A.
【分析】根据题意可画出函数图象，由直线与y轴相交于y轴正半轴可判断b的范围．
9．是一种矩形的纸张的大小标准，将纸沿长边中点连线对折后，长宽比不变，则纸的长宽比的比值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设的长为，宽为，
则原来的长宽比为：，
将纸沿长边中点连线对折后，
原来的长变为现在的宽，原来的宽变为现在的长，
则现在的长宽比为：，
由于长宽比不变，
即，
即，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】由题意，设的长为，宽为，分别将前后的长宽比表示出来，根据长宽比不变可得关于a、b的等式，整理即可求解．
10．已知圆的半径为5，点在圆外，和是圆的两条切线，切点分别为和．若，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
和是圆的两条切线，
，
在Rt△PAO和Rt△PBO中
，
，
，
，
，
，
则四边形的面积为．
故答案为：A．
【分析】连接，由题意，用HL定理可证明，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据度所对直角边等于斜边的一半得PO=2OA求出PO的值，在Rt△POA中，用勾股定理求出AP的值，再根据S四边形PAOB=2S△POA即可计算即可求解．
11．已知函数在时与轴有且仅有一个公共点，则参数的取值范围是（　　）
A．或或 B．或或
C．或 D．或或
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，函数为，图象经过第一、二、四象限，与x轴交点在x轴正半轴，符合题意；
当时，，
解得：，
当时，对称轴为直线，符合题意；
当，对称轴为直线，不符合题意；
当时，如图：
对称轴在轴左侧，且当时，函数值小于0，
∴，
解得：；
当时，对称轴，函数值大于0恒成立，符合题意，如图：
综上可得：或或，
故答案为：A．
【分析】由题意分类讨论，①当时，此时为一次函数，根据一次函数的图象与轴有且仅有一个公共点可知符合题意；当时，为二次函数，与轴有且仅有一个公共点，根据可得关于a的不等式，解不等式求出的范围，再进行检验即可判断；②当和，看与y轴的交点位置即可求解．
12．已知点满足关系式，则点到原点的距离平方最小时的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：根据题意得到点到原点的距离平方，
，
，
将代入得，
，
当时，
有最小值，此时，
点到原点的距离平方最小时的坐标为．
故答案为：B．
【分析】根据题意得到点到原点的距离平方，将代入，可得d与之间的二次函数关系式，根据抛物线的对称轴x=计算并结合二次函数的性质即可求解．
二、填空题（共4空，每空3分，共12分）
13．函数的定义域为　 　．
【答案】或
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得：，
或，
故答案为：或．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件“被开方式非负”和分母不为0可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
14．两盒子中装有若干除颜色不同外其余特征都相同的白球和黄球，其中A盒中有3个白球、2个黄球，B盒中有2个白球、4个黄球．现在将这两个盒子中的求全部倒入另一个不透明盒子中，然后从中随机摸出一个球．摸出白球的概率为　 　．如果摸出的是黄球，则该球来自A盒的概率为　 　．
【答案】；
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中随机摸出一个球．摸出白球的概率为，
从中随机摸出一个球．摸出黄球的概率为，
摸出的球是黄球且来自盒的概率为，
故如果摸出的是黄球，则该球来自A盒的概率为．
故答案为：，．
【分析】由题意，根据概率公式计算即可求解．
15．已知，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴=．
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系"若关于的一元二次方程的两个实数根为，，则，"可得，，将所求代数式变形为，然后整体代换即可求解．
三、解答题（共3小题，16，17题每小题6分，18题7分，共19分）
16．计算：．
【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin30°=，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得20250=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（-2）-2=1，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
17．化简：．
【答案】解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】先把分子去括号展开，再用平方差公式及十字相乘法分解因式，最后约分即可求解．
18．如图，在中，，，是的中点，为边上一点且满足．将线段绕点顺时针旋转得到，连接．求证：．
【答案】证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据旋转的性质得，，再根据平角的性质求出，由角的和差可得，再由中点的性质得，然后用边角边可证明．
四、解答题（共3小题，19题8分，20题9分，共17分）
19．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
【答案】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元.
（2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，
由题意得，，
解得，
∵m为整数，
∴m的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据“ 购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据“ 满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元 ”列出不等式组，再求解即可.
（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
（2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，
由题意得，，
解得，
∵m为整数，
∴m的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件．
20．某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如表．
甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18
乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17
根据数据整理成以下不完整的数据表格
苗高分组 甲种小麦频数 　 统计量 甲 乙
　 平均数
　 众数 14
　 中位数 13
　 方差
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1）　 　，　 　．
（2）　 　，　 　．
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是 （填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：cm）的株数.
【答案】（1）2；4
（2）13.5；13
（3）解：乙
（株），
答：估计苗高在的株数为株．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由表格可知，，
故答案为：；
（2）解：将甲种株小麦的苗高按照从小到大的顺序进行排列，排在第和第的苗高为，
，
由表格可知，，
故答案为：，；
（3）解：甲种小麦的方差大于乙种小麦的方差，
甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；
故答案为：乙；
【分析】
（1）由表格中记录的数据可求解；
（2）根据中位数和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求解；
（3）根据方差的意义“方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立”进行判断，再用样本估计整体计算可求解．
（1）解：由表格可知，，
故答案为：；
（2）解：将甲种株小麦的苗高按照从小到大的顺序进行排列，排在第和第的苗高为，
，
由表格可知，，
故答案为：，；
（3）解：甲种小麦的方差大于乙种小麦的方差，
甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；
故答案为：乙；
（株），
故估计苗高在的株数为株．
五、解答题（共3小题，每小题12分，共36分）
21．已知反比例函数，及两定点，．
（1）设是反比例函数图象上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值．
（2）设直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，．
（2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率．
（2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值．
【答案】（1）证明：∵是反比例函数图像上任意一点，
∴设，
∵，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，即该定值为2
（2）解：（2.1）设直线解析式为，，，
∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
联立
整理得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时，
即线段长度的最小值为，
∵直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，，
∴，
∴，
∴；
答： 线段长度的最小值为，此时直线的斜率为-1；
（2.2）设直线解析式为，，，
联立
整理得，，
∴，，
∵当时，，则，
当时，，
解得，
则，，
∴
，
∴，即该定值为0
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）设，根据两点间的距离公式将、用含m的代数式表示出来，再求出，，然后由计算即可求解；
（2）（2.1）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得关于x的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后根据求最小值即可；
（2.2）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得到，得到，再求出，，最后表示出，整理后代入计算即可求解．
（1）证明：∵是反比例函数图像上任意一点，
∴设，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴固定不变；
（2）解：（2.1）设直线解析式为，，，
∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
联立整理得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时，即线段长度的最小值为，
∵直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，，
∴，
∴，
∴；
（2.2）设直线解析式为，，，
联立整理得，，
∴，，
∵当时，，则，
当时，，解得，则，，
∴
，
∴固定不变．
22．如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于．
（1）求证：．
（2）设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）．
（2.1）求证：．
（2.2）求证：．
【答案】（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
（2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
；
（2.2）证明：根据题意作图如下：
连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
于，于，
，
，
，
于，于，
，
，
，
，
，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）通过连接并延长，交于，连接，，，，利用垂径定理和圆周角定理、圆心角定理及三角形中位线的性质可求解；
（2）（2.1）构造直径，利用圆周角定理得到直角三角形，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将比例式化为乘积式可求解；
（2.2）连接DQ，根据圆内接四边形的性质得，结合已知，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，同理可证明，得，将两个笔试整理即可求解得．
（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
；
（2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
；
（2.2）证明：根据题意作图如下：
连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
于，于，
，
，
，
于，于，
，
，
，
，
，
．
23．已知二次函数．
（1）若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值．
（2）若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）．
①若，点是二次函数图象上一点，且介于点，之间，求的最大值．
②已知定点，求证．
【答案】（1）解：二次函数上的点恒成立不等式，
∴
∴
∴，
∴a的最小值为
（2）解：①，
，
，
，
联立直线和抛物线，得到
解得，，
当时，，那么
当时，，那么
过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，如图所示：
时，有最大值，最大值为，
此时，且介于点，之间，符合题意；
的最大值为；
②证明：设点，，作轴于，作轴于，如图所示：
联立直线和抛物线，得到
，
，
，
，
【知识点】二次函数的最值；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由题意可知，，即，由可知，与轴的交点最多为1个时，不等式恒成立，根据判别式b2-4ac≤0可得关于a的不等式，解不等式即可求解；
（2）①将直线与抛物线的解析式联立解方程组，可求得点和的坐标，过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，通过，表示出，从而得到的最大值；
②设点，，作轴于，作轴于，联立直线和抛物线，得到，通过根与系数的关系，得到，，，通过计算可知，，得到，利用，，可知，于是结论可求解．
（1）二次函数上的点恒成立不等式，
∴
∴
∴
（2）解：①，
，
，
，
联立直线和抛物线，得到
解得，，
当时，，那么
当时，，那么
过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，如图所示：
时，有最大值，最大值为，
此时，且介于点，之间，符合题意；
的最大值为；
②证明：设点，，作轴于，作轴于，如图所示：
联立直线和抛物线，得到
，
，
，
，
1 / 1四川省泸州市702教育集团2025年中考三模冲刺数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列各数中，无理数是（　　）
A．0 B．
C． D．
2．将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（　　）
A．3 B．7 C．12 D．16
4．以下各数中，与的值相等的是（　　）
A．1 B． C． D．
5．下列运算一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，那么以下说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．不等式的解集为（　　）
A．或
B．或
C．或或
D．或
8．若一次函数的图像经过第一，二，三象限，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．是一种矩形的纸张的大小标准，将纸沿长边中点连线对折后，长宽比不变，则纸的长宽比的比值为（　　）
A． B． C． D．2
10．已知圆的半径为5，点在圆外，和是圆的两条切线，切点分别为和．若，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．已知函数在时与轴有且仅有一个公共点，则参数的取值范围是（　　）
A．或或 B．或或
C．或 D．或或
12．已知点满足关系式，则点到原点的距离平方最小时的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共4空，每空3分，共12分）
13．函数的定义域为　 　．
14．两盒子中装有若干除颜色不同外其余特征都相同的白球和黄球，其中A盒中有3个白球、2个黄球，B盒中有2个白球、4个黄球．现在将这两个盒子中的求全部倒入另一个不透明盒子中，然后从中随机摸出一个球．摸出白球的概率为　 　．如果摸出的是黄球，则该球来自A盒的概率为　 　．
15．已知，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
三、解答题（共3小题，16，17题每小题6分，18题7分，共19分）
16．计算：．
17．化简：．
18．如图，在中，，，是的中点，为边上一点且满足．将线段绕点顺时针旋转得到，连接．求证：．
四、解答题（共3小题，19题8分，20题9分，共17分）
19．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
20．某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如表．
甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18
乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17
根据数据整理成以下不完整的数据表格
苗高分组 甲种小麦频数 　 统计量 甲 乙
　 平均数
　 众数 14
　 中位数 13
　 方差
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1）　 　，　 　．
（2）　 　，　 　．
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是 （填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：cm）的株数.
五、解答题（共3小题，每小题12分，共36分）
21．已知反比例函数，及两定点，．
（1）设是反比例函数图象上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值．
（2）设直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，．
（2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率．
（2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值．
22．如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于．
（1）求证：．
（2）设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）．
（2.1）求证：．
（2.2）求证：．
23．已知二次函数．
（1）若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值．
（2）若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）．
①若，点是二次函数图象上一点，且介于点，之间，求的最大值．
②已知定点，求证．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是有理数，∴此选项不符合题意；
B、，是无理数，
∴此选项符合题意；
C、，是有理数，
∴此选项不符合题意；
D、，是有理数，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、根据无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”可判断求解；
B、由题意，用平方差公式分解因式，再根据实数的运算法则计算，然后根据无理数的定义可判断求解；
C、由题意，逆用幂的乘方法则计算原式，然后根据无理数的定义可判断求解；
D、同选项B计算，然后根据无理数的定义可判断求解.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合各选项即可求解.
3．【答案】C
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：∵正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，
∴可以以之为面数构成正多面体的是12．
故答案为：C．
【分析】根据正多面体只有个即可求解．
4．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵
∴．
故答案为：B．
【分析】根据互余两角三角函数的关系""即可求解．
5．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的约分；零指数幂
【解析】【解答】解：A、，，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴选项符合题意；
D、，
∴选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可判断求解；
B、根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”可判断求解；
C、同B可判断求解；
D、根据完全平方公式“a2+2ab+b2=(a+b)2”并结合分式的约分可判断求解.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
∴此选项不符合题意；
B、由A可得：，
当时，则，
当时，则的大小关系不能明确判断，
∴不正确，
∴此选项不符合题意；
C、∵，
由A可得：，
∴，
∴，
∵，
则
∴此选项符合题意；
D、∵
∴
∴
∵的值与0的关系不知道
∴这个说法不正确，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、由一元二次方程的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解；
B、由题意，分两种情况：当时，当时，并结合A的结论即可判断求解；
C、由幂的乘方的运算，并结合A的结论和不等式的性质即可判断求解；
D、结合A的结论和不等式的性质即可判断求解.
7．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵
∴
则
∴
令，
当时，则
则，
∵，
∴函数开口向下，
∴当时，，
当或时，，
令，
当，则，
∴或或，
∴当时，则，
此时，
∴当时，则，
此时，
∴当时，则，
此时，
∴当时，则，
此时，
∴当时，则
当，此时或且，
即或；
或当时，则或且或
即，
故答案为：C．
【分析】先整理式子得，分别对分子和分母进行分析，则令，则函数开口向下，且运用公式法算出函数与x轴的交点坐标，结合图象性质可得：当时，；当或时，，再令，当，则，求出或或，然后分类讨论，即可求解．
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图像经过第一，二，三象限，
∴函数图象与y轴相交于y轴正半轴，
即当x=0时，y=b>0，
故答案为： A.
【分析】根据题意可画出函数图象，由直线与y轴相交于y轴正半轴可判断b的范围．
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设的长为，宽为，
则原来的长宽比为：，
将纸沿长边中点连线对折后，
原来的长变为现在的宽，原来的宽变为现在的长，
则现在的长宽比为：，
由于长宽比不变，
即，
即，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】由题意，设的长为，宽为，分别将前后的长宽比表示出来，根据长宽比不变可得关于a、b的等式，整理即可求解．
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
和是圆的两条切线，
，
在Rt△PAO和Rt△PBO中
，
，
，
，
，
，
则四边形的面积为．
故答案为：A．
【分析】连接，由题意，用HL定理可证明，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据度所对直角边等于斜边的一半得PO=2OA求出PO的值，在Rt△POA中，用勾股定理求出AP的值，再根据S四边形PAOB=2S△POA即可计算即可求解．
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，函数为，图象经过第一、二、四象限，与x轴交点在x轴正半轴，符合题意；
当时，，
解得：，
当时，对称轴为直线，符合题意；
当，对称轴为直线，不符合题意；
当时，如图：
对称轴在轴左侧，且当时，函数值小于0，
∴，
解得：；
当时，对称轴，函数值大于0恒成立，符合题意，如图：
综上可得：或或，
故答案为：A．
【分析】由题意分类讨论，①当时，此时为一次函数，根据一次函数的图象与轴有且仅有一个公共点可知符合题意；当时，为二次函数，与轴有且仅有一个公共点，根据可得关于a的不等式，解不等式求出的范围，再进行检验即可判断；②当和，看与y轴的交点位置即可求解．
12．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：根据题意得到点到原点的距离平方，
，
，
将代入得，
，
当时，
有最小值，此时，
点到原点的距离平方最小时的坐标为．
故答案为：B．
【分析】根据题意得到点到原点的距离平方，将代入，可得d与之间的二次函数关系式，根据抛物线的对称轴x=计算并结合二次函数的性质即可求解．
13．【答案】或
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得：，
或，
故答案为：或．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件“被开方式非负”和分母不为0可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
14．【答案】；
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中随机摸出一个球．摸出白球的概率为，
从中随机摸出一个球．摸出黄球的概率为，
摸出的球是黄球且来自盒的概率为，
故如果摸出的是黄球，则该球来自A盒的概率为．
故答案为：，．
【分析】由题意，根据概率公式计算即可求解．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴=．
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系"若关于的一元二次方程的两个实数根为，，则，"可得，，将所求代数式变形为，然后整体代换即可求解．
16．【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin30°=，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得20250=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（-2）-2=1，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
17．【答案】解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】先把分子去括号展开，再用平方差公式及十字相乘法分解因式，最后约分即可求解．
18．【答案】证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据旋转的性质得，，再根据平角的性质求出，由角的和差可得，再由中点的性质得，然后用边角边可证明．
19．【答案】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元.
（2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，
由题意得，，
解得，
∵m为整数，
∴m的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据“ 购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据“ 满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元 ”列出不等式组，再求解即可.
（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
（2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，
由题意得，，
解得，
∵m为整数，
∴m的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件．
20．【答案】（1）2；4
（2）13.5；13
（3）解：乙
（株），
答：估计苗高在的株数为株．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由表格可知，，
故答案为：；
（2）解：将甲种株小麦的苗高按照从小到大的顺序进行排列，排在第和第的苗高为，
，
由表格可知，，
故答案为：，；
（3）解：甲种小麦的方差大于乙种小麦的方差，
甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；
故答案为：乙；
【分析】
（1）由表格中记录的数据可求解；
（2）根据中位数和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求解；
（3）根据方差的意义“方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立”进行判断，再用样本估计整体计算可求解．
（1）解：由表格可知，，
故答案为：；
（2）解：将甲种株小麦的苗高按照从小到大的顺序进行排列，排在第和第的苗高为，
，
由表格可知，，
故答案为：，；
（3）解：甲种小麦的方差大于乙种小麦的方差，
甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；
故答案为：乙；
（株），
故估计苗高在的株数为株．
21．【答案】（1）证明：∵是反比例函数图像上任意一点，
∴设，
∵，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，即该定值为2
（2）解：（2.1）设直线解析式为，，，
∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
联立
整理得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时，
即线段长度的最小值为，
∵直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，，
∴，
∴，
∴；
答： 线段长度的最小值为，此时直线的斜率为-1；
（2.2）设直线解析式为，，，
联立
整理得，，
∴，，
∵当时，，则，
当时，，
解得，
则，，
∴
，
∴，即该定值为0
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）设，根据两点间的距离公式将、用含m的代数式表示出来，再求出，，然后由计算即可求解；
（2）（2.1）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得关于x的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后根据求最小值即可；
（2.2）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得到，得到，再求出，，最后表示出，整理后代入计算即可求解．
（1）证明：∵是反比例函数图像上任意一点，
∴设，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴固定不变；
（2）解：（2.1）设直线解析式为，，，
∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
联立整理得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时，即线段长度的最小值为，
∵直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，，
∴，
∴，
∴；
（2.2）设直线解析式为，，，
联立整理得，，
∴，，
∵当时，，则，
当时，，解得，则，，
∴
，
∴固定不变．
22．【答案】（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
（2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
；
（2.2）证明：根据题意作图如下：
连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
于，于，
，
，
，
于，于，
，
，
，
，
，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）通过连接并延长，交于，连接，，，，利用垂径定理和圆周角定理、圆心角定理及三角形中位线的性质可求解；
（2）（2.1）构造直径，利用圆周角定理得到直角三角形，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将比例式化为乘积式可求解；
（2.2）连接DQ，根据圆内接四边形的性质得，结合已知，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，同理可证明，得，将两个笔试整理即可求解得．
（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
；
（2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
；
（2.2）证明：根据题意作图如下：
连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
于，于，
，
，
，
于，于，
，
，
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：二次函数上的点恒成立不等式，
∴
∴
∴，
∴a的最小值为
（2）解：①，
，
，
，
联立直线和抛物线，得到
解得，，
当时，，那么
当时，，那么
过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，如图所示：
时，有最大值，最大值为，
此时，且介于点，之间，符合题意；
的最大值为；
②证明：设点，，作轴于，作轴于，如图所示：
联立直线和抛物线，得到
，
，
，
，
【知识点】二次函数的最值；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由题意可知，，即，由可知，与轴的交点最多为1个时，不等式恒成立，根据判别式b2-4ac≤0可得关于a的不等式，解不等式即可求解；
（2）①将直线与抛物线的解析式联立解方程组，可求得点和的坐标，过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，通过，表示出，从而得到的最大值；
②设点，，作轴于，作轴于，联立直线和抛物线，得到，通过根与系数的关系，得到，，，通过计算可知，，得到，利用，，可知，于是结论可求解．
（1）二次函数上的点恒成立不等式，
∴
∴
∴
（2）解：①，
，
，
，
联立直线和抛物线，得到
解得，，
当时，，那么
当时，，那么
过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，如图所示：
时，有最大值，最大值为，
此时，且介于点，之间，符合题意；
的最大值为；
②证明：设点，，作轴于，作轴于，如图所示：
联立直线和抛物线，得到
，
，
，
，
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