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四川省成都棠湖外国语学校2024-2025学年下学期七年级数学期中考试
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．月季是天津市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B．；
C． D．
3．如图，直线，于点Q，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼
5．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知三角形的两边长分别是1和3，第三边的边长为整数，则这个三角形的周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知与上的点，点，小临同学现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点，连接．他得出结论的根据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．平行于同一条直线的两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．若，，则　 　．
10．在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有6个，且从中棋出白球的概率为，则袋子中白球的个数为　 　．
11．如果，那么　 　．
12．如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是　 　．
13．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点，分别落在点，的位置，与相交于点，若，则　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．计算：
（1）
（2）；
15．先化简，再求值：，其中，．
16．如图，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．小明和小颖拿这个骰子玩游戏；
（1）若随机将这枚骰子掷出后，数字“6”朝上的概率为_______；
（2）小明和小颖约定，掷出的数字是奇数时，小明胜；掷出的数字是偶数时，小颖胜；请你通过计算判断此游戏规则公平吗？
17．完成下面推理过程：
已知：AB∥CD，连AD交BC于点F，∠1＝∠2．
求证：∠B+∠CDE＝180°
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠1＝　 　（　 　）
∴∠BFD＝∠2（　 　）
∴BC∥　 　（　 　）
∴∠C+　 　＝180°（　 　）
又∵AB∥CD
∴∠B＝∠C（　 　）
∴∠B+∠CDE＝180°
18．如图1，，的平分线交于点G，．
（1）试说明：；
（2）如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分；
（3）如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在大题卡上）
19．已知的展开式不含项，项的系数为，则　 　．
20．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是　 　．
21．某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是　 　．
22．如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则　 　°．
23．如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为：第二次操作，分别延长至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为，……按此规律继续下去，可得到则其面积　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴，
，
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
类比应用：
（2）若，，求的值．
25．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”．
（1）如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由；
（2）已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数．
①当时，如果是的“相邻增项式”，求的值．
②设，若关于的整式中不含的二次项，是否存在的值，使得整式是整式的“相邻增项式”
26．已知直线，点E和点F分别在直线和上．
（1）如图1，射线平分 交于点G，若，求的度数；
（2）如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，A错误；
、，B错误；
、，C正确；
、，D错误．
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据同底数幂的除法法则可判断B；根据积的乘方法则可判断C；根据合并同类项可判断D．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，当原数的绝对值时，是负整数，由此即可作答．
3．【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：C．
【分析】先根据垂直定义得，再根据三角形内角和定理求得，最后根据两直线平行，内错角相等求出即可．
4．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、水涨船高，是必然事件，A错误；
B、水中捞月，是不可能事件，B错误；
C、守株待兔，是随机事件，C正确；
D、缘木求鱼，是不可能事件，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据事件的分类逐一判断即可．
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，A不符合题意；
B、（ x＋y）（x y）＝ ，不符合平方差公式的特点，B不符合题意；
C、（2x y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，C符合题意；
D、（ x y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式判断各选项即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为，由题意得：，
即：，
∵第三边的边长为整数，
∴，
∴这个三角形的周长为，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的长度，再计算周长即可．
7．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，A错误；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，B错误；
C、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，C正确；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短和两点之间线段最短的特点分析即可．
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可得，
∴，
根据是内错角相等，两直线平行，
故答案为：B．
【分析】先根据作图得到，再根据平行线的判定：内错角相等，两直线平行写出即可．
9．【答案】20
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：20．
【分析】
利用同底数幂的乘法法则的逆运算变形后代入计算即可.
10．【答案】12
【知识点】解分式方程；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设白球的个数为x个，
由题意得：，
解得：，
经检验：是方程的根，
∴白球的个数为12个；
故答案为：12．
【分析】根据概率公式列出方程求解即可．
11．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】先根据多项式乘多项式计算法则展开(x-3)(x+1)，再根据对应系数相等求出m，n，最后代值计算即可．
12．【答案】
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：是的中线，
，
的周长为，
即，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】先根据三角形的中线定义得，再根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可．
13．【答案】110
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵长方形纸片沿折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：110．
【分析】先根据折叠的性质得到，再根据邻补角得到∠DEF，最后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先计算绝对值，乘方，零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的加减计算即可；
（2）先计算同底数幂的乘法，积的乘方、幂的乘方，再合并同类项即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
15．【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据乘法公式计算，然后合并同类项运算括号，再利用多项式除以单项式化简，再代入a、b的值计算．
16．【答案】（1）
（2）解：由题意可得，数字是奇数的面有：（面），数字是偶数的面有：（面），
∴，，
∵，
∴此游戏规则不公平．
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，数字“6”朝上的面数为：（面），∴数字“6”朝上的概率为：，
故答案为：；
【分析】（1）先找出“6”朝上的面数，再根据概率=“6”朝上的面数÷总面数计算即可；
（2）先求出所有的奇数的面数和偶数的面数，再分别求出概率，进行比较即可.
（1）解：由题意可得，
数字“6”朝上的面数为：（面），
∴数字“6”朝上的概率为：，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，
数字是奇数的面有：（面），数字是偶数的面有：（面），
∴，，
∵，
∴此游戏规则不公平．
17．【答案】∠BFD，对顶角相等，等量代换，DE，同位角相等，两直线平行，∠CDE，两直线平行 ，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：∵∠1=∠2 ( 已知 )
∠1= ∠BFD ( 对顶角相等 )
∴∠BFD=∠2( 等量代换 )
∴BC//DE( 同位角相等，两直线平行)
∴∠C+ ∠CDE=180° (两直线平行 ，同旁内角互补)
又∵AB//CD
∴∠B=∠C (两直线平行，内错角相等 )
∴∠B+∠CDE=180°
【分析】
首先利用对顶角和已知条件证明角相等，进而判定直线平行，再利用平行线的性质得出角互补，最后利用等量代换即可证明.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作于，
，
由（1）已证：，
，即，
又，
，
，
又∵，
∴平分．
（3）解：设，
∵，
∴，，
，
，
由（1）已得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在的下方时，
∴，
，
∴；
②如图，当点在的上方时，
∴，
，
∴；
综上，的值是5或．

【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可证；
（2）过点作于，先根据平行线的性质可得，从而可得，则，再根据角平分线的定义即可证平分；
（3）设，则，，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后分①点在的下方和②点在的上方两种情况，根据角的和差可得和的值，由此即可得的值是5或．
19．【答案】解：，由题意，得：，∴，∴；故答案为：．
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再根据x项的系数为0，项的系数为，列出二元一次方程组，求解即可．
20．【答案】
【知识点】三角形的面积；几何概率
【解析】【解答】解：由题意可知，整个网格的面积为，
的面积为，
则向正方形网格中投针，落在内部的概率是，
故答案为：．
【解析】
先求出正方形的总面积，再求出的面积，最后根据几何概型的概率公式计算即可．
21．【答案】2024
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
又∵
∴，
即“？”处的数字是2024，
故答案为：2024．
【分析】先根据幂的乘方和多项式除以多项式，单项式乘单项式的运算法则化简，再找出规律，写出结果即可．
22．【答案】30
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作，则，
∴， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30．
【分析】本题以平行线为背景，综合考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角定理、垂直定义及三角形内角和定理。解题的关键是过点 P 作平行线 PQ AB，从而将AEP 与 CFP 联系起来，并用含 FPG 的式子表示相关角。通过已知条件 DGP -PFH = 120°和 FH PG，结合三角形外角性质和内角和定理，逐步推导出CFP 与FPG 的关系，最后代入AEP = 2 FPG -CFP 求得结果。
23．【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵的面积是1，，
∴的面积是的面积的2倍，则的面积是2，
同理，的面积是面积的2倍，则的面积是4，
∴的面积是6，
同理，和的面积都是6，
∴的面积是19，
即的面积是的面积的19倍，
同理的面积是的面积的19倍，即的面积为，
依此类推，面积．
故答案为：．
【分析】根据等底的三角形高的比等于面积比推出即可．
24．【答案】解：（1）∵，，
∴，，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】本题以完全平方公式为背景，考查公式的变形应用。
（1）已知 x+y 和 xy，利用 (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 ，移项得 x2 + y2 = (x+y)2 - 2xy，代入计算即可。
（2）已知 x+y 和 x2 + y2 ，同样利用完全平方公式变形得 2xy = (x+y)2 - (x2 + y2 )，从而求出 xy。
25．【答案】（1）解：是，理由如下：
根据题意可得：，
的项数正好比的项数多1，
是的“相邻增项式”．
（2）解：①当时，，
∵是的“相邻增项式”，
∴或，
解得：或．
②不存在，
∵，
∴，
由于关于的整式中不含的二次项，
∴，解得：，
，
∴
当，即时，，而，故不符合题意，舍；
当，即时，，而，故不符合题意，舍
综上所述， 故不存在．
【知识点】多项式乘多项式；一元一次方程的其他应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则计算，再根据“相邻增项式”的定义判断即可．
（2）①先根据多项式乘多项式法则计算，再根据“相邻增项式”的定义得出一元一次方程求解即可；
②先根据多项式乘多项式法则计算D，再根据不含的二次项，得出关于m的一元一次方程求出m，进而得出，再计算求解即可．
（1）解：是，理由如下：
根据题意可得：，
的项数正好比的项数多1，
是的“相邻增项式”．
（2）解：①当时，，
∵是的“相邻增项式”，
∴或，
解得：或．
②不存在，
∵，
∴，
由于关于的整式中不含的二次项，
∴，解得：，
，
∴
当，即时，，而，故不符合题意，舍；
当，即时，，而，故不符合题意，舍
综上所述， 故不存在．
26．【答案】（1）解：∵，，∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
（2）解：，
理由如下：过点H作，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，；
∵，
∴，
∴．
∴．
（3）t的值为25或115
【知识点】三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（3）由（1）知，，
∴．
如备用图1，当与共线前，
∵，
∴，
∴，
解得；
如备用图2，当与共线后，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上可知，t的值为25或115．
【分析】本题以平行线为背景，综合考查了平行线的性质、角平分线的定义、角度和差关系以及动态几何中的分类讨论思想。
（1）由 ABCD 和 BEF = 130° 得CFE = 130°，根据角平分线定义求出CFG = 65°，再利用平行线内错角相等得到 EGF = 65°。
（2）过点 H 作 HKCD，利用平行线的性质将GHE 分解为两个角之差，再结合角平分线定义分别表示出MEF 与 GHE，通过代数运算得出MEF = 2 GHE。
（3）根据（1）的结果求出初始角度，分 AG 与 EF 平行前和平行后两种情况，利用平行时同位角或内错角相等列出关于时间 t 的方程，分别求解并验证合理性。
1 / 1四川省成都棠湖外国语学校2024-2025学年下学期七年级数学期中考试
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，A错误；
、，B错误；
、，C正确；
、，D错误．
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据同底数幂的除法法则可判断B；根据积的乘方法则可判断C；根据合并同类项可判断D．
2．月季是天津市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B．；
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，当原数的绝对值时，是负整数，由此即可作答．
3．如图，直线，于点Q，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：C．
【分析】先根据垂直定义得，再根据三角形内角和定理求得，最后根据两直线平行，内错角相等求出即可．
4．下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、水涨船高，是必然事件，A错误；
B、水中捞月，是不可能事件，B错误；
C、守株待兔，是随机事件，C正确；
D、缘木求鱼，是不可能事件，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据事件的分类逐一判断即可．
5．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，A不符合题意；
B、（ x＋y）（x y）＝ ，不符合平方差公式的特点，B不符合题意；
C、（2x y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，C符合题意；
D、（ x y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式判断各选项即可得出答案。
6．已知三角形的两边长分别是1和3，第三边的边长为整数，则这个三角形的周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为，由题意得：，
即：，
∵第三边的边长为整数，
∴，
∴这个三角形的周长为，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的长度，再计算周长即可．
7．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，A错误；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，B错误；
C、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，C正确；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短和两点之间线段最短的特点分析即可．
8．如图，已知与上的点，点，小临同学现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点，连接．他得出结论的根据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．平行于同一条直线的两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【知识点】平行线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可得，
∴，
根据是内错角相等，两直线平行，
故答案为：B．
【分析】先根据作图得到，再根据平行线的判定：内错角相等，两直线平行写出即可．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．若，，则　 　．
【答案】20
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：20．
【分析】
利用同底数幂的乘法法则的逆运算变形后代入计算即可.
10．在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有6个，且从中棋出白球的概率为，则袋子中白球的个数为　 　．
【答案】12
【知识点】解分式方程；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设白球的个数为x个，
由题意得：，
解得：，
经检验：是方程的根，
∴白球的个数为12个；
故答案为：12．
【分析】根据概率公式列出方程求解即可．
11．如果，那么　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】先根据多项式乘多项式计算法则展开(x-3)(x+1)，再根据对应系数相等求出m，n，最后代值计算即可．
12．如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：是的中线，
，
的周长为，
即，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】先根据三角形的中线定义得，再根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可．
13．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点，分别落在点，的位置，与相交于点，若，则　 　．
【答案】110
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵长方形纸片沿折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：110．
【分析】先根据折叠的性质得到，再根据邻补角得到∠DEF，最后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．计算：
（1）
（2）；
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先计算绝对值，乘方，零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的加减计算即可；
（2）先计算同底数幂的乘法，积的乘方、幂的乘方，再合并同类项即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
15．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据乘法公式计算，然后合并同类项运算括号，再利用多项式除以单项式化简，再代入a、b的值计算．
16．如图，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．小明和小颖拿这个骰子玩游戏；
（1）若随机将这枚骰子掷出后，数字“6”朝上的概率为_______；
（2）小明和小颖约定，掷出的数字是奇数时，小明胜；掷出的数字是偶数时，小颖胜；请你通过计算判断此游戏规则公平吗？
【答案】（1）
（2）解：由题意可得，数字是奇数的面有：（面），数字是偶数的面有：（面），
∴，，
∵，
∴此游戏规则不公平．
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，数字“6”朝上的面数为：（面），∴数字“6”朝上的概率为：，
故答案为：；
【分析】（1）先找出“6”朝上的面数，再根据概率=“6”朝上的面数÷总面数计算即可；
（2）先求出所有的奇数的面数和偶数的面数，再分别求出概率，进行比较即可.
（1）解：由题意可得，
数字“6”朝上的面数为：（面），
∴数字“6”朝上的概率为：，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，
数字是奇数的面有：（面），数字是偶数的面有：（面），
∴，，
∵，
∴此游戏规则不公平．
17．完成下面推理过程：
已知：AB∥CD，连AD交BC于点F，∠1＝∠2．
求证：∠B+∠CDE＝180°
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠1＝　 　（　 　）
∴∠BFD＝∠2（　 　）
∴BC∥　 　（　 　）
∴∠C+　 　＝180°（　 　）
又∵AB∥CD
∴∠B＝∠C（　 　）
∴∠B+∠CDE＝180°
【答案】∠BFD，对顶角相等，等量代换，DE，同位角相等，两直线平行，∠CDE，两直线平行 ，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：∵∠1=∠2 ( 已知 )
∠1= ∠BFD ( 对顶角相等 )
∴∠BFD=∠2( 等量代换 )
∴BC//DE( 同位角相等，两直线平行)
∴∠C+ ∠CDE=180° (两直线平行 ，同旁内角互补)
又∵AB//CD
∴∠B=∠C (两直线平行，内错角相等 )
∴∠B+∠CDE=180°
【分析】
首先利用对顶角和已知条件证明角相等，进而判定直线平行，再利用平行线的性质得出角互补，最后利用等量代换即可证明.
18．如图1，，的平分线交于点G，．
（1）试说明：；
（2）如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分；
（3）如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作于，
，
由（1）已证：，
，即，
又，
，
，
又∵，
∴平分．
（3）解：设，
∵，
∴，，
，
，
由（1）已得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在的下方时，
∴，
，
∴；
②如图，当点在的上方时，
∴，
，
∴；
综上，的值是5或．

【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可证；
（2）过点作于，先根据平行线的性质可得，从而可得，则，再根据角平分线的定义即可证平分；
（3）设，则，，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后分①点在的下方和②点在的上方两种情况，根据角的和差可得和的值，由此即可得的值是5或．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在大题卡上）
19．已知的展开式不含项，项的系数为，则　 　．
【答案】解：，由题意，得：，∴，∴；故答案为：．
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再根据x项的系数为0，项的系数为，列出二元一次方程组，求解即可．
20．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；几何概率
【解析】【解答】解：由题意可知，整个网格的面积为，
的面积为，
则向正方形网格中投针，落在内部的概率是，
故答案为：．
【解析】
先求出正方形的总面积，再求出的面积，最后根据几何概型的概率公式计算即可．
21．某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是　 　．
【答案】2024
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
又∵
∴，
即“？”处的数字是2024，
故答案为：2024．
【分析】先根据幂的乘方和多项式除以多项式，单项式乘单项式的运算法则化简，再找出规律，写出结果即可．
22．如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则　 　°．
【答案】30
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作，则，
∴， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30．
【分析】本题以平行线为背景，综合考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角定理、垂直定义及三角形内角和定理。解题的关键是过点 P 作平行线 PQ AB，从而将AEP 与 CFP 联系起来，并用含 FPG 的式子表示相关角。通过已知条件 DGP -PFH = 120°和 FH PG，结合三角形外角性质和内角和定理，逐步推导出CFP 与FPG 的关系，最后代入AEP = 2 FPG -CFP 求得结果。
23．如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为：第二次操作，分别延长至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为，……按此规律继续下去，可得到则其面积　 　．
【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵的面积是1，，
∴的面积是的面积的2倍，则的面积是2，
同理，的面积是面积的2倍，则的面积是4，
∴的面积是6，
同理，和的面积都是6，
∴的面积是19，
即的面积是的面积的19倍，
同理的面积是的面积的19倍，即的面积为，
依此类推，面积．
故答案为：．
【分析】根据等底的三角形高的比等于面积比推出即可．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴，
，
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
类比应用：
（2）若，，求的值．
【答案】解：（1）∵，，
∴，，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】本题以完全平方公式为背景，考查公式的变形应用。
（1）已知 x+y 和 xy，利用 (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 ，移项得 x2 + y2 = (x+y)2 - 2xy，代入计算即可。
（2）已知 x+y 和 x2 + y2 ，同样利用完全平方公式变形得 2xy = (x+y)2 - (x2 + y2 )，从而求出 xy。
25．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”．
（1）如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由；
（2）已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数．
①当时，如果是的“相邻增项式”，求的值．
②设，若关于的整式中不含的二次项，是否存在的值，使得整式是整式的“相邻增项式”
【答案】（1）解：是，理由如下：
根据题意可得：，
的项数正好比的项数多1，
是的“相邻增项式”．
（2）解：①当时，，
∵是的“相邻增项式”，
∴或，
解得：或．
②不存在，
∵，
∴，
由于关于的整式中不含的二次项，
∴，解得：，
，
∴
当，即时，，而，故不符合题意，舍；
当，即时，，而，故不符合题意，舍
综上所述， 故不存在．
【知识点】多项式乘多项式；一元一次方程的其他应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则计算，再根据“相邻增项式”的定义判断即可．
（2）①先根据多项式乘多项式法则计算，再根据“相邻增项式”的定义得出一元一次方程求解即可；
②先根据多项式乘多项式法则计算D，再根据不含的二次项，得出关于m的一元一次方程求出m，进而得出，再计算求解即可．
（1）解：是，理由如下：
根据题意可得：，
的项数正好比的项数多1，
是的“相邻增项式”．
（2）解：①当时，，
∵是的“相邻增项式”，
∴或，
解得：或．
②不存在，
∵，
∴，
由于关于的整式中不含的二次项，
∴，解得：，
，
∴
当，即时，，而，故不符合题意，舍；
当，即时，，而，故不符合题意，舍
综上所述， 故不存在．
26．已知直线，点E和点F分别在直线和上．
（1）如图1，射线平分 交于点G，若，求的度数；
（2）如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1）解：∵，，∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
（2）解：，
理由如下：过点H作，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，；
∵，
∴，
∴．
∴．
（3）t的值为25或115
【知识点】三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（3）由（1）知，，
∴．
如备用图1，当与共线前，
∵，
∴，
∴，
解得；
如备用图2，当与共线后，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上可知，t的值为25或115．
【分析】本题以平行线为背景，综合考查了平行线的性质、角平分线的定义、角度和差关系以及动态几何中的分类讨论思想。
（1）由 ABCD 和 BEF = 130° 得CFE = 130°，根据角平分线定义求出CFG = 65°，再利用平行线内错角相等得到 EGF = 65°。
（2）过点 H 作 HKCD，利用平行线的性质将GHE 分解为两个角之差，再结合角平分线定义分别表示出MEF 与 GHE，通过代数运算得出MEF = 2 GHE。
（3）根据（1）的结果求出初始角度，分 AG 与 EF 平行前和平行后两种情况，利用平行时同位角或内错角相等列出关于时间 t 的方程，分别求解并验证合理性。
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