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四川省遂宁市射洪中学校2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、单选题（共54分）
1．下列方程中，是二元一次方程的有（　　）
①，②，③，④，⑤，⑥
A．1个 B．2个 C．4个 D．6个
2．下列等式的变形不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．选用下列某一种形状的瓷砖密铺地面，不能做到无缝隙且不重叠要求的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
5．下列说法不正确的是（　　）
A．三角形三条中线都在三角形内部
B．三角形的外角和为
C．三角形三条角平分线都在三角形内部
D．三角形三条高都在三角形内部
6．下列线段能构成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．3，3，5 C．1，2，3 D．1，3，62
7．运用加减法解方程组较简单的方法是（　　）
A．先消去x，再解
B．先消去y，再解
C．先消去x，再解
D．三个方程相加得再解
8．下列各图中，正确画出边上的高的图形是（　　）
A． B．
C． D．
9．一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（　　）
A．86 B．68 C．94 D．73
10．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余l尺，问木长多少尺？若设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，点D是边BC延长线上的一点，，，则（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
12． 若一个关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个二元一次方程可能是（　　）
A． B． C． D．
13．在“中国共产党建党百年知识竞赛”中共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．墩墩得分要超过90分，设他答对了x道题，则根据题意可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
14．关于多边形有以下描述：（　　）
①六边形内角和为；
②十二边形每个外角度数均为；
③边形从一个顶点最多可引出条对角线；
④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形．
⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原来这个多边形的边数是．
根据描述判断，其中描述正确的个数有（　　）个．
A． B． C． D．
15．中，，高和高所在直线交于O，则的大小为（　　）
A．或 B．或 C． D．
16．如图，的值等于（　　）
A．360° B．450° C．540° D．720°
17．已知关于x的不等式组给出下列推断：
①当时，不等式组的解集是；
②若不等式组的解集是，则；
③若不等式组无解，则；
④若不等式组的整数解只有，0，1，则．
其中所有正确推断的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
18．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，若△ABC的面积为20，那么阴影部分的面积之和为（　　）
A．15 B．14 C．12 D．10
二、填空题（共18分）
19．已知是关于x的一元一次方程，则　 　．
20．若一个三角形的三边长是3，10，，则化简　 　．
21．的正整数解为　 　．
22．如图，的角平分线交于点O，，则　 　．
23．已知关于，的二元一次方程组，且，则的取值范围是　 　．
24．如图，中，平分的两条高线交于点分别交于两点，平分，下列结论：
①；
②；
③；
④，其中正确的结论有　 　（只填序号）．
三、解答题（共78分）
25．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）解方程组：
26．解不等式组：，将解集表示在数轴上，并写出非负数整数解．
27．如图，在中，点分别在边上，．若，，求的度数．
28．甲、乙两人解方程组：，由于甲看错方程①中的而得到方程组的解为，乙看错子方程②中的b而得到的解为，假如按正确的计算，试求出原方程组的解.
29．关于，的二元一次方程组．
（1）若方程组的解也是二元一次方程的解，求的值；
（2）若方程组的解满足，求的取值范围，并写出的最大负整数解．
30．永辉超市要购进、两种型号的电压力锅，已知购进台和台花费元；购进台和台花费元．
（1）求和两种型号的压力锅每台进价分别是多少元．
（2）为了满足市场需求，超市决定用不超过元采购、两种型号的压力锅共台，且型号压力锅的数量的倍不低于型号压力锅，该商场有几种进货方式．
31．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
【简单应用】
（2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：①是二元一次方程；
②是一元一次方程；
③是二元二次方程；
④是三元一次方程 ；
⑤虽然含有2个未知数，但分母中含有字母，不是整式方程，也就不是二元一次方程 ；
⑥是二元一次方程 .
其中是二元一次方程 有2个.
故答案为：B.
【分析】对照二元一次方程的意义，逐一判断是否是二元一次方程 ，再清点是二元一次方程 的个数.
2．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，等式两边同时加 3 ，则 2a = b ，A不符合题意；
B、，x = y ，等式两边同时除以非零表达式，结果仍相等，B不符合题意；
C、当时，等式两边同时除以0无意义，C符合题意；
D、mx = my ，等式两边同时乘以 -1 得 -mx = -my ，再两边加 1 得 1 - mx = 1 - my ，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质：等式两边同时加减同一个数，结果仍相等；等式两边同时乘除同一个非零数，结果仍相等，逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有C选项符合；
故答案为：C．
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、∵正三角形的一个内角的度数为60°，360÷60=6，∴只需6块正三角形即可密铺地面，∴A不符合题意；
B、∵正方形的一个内角的度数为90°，360÷90=4，∴只需4块正方形即可密铺地面，∴B不符合题意；
C、∵正五边形的一个内角的度数为108°，360÷108=3……36，∴不可密铺地面，∴C符合题意；
D、∵正六边形的一个内角的度数为120°，360÷120=3，∴只需3块正六边形即可密铺地面，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先分别求出正多边形的一个内角，再利用360°÷一个内角的度数，判断结果是否为整数即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线；三角形的外角和
【解析】【解答】解：A、三角形三条中线都在三角形内部，A不符合题意；
B、 三角形的外角和为，B不符合题意；
C、三角形三条角平分线都在三角形内部，C不符合题意；
D. 三角形三条高不一定都在三角形内部，直角三角形的高可以在边上，钝角三角形的高可以在三角形的外部，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中线，平分线，外角和以及高的定义逐一分析即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，A错误；
B、，能构成三角形，B正确；
C、，不能构成三角形，C错误；
D、，不能构成三角形，D错误．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，逐一进行判断即可．
7．【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵第一个方程没有未知数y，故可利用第二、三个方程消去y，再求解关于x，z的二元一次方程组，
故答案为：B.
【分析】根据第一个方程没有y，进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：边上的高为点到直线的距离，即，
故选：D．
【分析】
根据三角形高的定义：“点到直线的距离即为边上的高”，即可求解．
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设十位数字是，个位数字是，
则，
解得，
原来的两位数是，
故选：D．
【分析】
需设十位数字是，个位数字是，由题意原两位数减36等于对调后两位数的关系列方程求解即可．
10．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】依题意可列方程组：
故选C
【分析】由题意，“绳长=木条+4.5”； 对折即为，则有“绳子=木条-1”列出方程组即可.
11．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
【分析】
利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，建立角的数量关系，进而求出度数即可.
12．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 一个关于x，y的二元一次方程组的解为
∴将②变形为3y=-6-t③，
①-③得：x-3y=9；
故答案为：D.
【分析】 把y=-2-t变形为3y=-6-t与x=3-t相减即可得到答案.
13．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设他答对了x道题，则根据题意可列不等式为，
，
故选B．
【分析】
先计算大对题目所得的分数，再计算答错或不答题所扣的分数，根据总得分超过90列不等式即可.
14．【答案】B
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：①当多边形边数为六时，
∵，
∴六边形内角和为，∴①正确；
②多边形外角和360°，但无法确定每个外角的度数∴②错误；
③∵边形从一个顶点最多可引出条对角线，∴③错误；
④设多边形边数为，
∴，
解得，
∴多边形的边数为∴④正确；
⑤设多边形边数为，
∴，
解得，
∴多边形的边数为，
∴一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是或或．∴⑤错误；
综上所述，其中描述的描述正确的个数有①④．
故答案为：B．
【分析】根据多边形内角和公式可判断①；根据不是正多边形可判断②；根据多边形的对角线可判断③；根据多边形内角和和外角和求出边数可判断④；根据多边形的内角和可判断⑤．
15．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式；三角形的高；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况：
当是锐角三角形时，如图所示：
和是高，
，
．
；
当是钝角三角形时，如图所示：
在和中，，，
．
故答案为：A．
【分析】分①是锐角三角形时和是钝角三角形时，两种情况求解即可．
16．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】
利用三角形内角和定理及多边形内角和定理，通过三角形内角和将所求角度转化为四边形内角和来求解即可.
17．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：①当时，不等式组的解集是，①正确；
②若不等式组的解集是，则，②正确；
③若不等式组无解，则，③错误；
④若不等式组的整数解只有，0，1，则，④正确；
故答案为：B．
【分析】根据不等式解集的求法：大小小大中间找，大大小小无处找，逐一分析即可．
18．【答案】D
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵AD，BE，CF是△ABC的三条中线，交于点O，
∴S△AOF＝S△BOF，S△BOD＝S△COD，S△AOE＝S△COE，
∴S阴影＝S△BOF+S△COD+S△AOE＝S△ABC＝×20＝10，
故选：D．
【分析】
先利用三角形中位线分面积相等的性质，确定各小三角形面积与面积关系，再计算阴影部分面积之和.
19．【答案】
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴且，
解得．
故答案为：．
【分析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程且系数不为0，从而求解a的值．
20．【答案】13
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵一个三角形的三边长是3，10，，
∴10－3＜x＜10＋3，
∴7＜x＜13，
∴x－4＞0，x－17＜0，
∴
＝x－4＋17－x
＝13，
故答案为：13．
【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再去化简绝对值，合并同类项化简即可．
21．【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由已知得．
要使都是正整数，必须满足：，是3的倍数．
根据以上两个条件可知，合适的只能是．
故答案为：．
【分析】先将方程变形用x表示出y，再根据都是正整数逐一分析即可．
22．【答案】120
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵的角平分线交于点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：120．
【分析】先根据角平分线的定义求出，进而根据三角形的内角和定理求解即可.
23．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①＋②，得，
，
，
，
，
，
即的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先计算①＋②得出，根据得出关于的一元一次不等式，求解即可．
24．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵分别是的两条高，
∴，
又∵，
∴，即，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
由四边形内角和定理可得，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
根据现有条件无法证明，故③错误，
∴正确的有①②④；
故答案为：①②④．
【分析】
利用高线定义得到直角，结合三角形内角和定理，证明和都等于90°-可判断 ①正确； 利用三角形外角性质，将和分别表示为+和+，结合角平分线和结论 ① 进行验证 ②正确 ；在直角三角形中无法证明=③错误；利用四边形内角和求出和的关系，结合角平分线定义求出，再通过计算和的关系，利用同位角相等即可判定平行.
25．【答案】（1）解：
移项，得
合并同类项，得
解得：；
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得：．
（3）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以5，得．
（4）解：由得，
把代入得，
，
，
把代入得，
∴原方程组的解为
【知识点】解一元一次不等式；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先移项，合并同类项，再系数化为1即可；
（2）先去分母，去分母，去括号，移项，再合并同类项，化系数为1即可；
（3）先去括号，移项，合并同类项，再化系数为1即可；
（4）根据代入消元法解二元一次方程组即可．
（1）解：
移项，得
合并同类项，得
解得：；
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得：．
（3）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以5，得．
（4）解：
由得，
把代入得，
，
，
把代入得，
∴原方程组的解为
26．【答案】解：，解不等式①得，
解不等式②得，
将解集表示在数轴上，
∴该不等式组的非负整数解为和．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别解两个不等式，再根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集，再在数轴上表示出来，找出非负整数解即可．
27．【答案】解：，
，
，
，
，
的度数为．
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】首先根据已知条件利用内错角相等，两直线平行判定DEBC，利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”求出角度即可.
28．【答案】解：∵甲只看错了方程①中的a，∴甲所得到的解为，应满足无a的正确的方程②，即4×（-3）-b×（-1）=-2．③
同理，，应满足正确的方程①，即a×5+5×4=13．④
解由③，④联立的方程组得：，
∴原方程组应为：，
解得：．
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】根据题意将方程的解代入到正确的方程中得到a，b，再代入原方程，利用加减消元法求出方程组的解即可.
29．【答案】（1）解：解方程组．得，
代入，得，
解得：；

（2）解：由（1）得，
代入，得，
解得．
∴的最大负整数解是．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先解二元一次方程组，用含m的代数式表示x、y，代入x-3y=7中求解；
（2）将和代入，然后求出不等式求得m的取值范围，再确定最大负整数解即可．
（1）解：解方程组．得，
代入，得，
解得：；
（2）解：由（1）得，
代入，得，
解得．
∴的最大负整数解是．
30．【答案】（1）解：设型号压力锅的进价为元台，型号压力锅的进价为元台，
依题意得：，
解得：．
答：型号压力锅的进价为元台，型号压力锅的进价为元台．
（2）解：设购进台型号压力锅，则购进台型号压力锅，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取，，，，
该商场有种进货方式．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型号压力锅的进价为元台，型号压力锅的进价为元台，根据总费用=A型的单价×数量+B型的单价×数量，列出关于，的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进台型号压力锅，则购进台型号压力锅，根据“购进型号压力锅的数量的倍不低于型号压力锅，且采购台压力锅时总费用不超过元”，列出关于的一元一次不等式组，求解即可．
（1）解：设型号压力锅的进价为元台，型号压力锅的进价为元台，
依题意得：，
解得：．
答：型号压力锅的进价为元台，型号压力锅的进价为元台．
（2）设购进台型号压力锅，则购进台型号压力锅，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取，，，，
该商场有种进货方式．
31．【答案】证明：（1）在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如图2，
、分别平分，，
，，
由（1）的结论得： ，
①②，得，
；
（3）解：∠P=26°，证明如下：
如图3，
平分的外角，平分的外角，
，，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；加减消元法解二元一次方程组；8字模型
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理证明即可；
（2）先根据角平分线的定义得到，，再利用（1）的结论和角的关系求解即可；
（3）先根据角平分线的定义得到，，再根据邻补角和角的关系求解即可.
1 / 1四川省遂宁市射洪中学校2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、单选题（共54分）
1．下列方程中，是二元一次方程的有（　　）
①，②，③，④，⑤，⑥
A．1个 B．2个 C．4个 D．6个
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：①是二元一次方程；
②是一元一次方程；
③是二元二次方程；
④是三元一次方程 ；
⑤虽然含有2个未知数，但分母中含有字母，不是整式方程，也就不是二元一次方程 ；
⑥是二元一次方程 .
其中是二元一次方程 有2个.
故答案为：B.
【分析】对照二元一次方程的意义，逐一判断是否是二元一次方程 ，再清点是二元一次方程 的个数.
2．下列等式的变形不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，等式两边同时加 3 ，则 2a = b ，A不符合题意；
B、，x = y ，等式两边同时除以非零表达式，结果仍相等，B不符合题意；
C、当时，等式两边同时除以0无意义，C符合题意；
D、mx = my ，等式两边同时乘以 -1 得 -mx = -my ，再两边加 1 得 1 - mx = 1 - my ，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质：等式两边同时加减同一个数，结果仍相等；等式两边同时乘除同一个非零数，结果仍相等，逐一判断即可.
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有C选项符合；
故答案为：C．
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
4．选用下列某一种形状的瓷砖密铺地面，不能做到无缝隙且不重叠要求的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、∵正三角形的一个内角的度数为60°，360÷60=6，∴只需6块正三角形即可密铺地面，∴A不符合题意；
B、∵正方形的一个内角的度数为90°，360÷90=4，∴只需4块正方形即可密铺地面，∴B不符合题意；
C、∵正五边形的一个内角的度数为108°，360÷108=3……36，∴不可密铺地面，∴C符合题意；
D、∵正六边形的一个内角的度数为120°，360÷120=3，∴只需3块正六边形即可密铺地面，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先分别求出正多边形的一个内角，再利用360°÷一个内角的度数，判断结果是否为整数即可.
5．下列说法不正确的是（　　）
A．三角形三条中线都在三角形内部
B．三角形的外角和为
C．三角形三条角平分线都在三角形内部
D．三角形三条高都在三角形内部
【答案】D
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线；三角形的外角和
【解析】【解答】解：A、三角形三条中线都在三角形内部，A不符合题意；
B、 三角形的外角和为，B不符合题意；
C、三角形三条角平分线都在三角形内部，C不符合题意；
D. 三角形三条高不一定都在三角形内部，直角三角形的高可以在边上，钝角三角形的高可以在三角形的外部，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中线，平分线，外角和以及高的定义逐一分析即可．
6．下列线段能构成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．3，3，5 C．1，2，3 D．1，3，62
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，A错误；
B、，能构成三角形，B正确；
C、，不能构成三角形，C错误；
D、，不能构成三角形，D错误．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，逐一进行判断即可．
7．运用加减法解方程组较简单的方法是（　　）
A．先消去x，再解
B．先消去y，再解
C．先消去x，再解
D．三个方程相加得再解
【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵第一个方程没有未知数y，故可利用第二、三个方程消去y，再求解关于x，z的二元一次方程组，
故答案为：B.
【分析】根据第一个方程没有y，进行判断即可.
8．下列各图中，正确画出边上的高的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：边上的高为点到直线的距离，即，
故选：D．
【分析】
根据三角形高的定义：“点到直线的距离即为边上的高”，即可求解．
9．一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（　　）
A．86 B．68 C．94 D．73
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设十位数字是，个位数字是，
则，
解得，
原来的两位数是，
故选：D．
【分析】
需设十位数字是，个位数字是，由题意原两位数减36等于对调后两位数的关系列方程求解即可．
10．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余l尺，问木长多少尺？若设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】依题意可列方程组：
故选C
【分析】由题意，“绳长=木条+4.5”； 对折即为，则有“绳子=木条-1”列出方程组即可.
11．如图，点D是边BC延长线上的一点，，，则（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
【分析】
利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，建立角的数量关系，进而求出度数即可.
12． 若一个关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个二元一次方程可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 一个关于x，y的二元一次方程组的解为
∴将②变形为3y=-6-t③，
①-③得：x-3y=9；
故答案为：D.
【分析】 把y=-2-t变形为3y=-6-t与x=3-t相减即可得到答案.
13．在“中国共产党建党百年知识竞赛”中共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．墩墩得分要超过90分，设他答对了x道题，则根据题意可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设他答对了x道题，则根据题意可列不等式为，
，
故选B．
【分析】
先计算大对题目所得的分数，再计算答错或不答题所扣的分数，根据总得分超过90列不等式即可.
14．关于多边形有以下描述：（　　）
①六边形内角和为；
②十二边形每个外角度数均为；
③边形从一个顶点最多可引出条对角线；
④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形．
⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原来这个多边形的边数是．
根据描述判断，其中描述正确的个数有（　　）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：①当多边形边数为六时，
∵，
∴六边形内角和为，∴①正确；
②多边形外角和360°，但无法确定每个外角的度数∴②错误；
③∵边形从一个顶点最多可引出条对角线，∴③错误；
④设多边形边数为，
∴，
解得，
∴多边形的边数为∴④正确；
⑤设多边形边数为，
∴，
解得，
∴多边形的边数为，
∴一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是或或．∴⑤错误；
综上所述，其中描述的描述正确的个数有①④．
故答案为：B．
【分析】根据多边形内角和公式可判断①；根据不是正多边形可判断②；根据多边形的对角线可判断③；根据多边形内角和和外角和求出边数可判断④；根据多边形的内角和可判断⑤．
15．中，，高和高所在直线交于O，则的大小为（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式；三角形的高；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况：
当是锐角三角形时，如图所示：
和是高，
，
．
；
当是钝角三角形时，如图所示：
在和中，，，
．
故答案为：A．
【分析】分①是锐角三角形时和是钝角三角形时，两种情况求解即可．
16．如图，的值等于（　　）
A．360° B．450° C．540° D．720°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】
利用三角形内角和定理及多边形内角和定理，通过三角形内角和将所求角度转化为四边形内角和来求解即可.
17．已知关于x的不等式组给出下列推断：
①当时，不等式组的解集是；
②若不等式组的解集是，则；
③若不等式组无解，则；
④若不等式组的整数解只有，0，1，则．
其中所有正确推断的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：①当时，不等式组的解集是，①正确；
②若不等式组的解集是，则，②正确；
③若不等式组无解，则，③错误；
④若不等式组的整数解只有，0，1，则，④正确；
故答案为：B．
【分析】根据不等式解集的求法：大小小大中间找，大大小小无处找，逐一分析即可．
18．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，若△ABC的面积为20，那么阴影部分的面积之和为（　　）
A．15 B．14 C．12 D．10
【答案】D
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵AD，BE，CF是△ABC的三条中线，交于点O，
∴S△AOF＝S△BOF，S△BOD＝S△COD，S△AOE＝S△COE，
∴S阴影＝S△BOF+S△COD+S△AOE＝S△ABC＝×20＝10，
故选：D．
【分析】
先利用三角形中位线分面积相等的性质，确定各小三角形面积与面积关系，再计算阴影部分面积之和.
二、填空题（共18分）
19．已知是关于x的一元一次方程，则　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴且，
解得．
故答案为：．
【分析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程且系数不为0，从而求解a的值．
20．若一个三角形的三边长是3，10，，则化简　 　．
【答案】13
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵一个三角形的三边长是3，10，，
∴10－3＜x＜10＋3，
∴7＜x＜13，
∴x－4＞0，x－17＜0，
∴
＝x－4＋17－x
＝13，
故答案为：13．
【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再去化简绝对值，合并同类项化简即可．
21．的正整数解为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由已知得．
要使都是正整数，必须满足：，是3的倍数．
根据以上两个条件可知，合适的只能是．
故答案为：．
【分析】先将方程变形用x表示出y，再根据都是正整数逐一分析即可．
22．如图，的角平分线交于点O，，则　 　．
【答案】120
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵的角平分线交于点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：120．
【分析】先根据角平分线的定义求出，进而根据三角形的内角和定理求解即可.
23．已知关于，的二元一次方程组，且，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①＋②，得，
，
，
，
，
，
即的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先计算①＋②得出，根据得出关于的一元一次不等式，求解即可．
24．如图，中，平分的两条高线交于点分别交于两点，平分，下列结论：
①；
②；
③；
④，其中正确的结论有　 　（只填序号）．
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵分别是的两条高，
∴，
又∵，
∴，即，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
由四边形内角和定理可得，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
根据现有条件无法证明，故③错误，
∴正确的有①②④；
故答案为：①②④．
【分析】
利用高线定义得到直角，结合三角形内角和定理，证明和都等于90°-可判断 ①正确； 利用三角形外角性质，将和分别表示为+和+，结合角平分线和结论 ① 进行验证 ②正确 ；在直角三角形中无法证明=③错误；利用四边形内角和求出和的关系，结合角平分线定义求出，再通过计算和的关系，利用同位角相等即可判定平行.
三、解答题（共78分）
25．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）解方程组：
【答案】（1）解：
移项，得
合并同类项，得
解得：；
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得：．
（3）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以5，得．
（4）解：由得，
把代入得，
，
，
把代入得，
∴原方程组的解为
【知识点】解一元一次不等式；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先移项，合并同类项，再系数化为1即可；
（2）先去分母，去分母，去括号，移项，再合并同类项，化系数为1即可；
（3）先去括号，移项，合并同类项，再化系数为1即可；
（4）根据代入消元法解二元一次方程组即可．
（1）解：
移项，得
合并同类项，得
解得：；
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得：．
（3）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以5，得．
（4）解：
由得，
把代入得，
，
，
把代入得，
∴原方程组的解为
26．解不等式组：，将解集表示在数轴上，并写出非负数整数解．
【答案】解：，解不等式①得，
解不等式②得，
将解集表示在数轴上，
∴该不等式组的非负整数解为和．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别解两个不等式，再根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集，再在数轴上表示出来，找出非负整数解即可．
27．如图，在中，点分别在边上，．若，，求的度数．
【答案】解：，
，
，
，
，
的度数为．
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】首先根据已知条件利用内错角相等，两直线平行判定DEBC，利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”求出角度即可.
28．甲、乙两人解方程组：，由于甲看错方程①中的而得到方程组的解为，乙看错子方程②中的b而得到的解为，假如按正确的计算，试求出原方程组的解.
【答案】解：∵甲只看错了方程①中的a，∴甲所得到的解为，应满足无a的正确的方程②，即4×（-3）-b×（-1）=-2．③
同理，，应满足正确的方程①，即a×5+5×4=13．④
解由③，④联立的方程组得：，
∴原方程组应为：，
解得：．
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】根据题意将方程的解代入到正确的方程中得到a，b，再代入原方程，利用加减消元法求出方程组的解即可.
29．关于，的二元一次方程组．
（1）若方程组的解也是二元一次方程的解，求的值；
（2）若方程组的解满足，求的取值范围，并写出的最大负整数解．
【答案】（1）解：解方程组．得，
代入，得，
解得：；

（2）解：由（1）得，
代入，得，
解得．
∴的最大负整数解是．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先解二元一次方程组，用含m的代数式表示x、y，代入x-3y=7中求解；
（2）将和代入，然后求出不等式求得m的取值范围，再确定最大负整数解即可．
（1）解：解方程组．得，
代入，得，
解得：；
（2）解：由（1）得，
代入，得，
解得．
∴的最大负整数解是．
30．永辉超市要购进、两种型号的电压力锅，已知购进台和台花费元；购进台和台花费元．
（1）求和两种型号的压力锅每台进价分别是多少元．
（2）为了满足市场需求，超市决定用不超过元采购、两种型号的压力锅共台，且型号压力锅的数量的倍不低于型号压力锅，该商场有几种进货方式．
【答案】（1）解：设型号压力锅的进价为元台，型号压力锅的进价为元台，
依题意得：，
解得：．
答：型号压力锅的进价为元台，型号压力锅的进价为元台．
（2）解：设购进台型号压力锅，则购进台型号压力锅，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取，，，，
该商场有种进货方式．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型号压力锅的进价为元台，型号压力锅的进价为元台，根据总费用=A型的单价×数量+B型的单价×数量，列出关于，的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进台型号压力锅，则购进台型号压力锅，根据“购进型号压力锅的数量的倍不低于型号压力锅，且采购台压力锅时总费用不超过元”，列出关于的一元一次不等式组，求解即可．
（1）解：设型号压力锅的进价为元台，型号压力锅的进价为元台，
依题意得：，
解得：．
答：型号压力锅的进价为元台，型号压力锅的进价为元台．
（2）设购进台型号压力锅，则购进台型号压力锅，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取，，，，
该商场有种进货方式．
31．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
【简单应用】
（2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由．
【答案】证明：（1）在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如图2，
、分别平分，，
，，
由（1）的结论得： ，
①②，得，
；
（3）解：∠P=26°，证明如下：
如图3，
平分的外角，平分的外角，
，，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；加减消元法解二元一次方程组；8字模型
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理证明即可；
（2）先根据角平分线的定义得到，，再利用（1）的结论和角的关系求解即可；
（3）先根据角平分线的定义得到，，再根据邻补角和角的关系求解即可.
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